2024成都中考數(shù)學B卷專項強化訓練十三 (含答案)

2024成都中考B卷專項強化訓練十三班級：________姓名：________得分：________(滿分：50分)一、填空題(本大題共5個小題，每小題4分，共20分)19.若eq\r(5)＝2.236，則eq\r(20)＝________．(精確到0.01)20.已知關(guān)于x的方程kx2－2x＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的最大整數(shù)值是________．21.現(xiàn)有4張卡片，正面分別書寫的是“冰化成水”“酒精燃燒”“鐵棒成針”“牛奶變酸”四種不同的變化，它們除卡片上的字不同之外完全相同，把這4張卡片背面朝上洗勻，從中隨機抽取兩張，則這兩張卡片呈現(xiàn)的變化都是物理變化的概率是________．22.對于平面直角坐標系xOy中的點P和⊙O，給出如下的定義：若⊙O上存在兩點A，B，使得∠APB＝90°，則稱點P為⊙O的“關(guān)聯(lián)點”．已知點D(eq\f(1,2)，eq\f(1,2))，E(0，－eq\r(2))，F(xiàn)(2eq\r(3)，0)．當⊙O的半徑為1時，在點D，E，F(xiàn)中，⊙O的“關(guān)聯(lián)點”是________．23.如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，動點E從點B出發(fā)沿BA以1個單位/秒的速度向點A運動，同時，動點F從點B出發(fā)，以相同的速度沿AB的延長線運動，當點E到達點A時，它們同時停止運動，CE與DF交于點G.設(shè)點E的運動時間為t秒，則當t＝________秒時，DG＝DC；當點E運動到點A時，點G運動路徑長為________．第23題圖二、解答題(本大題共3個小題，共30分)24.(本小題滿分8分)如圖①，一個圓形噴水池的中央豎直安裝了一個柱形噴水裝置OA，A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，按如圖所示的平面直角坐標系，水流噴出的高度y(m)與水平距離x(m)之間的關(guān)系式是y＝－x2＋2x＋eq\f(7,4)(x≥0)．(1)柱子OA的高度是多少米？若不計其他因素，水池的半徑至少為多少米時，才能使噴出的水流不至于落在水池外？(2)如圖②，為了吸引更多的游客前來參觀游玩，準備在水池的邊緣增設(shè)彩光燈，彩光燈的底座為Rt△BCD，其中BC邊在地面上，點C離柱子的距離為2.1m，∠CBD＝90°，燈孔P在CD邊上，燈孔P離地面的距離為eq\f(1,2)m．若水流恰好落在燈孔P處，求tan∠DCB的值．圖①圖②第24題圖25.(本小題滿分10分)如圖，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝α°，AB＝AC，AD＝AE，連接BE.點M，N，P分別為DE，BE，BC的中點．(1)當α＝120時：①觀察猜想：圖①中，點D，E分別在邊AB，AC上，線段NM，NP的數(shù)量關(guān)系是________，∠MNP的大小為________；②探究證明：把△ADE繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置，連接MP，BD，CE，求證：∠ABD＝∠ACE；③在②的條件下，如圖②，求證：△MPN是等邊三角形；(2)拓展延伸：當α＝90時，AB＝AC＝10，AD＝AE＝6，把△ADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，如圖③，請求出△MNP面積的最大值．圖①圖②圖③第25題圖26.(本小題滿分12分)如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA，OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，O為坐標原點，A，B兩點的坐標分別為(－3，0)，(0，4)，拋物線y＝eq\f(2,3)x2＋bx＋c經(jīng)過點B，且頂點在直線x＝eq\f(5,2)上．(1)求拋物線對應的函數(shù)表達式；(2)若△DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的，當四邊形ABCD是菱形時，試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由；(3)在(2)的條件下，若點F與點D關(guān)于y軸對稱，過點F作直線GF交拋物線于點H，M.點H在點M左側(cè)，連接GD，DM，HD.設(shè)直線GF的表達式為y＝kx＋b，是否存在實數(shù)k，使得△GHD與△DGM相似？若存在，請求出k值以及△DHM的面積；若不存在，請說明理由．第26題圖

參考答案與解析19.4.47【解析】eq\r(20)＝eq\r(5×4)＝2eq\r(5)，∵eq\r(5)＝2.236，∴eq\r(20)＝2eq\r(5)＝2×2.236＝4.472≈4.47.20.－1【解析】∵關(guān)于x的方程kx2－2x＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ＞0且k≠0，即Δ＝(－2)2－4k＞0且k≠0，∴k＜1且k≠0，∴k的最大整數(shù)值為－1.21.eq\f(1,6)【解析】把4張卡片“冰化成水”“酒精燃燒”“鐵棒成針”“牛奶變酸”依次記為A，B，C，D，其中物理變化為A，C，畫樹狀圖如解圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中兩張卡片呈現(xiàn)的變化都是物理變化的結(jié)果有2種，即AC，CA，∴從中隨機抽取兩張，兩張卡片呈現(xiàn)的變化都是物理變化的概率是eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).第21題解圖22.點D，E【解析】如解圖，過點E作⊙O的切線，設(shè)切點為R，∵⊙O的半徑為1，∴RO＝1.∵EO＝eq\r(2)，∴∠OER＝45°，根據(jù)切線長定理得出⊙O的左側(cè)還有一個切點，使得組成的角等于45°，∴點E是⊙O的“關(guān)聯(lián)點”．∵D(eq\f(1,2)，eq\f(1,2))，E(0，－eq\r(2))，F(xiàn)(2eq\r(3)，0)，∴OF＞EO，在⊙O上不可能找到兩點與點F的連線的夾角等于90°，∴點F不是⊙O的“關(guān)聯(lián)點”．∵DO＜EO，在⊙O上能找到兩點與點D的連線的夾角等于90°，∴點D一定是⊙O的“關(guān)聯(lián)點”，∴在點D，E，F(xiàn)中，⊙O的“關(guān)聯(lián)點”是點D，E.第22題解圖23.eq\f(8,3)；eq\f(4\r(7),3)【解析】當DG＝DC時，如解圖①，過點D作DH⊥AF，交FA的延長線于點H，由題意可得BE＝BF＝t.∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴△EFG∽△CDG，∴eq\f(EF,CD)＝eq\f(FG,DG)，∴eq\f(2t,4)＝eq\f(FG,4)，∴FG＝2t.在Rt△ADH中，∵∠DAH＝∠ABC＝60°，∴∠ADH＝30°，∴AH＝eq\f(1,2)AD＝2，DH＝2eq\r(3).在Rt△FDH中，由勾股定理得DH2＋HF2＝DF2，即(2eq\r(3))2＋(6＋t)2＝(4＋2t)2，解得t＝eq\f(8,3)或t＝－4(舍去)，∴當t＝eq\f(8,3)時，DG＝DC；如解圖①，連接BG并延長交CD于點M，∵AB∥CD，∴eq\f(CM,BE)＝eq\f(CG,GE)＝eq\f(CD,EF)，∴eq\f(CM,BE)＝eq\f(4,2BE)，∴CM＝2，∴直線BG始終經(jīng)過定點M，點G的運動路徑為一條線段．由題意可得，當點E到達點A時點G的運動路徑長最大，如解圖②，過點G作GN⊥AB于點N，連接BG.∵AB∥CD，∴eq\f(CG,AG)＝eq\f(CD,AF)＝eq\f(1,2)，∴AG＝eq\f(2,3)AC.∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝AB＝4，∴AG＝eq\f(8,3).在Rt△AGN中，AN＝eq\f(1,2)AG＝eq\f(4,3)，GN＝eq\f(4\r(3),3)，在Rt△BGN中，BN＝AB－AN＝eq\f(8,3)，∴BG＝eq\r(GN2＋BN2)＝eq\f(4\r(7),3)，∴點G運動路徑長為eq\f(4\r(7),3).圖①圖②第23題解圖24.解：(1)∵當x＝0時，y＝eq\f(7,4)，∴柱子OA的高度為eq\f(7,4)m；在y＝－x2＋2x＋eq\f(7,4)中，當y＝0時，即－x2＋2x＋eq\f(7,4)＝0，解得x1＝eq\f(\r(11),2)＋1，x2＝1－eq\f(\r(11),2).又∵x≥0，∴x＝eq\f(\r(11),2)＋1，∴水池的半徑至少為(eq\f(\r(11),2)＋1)m時才能使噴出的水流不至于落在水池外；(2)根據(jù)題意，當y＝eq\f(1,2)時，即－x2＋2x＋eq\f(7,4)＝eq\f(1,2)，解得x1＝eq\f(5,2)，x2＝－eq\f(1,2)(舍去)，∴tan∠DCB＝eq\f(\f(1,2),\f(5,2)－2.1)＝eq\f(5,4).25.(1)解：①NM＝NP，60°；【解法提示】∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE.∵點M，N，P分別為DE，BE，BC的中點，∴MN是△BED的中位線，PN是△BCE的中位線，∴MN＝eq\f(1,2)BD，PN＝eq\f(1,2)CE，MN∥AB，PN∥AC，∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBA，∠ENP＝∠AEB，∴∠ENM＋∠ENP＝∠EBA＋∠AEB.∵∠ABE＋∠AEB＝180°－∠BAE＝180°－120°＝60°，∴∠MNP＝60°.②證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BAD＝∠CAE.∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ABD＝∠ACE；③證明：∵△ABD≌△ACE，∴BD＝CE.∵點M，N，P分別為DE，BE，BC的中點，∴MN是△BED的中位線，PN是△BCE的中位線，∴MN＝eq\f(1,2)BD，PN＝eq\f(1,2)CE，MN∥BD，PN∥CE，∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBD，∠BPN＝∠BCE，∴∠ENP＝∠NBP＋∠BPN＝∠NBP＋∠BCE.∵∠EBD＝∠ABD＋∠ABE＝∠ACE＋∠ABE，∴∠MNP＝∠ENM＋∠ENP＝∠ACE＋∠ABE＋∠NBP＋∠BCE＝180°－∠BAC＝180°－120°＝60°，∴△MPN是等邊三角形；(2)解：如解圖，連接BD，由題意得：BD≤AB＋AD，即BD≤16，同(1)得MN＝eq\f(1,2)BD，MN＝PN，∠MNP＝90°，∴MN≤8，△MNP是等腰直角三角形，∴S△MNP＝eq\f(1,2)MN2，∴當MN＝8時，S△MNP最大，此時，S△MNP＝eq\f(1,2)MN2＝eq\f(1,2)×82＝32，∴△MNP面積的最大值為32.第25題解圖26.解：(1)∵y＝eq\f(2,3)x2＋bx＋c的頂點在直線x＝eq\f(5,2)上，∴可設(shè)所求拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝eq\f(2,3)(x－eq\f(5,2))2＋m.∵點B(0，4)在該拋物線上，∴4＝eq\f(2,3)(0－eq\f(5,2))2＋m，解得m＝－eq\f(1,6)，∴拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝eq\f(2,3)(x－eq\f(5,2))2－eq\f(1,6)＝eq\f(2,3)x2－eq\f(10,3)x＋4；(2)點C和點D在該拋物線上．理由如下：在Rt△ABO中，OA＝3，OB＝4，∴AB＝5.∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝DA＝AB＝5.∵A，B兩點的坐標分別為(－3，0)，(0，4)，∴C，D兩點的坐標分別是(5，4)，(2，0)，當x＝5時，y＝eq\f(2,3)×52－eq\f(10,3)×5＋4＝4;當x＝2時，y＝eq\f(2,3)×22－eq\f(10,3)×2＋4＝0，∴點C和點D在該拋物線上；(3)存在，k＝eq\f(2,3).理由如下：∵D(2，0)，由對稱得F(－2，0)，設(shè)直線GF的表達式為y＝kx＋b，代入點F，得－2k＋b＝0，即b＝2k，∴G(0，2k)；當直線與拋物線相交時，設(shè)H(x1，y1)，M(x2，y2)，則H(x1，kx1＋2k)，M(x2，kx2＋2k)，令eq\f(2,3)x2－eq\f(10,3)x＋4＝kx＋2k，整理得，2x2－(10＋3k)x＋12－6k＝0，①∴Δ＝(10＋3k)2－8(12－6k)>0，解得x<－6－eq\f(8\r(5),3)或x>eq\f(8\r(5),3)－6.∵x1，x2是方程①的解，∴由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝eq\f(10＋3k,2)，x1x2＝6－3k.當△GHD與△DGM相似時，分兩種情況討論．①△GHD∽△GMD，則點H，M重合，不符合題意；②△GHD∽△GDM，則GD2＝GH·GM，∵G(0，2k)，D(2，0)，H(x1，kx1＋2k)，M(x2，kx2＋2k)，∴4＋4k2＝eq\r(x12＋（kx1）2)·eq\r(x22＋（kx2）2)，整理，得4(1＋k2)＝(1＋k2)x1