2024-2025學(xué)年江蘇省南京一中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年江蘇省南京一中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.拋物線y=x2的焦點坐標(biāo)為(

)A.(12,0) B.(0,12)2.已知直線l1：3x+ay+1=0，l2：(a+2)x+y+a=0.當(dāng)l1//l2A.1 B.?3 C.?3或1 D.?3.已知f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若lim?→0f(2+?)?f(2)2?=1A.?1 B.?14 C.1 4.我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈(

)A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞5.已知兩個等差數(shù)列2，6，10，…及2，8，14，…，100，將這兩個等差數(shù)列的公共項按從小到大的順序組成一個新數(shù)列{an}，則數(shù)列{aA.438 B.450 C.254 D.2786.橢圓x24+y29=1上任意一點A.455 B.5 C.7.若曲線y=x3與直線y=3ax+2有3個不同的交點，則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.(?∞,1) B.(?1,1) C.(1,+∞) D.(2,+∞)8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C的圓心在直線x?y+22=0上，半徑為1，點A(3,0).若圓C上存在點M，滿足|MA|=2|MO|，則點C的橫坐標(biāo)的取值范圍是A.(?∞,0] B.[?1?22,0] C.[0,1+2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.如圖是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象，則(

)A.在x=?2時，函數(shù)y=f(x)取得極值

B.在x=1時，函數(shù)y=f(x)取得極值

C.y=f(x)的圖象在x=0處切線的斜率小于零

D.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(?2,2)上單調(diào)遞增10.已知實數(shù)x，y滿足y=?x2A.2x+1的最小值為?5 B.x2+y2的最大值為9

C.yx的最大值為11.已知數(shù)列{an}滿足an+1=aA.an+1<3an B.{an}三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且?n∈N?，an>an+113.若雙曲線x2a214.已知直線y=kx+b(k,b∈R)與曲線f(x)=e2x?x相切，則k+b四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S3=14，S6=126．

(1)求{an16.(本小題12分)

已知圓C過點A(1,?1)，且與圓O：x2+y2=100相切于點B(8,6)．

(1)求圓C的方程；

(2)設(shè)直線l過點P(32,0)，且與圓C交于M17.(本小題12分)

已知數(shù)列{an+1?an}是首項為4，公差為2的等差數(shù)列，且a1=2．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

18.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=x2+alnx，a∈R．

(1)若曲線f(x)在x=1處的切線與直線2x+3y+1=0垂直，求a的值；

(2)討論f(x)的單調(diào)性；

(3)當(dāng)x∈[1e,e]19.(本小題12分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=3x，且過點(2,3).設(shè)A，B分別是C的左、右頂點，M，N是C的右支上異于點B的兩點．

(1)求C的方程；

(2)若直線MN過點P(3,0)，且MN的斜率為2，求||MP|?|PN||的值；

(3)設(shè)直線AM，參考答案1.D

2.B

3.C

4.B

5.B

6.A

7.C

8.B

9.AD

10.ABD

11.BCD

12.6?n(答案不唯一)

13.1+14.e215.解：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，

因為S3=14，S6=126，所以a4+a5+a6=S6?S3=112，

因為S3=a1+a2+a3=14，則a4+a5+a6=(a1+a2+a3)q3，

即112=14q3，解得q16.解：(1)(方法一)設(shè)圓心C(a,b)，由題意得CA=CB，kOC=kOB=34，

所以(a?1)2+(b+1)2=(a?8)2+(b?6)2，且ba=34，

解得a=4，b=3，即圓心C(4,3)，

所以半徑r=CA=(4?1)2+(3+1)2=5，

所以圓C的方程為(x?4)2+(y?3)2=25．

(方法二)因為圓C與圓O相切于點B，所以C，O，B三點共線，

因為kOB=34，所以O(shè)B的方程為y=34x．

因為kAB=6+18?1=1，所以AB的中垂線斜率為?1，

又AB的中點為(92,52)，所以AB的中垂線方程為y?52=?(x?92)，即y=?x+7．

由y=34x,y=?x+7,解得x=4,y=3,即圓心C(4,3)，

所以半徑r=CA=17.解：(1)因為{an+1?an}是首項為4，公差為2的等差數(shù)列，

所以an+1?an=4+2(n?1)=2n+2．

由a2?a1=4，a3?a2=6，…，an?an?1=2n(n≥2)，

將以上式子左右分別相加得：an?a1=4+6+...+2n，

又因為a1=2，所以當(dāng)n≥2時，an=2+4+6+...+2n=n(2+2n)2=n2+n，

又因為a18.解：(1)∵f(x)=x2+alnx，∴f′(x)=2x+ax，

∴f′(1)=2+a，

又f(x)在x=1處的切線與直線2x+3y+1=0垂直，∴f′(1)?(?23)=?1，

即2+a=32，∴a=?12．

(2)f′(x)=2x+ax=2x2+ax，x>0．

①當(dāng)a≥0時，f′(x)>0，∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增．

②當(dāng)a<0時，令f′(x)=0，得x=?a2．

當(dāng)x∈(0,?a2)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(?a2,+∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．

綜上，當(dāng)a≥0時，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<0時，f(x)在(0,?a2)上單調(diào)遞減，在(?a2,+∞)上單調(diào)遞增．

(3)由f(x)≥(a+2)x，得a(x?lnx)≤x2?2x在[1e,e]上恒成立．

令g(x)=x?lnx，x>0，則g′(x)=1?1x=x?1x，令g′(x)=0，得x=1，

當(dāng)x∈(0,1)時，g′(x)<0，當(dāng)x∈(1,+∞)時，g′(x)>0，

∴g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，

∴g(x)≥g(1)=1>0，即x?lnx>0，

則a≤x219.解：(1)因為雙曲線C的一條漸近線方程為y=3x，且過點(2,3)，

所以ba=34a2?9b2=1，

解得a=1b=3，

則雙曲線C的方程為x2?y23=1；

(2)易知直線MN的方程為y=2(x?3)，

設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，

聯(lián)立y=2(x?3)3x2?y2=3，消去y并整理得x2?24x+39=0，

由韋達(dá)定理得x1+x2=24，

因為M，N在P點的兩側(cè)，

所以x1?3與x2?3異號，

所以||MP|?|PN||=|1+22|x1?3|?1+22|x2?3||

=5|(x1?3)+(x2?3)|=5|x1+x2?6|=185；

(3)證明：若MN的斜率不存在，

設(shè)直線MN