四川省成都市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2024~2025學(xué)年度上期期末高一年級調(diào)研考試數(shù)學(xué)本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、考籍號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2．答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.3．答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.5．考試結(jié)束后，只將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)符合題目要求．1.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞的命題的否定為存在量詞命題，可得結(jié)論.【詳解】命題“，”全稱量詞命題，命題“，”的否定是“，”故選：D.2.如圖所示的曲邊三角形（圖中實(shí)線）是機(jī)械加工使用的某種鉆頭的橫截面．它是分別以正（圖中虛線）的三個頂點(diǎn)為圓心，以其邊長a為半徑所作的三段圓弧，，構(gòu)成的封閉圖形，稱做魯洛克斯（F．Reuleaux）三角形．則魯洛克斯三角形的周長為（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)弧長公式，結(jié)合題意，可得答案.【詳解】魯洛克斯三角形的周長為.故選：B.3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)及充分條件和必要條件的定義分別判斷充分性和必要性可得結(jié)論.【詳解】若，則，又，所以，所以當(dāng)時，“”可推出“”，所以當(dāng)時，“”是“”充分條件，取，則，，但，所以當(dāng)時，由“”不能推出“”，所以當(dāng)時，“”不是“”的必要條件，所以當(dāng)時，“”是“”的充分不必要條件，故選：A.4.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡函數(shù)解析式，分析函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)選擇函數(shù)的大致圖象.【詳解】函數(shù)可化為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，選項(xiàng)ACD，不能同時滿足以上要求，又選項(xiàng)B滿足以上要求，故選：B.5.（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正切函數(shù)周期性求解.【詳解】.故選：D6.已知一個直角三角形的斜邊長為8，則其面積的最大值是（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】C【解析】【分析】根據(jù)勾股定理以及直角三角形的面積公式，利用重要不等式，可得答案.【詳解】設(shè)直角三角形的兩條直角邊分別為，則，直角三角形的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故選：C.7.已知，且，則=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由條件結(jié)合同角關(guān)系及角的范圍求，再結(jié)合誘導(dǎo)公式求結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，故，又，所以，，又，所?故選：A.8.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性證明，再證明，，，由此可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為增函數(shù)，又，，所以，故，所以，，又，所以，又，所以.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知集合，，若，則的值可以為（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)集合的性質(zhì)列不等式，集合的包含關(guān)系列方程可求結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋?，所以且且，所以且且且，因?yàn)?，所以或，所以或或（舍去），故選：BD.10.設(shè)函數(shù)，則（）A.的定義域?yàn)镽 B.是偶函數(shù)C.在上單調(diào)遞增 D.的值域?yàn)镽【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)解析式求定義域，應(yīng)用奇偶性定義判斷奇偶性，再由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷在上單調(diào)性，由換元法及分式型函數(shù)的性質(zhì)求值域.【詳解】由，顯然定義域?yàn)?，A錯；由，即是偶函數(shù)，B對；由在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，C對；令，則在上值域?yàn)镽，即的值域?yàn)镽，D對.故選：BCD11.關(guān)于的不等式的解集可能為（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】討論，、，進(jìn)而討論參數(shù)，研究不等式的解集.【詳解】當(dāng)時，，不等式不成立，所以不是不等式的解；當(dāng)時，，此時，即，當(dāng)時，顯然不成立；當(dāng)時，則，此時無解；當(dāng)時，則，又，則解集為；當(dāng)時，，此時，即，當(dāng)時，恒成立，則解集為；當(dāng)時，可得，又，則解集為；當(dāng)時，可得，此時無解.綜上，解集可能為、、.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知是函數(shù)（，且）的反函數(shù)，則的圖象經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)為______．【答案】【解析】【分析】由條件先確定函數(shù)的解析式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求結(jié)論.【詳解】是函數(shù)的反函數(shù)，所以，所以的圖象經(jīng)過的定點(diǎn).故答案為：.13.聲壓級（單位：）與聲壓（單位：）的關(guān)系為，其中為人在空氣中能聽到的最低聲壓．已知飛機(jī)發(fā)動機(jī)聲音的聲壓級比人正常說話聲音的聲壓級大，則______．【答案】##【解析】【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合關(guān)系求即可.【詳解】由題設(shè)，所以，所以.故答案為：.14.設(shè)函數(shù)，若，則=______；若有三個零點(diǎn)，則a的取值范圍是______．【答案】①.②.【解析】【分析】由題意可得對數(shù)方程，即可求得第一空答案；判斷函數(shù)的零點(diǎn)的分布情況，由此列出相應(yīng)不等式組，即可求得第二空答案.【詳解】由，得，即；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，若有三個零點(diǎn)，則時函數(shù)必有一個零點(diǎn)，在時函數(shù)必有兩個零點(diǎn)，不妨設(shè)時兩零點(diǎn)為，則需滿足，解得，（其中需比較的大小，如下：，而，即可得）即a的取值范圍為，故答案為：；四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知全集，集合，．（1）當(dāng)時，求；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）化簡集合，結(jié)合集合運(yùn)算法則求結(jié)論；（2）根據(jù)集合的包含關(guān)系列不等式可求的范圍.【小問1詳解】化簡，．所以或．當(dāng)時，．所以．【小問2詳解】因?yàn)椋值葍r于．所以，解得的取值范圍是．16.已知函數(shù)．（1）分別計算，，和的值；（2）根據(jù)（1）的計算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么恒等關(guān)系？并證明你的結(jié)論．【答案】（1）；；；（2）發(fā)現(xiàn)結(jié)論：，證明見解析【解析】【分析】（1）利用特殊角三角函數(shù)值代入運(yùn)算可得；（2）觀察歸納（1）可得規(guī)律，利用同角三角函數(shù)商的關(guān)系與平方關(guān)系化簡求證即可.【小問1詳解】；；．【小問2詳解】發(fā)現(xiàn)結(jié)論：．下面給予證明：，且，有．17.已知函數(shù)的圖象由曲線段OA：（其中，且）和射線AB構(gòu)成，如圖所示．（1）求的解析式；（2）在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)的大致圖象，并從“形”的角度直觀判斷方程的實(shí)根個數(shù)，再從“數(shù)”的角度加以嚴(yán)格驗(yàn)證．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)圖象所過的點(diǎn)求不同區(qū)間上的解析式，進(jìn)而寫出函數(shù)的分段函數(shù)形式；（2）根據(jù)解析式畫出函數(shù)大致圖象判斷實(shí)根個數(shù)，再討論不同區(qū)間，應(yīng)用方程思想及零點(diǎn)存在性定理確定各區(qū)間零點(diǎn)個數(shù)，即可得答案.【小問1詳解】在曲線段OA中，由，即又，且，解得設(shè)射線AB：．由，解得故所求解析式為.【小問2詳解】函數(shù)的大致圖象如圖從“形”的角度直觀判斷：因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象有且僅有兩個交點(diǎn)，所以方程，即有且僅有個不等實(shí)根．從“數(shù)”的角度嚴(yán)格論證如下：顯然，只考慮的情形．①當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增．而且，，所以在有且僅有一個零點(diǎn)．所以方程，即在有且僅有個實(shí)根．②當(dāng)時，由，得，即．解得，或（舍去）．所以方程在有且僅有個實(shí)根．（或解：因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增．且，，所以在有且僅有一個零點(diǎn)．綜上所述，方程有且僅有個不等實(shí)根．18.利用一堵長8m，高3m的舊墻建造一個無蓋的長方體儲物倉庫，如圖所示．由于空間限制，倉庫的寬度固定為3m．已知倉庫三個側(cè)面的建造成本為900元/，倉庫底面的建造成本為600元/．整個倉庫的建造成本預(yù)算為32400元，假設(shè)成本預(yù)算恰好用完．設(shè)倉庫的長與高分別為a，b（單位：m）．（1）求a與b滿足的關(guān)系式；（2）求倉庫占地（即底面）面積S的最小值；（3）求倉庫的儲物量（即容積V）的最大值．【答案】（1），其中，．（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題設(shè)有，化簡整理可得關(guān)系式；（2）根據(jù)（1）可得，結(jié)合對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求最小值；（3）解法一：應(yīng)用基本不等式有，解一元二次不等式求得，結(jié)合求最大值；解法二：根據(jù)已知得，再應(yīng)用基本不等式求最大值.【小問1詳解】由題設(shè)，則且；【小問2詳解】由，得，易知S是關(guān)于b的減函數(shù)，所以當(dāng)b取最大值3m時，S取最小值．故倉庫占地面積的最小值為，此時．【小問3詳解】解法一：由，得．因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時取等號）．所以，故，解得，故（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）．所以倉庫容積的最大值為，此時．解法二：由，得．故．因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時取等號）．所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）．故倉庫容積的最大值為，此時．19已知函數(shù)，其中．（1）判斷并證明在上的單調(diào)性；（2）我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．據(jù)此，求圖象的對稱中心；（3）把集合稱作函數(shù)關(guān)于函數(shù)在區(qū)間上的倍集．是否存在，使得關(guān)于在上的倍集不為空集？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】（1）在上單調(diào)遞增，證明見解析（2）（3）存在，．【解析】【分析】（1）應(yīng)用單調(diào)性的定義證明即可；（2）令，應(yīng)用奇偶性的定義判斷的奇偶性，即可得對稱中心；（3）問題化為判斷是否存在，使在上有解，進(jìn)而化為在上有解求參數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求的取值范圍.【小問1詳解】在上單調(diào)遞增．證明如下：，，且，有．因?yàn)?，所以，，．故，即．所以在上單調(diào)遞增．【小問2詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，其定義域?yàn)椋瑒t，所以為奇函數(shù)，所以圖象的對稱中心為．【小問3詳解】假