2022北京五十七中高二(上)期末數(shù)學(xué)(教師版)

1/12022北京五十七中高二（上）期末數(shù)學(xué)一、選擇題（每小題4分，共40分）1．（4分）集合，，則A．， B．，4， C．，5， D．，4，5，2．（4分）如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別是，，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（4分）已知是正方形的中心．若，其中，，則A． B． C． D．4．（4分）關(guān)于直線，與平面，，有以下四個(gè)命題：①若，且，則；②若，且，則；③若，且，則；④若，且，則；其中真命題的序號是A．①② B．③④ C．①④ D．②③5．（4分）已知點(diǎn)，．若橢圓上存在點(diǎn)，使得為等邊三角形，則橢圓的離心率是A． B． C． D．6．（4分）已知橢圓和雙曲線的離心率之積為1，則雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為A．， B．， C．， D．，7．（4分）若函數(shù)的圖象與直線有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．， B．， C．， D．，8．（4分）已知曲線，則下列說法不正確的是A．若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上 B．若，則是雙曲線，其漸近線方程為 C．若，則是圓，其半徑是 D．若，，則是兩條直線9．（4分）已知圓的圓心為，過點(diǎn)且與軸不重合的直線交圓、兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)與點(diǎn)之間．過點(diǎn)作直線的平行線交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡為A．圓的一部分 B．橢圓的一部分 C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分10．（4分）已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，則下列說法錯(cuò)誤的是A．使得的點(diǎn)有且僅有4個(gè) B．使得的點(diǎn)有且僅有4個(gè) C．使得為等腰三角形的點(diǎn)有且僅有4個(gè) D．使得為直角三角形的點(diǎn)有且僅有4個(gè)二、填空題（每小題5分，共25分）11．（5分）設(shè)雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，則該雙曲線的漸近線方程是．12．（5分）已知為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若，則線段的中點(diǎn)到直線的距離為．13．（5分）過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作其漸近線的平行線，直線與軸交于點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為雙曲線的虛軸端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為．14．（5分）已知函數(shù)，，若存在，使得，則的取值范圍是．15．（5分）已知點(diǎn)，分別是拋物線和直線上的動點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)．①拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為；②的最小值為．三、解答題（共6個(gè)小題，滿分85分）16．（14分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期；（Ⅱ）若對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．17．（14分）如圖，在中，是上的點(diǎn)，，再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：（Ⅰ）角的大?。唬á颍┑拿娣e．條件①：；條件②：．18．（14分）在直角坐標(biāo)系中，已知圓與直線相切，（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）過點(diǎn)的直線與圓交于、兩點(diǎn)，如果，求直線方程，并求．19．（14分）在梯形中，，，，為的中點(diǎn)，線段與交于點(diǎn)（如圖．將沿折起到的位置，使得二面角為直二面角（如圖．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的大??；（Ⅲ）線段上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．20．（14分）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，左右頂點(diǎn)分別為，．經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓方程；（Ⅱ）當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，求線段的長；（Ⅲ）記與的面積分別為和，求的最大值．21．（15分）已知橢圓的離心率為，，，，△的面積為2．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，且不與頂點(diǎn)重合，若直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．求證：為等腰三角形．

參考答案一、選擇題（每小題4分，共40分）1．【分析】求出集合，中不等式的解集中的自然數(shù)解，根據(jù)交集的定義，求出得到兩個(gè)集合的交集．【解答】解：，1，2，3，4，5，，，，，5，，故選：．【點(diǎn)評】此題是個(gè)基礎(chǔ)題．本題屬于以不等式的解集為平臺，求集合的交集的基礎(chǔ)題，也是高考常會考的題型．做題時(shí)應(yīng)注意理解集合的元素．2．【分析】通過向量的表示求出向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，求出復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的象限即可．【解答】解：由題意可知，．，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限．故選：．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，復(fù)數(shù)與向量的對應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)的幾何意義．3．【分析】根據(jù)平面向量加減運(yùn)算的三角形法則求出，即可得出答案．【解答】解：，，，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量的基本定理，屬于中檔題．4．【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理和線面平行的性質(zhì)定理，對四個(gè)結(jié)論逐一進(jìn)行分析，易得到答案．【解答】解：若，且，則，可能平行也可能異面，也可以相交，故①錯(cuò)誤；若，且，則，一定垂直，故②正確；若，且，則，一定垂直，故③正確；若，且，則，可能相交、平行也可能異面，故④錯(cuò)誤故選：．【點(diǎn)評】判斷或證明線面平行的常用方法有：①利用線面平行的定義（無公共點(diǎn)）；②利用線面平行的判定定理，，；③利用面面平行的性質(zhì)定理；④利用面面平行的性質(zhì)，，，．線線垂直可由線面垂直的性質(zhì)推得，直線和平面垂直，這條直線就垂直于平面內(nèi)所有直線，這是尋找線線垂直的重要依據(jù)．垂直問題的證明，其一般規(guī)律是“由已知想性質(zhì)，由求證想判定”，也就是說，根據(jù)已知條件去思考有關(guān)的性質(zhì)定理；根據(jù)要求證的結(jié)論去思考有關(guān)的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結(jié)合起來．5．【分析】過點(diǎn)做軸垂線，垂足為，根據(jù)正三角形性質(zhì)可知為，的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程即可求得．然后求解橢圓的離心率．【解答】解：過點(diǎn)做軸垂線，垂足為，根據(jù)正三角形性質(zhì)可知為，的中點(diǎn)，坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程得，解得，所以橢圓的離心率為：．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了橢圓方程求解，解題的關(guān)鍵是充分利用正三角形的性質(zhì)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．6．【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線的方程，求出離心率，，即可得，即可求得的值，即可求得漸近線方程，結(jié)合直線的斜率與傾斜角關(guān)系，即可求解．【解答】解：設(shè)橢圓的離心率為，則，雙曲線的離心率為，則，橢圓和雙曲線的離心率之積為1，，解得，雙曲線的兩條漸近線分別為或，雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為或．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了橢圓與雙曲線的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】根據(jù)題意，將函數(shù)的解析式變形可得，，其圖象為圓的下半部分，直線即，必有直線與半圓有公共點(diǎn)，結(jié)合圖形分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)，變形可得，，其圖象為圓的下半部分，如圖：直線即，必有直線與半圓有公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線在圓心的下方且與圓相切，當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過點(diǎn)，則的取值范圍為，；故選：．【點(diǎn)評】本題考查直線與圓的方程的應(yīng)用，涉及直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】把已知方程變形，結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)中的條件依次判斷得答案．【解答】解：由曲線，得，若，則，曲線是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上，故正確；若，則是雙曲線，當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)在軸上，，，漸近線方程為，當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)在軸上，，，漸近線方程為，所以若，則是雙曲線，其漸近線方程為，故正確；若，則是圓，其半徑是，故錯(cuò)誤；若，，則化為，是兩條直線，故正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查圓錐曲線的綜合，考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．9．【分析】根據(jù)題意可得（定值），且．即可得點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一部分．【解答】解：可得圓的圓心為，半徑為．如圖，，，，，，（定值），且．點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一部分，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了動點(diǎn)根據(jù)的求解，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．10．【分析】考慮直線，與拋物線的方程聯(lián)立，解方程可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)；由對稱性可得有2個(gè)；考慮直線，代入拋物線的方程，解方程可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由對稱性可得點(diǎn)有4個(gè)；為等腰三角形，考慮兩邊相等，結(jié)合圖形，可得有4個(gè)點(diǎn)；為直角三角形，考慮直角頂點(diǎn)，結(jié)合圖形，可得有4個(gè)點(diǎn)．【解答】若的在第一象限，可得直線，代入拋物線的方程可得，解得，由對稱性可得在第四象限只有一個(gè)，則滿足的有且只有2個(gè)，故錯(cuò)誤；使得的點(diǎn)在第一象限，可得直線，代入拋物線的方程，可得，△，可得點(diǎn)有2個(gè)；若在第四象限，由對稱性可得也有2個(gè)，則使得的點(diǎn)有且只有4個(gè)，故正確；由為等腰三角形，若，則有兩個(gè)點(diǎn)；若，則不存在，若，則有兩個(gè)點(diǎn)，則使得為等腰三角形的點(diǎn)有且僅有4個(gè)，故正確；由中為直角的點(diǎn)有兩個(gè)；為直角的點(diǎn)不存在；為直角的點(diǎn)有兩個(gè)，則使得為直角三角形的點(diǎn)有且僅有4個(gè)，故正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，考查聯(lián)立方程，由判別式確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)，以及分類討論思想方法，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．二、填空題（每小題5分，共25分）11．【分析】利用雙曲線經(jīng)過的點(diǎn)，求解，然后求解漸近線方程即可．【解答】解：雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，可得，所以雙曲線的漸近線方程為：．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．12．【分析】根據(jù)題意，作出拋物線的簡圖，求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程，分析可得為直角梯形中位線，由拋物線的定義分析可得答案．【解答】解：如圖，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，即．分別過，作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，，則有．過的中點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則為直角梯形中位線，則，即到準(zhǔn)線的距離為5．故答案為：5．【點(diǎn)評】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)以及拋物線的定義，注意利用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化分析，屬中檔題．13．【分析】根據(jù)線段的中點(diǎn)為雙曲線的虛軸端點(diǎn)，求出的坐標(biāo)，結(jié)合直線平行，得到斜率相等進(jìn)行求解即可．【解答】解：，雙曲線的一條漸近線方程為，的中點(diǎn)是，，平行漸近線，的斜率等于，即，即，則雙曲線的離心率，故答案為：2．【點(diǎn)評】本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，根據(jù)直線平行以及直線斜率關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．14．【分析】根據(jù)條件求出兩個(gè)函數(shù)的值域，結(jié)合存在，使得，等價(jià)為兩個(gè)集合有公共元素，然后根據(jù)集合關(guān)系進(jìn)行求解即可．【解答】解：當(dāng)時(shí)，，即，則的值域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，即，則的值域?yàn)?，，若存在，使得，則，，，若，，，則或，得或，則當(dāng)，，時(shí)，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，，故答案為：，．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)條件求出兩個(gè)函數(shù)的值域，結(jié)合集合元素關(guān)系進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．15．【分析】求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，由題意可得要使取得最大，可得經(jīng)過點(diǎn)，即，要使取得最小，必須垂直于直線，可得，再由基本不等式可得所求最小值．【解答】解：的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，要使取得最大，可得經(jīng)過點(diǎn)，即，要使取得最小，必須垂直于直線，可得，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式取得最小值16．故答案為：，16．【點(diǎn)評】本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，考查直線和圓的位置關(guān)系，以及基本不等式的運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．三、解答題（共6個(gè)小題，滿分85分）16．【分析】（Ⅰ）首先利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式的變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的最小正周期．（Ⅱ）利用函數(shù)的恒成立問題的應(yīng)用和函數(shù)的最值的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)．，．所以函數(shù)的最小正周期為．（Ⅱ）對恒成立，所以，由于，所以．當(dāng)時(shí)，即時(shí)，時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為，．【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．17．【分析】選擇條件①：（Ⅰ）在中由余弦定理得，結(jié)合范圍，可求的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）及題意可得為直角三角形，可求，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．選擇條件②：（Ⅰ）在中，由正弦定理得，由題可知，可求的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）及題意可得為直角三角形，得，結(jié)合，可求，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可得解．【解答】解：選擇條件①：（Ⅰ）在中，由余弦定理，得．因?yàn)椋裕á颍┯桑á瘢┲?，，因?yàn)椋裕詾橹苯侨切危?，．又因?yàn)椋裕裕x擇條件②：（Ⅰ）在中，，．由正弦定理，得．由題可知，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，因?yàn)椋裕詾橹苯侨切?，得．又因?yàn)?，所以．所以．【點(diǎn)評】本題主要考查了余弦定理，三角形的面積公式，正弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．18．【分析】（1）先求出圓心坐標(biāo)，半徑，再利用圓心到直線的距離等于半徑即可解決；（2）過點(diǎn)的直線分為斜率不存在和斜率存在兩種情況，要分別說明；利用垂徑定理解決直線與圓的弦長問題會快捷一些．【解答】解：（1）圓的方程可化為，則圓心，半徑，其中，因?yàn)閳A與直線相切，故圓心到直線的距離等于半徑，即，解得；（2）由（1）可知圓半徑，圓心，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，其方程為，此時(shí)圓心到直線的距離，由垂徑定理得弦長，不合題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，即，圓心到直線的距離，由垂徑定理有，，解得，則直線的方程為，設(shè)，，，，由整理得解得，，于是，，故．【點(diǎn)評】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，數(shù)量積的計(jì)算等知識，屬于中等題．19．【分析】（Ⅰ）推導(dǎo)出，，從而四邊形為平行四邊形，推導(dǎo)出，由此能證明平面．（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量能求出二面角的大?。á螅┰O(shè)，，利用向量法能求出線段上存在點(diǎn)，且時(shí)，使得與平面所成角的正弦值為．【解答】（共14分）證明：（Ⅰ）因?yàn)樵谔菪沃?，，，為的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形為平行四邊形，（1分）因?yàn)榫€段與交于點(diǎn)，所以為線段的中點(diǎn)，所以中，，（3分）因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面．?分）解：（Ⅱ）因?yàn)槠叫兴倪呅沃?，，所以四邊形是菱形，，垂足為，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以是二面角的平面角，因?yàn)槎娼菫橹倍娼?，所以，即．可以如圖建立空間直角坐標(biāo)系，其中，0，，（6分）因?yàn)樵趫D1菱形中，，所以，．所以，2，，，0，，，0，．所以，，2，．（7分）設(shè)，，為平面的法向量，因?yàn)?，取，得?，，平面的法向量為，0，，（8分）所以，（9分）由圖可知，二面角為銳二面角，所以二面角的大小為．（10分）（Ⅲ）線段上存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為，（11分）設(shè)，，因?yàn)椋?，，，所以．?2分）因?yàn)?，?3分）由，解得．所以線段上存在點(diǎn)，且時(shí)，使得與平面所成角的正弦值為．（14分）【點(diǎn)評】本題考查線面平行的證明，考查二面角的求法，考查滿足線面角的正弦值的點(diǎn)的位置的確定，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．20．【分析】（Ⅰ）由焦點(diǎn)坐標(biāo)可求值，根據(jù)，，的平方關(guān)系可求得值；（Ⅱ）寫出直線方程，與橢圓