2024年高考押題預(yù)測數(shù)學(xué)（理）試題（全國卷01） 含解析

絕密★啟用前2024年高考押題預(yù)測卷【全國卷】理科·數(shù)學(xué)01（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．（

）A． B． C． D．3．如圖，在平行四邊形中，為線段的中點(diǎn)，，，，則（

）A．20 B．22 C．24 D．254．在的展開式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，則所有項(xiàng)系數(shù)和為（

）A．32 B． C．0 D．15．已知直線：的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．6．如圖，現(xiàn)有棱長為6cm的正方體玉石缺失了一個(gè)角，缺失部分為正三棱錐，且分別為棱靠近的四等分點(diǎn)，若將該玉石打磨成一個(gè)球形飾品，則該球形飾品的體積的最大值為（

）A． B．C． D．7．若，則有（

）A． B．C． D．8．純電動(dòng)汽車是以車載電源為動(dòng)力，用電機(jī)驅(qū)動(dòng)車輪行駛，符合道路交通、安全法規(guī)各項(xiàng)要求的車輛，它使用存儲在電池中的電來發(fā)動(dòng)．因其對環(huán)境影響較小，逐漸成為當(dāng)今世界的乘用車的發(fā)展方向．研究發(fā)現(xiàn)電池的容量隨放電電流的大小而改變，1898年P(guān)eukert提出鉛酸電池的容量、放電時(shí)間和放電電流之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式：，其中為與蓄電池結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)（稱為Peukert常數(shù)），在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流為時(shí)，放電時(shí)間為；當(dāng)放電電流為時(shí)，放電時(shí)間為，則該蓄電池的Peukert常數(shù)約為（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．1.12 B．1.13C．1.14 D．1.159．已知點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上任一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．10．設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（

）A．20 B．10 C．5 D．211．已知雙曲線的焦點(diǎn)恰好為矩形的長邊中點(diǎn)，且該矩形的頂點(diǎn)都在雙曲線上，矩形的長寬比為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．12．已知函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．第二部分（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13．有位大學(xué)生要分配到三個(gè)單位實(shí)習(xí)，每位學(xué)生只能到一個(gè)單位實(shí)習(xí)，每個(gè)單位至少要接收一位學(xué)生實(shí)習(xí)，已知這位學(xué)生中的甲同學(xué)分配在單位實(shí)習(xí)，則這位學(xué)生實(shí)習(xí)的不同分配方案有種．（用數(shù)字作答）14．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且有，且對任意都有，則使得成立的的取值范圍是.15．在平面直角坐標(biāo)系中，的坐標(biāo)滿足，，已知圓，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，當(dāng)最大時(shí)，圓關(guān)于點(diǎn)對稱的圓的方程為．16．如圖，在長方體中，，，M，N分別為BC，的中點(diǎn)，點(diǎn)P在矩形內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包括邊界），若平面AMN，則取最小值時(shí)，三棱錐的體積為．三、解答題：本大題共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）已知在四邊形中，為銳角三角形，對角線與相交于點(diǎn)，．(1)求；(2)求四邊形面積的最大值．18．（12分）遠(yuǎn)程桌面連接是一種常見的遠(yuǎn)程操作電腦的方法，除了windows系統(tǒng)中可以使用內(nèi)置的應(yīng)用程序，通過輸入IP地址等連接到他人電腦，也可以通過向日葵，anyviewer等遠(yuǎn)程桌面軟件，雙方一起打開軟件，通過軟件隨機(jī)產(chǎn)生的對接碼，安全的遠(yuǎn)程訪問和控制另一臺電腦.某遠(yuǎn)程桌面軟件的對接碼是一個(gè)由“1，2，3”這3個(gè)數(shù)字組成的五位數(shù)，每個(gè)數(shù)字至少出現(xiàn)一次.(1)求滿足條件的對接碼的個(gè)數(shù)；(2)若對接碼中數(shù)字1出現(xiàn)的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.19．（12分）如圖，在直角梯形ABCD中，，，，于E，沿DE將折起，使得點(diǎn)A到點(diǎn)P位置，，N是棱BC上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B，C不重合）.(2)當(dāng)點(diǎn)F，N分別是PB，BC的中點(diǎn)時(shí)，求平面和平面的夾角的余弦值.20．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，拋物線的焦點(diǎn)與重(1)求橢圓的方程；(2)過橢圓的上頂點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于點(diǎn)，求的最大值．21．（12分）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)，若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，證明：.（二）選考題：共10分．請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為．(1)求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程；(2)若點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，求的取值范圍．選修4-5：不等式選講23．（10分）已知函數(shù)的最小值為3，其中．(1)求不等式的解集；(2)若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．2024年高考押題預(yù)測卷【全國卷】數(shù)學(xué)·（理科01）全解全析第一部分（選擇題共60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。123456789101112CBBDBBBDADCA1．【答案】C【解析】由，故，故，即.故選：C.2．【答案】B【解析】，故選：B．3．【答案】B【解析】由題意可得，，所以因?yàn)椋?，，所以，所?故選：B4．【答案】D【解析】依題，解得，則二項(xiàng)式的所有項(xiàng)系數(shù)之和為.故選：D.5．【答案】B【解析】由題意可知，，，則，解得，或（舍），所以.故選：B6．【答案】B【解析】由題意，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，而，由，得，解得，棱長為6的正方體的正方體的內(nèi)切球的半徑為，棱長為6的正方體體對角線的長度為，因?yàn)?，所以所求球形體積最大時(shí)即為棱長為6的正方體的正方體的內(nèi)切球，則該球形飾品的體積的最大值為.故選：B.7．【答案】B【解析】，所以，，又因?yàn)椋?，?故選：B.8．【答案】D【解析】由題意知，所以，兩邊取以10為底的對數(shù)，得，所以，故選：D.9．【答案】A【解析】由題意得，拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)，則，，故．令，則，由，得，所以，令，則，所以，故當(dāng)，即時(shí)，取得最小值．故選：A．10．【答案】D【解析】法一：因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，設(shè)其公比為，由題意得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．則，．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則．法二：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，則，即．故選：D．11．【答案】C【解析】解法一：由題可得，矩形的寬為，則長為，雙曲線以矩形長邊中點(diǎn)為焦點(diǎn)，過頂點(diǎn)，如圖所示，則，代入雙曲線的方程，得，即.又因?yàn)?，所以，即，等式兩邊同時(shí)除以得.設(shè)，則，即，解得或（不合題意，舍去），即，所以.故選：C.解法二：連接，由題意知，則，，，則由雙曲線的定義知，即，，所以雙曲線的離心率.故選：C.12．【答案】A【解析】由可得，要使恰有一個(gè)零點(diǎn)，只需函數(shù)的圖象與直線相切.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為.由，可得，則切線方程為，即，故需使.由可得，解得.故選：A第二部分（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13．【答案】【解析】根據(jù)特殊元素“甲同學(xué)”分類討論，當(dāng)單位只有甲時(shí)，其余四人分配到，不同分配方案有種；當(dāng)單位不只有甲時(shí)，其余四人分配到，不同分配方案有種；合計(jì)有種不同分配方案，故答案為：.14．【答案】【解析】由知是奇函數(shù)，，設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，由得，即，，得的取值范圍是.故答案為：15．【答案】【解析】依題意，點(diǎn)的軌跡為直線上，顯然，要最大，當(dāng)且僅當(dāng)最大，在中，，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，則只需最大，即圓心到點(diǎn)的距離最小，因此，又圓心，此時(shí)直線的方程為，由解得點(diǎn)，于是圓心關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以圓關(guān)于點(diǎn)對稱的圓的方程為．故答案為：16．【答案】/【解析】取的中點(diǎn)E，的中點(diǎn)F，連接EF，，，則易得，，因?yàn)槠矫?，平面，故平面，同理：平面AMN，又平面，所以平面平面，又平面AMN，所以平面，即點(diǎn)在平面與平面的交線EF上，當(dāng)時(shí)，取最小值．易知，故當(dāng)取最小值時(shí)，P為EF的中點(diǎn)，此時(shí)的面積，則．故答案為：.三、解答題：本大題共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）【解析】（1）由余弦定理可得，化簡為，解得或，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，與為銳角三角形不符合，故.（2）作垂直于，設(shè)，則，當(dāng)，四邊形面積最大，最大面積為.18．（12分）【解析】（1）當(dāng)對接碼中一個(gè)數(shù)字出現(xiàn)3次，另外兩個(gè)數(shù)字各出現(xiàn)1次時(shí)，種數(shù)為：，當(dāng)對接的中兩個(gè)數(shù)字各出現(xiàn)2次，另外一個(gè)數(shù)字出現(xiàn)1次時(shí)，種數(shù)為：，所有滿足條件的對接碼的個(gè)數(shù)為150.（2）隨機(jī)變量的取值為1，2，3，其分布為：，，，故的分布列為：123故.19．（12分）【解析】（1）存在，；理由如下：由，，，平面，所以平面，又平面，故，又，平面，故平面，又平面,故平面平面，又平面平面，平面，作，則平面，又平面，故平面平面，由題意，不妨設(shè)，則中，由等面積得，所以，則，所以.（2）以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，由（1），，,，，,設(shè)平面的法向量為，由，取，易知平面PDE的法向量為，設(shè)平面和平面的夾角為,故.20．（12分）【解析】（1）設(shè)，由，得焦點(diǎn)，則．由，得，解得，代入拋物線方程，得，即，所以，即，所以，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，，，，．聯(lián)立消去整理得，所以．因?yàn)?，所以，又，所以，所以，，即，即，化簡得．因?yàn)?，所以，此時(shí)，所以，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立．因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故的最大值為．21．（12分）【解析】（1）由已知函數(shù)的定義域?yàn)?，又?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，解得或（舍去），所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)；綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由已知，即，可得，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，即在上有兩個(gè)不等實(shí)根，令，只需，故，又，，所以，要證，即證，，只需證，，令，則，令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又，由零點(diǎn)存在性定理得，使得，即，所以時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，則，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即得證.（二）選考題：共10分．請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22．（10分）【解析】（1）將代入直線與曲線的極坐標(biāo)方程中，得直線的直角坐標(biāo)方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為，整理得．易知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所以當(dāng)時(shí)，取得最小