湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體2024-2025學年高二上學期期末數(shù)學試題（A卷）

2024年高二第一學期期末質(zhì)量檢測考試數(shù)學（A卷）（考試范圍：必修一、二，選擇性必修一、二）時量：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.2.下列運算正確的是（）A. B.C. D.3.在中，角，，所對的邊分別為，，，為的面積，若，則（）A. B. C. D.4.在下列函數(shù)中，周期為的函數(shù)是（）A. B.C D.5.有一道數(shù)學難題，學生甲解出的概率為，學生乙解出的概率為，學生丙解出的概率為，若甲、乙、丙三人獨立去解答此題，則（）A.三人都解出的概率為 B.沒有人能解出的概率為C.恰有一人解出的概率為 D.恰有兩人解出的概率為6.在正四棱臺中，，，，則（）A. B.2 C. D.7.已知等比數(shù)列的前項和為，，，數(shù)列滿足：，且數(shù)列的前項和為，若對于任意的實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.8.古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：已知平面內(nèi)兩個定點，及動點，若（且），則點的軌跡是圓.后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓（簡稱“阿氏圓”）.在平面直角坐標系中，已知，，直線：，直線：，若為，的交點，則的最小值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知為曲線上一動點，則下列說法正確的是（）A.的最小值為B.到直線距離的最小值為1C.的最小值為D.存在一個定點和一條定直線，使得到定點的距離等于到定直線的距離10.如圖，菱形的邊長為2，，為邊的中點，將沿折起，折疊后點的對應點為，使得平面平面，連接，，則下列說法正確的是（）A.點到平面的距離為B.與所成角的余弦值為C.三棱錐的外接球的體積為D.直線與平面所成角的正弦值為11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的最小值為B.若最小值為，且，則（參考）C.若，則D.若有兩根，則的取值范圍為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等差數(shù)列的前項和為，，則______.13.曲線在處的切線方程為______.14.如圖，在平面直角坐標系中，設，，，為橢圓的四個頂點，為線段靠近原點處的三等分點，若點關于直線的對稱點恰好在橢圓上，則該橢圓的離心率為______.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知的三個頂點分別為，，.（1）求的面積；（2）求外接圓的方程，并求這個圓的圓心坐標和半徑.16.已知函數(shù)．（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個零點，求的取值范圍．17.如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，，，，是的中點.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面夾角余弦值.18.已知雙曲線與直線：有唯一的公共點，過點且與垂直的直線分別交軸、軸于，兩點.（1）求直線的方程（用，表示）；（2）當點運動時，求點（的橫坐標為的橫坐標，的縱坐標為的縱坐標）的軌跡的方程；（3）已知點，若直線不過點且與曲線相交于兩點，并且有，問是否存在直線使得的面積為72？若存在，求出此時直線的方程；若不存在，請說明理由.19.若正整數(shù)數(shù)列滿足：對任意的，都有恒成立，則稱數(shù)列為“差增數(shù)列”.（1）