全優(yōu)課堂·數(shù)學(xué)·必修第二冊(cè)(人教A版) 課后提能訓(xùn)練 試題及答案 8.6.2　第2課時(shí)

第八章8.68.6.2第2課時(shí)A級(jí)——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．若直線a與平面α不垂直，那么在平面α內(nèi)與直線a垂直的直線()A．只有一條 B．有無(wú)數(shù)條C．是平面內(nèi)的所有直線 D．不存在【答案】B【解析】當(dāng)a∥平面α?xí)r，在平面α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與直線a是異面垂直直線；當(dāng)a?α?xí)r，在α內(nèi)有無(wú)數(shù)條平行直線與直線a相交且垂直；當(dāng)直線a與平面α相交但不垂直時(shí)，在平面α內(nèi)有無(wú)數(shù)條平行直線與直線a垂直．故選B．2．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，則點(diǎn)C到平面BDD1B1的距離為()A．1 B．eq\r(2)C．2eq\r(2) D．2eq\r(3)【答案】B【解析】如圖，連接AC，DB交于點(diǎn)O，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DB⊥AC，,BB1⊥AC，,BB1∩DB＝B))?AC⊥平面BDD1B1，所以點(diǎn)C到平面BDD1B1的距離為CO，CO＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2)．3．如圖，在四面體A－BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB＝BC＝CD＝1，則AD＝()A．1 B．eq\r(2)C．eq\r(3) D．2【答案】C【解析】因?yàn)锽C⊥CD，AB＝BC＝CD＝1，所以BD＝eq\r(BC2＋CD2)＝eq\r(2)．又因?yàn)锳B⊥平面BCD，BD?平面BCD，所以AB⊥BD，因此AD＝eq\r(AB2＋BD2)＝eq\r(3)．故選C．4．(多選)下列說(shuō)法正確的有()A．過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面垂直B．過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和已知直線垂直C．過(guò)平面外一點(diǎn)可作無(wú)數(shù)條直線與已知平面平行D．過(guò)直線外一點(diǎn)只可作一條直線與已知直線垂直【答案】ABC【解析】由線面垂直的性質(zhì)及線面平行的性質(zhì)知A，B，C正確；D錯(cuò)誤，過(guò)直線外一點(diǎn)作平面與直線垂直，則平面內(nèi)過(guò)這一點(diǎn)的所有直線都與該直線垂直．5．(多選)設(shè)m，n為不重合的兩條直線，α，β為不重合的兩個(gè)平面，下列命題正確的是()A．若m∥α且n?α，則m∥n B．若m⊥α且n⊥α，則m∥nC．若m∥α且m∥β，則α∥β D．若m⊥α且m⊥β，則α∥β【答案】BD【解析】A項(xiàng)，若m∥α且n?α，則m，n可能平行或異面，故A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，若m⊥α且n⊥α，根據(jù)垂直于同一平面的兩直線互相平行，故B正確；C項(xiàng)，若m∥α且m∥β，根據(jù)面面的位置關(guān)系定義可得α與β可能平行也可能相交，故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，若m⊥α且m⊥β，根據(jù)面面平行的判定可知垂直于同一直線的兩平面互相平行，故D正確．故選BD．6．如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．PB⊥BC B．PD⊥CDC．PD⊥BD D．PA⊥BD【答案】C【解析】PA⊥平面ABCD?PA⊥BD，D正確；eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(PA⊥平面ABCD?PA⊥BC，,矩形ABCD?AB⊥BC))?BC⊥平面PAB?BC⊥PB，故A正確；同理，B正確；C錯(cuò)誤．7．如圖，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，則EF＝________．【答案】6【解析】因?yàn)锳F⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE．因?yàn)锳F＝DE，所以四邊形ADEF是平行四邊形，所以EF＝AD＝6．8．在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1內(nèi)，則MN與AB的位置關(guān)系是________．【答案】垂直【解析】如圖，易知AB⊥平面BCC1B1，又因?yàn)镸N在平面BCC1B1內(nèi)，所以MN⊥AB．9．如圖，在三棱錐A－BCD中，AB⊥平面BDC，∠BDC＝90°，AB＝8，BD＝6，則點(diǎn)B到平面ACD的距離等于________．【答案】4.8【解析】∵AB⊥平面BDC，∴AB⊥BD，AB⊥CD．∵∠BDC＝90°，∴CD⊥BD，AB∩BD＝B，AB?平面ABD，BD?平面ABD，∴CD⊥平面ABD．∵AD?平面ABD，∴CD⊥AD．∵AB＝8，BD＝6，∴AD＝eq\r(82＋62)＝10，∴S△BDC＝eq\f(1,2)×6×CD＝3CD，S△ACD＝eq\f(1,2)×10×CD＝5CD．設(shè)點(diǎn)B到平面ACD的距離為h，∵V三棱錐A－BCD＝V三棱錐B－ACD，∴eq\f(1,3)×3CD×8＝eq\f(1,3)×5CD×h，解得h＝4.8．10．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分別為AA1，B1C的中點(diǎn)，DE⊥平面BCC1B1，求證：AB＝AC．證明：如圖，取BC的中點(diǎn)F，連接EF，則EF∥B1B且EF＝eq\f(1,2)B1B．從而EF∥DA且EF＝DA．連接AF，則四邊形ADEF為平行四邊形，從而AF∥DE．又DE⊥平面BCC1B1．故AF⊥平面BCC1B1，從而AF⊥BC，即AF為BC的垂直平分線，故AB＝AC．B級(jí)——綜合運(yùn)用練11．已知直線l∩平面α＝O，A∈l，B∈l，A?α，B?α，且OA＝AB．若AC⊥平面α，垂足為C，BD⊥平面α，垂足為D，AC＝1，則BD＝()A．2 B．1C．eq\f(3,2) D．eq\f(1,2)【答案】A【解析】因?yàn)锳C⊥平面α，BD⊥平面α，所以AC∥BD．連接OD，如圖所示，所以eq\f(OA,OB)＝eq\f(AC,BD)．因?yàn)镺A＝AB，所以eq\f(OA,OB)＝eq\f(1,2)．因?yàn)锳C＝1，所以BD＝2．12．如圖，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，B為垂足，直線a?平面β，a⊥AB，則直線a與直線l的位置關(guān)系是________．【答案】平行【解析】∵EA⊥α，平面α∩平面β＝l，即l?α，∴l(xiāng)⊥EA．同理，l⊥EB．又∵EA∩EB＝E，EA，EB?平面EAB，∴l(xiāng)⊥平面EAB．∵EB⊥β，a?平面β，∴EB⊥a．又∵a⊥AB，EB∩AB＝B，EB，AB?平面EAB，∴a⊥平面EAB，∴a∥l．13．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝CF，∠ABC＝60°，四邊形ACFE為平行四邊形，F(xiàn)C⊥平面ABCD，M為線段EF的中點(diǎn)．(1)求證：BC⊥平面ACFE；(2)若AD＝2，求點(diǎn)A到平面MBC的距離．(1)證明：設(shè)AD＝m，則DC＝CB＝AD＝m，在梯形ABCD中，因?yàn)锳B∥CD，∠ABC＝60°，所以AB＝2m，所以AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos60°＝3m2，所以AB2＝AC2＋BC2，所以BC⊥AC．因?yàn)镕C⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以FC⊥BC．又因?yàn)锳C∩FC＝C，AC?平面ACFE，F(xiàn)C?平面ACFE，所以BC⊥平面ACFE．(2)解：由(1)可知BC⊥AC，又因?yàn)锳D＝2，則DC＝CB＝AD＝FC＝2，所以AC＝2eq\r(3)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)·AC·BC＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2＝2eq\r(3)，V四面體MACB＝eq\f(1,3)×2·S△ABC＝eq\f(4\r(3),3)．因?yàn)锽C⊥平面ACFE，CM?平面ACFE，所以BC⊥CM，又因?yàn)镸C＝eq\r(FM2＋FC2)＝eq\r(7)，所以S△MBC＝eq\f(1,2)·MC·BC＝eq\f(1,2)×eq\r(7)×2＝eq\r(7)．設(shè)點(diǎn)A到平面MBC的距離為d，則eq\f(1,3)·S△MBC·d＝eq\f(1,3)×eq\r(7)·d＝eq\f(4\r(3),3)＝V四面體MACB，解得d＝eq\f(4\r(21),7)．所以點(diǎn)A到平面MBC的距離為eq\f(4\r(21),7)．C級(jí)——?jiǎng)?chuàng)新拓展練14．在中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將由四個(gè)直角三角形組成的四面體稱為“鱉臑”．已知三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，如圖所示．(1)從三棱錐P－ABC中選擇合適的兩條棱填空．若________⊥________，則該三棱錐為“鱉臑”．(2)已知三棱錐P－ABC是一個(gè)“鱉臑”，且AC＝1，AB＝2，∠BAC＝60°．若△PAC上有一點(diǎn)D，試在平面PAC內(nèi)作出一條過(guò)點(diǎn)D的直線l，使得l與BD垂直，說(shuō)明作法，并給予證明．解：(1)這兩條棱可選AB與BC．理由如下．因?yàn)镻A⊥平面ABC，AB，AC，BC?平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC．因此△PAC，△PAB是兩個(gè)直角三角形．當(dāng)AB⊥BC時(shí)，顯然△BAC是直角三角形．因?yàn)镻A∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB，而PB?平面PAB．所以BC⊥PB，因此△BPC是直角三角形．所以該三棱錐為“鱉臑”．(答案不唯一)(2)連接CD，如圖，在△PAC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)D作l⊥CD，即可得l為所求直線．證明如下：在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2A