《機(jī)械系統(tǒng)建模仿真與優(yōu)化》 課件 第四章 機(jī)械系統(tǒng)計(jì)算多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析及應(yīng)用

第四章機(jī)械系統(tǒng)計(jì)算多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析及應(yīng)用01.02.03.04.05.目錄1引言2多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)基本建模理論3多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程求解算法4多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)應(yīng)用實(shí)例4本章小結(jié)011引言1引言機(jī)械多體系統(tǒng)是由多個(gè)相互作用的剛性體或彈性體組成的系統(tǒng)。這些剛性體或彈性體可以是各種機(jī)械構(gòu)件，如連桿、齒輪、軸承等，它們通過各種連接方式（如鉸鏈、滑塊等）相互連接形成一個(gè)整體系統(tǒng)，以實(shí)現(xiàn)特定的功能或執(zhí)行特定的任務(wù)。機(jī)械系統(tǒng)多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究一般分為多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)和多柔體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)，多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)認(rèn)為系統(tǒng)中所有構(gòu)件都是不發(fā)生變形的剛體，當(dāng)需要考慮系統(tǒng)變形時(shí)則需要將所有構(gòu)件視為柔性體進(jìn)行分析，即多柔體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)。在分析時(shí)只將部分受力變形構(gòu)件視為柔性體，其余構(gòu)件視為剛體進(jìn)行分析來減少計(jì)算復(fù)雜度，這樣的系統(tǒng)稱為剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)。在實(shí)際研究中一般把多柔體系統(tǒng)和剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)統(tǒng)稱為多柔體系統(tǒng)。1引言機(jī)械系統(tǒng)多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析是對(duì)由多個(gè)相互作用的機(jī)械構(gòu)件組成的系統(tǒng)進(jìn)行力學(xué)研究的過程。這種分析旨在理解系統(tǒng)中每個(gè)構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)行為以及它們之間的相互作用，從而揭示系統(tǒng)的整體動(dòng)態(tài)特性。動(dòng)力學(xué)分析涉及到對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行建立和求解，以確定系統(tǒng)在外部作用下的響應(yīng)和行為。下面就從多體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模開始介紹如何對(duì)機(jī)械多體系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析和應(yīng)用。022多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)基本建模理論2.1多剛體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)2.1.1平面運(yùn)動(dòng)多剛體系統(tǒng)位形描述圖1平面多體系統(tǒng)位形描述2.1多剛體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)2.1.2空間運(yùn)動(dòng)多剛體系統(tǒng)位形描述圖2空間多體系統(tǒng)位形描述2.1多剛體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)2.1.2空間運(yùn)動(dòng)多剛體系統(tǒng)位形描述圖3歐拉角坐標(biāo)系2.1多剛體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)多剛體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)約束方程圖4平面旋轉(zhuǎn)副2.1多剛體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)多剛體系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)約束方程2.2多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)2.2.1平面運(yùn)動(dòng)多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程2.2多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)2.2.1平面運(yùn)動(dòng)多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程式(4.26)也稱為約束多剛體系統(tǒng)的第一類拉格朗日方程。通常，在對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行求解時(shí)，僅將三個(gè)約束方程的其中一個(gè)與式(4.26)進(jìn)行聯(lián)合求解。在數(shù)值計(jì)算中，常采用微分指標(biāo)，定義為經(jīng)過簡(jiǎn)單運(yùn)算將微分代數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一般常微分方程的最少求導(dǎo)次數(shù)。則多體系統(tǒng)的第一類拉格朗日方程2.2多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)2.2.1平面運(yùn)動(dòng)多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程(4.19)的聯(lián)合方程組稱為指標(biāo)2（Index-2）微分代數(shù)方程；式(4.26)與系統(tǒng)的位形約束(4.15)的聯(lián)合方程組稱為指標(biāo)3（Index-3）微分代數(shù)方程。系統(tǒng)不同的指標(biāo)的微分代數(shù)方程組略有差異，本章以最常使用的指標(biāo)3（Index-3）微分代數(shù)方程為例，其標(biāo)準(zhǔn)形式為：對(duì)于上述方程，具體的數(shù)值求解方法將在4.3節(jié)中介紹。2.2多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)2.2.2空間運(yùn)動(dòng)多剛體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)描述與平面問題不同，三維系統(tǒng)更加復(fù)雜，空間運(yùn)動(dòng)多剛體系統(tǒng)的角速度與姿態(tài)坐標(biāo)關(guān)于時(shí)間導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系不是簡(jiǎn)單的線性關(guān)系。因此，在討論空間運(yùn)動(dòng)多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程之前，我們先來介紹空間運(yùn)動(dòng)剛體的角速度與姿態(tài)坐標(biāo)的關(guān)系。圖5空間多體系統(tǒng)2.3多柔體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)當(dāng)多體系統(tǒng)中物體變形對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響不可忽略時(shí)，需要考慮構(gòu)件的柔性作用，用柔性多體模型代替多剛體模型。在小變形假設(shè)前提下，可以將物體的運(yùn)動(dòng)視為大范圍剛體運(yùn)動(dòng)與小范圍變形的疊加，這就是浮動(dòng)坐標(biāo)法的基本思路。而對(duì)于大變形問題，則需要采用如絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法這樣直接在慣性坐標(biāo)系中描述變形體的位移的方法。本小節(jié)主要針對(duì)小變形問題介紹描述柔性系統(tǒng)經(jīng)典的浮動(dòng)坐標(biāo)法。2.3多柔體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)2.3.1浮動(dòng)坐標(biāo)系在前面介紹多剛體系統(tǒng)位形描述時(shí)，采用連體基來確定剛體的位形坐標(biāo)和姿態(tài)。然而，柔性體在運(yùn)動(dòng)過程中各個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間都存在相對(duì)位移，因此任何參考系都無法與變形體固結(jié)。為了確定變形體的位置與姿態(tài)，可以將柔性體的在空間中的運(yùn)動(dòng)視為剛體大范圍運(yùn)動(dòng)和小變形的疊加，在假象的剛體上建立一個(gè)“浮動(dòng)”坐標(biāo)系。柔性體的運(yùn)動(dòng)就變?yōu)楦?dòng)坐標(biāo)系的大范圍剛體運(yùn)動(dòng)與相對(duì)于此坐標(biāo)系的變形運(yùn)動(dòng)的合成。圖6浮動(dòng)坐標(biāo)系2.3多柔體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)2.3.2多柔體系統(tǒng)質(zhì)量陣與剛度陣2.3多柔體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)2.3.3多柔體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程與4.2.2.1節(jié)類似，根據(jù)拉格朗日乘子定理得到約束多剛體系統(tǒng)的第一類拉格朗日方程：則多柔體系統(tǒng)的指標(biāo)3（Index-3）微分代數(shù)方程為：033多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程求解算法3多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程求解算法在4.2節(jié)對(duì)多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模的介紹中，我們得到了系統(tǒng)的指標(biāo)3（Index-3）微分代數(shù)方程，對(duì)該方程進(jìn)行求解即可得到系統(tǒng)的位形坐標(biāo)、位形速度關(guān)于時(shí)間的歷程。對(duì)于實(shí)際多體系統(tǒng)而言，該方程較為復(fù)雜，通常沒有解析解或難以求得，一般采用數(shù)值求解的方法，下面介紹多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的數(shù)值求解算法，指標(biāo)3（Index-3）微分代數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為：下面介紹幾種常見的機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程數(shù)值求解算法，以實(shí)現(xiàn)上述離散時(shí)間步的求解目標(biāo)。3.1Newmark算法Newmark積分假設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)形式為：把Newmark假設(shè)帶入離散微分代數(shù)方程中，再進(jìn)行變換，得到3.2廣義α法在Newmark算法的基礎(chǔ)上，廣義α法引入新的算法矢量α將動(dòng)力學(xué)方程改寫為其中，矢量α滿足：3.3保辛算法有研究表明，當(dāng)動(dòng)力學(xué)微分方程的差分計(jì)算格式滿足保辛要求時(shí)，得到的數(shù)值結(jié)果能夠保持長(zhǎng)時(shí)間的穩(wěn)定性，且系統(tǒng)中原有的守恒量在時(shí)間格點(diǎn)上能夠保持長(zhǎng)時(shí)間的守恒。下面首先簡(jiǎn)單介紹保辛算法的基本概念：辛矩陣是指滿足以下特定數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的矩陣：下面對(duì)保辛算法原理進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹，我們?nèi)砸郧懊嫱茖?dǎo)得到的多體系統(tǒng)的指標(biāo)3-微分代數(shù)方程為例，其形式為：同時(shí)，建立多體系統(tǒng)的第二類拉格朗日方程：3.3保辛算法044多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)應(yīng)用實(shí)例4.1多連桿壓力機(jī)動(dòng)力學(xué)仿真多連桿壓力機(jī)是一種典型的機(jī)械系統(tǒng)，它可以提供最佳的滑塊運(yùn)動(dòng)軌跡以滿足沖壓過程中的工藝需求，廣泛應(yīng)用于汽車制造領(lǐng)域、航空航天制造領(lǐng)域、電子產(chǎn)品制造和家電領(lǐng)域的零部件的沖壓、拉伸成型中，如筆記本外殼、空調(diào)外殼、車門、車頂、機(jī)翼等的制造。圖7所示為一種常見的多連桿壓力機(jī)的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖，由1個(gè)曲柄，3個(gè)連桿和3個(gè)滑塊組成，其中滑塊7負(fù)責(zé)完成成型工藝。在對(duì)多連桿壓力機(jī)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析時(shí)，可以將其抽象成由多個(gè)剛性桿件組成的平面多剛體系統(tǒng)。圖7多連桿壓力機(jī)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖4.1多連桿壓力機(jī)動(dòng)力學(xué)仿真按照4.2.1.3節(jié)的介紹，得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程：多連桿系統(tǒng)的機(jī)構(gòu)參數(shù)在表

1中給出：名稱質(zhì)量m(kg)長(zhǎng)度L(m)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J曲柄217.310.01780.0174連桿34.110.19650.0351滑塊46.42————連桿53.120.10750.0174連桿60.880.10750.0599主滑塊7121.43————副滑塊8107.05——————0.15————0.15——4.1多連桿壓力機(jī)動(dòng)力學(xué)仿真在完成對(duì)多連桿系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模后，我們使用前面介紹的Newmark積分算法對(duì)系統(tǒng)數(shù)值積分，使用Newton-Raphson算法迭代求數(shù)值解。在對(duì)系統(tǒng)在不同工況下進(jìn)行充分的仿真分析以后，便可以根據(jù)系統(tǒng)的分析結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，如改變某構(gòu)件的結(jié)構(gòu)，進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)，減輕其重量，或增加某構(gòu)件的強(qiáng)度來防止系統(tǒng)在工作過程中的損傷。4.1多連桿壓力機(jī)動(dòng)力學(xué)仿真4.2張拉整體結(jié)構(gòu)折疊仿真張拉整體是一種由若干連續(xù)的受拉構(gòu)件作用于一組離散受壓構(gòu)件而形成的穩(wěn)定自平衡系統(tǒng)，其作為一種奇特而富有魅力的結(jié)構(gòu)形式，近些年來越來越得到多領(lǐng)域?qū)W者的關(guān)注。受張拉整體概念啟發(fā)，結(jié)構(gòu)工程師設(shè)計(jì)出了類張拉整體結(jié)構(gòu)的人行橋和索穹頂；航空航天領(lǐng)域?qū)W者設(shè)計(jì)了可展開塔狀天線和反射天線；NASA的研究者研制了靈巧的球形張拉整體機(jī)器人用于未來的太空登陸和勘測(cè)。張拉整體結(jié)構(gòu)由于其易變性的特性也成為軟體機(jī)器人的一種優(yōu)秀設(shè)計(jì)方案。本章采用計(jì)算多體動(dòng)力學(xué)的方法研究張拉整體塔架系統(tǒng)的折疊過程。將桿件視為物體(剛體)，普通繩索通過彈簧阻尼作動(dòng)器模擬，滑動(dòng)繩索則采用多段彈簧串聯(lián)實(shí)現(xiàn)，作動(dòng)點(diǎn)的驅(qū)動(dòng)則通過在動(dòng)力學(xué)方程中添加約束實(shí)現(xiàn)。為了模擬結(jié)構(gòu)在外太空中的行為，不考慮結(jié)構(gòu)自重。4.2張拉整體結(jié)構(gòu)折疊仿真如圖11所示為一張拉整體塔架結(jié)構(gòu)，其中灰色粗圓柱表示桿件，粉色和藍(lán)色細(xì)線分別表示普通繩索和滑動(dòng)繩索。結(jié)構(gòu)由四個(gè)完全相同的四棱柱張拉整體單元上下組裝而成，滑動(dòng)繩索的末端與四個(gè)額外的沿特定方向滑動(dòng)的物體相連。結(jié)構(gòu)總高2m、寬1m，所有的桿件由TC4鈦合金制成，所有的普通繩索和滑動(dòng)繩索由玻璃纖維制成。具體的材料和尺寸參數(shù)在表3中給出。在初始時(shí)刻，結(jié)構(gòu)中無任何外加力和自應(yīng)力，所有的構(gòu)件均處于各自的自由狀態(tài)。底部桿件的末端點(diǎn)1-4固定在地面，由球鉸模擬。采用基于繩索的驅(qū)動(dòng)策略以控制結(jié)構(gòu)的折疊和展開過程。考慮折疊過程，以恒定的速度V驅(qū)動(dòng)點(diǎn)5-8向外運(yùn)動(dòng)，直到達(dá)到了指定的驅(qū)動(dòng)值，之后迅速鎖死。對(duì)于展開分析，可以在結(jié)構(gòu)折疊狀態(tài)施加相反的過程實(shí)現(xiàn)。在本算例中，我們只關(guān)注結(jié)構(gòu)的折疊過程。4.2張拉整體結(jié)構(gòu)折疊仿真首先考慮準(zhǔn)靜態(tài)折疊分析。準(zhǔn)靜態(tài)分析將桿件視為剛體，假設(shè)驅(qū)動(dòng)點(diǎn)5-8的驅(qū)動(dòng)速度無限小，以致于動(dòng)力效應(yīng)可以忽略，然后采用多體動(dòng)力學(xué)方法通過直接求解系統(tǒng)的靜平衡方程得到。然后采用BelHadjAli等提出的動(dòng)力松弛法進(jìn)行對(duì)比。為了同時(shí)驗(yàn)證桿件的剛體假設(shè)，動(dòng)力松弛法中采用真實(shí)的桿件剛度。圖12給出了桿件16在z方向的質(zhì)心位置與驅(qū)動(dòng)值之間的關(guān)系圖。結(jié)果表明桿件的最大伸長(zhǎng)量在1×10-5m量級(jí)，驗(yàn)證了當(dāng)前模型假設(shè)條件的正確性。當(dāng)驅(qū)動(dòng)值達(dá)到0.7m時(shí)，結(jié)構(gòu)壓縮了1.23m，達(dá)到原始完全展開高度的38%。計(jì)算表明在最終折疊狀態(tài)下普通繩索和滑動(dòng)繩索的最大拉應(yīng)力分別為9.32和4.08MPa，桿件的最大壓應(yīng)力為1.08MPa，均遠(yuǎn)低于相應(yīng)材料的極限應(yīng)力；桿件的最大壓力為0.53kN，遠(yuǎn)小于根據(jù)歐拉失穩(wěn)公式計(jì)算出的屈曲載荷值；因此結(jié)構(gòu)中的各構(gòu)件均處于安全工作范圍。在最終折疊狀態(tài)下，桿件之間的最小軸線間距為5.93cm，大于桿件的直徑，因此桿件不會(huì)發(fā)生碰撞。4.2張拉整體結(jié)構(gòu)折疊仿真接下來，我們考慮動(dòng)力驅(qū)動(dòng)分析。假設(shè)以一定的驅(qū)動(dòng)速度V驅(qū)動(dòng)繩索末端點(diǎn)5-8運(yùn)動(dòng)。簡(jiǎn)單起見我們將驅(qū)動(dòng)速度設(shè)為常值，不考慮時(shí)變的驅(qū)動(dòng)速度。考慮四種備選的驅(qū)動(dòng)速度V=0.005,0.01,0.05,0.1m/s，相應(yīng)的驅(qū)動(dòng)時(shí)間分別為140,70,14和7s。各種情況下的分析時(shí)間為驅(qū)動(dòng)時(shí)間的兩倍。分析中不考慮繩索的阻尼，采用Newmark算法求解動(dòng)力學(xué)方程，算法參數(shù)為α=0.5和δ=0.25，時(shí)間步長(zhǎng)和收斂誤差分別為0.005s和1×10-6。4.2張拉整體結(jié)構(gòu)折疊仿真圖13(a)-(c)給出了各種情況下桿件16的z方向質(zhì)心位置時(shí)程曲線，以及相應(yīng)的準(zhǔn)靜態(tài)結(jié)果。可以看到，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性與驅(qū)動(dòng)速度有著緊密的關(guān)系。在相對(duì)低速的驅(qū)動(dòng)下(V=0.005和0.01m/s)，時(shí)程特性曲線基本上沿著準(zhǔn)靜態(tài)的結(jié)果振蕩，結(jié)構(gòu)會(huì)折疊到一定的程度，然后在最終狀態(tài)下輕微振蕩。振幅與驅(qū)動(dòng)速度呈正相關(guān)。對(duì)于稍大的驅(qū)動(dòng)速度(V=0.05和0.1m/s)，在初始驅(qū)動(dòng)階段運(yùn)動(dòng)曲線伴隨著一定的振幅大體上沿著準(zhǔn)靜態(tài)的結(jié)果。但是，一旦驅(qū)動(dòng)停滯，質(zhì)心的時(shí)程曲線將迅速偏離平衡構(gòu)型并達(dá)到零值以下。這在物理上是非真實(shí)的，顯然桿件會(huì)發(fā)生碰撞。關(guān)于此現(xiàn)象的簡(jiǎn)要解釋是：隨著驅(qū)動(dòng)的不斷施加，由于不考慮桿件之間的碰撞系統(tǒng)在理論上將到達(dá)一個(gè)極限平衡狀態(tài)，此狀態(tài)正對(duì)應(yīng)于零高度。而設(shè)計(jì)的指定折疊狀態(tài)較為接近這一極限平衡狀態(tài)。4.2張拉整體結(jié)構(gòu)折疊仿真在動(dòng)力驅(qū)動(dòng)下，即使驅(qū)動(dòng)停滯，結(jié)構(gòu)由于慣性會(huì)繼續(xù)振動(dòng)。高速的驅(qū)動(dòng)，較大的慣性效應(yīng)會(huì)使結(jié)構(gòu)達(dá)到并穿越上述平衡構(gòu)型，并以此為基準(zhǔn)進(jìn)行大幅度的振動(dòng)。圖(d)給出了桿件在各種情況下的最小間距時(shí)程曲線。對(duì)于驅(qū)動(dòng)速度為V=0.005和0.01m/s的情況，時(shí)程曲線數(shù)值均高于桿件的直徑，表明這兩種驅(qū)動(dòng)速度下結(jié)構(gòu)在折疊的過程中不會(huì)發(fā)生桿件碰撞。對(duì)于驅(qū)動(dòng)速度為V=0.05和0.1m/s的情況，時(shí)程曲線多次穿越反映桿件直徑的警戒線，甚至達(dá)到零值，表明在這兩種驅(qū)動(dòng)速度桿件不僅發(fā)生碰撞甚至發(fā)生完全的穿透。根據(jù)上述討論，可以發(fā)現(xiàn)V=0.1m/s或許是一個(gè)較合適的驅(qū)動(dòng)速度。我們從材料失效的角度進(jìn)行了驗(yàn)證。桿件的最大軸向壓力為0.54kN，最大應(yīng)力為1.10MPa。普通繩索和滑動(dòng)繩索的最大拉力分別為4.24MPa和1.10MPa。這些值均非常接近準(zhǔn)靜態(tài)驅(qū)動(dòng)下的結(jié)果，且遠(yuǎn)小于響應(yīng)的許用值。因此各構(gòu)件均處于正常工作范圍。因此，V=0.1m/s的確為一個(gè)可行的驅(qū)動(dòng)速度，在此情況下結(jié)構(gòu)最快可以在兩分鐘內(nèi)被折疊。054本章小結(jié)4本章小結(jié)本章針對(duì)機(jī)械領(lǐng)域的計(jì)算多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)，從4.2節(jié)介紹系統(tǒng)位形描述方法開始，到建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)約束方程和動(dòng)