河南省信陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

★2025年1月20日2024-2025學(xué)年普通高中高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.考生作答時(shí)，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無(wú)效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將本人的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等考生信息填寫(xiě)在答題卡上，并用2B鉛筆將準(zhǔn)考證號(hào)填涂在相應(yīng)位置.2.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚.3.請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效.4.保持卡面清潔，不折疊，不破損.第I卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求出對(duì)數(shù)不等式的解集，再求即可.【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得：不等式成立，需要滿足，解得，即，且，則，故選：C.2.已知為虛數(shù)單位，若，則（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的定義即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以?故選：B.3.已知是夾角為的兩個(gè)單位向量，若向量在向量上的投影向量為，則（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】由投影向量計(jì)算公式可得答案.【詳解】在向量上的投影向量為..故選：A4.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)同角關(guān)系結(jié)合誘導(dǎo)公式求得，然后結(jié)合二倍角余弦公式，利用1的代換化弦為切代入計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?故選：D5.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則等于（）A.0.14 B.0.62 C.0.72 D.0.86【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且,所以，，所以，故選:D.6.函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與函數(shù)的圖象重合，則的最小值為（）．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】化簡(jiǎn)原函數(shù)解析式并求出平移后的函數(shù)解析式，由條件等式結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求出的范圍，由此可得結(jié)論.【詳解】函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得的圖象，由已知得，所以，所以，所以，，所以，，因?yàn)?，所以的最小值?，故選：C.7.已知函數(shù)（且），若有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)有最小值可得出函數(shù)的單調(diào)性，然后對(duì)函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性進(jìn)行分類討論，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由于函數(shù)有最小值，則函數(shù)在區(qū)間上不為增函數(shù)，可得.當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)函數(shù)無(wú)最小值；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，①若函數(shù)在上為增函數(shù)，則，且有，即，解得，此時(shí)；②若函數(shù)在上為減函數(shù)，則，且，所以，，即，解得，此時(shí).綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用分段函數(shù)的最值求參數(shù)，解題時(shí)要根據(jù)題意分析出兩支函數(shù)在各自定義域上的單調(diào)性，并分析出間斷點(diǎn)處函數(shù)值的大小關(guān)系，本題易錯(cuò)的地方在于忽略函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，忽略這一條件的分析，進(jìn)而導(dǎo)致求解出錯(cuò).8.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C:左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，離心率為，點(diǎn)是C的右支上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，過(guò)F2作的平分線的垂線，垂足是M，，若雙曲線C上一點(diǎn)T滿足，則點(diǎn)T到雙曲線C的兩條漸近線距離之和為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由雙曲線的定義，結(jié)合雙曲線的離心率，得雙曲線的方程及漸近線的方程，再設(shè)，由雙曲線的方程求點(diǎn)到兩條漸近線的距離之和.【詳解】設(shè)半焦距為c，延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，由于PM是的平分線，，所以是等腰三角形，所以，且M是NF2的中點(diǎn).根據(jù)雙曲線的定義可知，即，由于是的中點(diǎn)，所以MO是的中位線，所以，又雙曲線的離心率為，所以，，所以雙曲線C的方程為.所以，，雙曲線C漸近線方程為，設(shè)，T到兩漸近線的距離之和為S，則，由，即，又T在上，則，即，解得，，由，故，即距離之和為.故選：A.【點(diǎn)睛】由平面幾何知識(shí)，，依據(jù)雙曲線的定義，可將轉(zhuǎn)化為用a表示，進(jìn)而的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.二、選擇題，本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.“體育強(qiáng)則中國(guó)強(qiáng)，國(guó)運(yùn)興則體育興”．為備戰(zhàn)2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)，已知運(yùn)動(dòng)員甲特訓(xùn)的成績(jī)分別為：9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，則這組數(shù)據(jù)的（）A.眾數(shù)為12 B.平均數(shù)為14 C.中位數(shù)為14.5 D.第85百分位數(shù)為16【答案】BC【解析】【分析】由眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)，第百分位數(shù)的定義求出即可.【詳解】成績(jī)從小到大排列為：.A：出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)為，故A錯(cuò)誤；B：平均數(shù)，故B正確；C：中位數(shù)為：，故C正確；D：第85百分位數(shù)第，即第位，為，故D錯(cuò)誤；故選：BC.10.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線l的斜率為k，則下列選項(xiàng)正確的有（）A.B.若以線段AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)F，則C.若以線段AB為直徑的圓與y軸相切，則D.若以線段AB為直徑的圓與x軸相切，則該圓必與拋物線C的準(zhǔn)線相切【答案】ABC【解析】【分析】聯(lián)立直線l與拋物線消去x得y2﹣4my+4＝0，由可判斷A；利用韋達(dá)定理和FA⊥FB列式可解得m2＝2，再用弦長(zhǎng)公式可得弦長(zhǎng)可判斷B；若以線段AB為直徑的圓與y軸相切，則解出，再用弦長(zhǎng)公式可得弦長(zhǎng)可判斷C；由，可得無(wú)解可判斷D.【詳解】設(shè)，直線的方程為，，的中點(diǎn)為，由消去并整理得：，得，由題意，，所以，即，所以，則，故A正確；以線段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，所以，所以，又，所以，，解得滿足題意.由，得，所以B正確；若以線段AB為直徑的圓與y軸相切，則，又，所以，解得：，所以，故C正確；若以線段AB為直徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，則，即，又，所以無(wú)解，所以D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.已知函數(shù)和其導(dǎo)函數(shù)的定義域都是，若與均為偶函數(shù)，則（）A.B.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.D.【答案】BD【解析】【分析】用特殊值法，假設(shè)，可判斷選項(xiàng)A；對(duì)進(jìn)行變形處理，即可判斷其對(duì)稱性，從而判斷選項(xiàng)B；對(duì)兩邊求導(dǎo)，可得，根據(jù)可判斷的周期性和對(duì)稱性，再根據(jù)特殊值關(guān)系，即可判斷選項(xiàng)C；由特殊值關(guān)系得到，，化簡(jiǎn)，即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】假設(shè)，則，則，與都為偶函數(shù)，則所設(shè)函數(shù)符合題意，此時(shí)，故A錯(cuò)誤；因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，令，則，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，即，即，因?yàn)椋?，所以，則，故，所以，所以，又，，所以，所以無(wú)法確定的值，所以C錯(cuò)誤；又，，所以，由，得，則，所以，由知函數(shù)周期為4，則的周期也為4，則，所以D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對(duì)稱性有關(guān)結(jié)論：若，則關(guān)于直線對(duì)稱；若，則關(guān)于直線對(duì)稱；若，則關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱；若，則關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱；周期性結(jié)論：若，則函數(shù)的周期為.第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)_____________.【答案】【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理分別得到與的展開(kāi)通項(xiàng)公式即可得解.【詳解】因?yàn)榈恼归_(kāi)通項(xiàng)公式為，的展開(kāi)通項(xiàng)公式為，所以取，得的系數(shù)為.故答案為：.13.若直線為曲線的一條切線，則的最大值為_(kāi)_________.【答案】##【解析】【分析】設(shè)，切點(diǎn)為，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再結(jié)合題意求出的關(guān)系，再構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即可.【詳解】設(shè)，則，設(shè)切點(diǎn)為，則，則切線方程為，整理可得，所以，解得，所以，所以，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)出切點(diǎn)，根據(jù)直線為曲線的一條切線，求出的關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵.14.某工廠加工一種電子零件，去年12月份生產(chǎn)1萬(wàn)個(gè)，產(chǎn)品合格率為87%.為提高產(chǎn)品合格率，工廠進(jìn)行了設(shè)備更新，今年1月份的產(chǎn)量在去年12月份的基礎(chǔ)上提高4%，產(chǎn)品合格率比去年12月份增加0.4%，計(jì)劃以后兩年內(nèi)，每月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率都按此標(biāo)準(zhǔn)增長(zhǎng)，那么該工廠的月不合格產(chǎn)品個(gè)數(shù)達(dá)到最大是兩年內(nèi)的第________月.【答案】7【解析】【分析】根據(jù)給定條件，將每月產(chǎn)量及合格率依次排列分別構(gòu)成等比數(shù)列和等差數(shù)列，再求出不合格品數(shù)，并借助單調(diào)性求解最大問(wèn)題.【詳解】設(shè)從今年1月份起，每月的產(chǎn)量和產(chǎn)品的合格率都按題中的標(biāo)準(zhǔn)增長(zhǎng)，該工廠每月的產(chǎn)量、不合格率分別用、表示，月份用表示，則，，，則從今年1月份起，各月不合格產(chǎn)品數(shù)量為（萬(wàn)個(gè)），，當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞增，當(dāng)且時(shí)，，即，此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞減，即，則當(dāng)時(shí)，最大，所以該工廠的月不合格產(chǎn)品個(gè)數(shù)達(dá)到最大是今年的7月份.故答案為：7【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求出各月的不合格品數(shù)構(gòu)成數(shù)列的通項(xiàng)是求解問(wèn)題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，且的面積.（1）求角A；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先利用向量數(shù)量積求得的值，再依據(jù)角A的范圍即可求得角A的值；（2）先利用正弦定理和三角函數(shù)誘導(dǎo)公式將轉(zhuǎn)化為關(guān)于角B的三角函數(shù)式，再利用正弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可求得的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】∵，∴.∵，∴，又∵，∴.【小問(wèn)2詳解】∵，∴.∵，∴，∴，∴，∴，即的取值范圍為.16.設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列.已知，，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列和的項(xiàng)從小到大依次排列（相等項(xiàng)計(jì)兩項(xiàng)）得到新數(shù)列，求的前50項(xiàng)的和.【答案】（1）（2）3266【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程組，解之即可求解；（2）推出數(shù)列的前50項(xiàng)中含有數(shù)列的前6項(xiàng)且含有數(shù)列的前44項(xiàng)，結(jié)合分組求和法計(jì)算即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，則，即，解得，所以.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)數(shù)列的前50項(xiàng)中含有數(shù)列的前5項(xiàng)時(shí)，令，得，則第26項(xiàng)為64，當(dāng)數(shù)列的前50項(xiàng)中含有數(shù)列的前6項(xiàng)時(shí)，令，得，則第48項(xiàng)為128；所以數(shù)列的前50項(xiàng)中含有數(shù)列的前6項(xiàng)且含有數(shù)列的前44項(xiàng)，故數(shù)列的前50項(xiàng)和為.17.2023年9月26日，第十四屆中國(guó)（合肥）國(guó)際園林博覽會(huì)在合肥駱崗公園開(kāi)幕.本屆園博會(huì)以“生態(tài)優(yōu)先，百姓?qǐng)@博”為主題，共設(shè)有5個(gè)省內(nèi)展園?26個(gè)省外展園和7個(gè)國(guó)際展園，開(kāi)園面積近3.23平方公里.游客可通過(guò)乘坐觀光車?騎自行車和步行三種方式游園.（1）若游客甲計(jì)劃在5個(gè)省內(nèi)展園和7個(gè)國(guó)際展園中隨機(jī)選擇2個(gè)展園游玩，記甲參觀省內(nèi)展園的數(shù)量為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）為更好地服務(wù)游客，主辦方隨機(jī)調(diào)查了500名首次游園且只選擇一種游園方式的游客，其選擇的游園方式和游園結(jié)果的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：游園方式游園結(jié)果觀光車自行車步行參觀完所有展園808040未參觀完所有展園20120160用頻率估計(jì)概率.若游客乙首次游園，選擇上述三種游園方式的一種，求游園結(jié)束時(shí)乙能參觀完所有展園的概率.【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，（2）0.4【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合超幾何分布求分布列和期望；（2）根據(jù)題意結(jié)合全概率公式運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】由題意知：所有可能取值為，則有：，，，可知的分布列為：012所以的數(shù)學(xué)期望為：.【小問(wèn)2詳解】記事件A為“游客乙乘坐觀光車游園”，事件為“游客乙騎自行車游園”，事件為“游客乙步行游園”，事件為“游園結(jié)束時(shí)，乙能參觀完所有展園”，由題意可知：，，由全概率公式可得，所以游園結(jié)束時(shí)，乙能參觀完所有展園的概率為0.4.18.已知函數(shù).（1）若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，求的值；（2）若在上恒成立，求的取值范圍；（3）證明：（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.【答案】（1）（2）（3）證明詳見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由求得，驗(yàn)證后確定的值.（2）對(duì)進(jìn)行分類討論，根據(jù)在區(qū)間上的最小值不小于求得的取值范圍.（3）將要證明的不等式轉(zhuǎn)化為證明，結(jié)合（2）的結(jié)論來(lái)證得不等式成立.【小問(wèn)1詳解】，定義域?yàn)?，，因?yàn)槭堑囊粋€(gè)極值點(diǎn)，所以.此時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)，符合題意，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)樵谏虾愠闪?，所?當(dāng)時(shí)，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，所以成立，符合題意.當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，這與矛盾.綜上所述，的取值范圍是.【小問(wèn)3詳解】要證明，即證明，即證明，由（2）得時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，從而原不等式成立.【點(diǎn)睛】求解函數(shù)在區(qū)間上的最值的步驟：（1）確定的定義域；（2）計(jì)算導(dǎo)數(shù)；（3）求出的根；（4）用的根將的定義域分成若干個(gè)區(qū)間，考查這若干個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，進(jìn)而確定的單調(diào)區(qū)間；（5）根據(jù)單調(diào)區(qū)間來(lái)求得最值.19.已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比為常數(shù)．其中，且，記點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求的方程，并說(shuō)明軌跡的形狀；（2）設(shè)點(diǎn)，若曲線上兩動(dòng)點(diǎn)均在軸上方，，且與相交于點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，求證：的值及的周長(zhǎng)均為定值；②當(dāng)時(shí)，記的面積為，其內(nèi)切圓半徑為，試探究是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）①證明見(jiàn)解析；②存在