人教版(2023版)初中數(shù)學(xué)九年級上冊全冊同步練習(xí)+單元及期中期末測試合集(含答案)

目錄

第二十一章一元二次方程..........................................1

21.1一元二次方程............................................1

21.1一元二次方程答案.......................................3

21.2.1配方法................................................4

21.2.1配方法答案...........................................5

2.1.2.2.1一元二次方程根的判別式............................6

2.1.2.2.1一元二次方程根的判別式答案.......................8

21.2.2.2用公式法解一元二次方程.............................9

21.2.2.2用公式法解一元二次方程答案.......................10

21.2.3囚式分解法...........................................12

21.2.3因式分解法答案......................................14

*21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.......................15

*21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系答案.................16

21.3.1關(guān)于方案優(yōu)化、增長率問題的應(yīng)用題....................18

21.3.1關(guān)于方案優(yōu)化、增長率問題的應(yīng)用題答案..............20

21.3.2關(guān)于圖形問題的應(yīng)用題................................22

21.3.2關(guān)于圖形問題的應(yīng)用題答案...........................24

第二H^一章綜合訓(xùn)練...........................................25

第二十一章綜合訓(xùn)練答案......................................27

第二十二章二次函數(shù).............................................29

22.1.1二次函數(shù).............................................29

22.1.1二次函數(shù)答案........................................30

22.1.2二次函數(shù)y二ax?的圖象和性質(zhì)...........................31

22.1.2二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)答案....................34

22.1.3.1二次函數(shù)y=ax?+k的圖象和性質(zhì)......................36

22.1.3.1二次函數(shù)y=ax2+k的圖象和性質(zhì)答案................38

22.1.3.2二次函數(shù)y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的圖象和性質(zhì)....40

22.1.3.2二次函數(shù)y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的圖象和性質(zhì)答案42

22.1.4二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象和性質(zhì)....................44

22.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)答案...............46

22.2二次函數(shù)與一元二次方程................................48

22.2二次函數(shù)與一元二次方程答案...........................51

22.3.1實際問題與二次函數(shù)(1).............................53

22.3.1實際問題與二次函數(shù)(1)答案..........................55

22.3.2實際問題與二次函數(shù)(2).............................57

22.3.2實際問題與二次函數(shù)(2)答案.........................60

第二十二章綜合訓(xùn)練...........................................62

第二十二章綜合訓(xùn)練答案......................................65

第二十三章旋轉(zhuǎn)..............................................67

23.1.1圖形的旋轉(zhuǎn)...........................................67

23.1.1圖形的旋轉(zhuǎn)答案......................................70

23.1.2利用圖形的旋轉(zhuǎn)設(shè)計圖案..............................72

23.1.2利用圖形的旋轉(zhuǎn)設(shè)計圖案答案.........................74

23.2.1中心對稱.............................................75

23.2.1中心對稱答案........................................78

23.2.2中心對稱圖形.........................................80

23.2.2中心對稱圖形答案....................................82

23.2.3關(guān)于原點對稱的點的坐標..............................83

23.2.3關(guān)于原點對稱的點的坐標答案.........................85

23.3課題學(xué)習(xí)圖案設(shè)計.....................................87

23.3課題學(xué)習(xí)圖案設(shè)計答案...............................90

第二十三章綜合訓(xùn)練...........................................91

第二十三章綜合訓(xùn)練答案......................................95

第二十四章圓................................................97

24.1.1圓....................................................97

24.1.1圓答案.............................................100

24.1.2垂直于弦的直徑......................................102

24.1.2垂直于弦的直徑答案.................................104

24.1.3弧、弦、圓心角......................................106

24.1.3弧、弦、圓心角答案.................................108

24.1.4圓周角...............................................110

24.1.4圓周角答案.........................................113

24.2.1點和圓的位置關(guān)系....................................116

24.2.1點和圓的位置關(guān)系答案..............................118

24.2.2.1直線和圓的位置關(guān)系...............................119

24.2.2.1直線和圓的位置關(guān)系答案..........................121

24.2.2.2切線的判定和性質(zhì)................................123

24.2.2.2切線的判定和性質(zhì)答案...........................126

24.3正多邊形和圓..........................................129

24.3正多邊形和圓答案.....................................131

24.4.1弧長和扇形面積......................................133

24.4.1弧長和扇形面積答案.................................136

24.4.2圓錐的側(cè)面積和全面積...............................139

24.4.2圓錐的側(cè)面積和全面積答案..........................141

第二十四章綜合訓(xùn)練..........................................143

第二十四章綜合訓(xùn)練答案.....................................147

第二十五章概率初步.........................................150

25.1.1隨機事件.............................................150

25.1.1隨機事件答案........................................152

25.1.2概率.................................................153

25.1.2概率答案............................................155

25.2.1用列舉法或列表法求概率.............................156

25.2.1用列舉法或列表法求概率答案.......................158

25.2.2用樹狀圖法求概率...................................160

25.2.2用樹狀圖法求概率答案..............................162

25.3用頻率估計概率........................................164

25.3用頻率估計概率答案...................................166

第二十五章綜合訓(xùn)練..........................................168

第二十五章綜合訓(xùn)練答案.....................................171

期末綜合訓(xùn)練.................................................173

期末綜合訓(xùn)練答案...........................................178

第二十一章一元二次方程

21.1一元二次方程

一、能力提升

1.方程1?2（3心2）+。+1）=0的一般形式是（）

A.f-5x+5=08./+5工+5=0

CW+Sx-Su。D^T2+5=O

2.下列是方程3f+心2=0的解的是（）

A.x=-1Bu=l

C.x=-2Du=2

3.已知實數(shù)〃力滿足用3〃+1=0,戶36+1=0,則關(guān)于一元二次方程#-3x+l=0的根的說法

正確的是（）

A.x=a4=b都不是該方程的解

B.x=a是該方程的解不是該方程的解

C.尸a不是該方程的解尸。是該方程的解

D.x=a/=b都是該方程的解

4.（2021?山東聊城中考）關(guān)于x的方程f+4心:+23=4的一個解是-2,則左值為（）

A.2或4B.0或4

C?2或0D.-2或2

5.已知方程:f+]=y"\&-7爐=8爐+9=1,。-1）（1-2）=032—=6淇中一元二次方程的個數(shù)

為.

6.中國古代數(shù)學(xué)家楊輝的《田畝比數(shù)乘除捷法》中記載廣直田積八百六十四步,只云闊

不及長一十二步，問闊及長各幾步?''翻譯成數(shù)學(xué)問題是:一塊矩形田地的面積為864平方

步,它的寬比長少12步，問它的長與寬各多少步?利用方程思想，設(shè)寬為x步,則依題意列

方程為.（“步”是非標準計量單位）

7.小剛在寫作業(yè)時，一不小心，方程3爐?口45二0的一次項系數(shù)被墨水蓋住了，但從題目的

答案中，他知道方程的一個解為廣5,請你幫助小剛求出被覆蓋的數(shù).

8.根據(jù)下列問題，列出關(guān)于x的方程，并將其化成加+云+c=0（〃#0）的形式.

⑴兩個連續(xù)偶數(shù)的積為168,求較小的偶數(shù)不

⑵一個直角三角形的兩條直角邊的長的和是20,面積是25,求其中一條直角邊的長X

—1—

9.已知關(guān)于x的一元一次方程ajr^-bx+c=O,h.。力,c滿足■\/^1+（力-2）2+|4+〃+（?|=0,求滿足

條件的一元二次方程的表達式.

★10.已知a是方程f-x-l=0的一個根，求-/+2層+5021的值.

二、創(chuàng)新應(yīng)用

★11.某教學(xué)資料出現(xiàn)了一道這樣的題目:把方程32f=2化為一元二次方程的一般形式,

并寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.現(xiàn)在把上面的題目改編成下面的兩個小

題,請回答問題：

⑴下列式子中有哪些是方程￥孑二2化為一元二次方程的一般形式?.（填序

號）

=0,②*+x+2=0,③f-2尸4,④+2x+4=0,⑤-2岳-4百=0.

⑵方程#-x=2化為一元二次方程的一般形式后，它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)

項之間具有什么關(guān)系？

—2—

21.1一元二次方程答案

一、能力提升

l.A2.A3.D4.B

5.26.x(x+12)=864

7.解

x=5是關(guān)于JV的方程3^-ax-5=0的一個解，有3x52.5a?5=0,解得。=14,即被覆蓋的數(shù)是14.

8.解(l)x(x+2)=168,化成加+云+。=03#0)的形式為x2+2%-168=0.

(2*(20-x)=25,化成加+6工+。=0(^7^)的形式為x1-20x+50=0.

9.分析關(guān)鍵是理解算術(shù)平方根、完全平方數(shù)和絕對值的意義，即VH7>0,S-2)220,|a+0+c|20.

只有使各項都為0時，其和才為0.

__a-1=0,fa=1,

解由，Q-1+S-2)2+|〃+〃+C|=0,得b-2=0,解得，b=2,

a+b+c=0,(c=-3.

由于a是二次項系數(shù)力是一次項系數(shù),c是常數(shù)項，故所求方程的表達式為f+2x-3=0.

10.分析由方程根的定義可知々2y」=0,利用條件的變形對所求代數(shù)式中的字母逐漸降次不難求

得最后的結(jié)果.

解由方程根的定義知4%-1=0,

從而a1=a+\,a2-a=l,

故-/+2〃+5021

=-a2-a+2a2+5021

=a2-a+5021

=1+5021=5022.

二、創(chuàng)新應(yīng)用

11.解⑴①②④⑤；

⑵若設(shè)它的二次項系數(shù)為a(存0),則一次項系數(shù)為?2〃、常數(shù)項為-4a(或說:這個方程的二次項系

數(shù)??一次項系數(shù):常數(shù)項=1：(-2)；(-4)).

—3—

21.2.1配方法

一、能力提升

1.若將一元二次方程X2-8X-5=0化成(x+a)2=為常數(shù))的形式，則a,b的值分別是

()

A.-4,21B.-4J1C.4,21D.-8,69

2.一元二次方程產(chǎn)*=()配方后可化為()

人("丁=1B.(行)2=1

C(WD.(y.X

3.一個三角形的兩邊長分別為3和6,第三邊長是方程f-10x+21=0的根，則三角形的周

長為.

4.方程(X-3)2=(5X+2)2的解為.

5.若關(guān)于x的一元二次方程aF=Z?(4b>0)的兩個根分別是〃?+1與2機-4,則

6.對于4個數(shù)。力,c,d,定義一種新運算：°b二江慶,上述記號就叫做2階行列式.若

cd

x+1x-1

=6,則x-

1-x%4-1

7.用配方法解下列方程:

(1*+444=0;

(2)^+3x-18=0;

⑶2?-71+6=0.

★8.試說明:不論m為何值,關(guān)于工的方程(〃22-8〃2+17)%2+23+1=()都是一元二次方程.

二、創(chuàng)新應(yīng)用

★9.有n個方程+2X-8=0*+2X2X-8X22=0;..../+2以-8層=0.

小莉同學(xué)解第1個方程f+2x-8=0的步驟為:“①x2+2x=8;②f+2x+l=8+l⑥(x+l)2=9;

④x+1=±3;⑤x=l±3;@尸4X=2.”

⑴小莉的解法是從步驟開始出現(xiàn)錯誤的；

⑵用配方法解第〃個方程f+2以-8"=0.(用含〃的式子表示方程的根)

21.2.1配方法答案

一、能力提升

l.A2.B3.16

4.xi=->V2=7直接開平方，得x-3=壬(5x+2),

故x-3=5.r+2或x-3=-5.r-2,

解得為二

46

5.4由題意，得f=g(ab>0),.：x=￡g.：方程的兩個根互為相反數(shù),?:加+1+2m-4=0,解得m=1,則

一元二次方程o?二"出?>0)的兩個根分別是2與-2,

6.土電根據(jù)運算規(guī)則^|=ad-bc,

得|裝1第=(KD2Gl)(1㈤,

故(x+1)2-(x-1)(1-%)=6,解得x=±y/2.

7.解⑴移項，得f+4x=4,

配方，得f+4x+4=4+4,

即(“+2)2=8,

解得x+2=±2\f2.

故xi=-2+2>/2,

X2=-2-25/2.

⑵移項，得f+3x=18,

配方，得$+31+:=18+*即(x+5)=y,

解得x擊號.

故XI=3,X2=-6.

⑶原式可化為F夕=-3,

解得％一=當,

44

3

故XI=2,X2=-.

8.解因為“28〃+17=(陽-4)2+1>0,所以不論m為何值，關(guān)于x的方程(陽2-8帆+171+2阿什1=0都

是一元二次方程.

二、創(chuàng)新應(yīng)用

9.解⑴⑤

(2)移項，得《+2,比=8〃2,

配方，得J24-2/L￥+n2=8n2+/22,(x+n)2=9?2,

由此可得x+n=±3n,

解得汨=4/2=2〃.

—5—

2.1.2.2.1一元二次方程根的判別式

一、能力提升

1.若關(guān)于X的方程履26計9=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是()

Ahl,且#0B.kvl

C.AWl,且厚0D.ZW1

2.已知直線產(chǎn)x+a不經(jīng)過第二象限,則關(guān)于x的方程加+2x+l=0實數(shù)解的個數(shù)是()

A.0B.lC.2D.1或2

3.定義運算:///☆〃=〃源_〃2〃-1.例如:4☆2=4X22-4X2-1=7,則方程1☆x=0的根的情況為

()

A.有兩個不相等的實數(shù)根

B,有兩個相等的實數(shù)根

C.無實數(shù)根

D.只有一個實數(shù)根

4.若關(guān)于x的方程f+2岳?1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是()

A.Q-1B.Z2-1

C.k>[D.右0

5.已知關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根,則實數(shù)m的取值范圍

是.

6.已知關(guān)于x的一元二次方程(〃z-l)f+2x-l=0有兩個不相等的實數(shù)根，則相的取值范圍

是.

7.證明不論〃2為何值，關(guān)于x的方程2?-(4〃2-1)心/的=0總有兩個不相等的實數(shù)根.

★8.已知關(guān)于x的方程Ff+(2&-1比十1=0有兩個實數(shù)根，求k的取值范圍.

.已知口的兩邊ABAD的長是關(guān)于的方程f-mx+E；的兩個實數(shù)根.

9ABCOx2-4=0

—6—

⑴當相為何值時,四邊形ABCD是菱形?求出此時菱形的邊長;

(2)若AB的長為2,則口ABCD的周長是多少？

二、創(chuàng)新應(yīng)用

★10.己知關(guān)于x的一元二次方程36)f-8工+9=0有實數(shù)根.

⑴求。的最大整數(shù)值；

⑵當。取最大整數(shù)值時，求2A2-膏J的值.

X2-8x4-11

—7—

2.1.2.2.1一元二次方程根的判別式答案

一、能力提升

l.D2.D

3.A根據(jù)定義得,1☆x^-x-X=0,

:Z=l,8=-l,c=-l,

ZJ=Z>2-4t?c=(-l)2-4xlx(-l)=5>0,

?:原方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選A.

4.D由題意得｛晨駕dxlx(-1)>0,

解得上20.

S.rn^由關(guān)于x的一元二次方程2V2-4X+"Z-|=0有實數(shù)根，

知A=(-4)2-4x2x(/7?-|)=16-8,〃+1220,解得mW],故答案為mW：.

6m>0,且7nHi根據(jù)題意，得利-1和，且/=22-4(〃?-1)x(-1)>0,解得m>0,且

7.證明/>2-4ac=[-(4w-l)]2-4x2x(-/n2-w)=24wr+l>0,

因此不論〃7為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根.

8.解依題意有

[(2匕1)2-41X1>0,

U200,

解得k的取值范圍是攵運3且原0.

9.解(1)因為四邊形ABCO是菱形，

所以A8=AO.

又A=w2-4(y-=nr-2m+1=(m-1)2,

則當(電1)2=0,即m=\時,四邊形ABCO是菱形.

把rn=\代入爐-加什：-；=0,得f-x+；=0.

244

1

X\=X2=~.

即菱形A6C￡>的邊長是去

(2)把AB=2代入Pwir+f—1二。，得22-2///+^—；=0懈得m=^-.

24242

把用"代入f-mx+T—。=0,得fjx+l=0.解得%1=2^2=^.

22422

.,.AD^ABCD的周長是2x(2+i)=5.

二、創(chuàng)新應(yīng)用

10.解(1)因為關(guān)于x的一元二次方程(a-63?8x+9=0有實數(shù)根，所以a6和/=(-8)2-4x(a-6)x920,

解得aW冬且存6.

故。的最大整數(shù)值為7.

(2)因為x是一元二次方程d-8x+9=0的根，

所以f-8x=-9.

所以北-盤￡=源-瑞=*-16嗎=28倉)+92x(-9)+異學(xué)

—8—

21.2.2.2用公式法解一元二次方程

一、能力提升

1.若關(guān)于X的方程加-3?〃=0（存0）有解，則解為（）

2

A-b±y]b2-AacBc±y1c+4ab

A.x=-----------

2a-2b

C_-c±Jc2-4abhC±“2+4ab

D.x=------------

'―2b-2b

2.已知x=l是一元二次方程（〃z-2）f+4F〃a=o的一個根則m的值為（）

A.-1或2B.-lC.2D.O

3.若實數(shù)a,b滿足（々+4+。+加2=0,貝ij（a+h）2的值為（）

A.4B.1

C.2或1D.4或1

4.當x-時,多項式AT-2X-3的值等于12.

5.已知VQ-2+（C+3）2=O,則關(guān)于x的方程a3-x+c=O的兩根分別為.

6.有一張長方形的桌子，長為3m,寬為2m,長方形桌布的面積是桌面面積的2倍,且將桌

布鋪到桌面上時各邊垂下的長度相同，則桌布長為，寬為.

7.若關(guān)于x的一元二次方程加+樂+c=0中二次項系數(shù)與常數(shù)項之和等于一次項系數(shù)，則

方程必有一根為.

8.用公式法解方程：

（l）f+x-l=0;

（2）2X2=1-3X.

★9.已知關(guān)于x的方程的一個根為|,求它的另一個根及k的值.

二、創(chuàng)新應(yīng)用

★10.初三一數(shù)學(xué)興趣小組對關(guān)于x的方程（加+1）%*+1+（川-2）工-1二0提出了下列問題:

⑴是否存在m的值，使方程為一元二次方程?若存在，求出m的值,并解此方程；

⑵是否存在m的值，使方程為一元一次方程?若存在，求出m的值,并解此方程.

—9—

21.2.2.2用公式法解一元二次方程答案

一、能力提升

l.B2.B

3.D把看成一個整體，解得a+b=-2或a+b=l,所以(a+Z?)2的值為4或1.

4.5或-3

5.曾弓42=-1由題意，得Va-2=O,(c+3)2=O,即a=2,c=-3.則ar-x+c=O為2r-x-3=0.iXXa=2yb=-

l,c=-3力2-4ac=(-l)2-4x2x(-3)=25,得尸即x\=|^2=-1.

6.4m3m桌布的面積為3x2x2=12(0?).設(shè)垂下的長度為xm,則(3+2x)(2+2x)=12,解得

x=1(負根舍去).

故桌布的長為4m,寬為3m.

7.-1一元二次方程^和)的根有下列基本結(jié)論:若〃+b+c=0,則方程必有一根為1;若

a-b+c=0,則方程必有一^艮為-1.

8.解⑴由方程可得a=1力=1,c=-1,-4ac=1+4=5>0,

.-1±V5-l±>f5-1+V5

??-時二〒'即X,=-^2=—

⑵整理，得2?+3先1=0.

：Z=2/=3,c=-1^2-4ac=32-4x2x(-])=9+8=17>0,

.-3±V17-3±V170n-3+\Z17-3-\Z17

?~二^r=即汨

9.解把后代入2?+h10=0,得2x號+20=0,解得k=-\.

故原方程為2?-x-10=0.

:'a=2,b=-l,c=-10,

?tb2-4ac=(-l)2-4x2x(-10)=8L

?1±V811±9

??

X=2cx2c=4

..?Xi=5-^2=-2c.

答:它的另一根為-2,2的值為-1.

二、創(chuàng)新應(yīng)用

10.解⑴存在.

根據(jù)題意，得用2+1=2,

即/M2=l,m=±l,

當m=l時切+1=1+1=2#);

當m=-l時,〃?+1=-1+1=0(不合題意，舍去).

當，〃=1時,方程為Zr2*1=0.解得汨=1幽=-；?

因此，該方程是一元二次方程時,〃7=1.其兩根分別為xi=l口2=-；.

(2)存在.

根據(jù)題意,得①M+1=1,標=0,刑=o,

當m=0時,(〃?+1)+(怯2)=2”1=?1￥0,

故772=0滿足題意.

②當加+1=0時，加不存在.

—10—

③當加+1=0,即m=-l時，m-2=-3和，

故m=-l也滿足題意.

當m=Q時,一元一次方程是x-2x-l=0,解得x=-l.

當m=-\時，一元一次方程是-3x-l=0,解得

因此，該方程是一元一次方程時，m=0或〃尸-1,并且當〃『0時,其根為尸-1;當m=-1時,其根為

—11—

21.2.3因式分解法

一、能力提升

1.已知關(guān)于x的方程f+px+qu。的兩根為XI=3陽=-4,則二次三項式/+如+<7可分解為

()

A.(x+3)(x-4)B.(x-3)a+4)

C.(x+3)(x+4)D.(x-3)(x-4)

2.若分式手上的值為0,則x的值為()

A.1或-1B.-3或1

C.-3D.-3或-1

3.一個正方體的表面展開圖如圖所示,已知正方體相對兩個面上的數(shù)相同，則”★”面上的

數(shù)為()

A.1B.1或2

C.2D.2或3

4.用因式分解法解關(guān)于x的方程?-^-7=0時,將左邊分解后有一個因式為x+1,則m的

值為()

A.7B.-7C.6D.-6

5.已知關(guān)于x的方程x2+mx-2m=0的一個根為-1,則關(guān)于x的方程/-6m/=0的根為()

A.x=2Bu=0

Cxi=2^2=0D.以上答案都不對

6.已知一元二次方程的兩根分別是2和-3,則這個一元二次方程可以是.

7.己知關(guān)于x的一元二次方程族+5工+/-2m=0有一個根為0則m=.

8.對于實數(shù)。力,我們定義一種運算"※”為:a※力二信他，例如1※3=12”.若不※4=0,貝I」

x=.

9.用適當?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠?

(l)(2x+3)(2x-3)=l6;(2)3X2-5X+1=0.

—12—

10.小張和小林一起解方程M3x+2)-6(3x+2)=0.小張將方程左邊分解因式，得(3x+2)(x-

6尸0,所以3x+2=0或x-6=0.方程的兩個解為=6.小林的解法是這樣的:移項，得

x(3x+2)=6(3x+2),方程兩邊都除以(3x+2),得x=6.

小林說廣我的方法多簡便!''可另一個解工尸彳哪里去了?你能解開這個謎嗎？

★11.在因式分解中，有一類形如幺+(〃什聯(lián)葉加2的多項式，其常數(shù)項是兩個因數(shù)的積，而

它的一次項系數(shù)恰是這兩個因數(shù)的和，則我們可以把它分解成

a+(川+〃比+加〃=(x+m)(x+〃),例如f+5x+6=f+(2+3)x+2x3=(x+2)a+3):f?5x-6=x2+(l?

6)x+lx(-6)=(x+l)(x-6).

根據(jù)上面的材料,用因式分解法解下列方程.

(l)x2+3x+2=0;(2)f-2x-3=0.

二、創(chuàng)新應(yīng)用

★12.閱讀下面提供的內(nèi)容：

已知關(guān)于x的方程加+法+c=0(。和)滿足a+b+c=0,求證:它的兩根分別是xi=U2=".

a

證明：：Z+b+c=0,?:。=-4-6.將其代入加+法+廣。,得加+灰-。-6=0,即〃4⑴+以工-

l)=0,(x-l)(av+a+b)=0,?：％1=142=?=

⑴請利用上面推導(dǎo)出來的結(jié)論,快金求3下列方程：

①5f-4x-1=0JI=A2=;

②信a+1=O?X1=rX2=;

③f?(V5-1)x-2+V2=0,xi=,X2=____;

2

(4)(6z-Z?)x+(Z?-c)x+c-tz=0(a^0)rri=m.

⑵請你寫出3個一元二次方程,使它們都有一個根是x=l.

—13—

21.2.3因式分解法答案

一、能力提升

1.B

2.C由題意，得產(chǎn):t2X；3="解得x=?3.注意:分式的值為零的條件是分子等于零且分母不等

H0,

于零.

3.D要熟悉正方體的II種展開圖,由題意，得d與3x-2相等,于是有f=3x-2,解得

XI=1^2=2.*=X+1=2或3.

故選D.

4.C由題意可得x+1=0,則戶?1,即方程x1-mx-l=0有一個解為-1.因此(?1y加x(-l)-7=0.故m=6.

5.C:弟+爾-2陽=0的一個根為-1,,：(?l)2-/w-2m=0,得機W.?:方程*-6蛆=0即為PZruO,解得

xi=2^2=0.

6.如f+不6=0等因為方程的兩根分別是2和-3,所以滿足。-2)。+3)=0,即x2+x-6=0.

7.2

8.0或4：2※。=/-出?,.*※4=爐41=0,解得x=0或x=4.

9.解⑴原方程可變形為4f-9=16,4f=25f二名,解得廣一，

42

即Xl=|^2=-1.

⑵：Z=3,b=-5,c=l,

/_4〃C=(-5)2-4x3xl=25-12=13,

,5±>/135±Vl3

??X=--=—7—,

10.解小林忽略了3x+2可能為0的情況，等式兩邊不能同時除以一個等于零的整式.

11.解⑴：＜+3x+2

=?+(l+2)x+lx2

=(x+l)(x+2)=0,

Zx+1=0或x+2=0.

?：的=-1/2=-2.

⑵：f?2x-3

=r+(-3+1)x+lx(-3)

=(x+l)(x-3)=0,

Zx+1=0或x-3=0.

.*X|=-1^2=3-

二、創(chuàng)新應(yīng)用

12.⑴①1』②1J③1-2+V2@1耳

52Q-b

⑵答案不唯一，如：49-5x+l=0,3f-2x-l=0f-3x+2=0.

—14—

*21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

一、能力提升

1.若關(guān)于x的方程及+3+”。的兩個根是-2和1,則短"的值為()

A.-8B.8C.16D.-16

2.若X1K2是方程〃落加-1=0的兩個根，且X1+X2=1-XIX2,則用的值為()

A.-1或2B.1或-2

C.-2D.1

3.(2021?四川宜賓中考)若m,n是一元二次方程f+3心9=0的兩個根，則〃。+4加+〃的值是

()

A.4B.5C.6D.12

4.已知關(guān)于x的方程/-(〃+如+而-1=()加刀是此方程的兩個實數(shù)根,現(xiàn)給出三個結(jié)論:①

X\i=X2；?X\X2<ah\?xl+X2V.2+力2貝|J正確結(jié)論的序號是

5.在解一元二次方程f+"+cR時，小明看錯了一次項系數(shù)瓦得到的解為加=2用=3；小

剛看錯了常數(shù)項得到的解為XI=1K2=4.請你寫出正確的一元二次方程.

6.已知U2為方程x2+3x+l=0的兩個實數(shù)根，則稻+8x2+20=.

7.已知關(guān)于x的方程x2+(2A:-l)x+A2-l=0有兩個實數(shù)根處42.

⑴求實數(shù)々的取值范圍；

⑵若X1/2滿足*+據(jù)=16+XLX2,求實數(shù)出的值.

★8.若實數(shù)加小2滿足好-3x1+1=0,詔-3x2+1=0,求之+口的值.

X1x2

二、創(chuàng)新應(yīng)用

★9.如圖，菱形ABCD的邊長是5,兩條對角線交于點。，且OA,OB的長分別是關(guān)于x的方

Sx1+(2m-1)x+tn2+3=0的根，求陽的值.

—15—

*21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系答案

一、能力提升

1.C:'關(guān)于工的方程源+g+片。的兩個根是?2和1,

?m_1n_o

..-j-l,--2,

.*771=2,zz=-4,

.:肥=(-4)2=16.故選C.

2.DJ2是方程『-2蛆+m2-〃?-1=0的兩個根內(nèi)+不2=2m內(nèi)1.

Vx\+X2=\-X\X2y

?：2，〃=1-(m2-〃?-1),即+忖2=(6+2)(加-1)=0,解得/〃]=2m2=1.由方程/以點+機2-“-1=0有實數(shù)

根，

得/=(-2m)2-4(62-m_[)=4/"+4,0,解得

故加=1.故.選D.

3.CTm為f+349=0的實數(shù)根,?：*+3”9=0.

?:川+3切=9.

：“〃?,〃為方程x2+3x-9=0的兩個根，?：〃什〃=-3.

；.+4〃?+〃=(陽2+3川)+(加+n)=9-3=6.

4.0@4=(a+b)2-4(a加1)=。2+/-%。+4=3-份2+4>0,則(1)成立；

:*x\X2=ab-\Ai+X2=a+b,

?\x1X2=ab-\<心，②成立；

+超=(X]+X2)2-2xlX2=(a+與2-2(4〃-1)=々2+62+2>02+力2,故③不成立.

5.f-5x+6=0

6.-1由X],2是方程f+3x+1=0的兩實數(shù)根，

可知xi+j2=-3,Xi+3X1+1=0,即xf=-3xi-l.

因上匕為；+8x2+20

=rf-xi+8x1+20

=(-3xi-l)xi+8x2+20

=-3xi-xi+8x2+20

=9xi+3-xi+8x2+20

=8x1+8x2+23

=-24+23=/.

7.解⑴關(guān)于x的方程f+(2hl)x+2-1=0有兩個實數(shù)根為j2,/=(2hl)2-4(2-l)=-4〃+520,解得

&W，實數(shù)Z的取值范圍為

(2)關(guān)于x的方程f+(2k-1)x+3-1=0有兩個實數(shù)根xiM/i+X2=1-2k^c\X2=lc-\.

:'*+底=(即+工2)2-2￥武2=16+即12,?：(1-24)2-2(正-1)=16+(正-1),即F?4hl2=0,解得k=-2或々=6(不

符合題意,舍去).故實數(shù)左的值為-2.

8.解當X#X2時,XI/2是方程f-3x+1=0的兩根，有X]+X2=3RX2=1.

故名I11_君+/_(42+*1)2-2"1"2_32.2x1=7

XiX2X\X2X\X21

當％E時，原式=1+1=2.

綜上，原式的值是7或2.

二、創(chuàng)新應(yīng)用

9.分析將直角三角形中的勾股定理、完全平方式的基本變形以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

結(jié)合起來求解.

解因為QAQ5的長是關(guān)于x的方程/+(2加-1)工+病+3=0的兩個實數(shù)根，所以。A+O5=l-2見

O\OB=nf+3.

在菱形ABC。中，

O.^+OB2=AB2,

(OA+OB)2-2OAOB=AB2,

即(1-2⑼2-2(療+3)=25,

化簡得nr-2m-15=0.

解得7Mi=5,7M2=-3.

而方程有兩實數(shù)根，

則tr-4ac=(2m-1)2-4(w2+3)5=0.

從而可知加

4

因此m=5不合題意,舍去.

故m=-3.

—17—

21.3.1關(guān)于方案優(yōu)化、增長率問題的應(yīng)用題

一、能力提升

1.在一次酒會上，每兩人都只碰一次杯，若一共碰杯55次，則參加酒會的人數(shù)為()

A.9B.10C.llD.12

2.若兩個連續(xù)整數(shù)的積是56,則它們的和是()

A.±\5B.15C.-15D.11

3.(2021?廣西貴港中考)某蔬菜種植基地2018年的蔬菜產(chǎn)量為800噸,2020年的蔬菜產(chǎn)量

為968噸，設(shè)每年蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率都為",則年平均增長率x應(yīng)滿足的方程為

()

A.800(1-X)2=968B.800(1+X)2=968

C.968(1-X)2=800D.968(1+X)2=800

4.某商場將進價為2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8臺,為了增加銷售

量，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施調(diào)查表明:這種冰箱的售價每降低50元,平均每天就能

多售出4臺.商場要想在這種冰箱銷售中每天盈利4800元，同時又要使百姓得到實惠，每

臺冰箱應(yīng)降價元.

5.小麗為校合唱隊購買某種服裝時，商店經(jīng)理給出了如下優(yōu)惠條件,若一次性購買不超過

10件，則單價為80元;若一次性購買多于10件，則每增加1件，購買的所有服裝的單價降

低2元，但單價不得低于50元,按比優(yōu)惠條件，小麗一次性購買這種服裝付了1200元，請

問她購買了多少件這種服裝？

6.去年某商店“十一黃金周”進行促銷活動期間，前六天的總營業(yè)額為450萬元，第七天的

營業(yè)額是前六天總營業(yè)額的12%.

⑴求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額；

⑵去年該商店7月份的營業(yè)額為350萬元,8、9月份營業(yè)額的月增長率相同，“十一黃金

周”這七天的總營業(yè)額與9月份的營業(yè)額相等.求該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長

率.

—18—

7.某種電腦病毒傳播非?？?，若一臺電腦被感染，則經(jīng)過兩輪感染后就會有81臺電腦被

感染.請你用學(xué)過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦?若病毒得不到

有效控制,3輪感染后，被感染的電腦會不會超過700臺？

★8.”低碳生活，綠色出行二自行車正逐漸成為人們喜愛的交通工具.某運動商城的自行車

銷售量逐月增加，據(jù)統(tǒng)計,該商城1月份銷售自行車64輛,3月份銷售了100輛.

⑴若該商城前4個月的自行車銷售的月平均增長率相同，則該商城4月份賣出多少輛自

行車？

⑵考慮到自行車需求不斷增加，該商城準備投入3萬元再購進一批兩種規(guī)格的自行車，

已知A型自行車的進價為500元輛,售價為700元/輛,B型自行車的進價為1000元/輛,

售價為1300元/輛.根據(jù)銷售經(jīng)驗,A型自行車不少于B型自行車的2倍，但不超過B型

自行車的2.8倍.假設(shè)所進自行車全部售完，為使利潤最大,該商城應(yīng)如何進貨？

二、創(chuàng)新應(yīng)用

★9.某旅行社為吸引市民組團去日風(fēng)景區(qū)旅游，推出了如下收費標準:

^^^/如果人數(shù)不超過25人，那么

r人均旅游費而為loop元.

如果人數(shù)超過25人，那么

每增加1人，人均旅游費

川降低20元，但人均旅浙

費用不得低于700元.

某單位組織員工去甲風(fēng)景區(qū)旅游，共支付給旅行社旅游費用27000元.請問該單位這次

共有多少員工去甲風(fēng)景區(qū)旅游？

—19—

21.3.1關(guān)于方案優(yōu)化,增長率問題的應(yīng)用題答案

一、能力提升

1.C設(shè)參加酒會的人數(shù)為X,根據(jù)題意，得)(41)=55,

整理，得f-x-110=0,

解得k=11足=-10(不合題意，舍去).

故參加酒會的人數(shù)為11人.

故選C.

2.A設(shè)兩個連續(xù)的整數(shù)分別是由題意得x(x+l)=56,解得XI=7^2=-8.

3.B

4.200設(shè)每臺冰箱應(yīng)降價x元，

根據(jù)題意得

(8+?x4)(400-x)=4800,

解得xi=10042=200.

所以使百姓得到實惠，每臺冰箱應(yīng)降價200元.

5.解因為80x10=800(元)VI200元，

所以小麗買的服裝數(shù)大于10件.

設(shè)她購買了x件這種服裝，根據(jù)題意得M80-2(XJ0)]=1200.解得即=20/2=30.

因為1200^30=40<50,

所以12=30不合題意,舍去.

答:她購買了20件這種服裝.

6.解(1)450+450x12%=504(萬元).

答:該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額為504萬元.

⑵設(shè)該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率為國

依題意，得350(1+X)2=504,

解得K=O.2=2O%42=22(不合題意，舍去).

答:該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率為20%.

7.解設(shè)每輪感染中平均每一臺電腦會感染x臺電腦,依題意，得l+x+(l+x)X=81.

(1+X)2=81.

x+1=9或x+\=-9.

解得由=8死=-10(舍去).

(1+4=(1+8)3=729>700.

答:每輪感染中平均每一臺電腦會感柒8臺電腦,3輪感染后,被感染的電腦會超過700臺.

8.解(1)設(shè)前4個月自行車銷量的月平均增長率為蒼

根據(jù)題意列方程，得64(1+X)2=100,

解得汨=-225%(不合題意，舍去)/2=25%.

100x(1+25%)=125(輛).

答:該商城4月份賣出125輛自行車.

⑵設(shè)進B型自行車x輛，則進A型自行車輛,

根據(jù)題意，得

2V

儼°°弁°°飛2.阮

—20—

解得12.5W」W15,

因為自行車輛數(shù)為整數(shù)，

所以13WxWI5,銷售利泗W=(700-500)x型&黑咄+(1300-1000)x

整理得IV=-10Qr+12000.

因為卬隨著工的增大而減小，

所以當x=13時，銷售利潤W有最大值，

所以該商城應(yīng)進A型自行車34輛,B型自行車13輛.

二、創(chuàng)新應(yīng)用

9.解設(shè)該單位這次共有x名員工去甲風(fēng)景區(qū)旅游.

因為1000x25=25000<27000,

所以員工人數(shù)一定超過25人.

可得方程［1000-20(心25)匕=27000.

整理，得f-75x+l350=0,

解得xi=45/2=30.

當x=45時,1000?20(x?25)=600<700,故舍去；

當x=30時，1000?20(*25)=900>700,符合題意.

答:該單位這次共有30名員工去甲風(fēng)景區(qū)旅游.

—21—

21.3.2關(guān)于圖形問題的應(yīng)用題

一、能力提升

1.如圖，把一塊長為40cm,寬為30cm的矩形硬紙板的四角剪去四個相同的小正方形，然

后把紙板的四邊沿虛線折起，并用膠帶粘好，即可做成一個無蓋紙盒.若該無蓋紙盒的底

面積為600cm)設(shè)剪去小正方形的邊長為xcm,則可列方程為()

A.(30-2x)(40-x)=600B.(30-x)(40-x)=60