33-泰勒公式省公開課一等獎(jiǎng)全國(guó)示范課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

二、幾個(gè)初等函數(shù)麥克勞林公式第三節(jié)一、泰勒公式建立三、泰勒公式應(yīng)用目標(biāo)－用多項(xiàng)式近似表示函數(shù).泰勒公式

第三章第1頁一、問題提出(matlab)第2頁6422464224O第3頁642246O4224第4頁問題:不足:1、準(zhǔn)確度不高；2、誤差不能預(yù)計(jì)。第5頁分析:2.若有相同切線3.若彎曲方向相同近似程度越來越好1.若在點(diǎn)相交第6頁第7頁三、泰勒(Taylor)中值定理第8頁證實(shí):第9頁第10頁第11頁拉格朗日形式余項(xiàng)佩亞諾形式余項(xiàng)第12頁第13頁第14頁第15頁第16頁第17頁第18頁第19頁第20頁第21頁第22頁第23頁第24頁第25頁第26頁第27頁第28頁第29頁第30頁麥克勞林(Maclaurin)公式第31頁泰勒

(1685–1731)英國(guó)數(shù)學(xué)家,他早期是牛頓學(xué)派最優(yōu)異代表人物之一,主要著作有:《正和反增量方法》(1715)《線性透視論》(1719)他在1712年就得到了當(dāng)代形式泰勒公式.他是有限差分理論奠基人.第32頁麥克勞林(1698–1746)英國(guó)數(shù)學(xué)家,著作有:《流數(shù)論》(1742)《有機(jī)幾何學(xué)》(1720)《代數(shù)論》(1742)在第一本著作中給出了后人以他名字命名麥克勞林級(jí)數(shù).第33頁符號(hào)邏輯先驅(qū)和公理化方法推行人撰寫《數(shù)學(xué)百科全書》國(guó)際語創(chuàng)建者佩亞諾(1858–1932)意大利數(shù)學(xué)家,主要著作有:《幾何原理邏輯表述》(1898)創(chuàng)建了《數(shù)學(xué)雜志》

（1891）《無窮小分析教程》（1893）第34頁解：代入公式,得例1

求n階麥克勞林公式第35頁

慣用函數(shù)麥克勞林公式回想:歐拉公式第36頁1.在近似計(jì)算中應(yīng)用誤差M

為在包含0,x

某區(qū)間上上界.需解問題類型:1)已知x和誤差限,要求確定項(xiàng)數(shù)n;2)已知項(xiàng)數(shù)

n

和x,計(jì)算近似值并預(yù)計(jì)誤差;3)已知項(xiàng)數(shù)

n和誤差限,確定公式中x

適用范圍.四、泰勒公式應(yīng)用第37頁例2.

計(jì)算無理數(shù)e近似值,使誤差不超出解:已知令x=1,得因?yàn)橛褂捎?jì)算可知當(dāng)n=9

時(shí)上式成立,所以麥克勞林公式為第38頁說明:注意舍入誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果影響.本例若每項(xiàng)四舍五入到小數(shù)點(diǎn)后6位,則各項(xiàng)舍入誤差之和不超出總誤差限為這時(shí)得到近似值不能確保誤差不超出所以計(jì)算時(shí)中間結(jié)果應(yīng)比精度要求多取一位.第39頁例3.

用近似公式計(jì)算cosx

近似值,使其準(zhǔn)確到0.005,試確定x

適用范圍.解:近似公式誤差令解得即當(dāng)時(shí),由給定近似公式計(jì)算結(jié)果能準(zhǔn)確到0.005.第40頁2.利用泰勒公式求極限例4.

求解:因?yàn)橛寐灞剡_(dá)法則不方便

!用泰勒公式將分子展到項(xiàng),第41頁3.利用泰勒公式證實(shí)不等式例5.

證實(shí)證:+第42頁2025/2/18434.利用泰勒公式建立一維波動(dòng)方程第43頁均勻柔軟細(xì)弦，在平衡位置附近產(chǎn)生振幅極小橫振動(dòng)。第44頁確定弦運(yùn)動(dòng)方程(2)被研究物理量遵照哪些物理定理？牛頓第二定律.

(3)

按物理定律寫出數(shù)學(xué)物理方程（即建立泛定方程）

(1)要研究物理量是什么？弦沿垂直方向位移

一根柔軟均勻張緊細(xì)弦，求它在平衡位置附近作微小橫向振動(dòng)規(guī)律。假設(shè)這運(yùn)動(dòng)發(fā)生在同一平面內(nèi)且與方向垂直于平衡位置，求弦振動(dòng)規(guī)律。第45頁弦特點(diǎn)：勻、細(xì)、軟、緊一根彈性細(xì)線。振動(dòng)特征：微小、橫向振動(dòng)：振動(dòng)幅度很小，弦在任意位置處切線傾斜角很小?？紤]一根拉緊長(zhǎng)為

弦，線密度為,以弦平衡位置所在直線為

軸，并以弦左端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。求它在平衡位置附近作微小橫向振動(dòng)規(guī)律。遵照牛頓第二定律：作用在物體上力=該物體質(zhì)量×該物體加速度第46頁取弦平衡位置為軸，運(yùn)動(dòng)平面為在時(shí)刻

，弦在點(diǎn)位移為上圖中放大圖示第47頁由微小振動(dòng)假設(shè)知傾斜角很小，從而：1.弧段在振動(dòng)過程中長(zhǎng)度近似不變由牛頓第二定律有：橫向：縱向：第48頁其中：兩端除以dx,

令,第49頁………一維波動(dòng)方程令：------非齊次方程自由項(xiàng)------齊次方程忽略重力作用：第50頁注意：

物理問題包括原因較多，往往還需要引入適當(dāng)假設(shè)才能使方程簡(jiǎn)化．

數(shù)學(xué)物理方程必須反應(yīng)弦上任一位置上垂直位移所遵照普遍規(guī)律，所以考查點(diǎn)不能取在端點(diǎn)上，但能夠取除端點(diǎn)之外任何位置作為考查點(diǎn)．第51頁內(nèi)容小結(jié)1.泰勒公式其中余項(xiàng)當(dāng)時(shí)為麥克勞林公式.第52頁2.慣用函數(shù)麥克勞林公式(P142~P144)3.泰勒公式應(yīng)用(1)近似計(jì)算(3)其它應(yīng)用求極限,證實(shí)不等式等.(2)利用多項(xiàng)式迫近函數(shù)第53頁兩邊同乘n!=整數(shù)+假設(shè)e