2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《相交線與平行線》專項(xiàng)測試卷含答案

第第頁2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《相交線與平行線》專項(xiàng)測試卷含答案學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________一．選擇題（共10小題）1．（2024秋?蘇州期末）如圖，我們利用直尺和三角板畫平行線或者驗(yàn)證兩條直線是否平行，這樣做的依據(jù)是（）A．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 B．同位角相等，兩直線平行 C．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 D．兩直線平行，同位角相等2．（2024秋?三亞期末）已知AB∥CD，現(xiàn)將一個(gè)含30°角的直角三角尺EFG按如圖方式放置，其中頂點(diǎn)F、G分別落在直線AB，CD上，GE交AB于點(diǎn)H，若∠EHB＝45°，則∠AFG的度數(shù)為（）A．120° B．115° C．110° D．105°3．（2024秋?中原區(qū)期末）如圖是一副初中專用三角尺拼成的圖案，∠A＝∠E＝90°，∠B＝30°，∠D＝45°，AB∥CD，則∠BCE的度數(shù)為（）A．60° B．75° C．90° D．105°4．（2024秋?長沙期末）在一次植樹活動(dòng)中，小明說“只要定出兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線”，其數(shù)學(xué)依據(jù)是（）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．垂線段最短 C．兩點(diǎn)確定一條直線 D．過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行5．（2024秋?蘇州期末）如圖，若CD∥EB，∠1＝65°，則∠B的度數(shù)是（）A．115° B．110° C．105° D．65°6．（2024秋?長安區(qū)期末）如圖，給出下列條件：①∠3＝∠4；②∠1＝∠2；③EF∥CD，且∠D＝∠4；④∠3+∠5＝180°．其中，能推出AD∥BC的條件為（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④7．（2024秋?長安區(qū)期末）如圖，直線l1∥l2，直線l3與l1，l2分別交于A，B兩點(diǎn)，若∠1＝68°，則∠2＝（）A．68° B．82° C．112° D．120°8．（2024秋?中牟縣期末）為增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，感受中國傳統(tǒng)文化，某初中將國家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)“抖空竹”引入陽光特色大課間．如圖①是某同學(xué)“抖空竹”時(shí)的一個(gè)瞬間，小玲把它抽象成圖②的數(shù)學(xué)問題：已知BC∥DE，∠ADE＝80°，∠ABC＝110°，則∠A的度數(shù)是（）A．40° B．30° C．20° D．10°9．（2024秋?濟(jì)南期末）光線從空氣斜射向水中時(shí)會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象．空氣中平行的光線斜射向水中，經(jīng)過折射后在水中的光線也是平行的．如圖，AC、BD為入射光線，CE、DF為折射光線，且滿足AC∥BD，AB∥CD∥EF，若∠1＝40°，∠2＝165°，則∠3的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．55° D．60°10．（2024秋?常州期末）將一塊含30°角的直角三角板與一把直尺按如圖所示方式擺放，∠C＝90°，∠A＝30°．若∠1＝α°，則∠3﹣∠2的大小為（）A．30° B．60° C．（30+α）° D．（30+2α）°二．填空題（共5小題）11．（2024秋?石獅市期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O．若∠AOD＝120°，∠BOE＝40°，則∠COE的大小為．12．（2024秋?邗江區(qū)期末）如圖，AB∥CD，與DE分別相交于點(diǎn)O、D，∠D＝50°，則∠BOE＝°．13．（2024秋?沭陽縣期末）絢麗多彩的舞臺(tái)離不開燈光的氛圍，不同類型的燈，呈現(xiàn)出不同舞臺(tái)燈光．光速燈發(fā)出的光速是一根明亮的細(xì)長的光柱，如圖，在舞臺(tái)上方平行的燈軌a、b上分別安置了可以旋轉(zhuǎn)的光速燈A和C，光速燈A的光束AB按每秒6°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°便立即回轉(zhuǎn)，光速燈C的光束自CD以每秒2°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°便立即停止，若光速燈C先旋轉(zhuǎn)6秒，光速燈A才開始旋轉(zhuǎn)，當(dāng)光速燈A旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒時(shí)，兩束光線平行．14．（2024秋?蘇州期末）如圖，將長方形紙片ABCD沿CE折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)D'的位置．ED'與BC交于點(diǎn)F．若∠D'CF＝20°，則∠AEF＝°．15．（2024秋?二七區(qū)期末）如圖，AB∥CD，連接BD，E是線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，AF、CF分別平分∠BAE，∠DCE，若∠AEC＝α，則∠AFC的度數(shù)用含α的式子表示為．三．解答題（共5小題）16．（2024秋?包河區(qū)期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE是∠AOD的平分線，若∠AOC＝∠BOD＝60°，∠AOF與∠AOE互余．（1）判斷OF把∠AOC所分成的兩個(gè)角的大小關(guān)系，并說明你的結(jié)論；（2）求∠BOE的度數(shù)．17．（2024秋?中衛(wèi)期末）小明在利用潛望鏡觀察物體時(shí)發(fā)現(xiàn)潛望鏡的工作原理如圖2所示：兩面鏡子AB和CD是平行的，根據(jù)平面鏡光的反射原理知∠1＝∠2，∠3＝∠4，請據(jù)此證明進(jìn)入潛望鏡的光線EF和離開潛望鏡的光線HG是平行的．18．（2024秋?蘇州期末）如圖，∠2＝∠B，BE與DF交于點(diǎn)P．（1）若∠1＝46°，求∠C的度數(shù)；（2）若∠2+∠D＝90°，AB∥CD，求證：BE⊥DF．19．（2024秋?長沙期末）如圖，直線AB和CD交于點(diǎn)O，∠COE＝90°，OD平分∠BOF，∠BOE＝55°．（1）求∠AOC的度數(shù)；（2）求∠EOF的度數(shù)．20．（2024秋?蘇州期末）如圖，AF∥DE，∠A＝∠D．（1）填空：因?yàn)锳F∥DE，所以∠A＝∠BED（）．因?yàn)椤螦＝∠D，所以∠D＝（等量代換）．所以AB∥CD（）．（2）若∠BED＝75°，求∠AFD的度數(shù)．參考答案與試題解析題號(hào)12345678910答案BDBCACCBCD一．選擇題（共10小題）1．（2024秋?蘇州期末）如圖，我們利用直尺和三角板畫平行線或者驗(yàn)證兩條直線是否平行，這樣做的依據(jù)是（）A．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 B．同位角相等，兩直線平行 C．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 D．兩直線平行，同位角相等【考點(diǎn)】平行線的判定；作圖—復(fù)雜作圖．【專題】推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的判定方法，進(jìn)行判斷即可．【解答】解：由題意，這樣做的依據(jù)是同位角相等，兩直線平行；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的判定，掌握平行線的判定是解題的關(guān)鍵．2．（2024秋?三亞期末）已知AB∥CD，現(xiàn)將一個(gè)含30°角的直角三角尺EFG按如圖方式放置，其中頂點(diǎn)F、G分別落在直線AB，CD上，GE交AB于點(diǎn)H，若∠EHB＝45°，則∠AFG的度數(shù)為（）A．120° B．115° C．110° D．105°【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)．【專題】運(yùn)算能力．【答案】D【分析】由AB∥CD可得∠EGD＝∠EHB＝45°，結(jié)合∠FGE＝60°可得出∠FGD的度數(shù)，再由AB∥CD得出∠AFG＝∠FGD，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵AB∥CD，∠EHB＝45°，∴∠EGD＝∠EHB＝45°，∵∠E＝30°，∠FGE＝60°，∴∠FGD＝∠FGE+∠EGD＝60°+45°＝105°，∵AB∥CD，∴∠AFG＝∠FGD＝105°．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)：①兩直線平行，同位角相等；②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．3．（2024秋?中原區(qū)期末）如圖是一副初中專用三角尺拼成的圖案，∠A＝∠E＝90°，∠B＝30°，∠D＝45°，AB∥CD，則∠BCE的度數(shù)為（）A．60° B．75° C．90° D．105°【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；角的計(jì)算．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】B【分析】由平行線的性質(zhì)推出∠BCD＝∠B＝30°，求出∠DCE＝90°﹣45°＝45°，即可得到∠BCE的度數(shù)．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BCD＝∠B＝30°，∵∠E＝90°，∠D＝45°，∴∠DCE＝90°﹣45°＝45°，∴∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝75°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)推出∠BCD＝∠B．4．（2024秋?長沙期末）在一次植樹活動(dòng)中，小明說“只要定出兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線”，其數(shù)學(xué)依據(jù)是（）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．垂線段最短 C．兩點(diǎn)確定一條直線 D．過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行【考點(diǎn)】平行公理及推論；直線的性質(zhì)：兩點(diǎn)確定一條直線；線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短；垂線段最短．【專題】線段、角、相交線與平行線；應(yīng)用意識(shí)．【答案】C【分析】兩棵樹的位置相當(dāng)于兩個(gè)點(diǎn)，要確定同一行樹所在的直線，即兩點(diǎn)確定一條直線．【解答】解：由題意得：兩點(diǎn)確定一條直線，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中應(yīng)用，培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)以致用的意識(shí)．5．（2024秋?蘇州期末）如圖，若CD∥EB，∠1＝65°，則∠B的度數(shù)是（）A．115° B．110° C．105° D．65°【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】A【分析】由平行線的性質(zhì)推出∠B+∠2＝180°，由對(duì)頂角的性質(zhì)得到∠2＝∠1＝65°，即可求出∠B的度數(shù)．【解答】解：∵CD∥EB，∴∠B+∠2＝180°，∵∠2＝∠1＝65°，∴∠B＝115°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)推出∠B+∠2＝180°．6．（2024秋?長安區(qū)期末）如圖，給出下列條件：①∠3＝∠4；②∠1＝∠2；③EF∥CD，且∠D＝∠4；④∠3+∠5＝180°．其中，能推出AD∥BC的條件為（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【考點(diǎn)】平行線的判定．【答案】C【分析】根據(jù)平行線的判定方法結(jié)合題目所給的條件進(jìn)行推理即可．【解答】解：①∠3＝∠4可以根據(jù)同位角相等，兩直線平行判定AD∥BC，故此選項(xiàng)正確；②∠1＝∠2可以根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行判定AB∥DC，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，③因?yàn)镋F∥CD得∠1＝∠2又因?yàn)椤螪＝∠4，根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°得∠DAC＝∠BCA得AD∥BC，故此選項(xiàng)正確；④∠3+∠5＝180°，可得到∠5＝∠DAB，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行判定AD∥BC，故此選項(xiàng)正確；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的判定，關(guān)鍵是掌握：（1）定理1：同位角相等，兩直線平行．（2）定理2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．（3）定理3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．（4）定理4：兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行．（5）定理5：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線同時(shí)垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行．7．（2024秋?長安區(qū)期末）如圖，直線l1∥l2，直線l3與l1，l2分別交于A，B兩點(diǎn)，若∠1＝68°，則∠2＝（）A．68° B．82° C．112° D．120°【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】先利用平行線的性質(zhì)可得：∠1＝∠3＝68°，然后利用平角定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵直線l1∥l2，∴∠1＝∠3＝68°，∴∠2＝180°﹣∠3＝112°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2024秋?中牟縣期末）為增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，感受中國傳統(tǒng)文化，某初中將國家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)“抖空竹”引入陽光特色大課間．如圖①是某同學(xué)“抖空竹”時(shí)的一個(gè)瞬間，小玲把它抽象成圖②的數(shù)學(xué)問題：已知BC∥DE，∠ADE＝80°，∠ABC＝110°，則∠A的度數(shù)是（）A．40° B．30° C．20° D．10°【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】B【分析】過A作AF∥BC，得到AF∥DE，由平行線的性質(zhì)推出∠FAD＝∠ADE＝80°，∠FAB＝∠ABC＝110°，即可求出∠BAD的度數(shù)．【解答】解：過A作AF∥BC，∵BC∥DE，∴AF∥DE，∴∠FAD＝∠ADE＝80°，∠FAB＝∠ABC＝110°，∴∠BAD＝∠FAB﹣∠FAD＝30°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)推出∠FAD＝∠ADE，∠FAB＝∠ABC．9．（2024秋?濟(jì)南期末）光線從空氣斜射向水中時(shí)會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象．空氣中平行的光線斜射向水中，經(jīng)過折射后在水中的光線也是平行的．如圖，AC、BD為入射光線，CE、DF為折射光線，且滿足AC∥BD，AB∥CD∥EF，若∠1＝40°，∠2＝165°，則∠3的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．55° D．60°【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠ACD＝40°，根據(jù)∠2＝165°求出∠ECD＝125°，進(jìn)而求出∠CEF的度數(shù)，進(jìn)而求出∠3即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠1＝40°，∵∠2＝165°，∴∠DCE＝165°﹣40°＝125°，∵CD∥EF，∴∠DCE+∠CEF＝180°，∴∠CEF＝55°，∵CE、DF為折射光線，∴CE∥DF，∴∠3＝∠CEF＝55°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)．10．（2024秋?常州期末）將一塊含30°角的直角三角板與一把直尺按如圖所示方式擺放，∠C＝90°，∠A＝30°．若∠1＝α°，則∠3﹣∠2的大小為（）A．30° B．60° C．（30+α）° D．（30+2α）°【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；余角和補(bǔ)角．【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】D【分析】過B作BK∥MN，得到BK∥PQ，推出∠5＝∠1＝α°，∠6＝∠2，得到∠2+α°＝60°，因此2∠2+2α°＝120°，由三角形內(nèi)角和定理得到∠3+∠2＝150°，即可求出∠3﹣∠2＝（30+2α）°．【解答】解：過B作BK∥MN，∵M(jìn)N∥PQ，∴BK∥PQ，∴∠5＝∠1＝α°，∠6＝∠2，∴∠2+α°＝∠5+∠6＝∠ABC＝60°，∴2∠2+2α°＝120°，∵∠3+∠4＝180°﹣∠A＝150°，∠4＝∠2，∴∠3+∠2＝150°，∴∠3+∠2﹣（2∠2+2α°）＝150°﹣120°，∴∠3﹣∠2＝（30+2α）°．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)推出∠2+∠1＝∠ABC．二．填空題（共5小題）11．（2024秋?石獅市期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O．若∠AOD＝120°，∠BOE＝40°，則∠COE的大小為80°．【考點(diǎn)】對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角．【專題】運(yùn)算能力．【答案】80°．【分析】先根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠AOD＝∠BOC＝120°，再根據(jù)∠BOE＝40°，然后利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：∵直線AB，CD相交于點(diǎn)O，∠AOD＝120°，∴∠BOC＝∠AOD＝120°，∵∠BOE＝40°，∴∠COE＝∠BOC﹣∠BOE＝80°，故答案為：80°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)頂角，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．12．（2024秋?邗江區(qū)期末）如圖，AB∥CD，與DE分別相交于點(diǎn)O、D，∠D＝50°，則∠BOE＝130°．【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】130．【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠AOE＝∠D＝50°，然后根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求解即可．【解答】解：根據(jù)題意可知，AB∥CD，與DE分別相交于點(diǎn)O、D，∠D＝50°，∴∠AOE＝∠D＝50°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣50°＝130°．故答案為：130．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是平行線性質(zhì)的熟練掌握．13．（2024秋?沭陽縣期末）絢麗多彩的舞臺(tái)離不開燈光的氛圍，不同類型的燈，呈現(xiàn)出不同舞臺(tái)燈光．光速燈發(fā)出的光速是一根明亮的細(xì)長的光柱，如圖，在舞臺(tái)上方平行的燈軌a、b上分別安置了可以旋轉(zhuǎn)的光速燈A和C，光速燈A的光束AB按每秒6°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°便立即回轉(zhuǎn)，光速燈C的光束自CD以每秒2°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°便立即停止，若光速燈C先旋轉(zhuǎn)6秒，光速燈A才開始旋轉(zhuǎn)，當(dāng)光速燈A旋轉(zhuǎn)時(shí)間為3或43.5秒時(shí)，兩束光線平行．【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；一元一次方程的應(yīng)用；平行線的判定．【專題】運(yùn)算能力．【答案】3或43.5．【分析】分旋轉(zhuǎn)小于180°時(shí)和大于180°兩種情況，根據(jù)平行線的性質(zhì)表示出數(shù)據(jù)，列出一元一次方程，求解即可．【解答】解：設(shè)光速燈A旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，則C旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為（t+6）秒，當(dāng)AB旋轉(zhuǎn)小于180°時(shí)，如圖所示：∵AB∥CD，∴∠1＝∠2（兩直線平行，同位角相等），∵a∥b，∴∠2＝∠3（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∴∠1＝∠3，∵AB按每秒6°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，CD以每秒2°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，∴∠1＝（6t）°，∠3＝（12+2t）°，∴6t＝12+2t，∴t＝3；當(dāng)AB旋轉(zhuǎn)大于180°回轉(zhuǎn)時(shí)，如圖所示：∵a∥b，AB∥CD，∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠1＝[180﹣（6t﹣180）]°＝（360﹣6t）°，∠3＝（12+2t）°，∴360﹣6t＝12+2t，∴t＝43.5；綜上：旋轉(zhuǎn)時(shí)間為3秒或43.5秒，故答案為：3或43.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，一元一次方程，正確計(jì)算相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度數(shù)是解題的關(guān)鍵．14．（2024秋?蘇州期末）如圖，將長方形紙片ABCD沿CE折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)D'的位置．ED'與BC交于點(diǎn)F．若∠D'CF＝20°，則∠AEF＝110°．【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）．【專題】線段、角、相交線與平行線；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；推理能力．【答案】110．【分析】由長方形的性質(zhì)得到∠D＝90°，AD∥BC，由折疊的性質(zhì)得到∠D′＝∠D＝90°，求出∠CFD′＝90°﹣20°＝70°，由對(duì)頂角的性質(zhì)得到∠EFB＝∠CFD′＝70°，由平行線的性質(zhì)推出∠AEF+∠EFB＝180°，即可求出∠AEF的度數(shù)．【解答】解：∵四邊形ABCD是長方形，∴∠D＝90°，AD∥BC，由折疊的性質(zhì)得到：∠D′＝∠D＝90°，∵∠D′CF＝20°，∴∠CFD′＝90°﹣20°＝70°，∴∠EFB＝∠CFD′＝70°，∵AD∥BC，∴∠AEF+∠EFB＝180°，∴∠AEF＝110°．故答案為：110．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，折疊問題，關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)推出∠AEF+∠EFB＝180°，由折疊的性質(zhì)得到∠D′＝∠D＝90°．15．（2024秋?二七區(qū)期末）如圖，AB∥CD，連接BD，E是線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，AF、CF分別平分∠BAE，∠DCE，若∠AEC＝α，則∠AFC的度數(shù)用含α的式子表示為12α【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；列代數(shù)式．【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力．【答案】12α【分析】通過作輔助線，得到∠BAE+∠ECD＝∠AEC＝α，同理可得∠BAF+∠DCF＝∠AFC，結(jié)合角平分線，得到結(jié)果．【解答】解：過E點(diǎn)作EM∥AB，過F點(diǎn)作FN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EM∥FN，∴∠BAE＝∠AEM，∠ECD＝∠MEC，∵∠AEC＝α，∴∠BAE+∠ECD＝∠AEC＝α，同理，∠BAF＝∠AFN，∠DCF＝∠CFN，∴∠BAF+∠DCF＝∠AFC，∵AF、CF分別平分∠BAE，∠DCE，∴∠BAF=12∠BAE，∠DCF=1∴∠BAF+∠DCF=12（∠BAE+∠∴∠AFC=12故答案為：12α【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）16．（2024秋?包河區(qū)期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE是∠AOD的平分線，若∠AOC＝∠BOD＝60°，∠AOF與∠AOE互余．（1）判斷OF把∠AOC所分成的兩個(gè)角的大小關(guān)系，并說明你的結(jié)論；（2）求∠BOE的度數(shù)．【考點(diǎn)】對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角；角的概念；角平分線的定義；余角和補(bǔ)角；角的大小比較．【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀；運(yùn)算能力．【答案】（1）∠AOF＝∠COF；（2）∠BOE＝120°．【分析】（1）根據(jù)對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角以及角平分線的定義進(jìn)行解答即可；（2）由對(duì)頂角、角平分線的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）∠AOF＝∠COF，理由：∵∠AOC＝∠BOD＝60°，∴∠AOD＝180°﹣60°＝120°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE＝∠DOE=120°∵∠AOF與∠AOE互余，即∠AOF+∠AOE＝90°，∴∠AOF＝90°﹣60°＝30°，∠COF＝60°﹣30°＝30°，∴∠AOF＝∠COF；（2）∠BOE＝∠BOD+∠DOE＝60°+60°＝120°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，角平分線以及余角和補(bǔ)角，掌握角平分線的定義以及對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的定義是正確解答的關(guān)鍵．17．（2024秋?中衛(wèi)期末）小明在利用潛望鏡觀察物體時(shí)發(fā)現(xiàn)潛望鏡的工作原理如圖2所示：兩面鏡子AB和CD是平行的，根據(jù)平面鏡光的反射原理知∠1＝∠2，∠3＝∠4，請據(jù)此證明進(jìn)入潛望鏡的光線EF和離開潛望鏡的光線HG是平行的．【考點(diǎn)】平行線的判定．【專題】推理能力．【答案】見解析．【分析】根據(jù)∠2和∠3是內(nèi)錯(cuò)角，且兩面鏡子是平行放置的，得到∠2＝∠3；再結(jié)合∠1＝∠2，∠3＝∠4，可得∠5＝∠6，根據(jù)平行線的判定定理即可解答．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠2＝∠3（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4．∵∠5＝180°﹣∠1﹣∠2，∠6＝180°﹣∠3﹣∠4，∴∠5＝∠6．∴FE∥GH（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟記平行線的判定定理和性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．18．（2024秋?蘇州期末）如圖，∠2＝∠B，BE與DF交于點(diǎn)P．（1）若∠1＝46°，求∠C的度數(shù)；（2）若∠2+∠D＝90°，AB∥CD，求證：BE⊥DF．【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；垂線．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】（1）∠C＝46°；（2）見解析．【分析】（1）根據(jù)平行線的判定得出CF∥EB，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠C＝∠1，即可得出答案；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BFD＝∠D，根據(jù)∠2+∠D＝90°，得出∠BFD+∠2＝90°，求出∠CFD＝90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EPD＝∠CFD＝90°，即可證明結(jié)論．【解答】（1）解：∵∠2＝∠B，∴CF∥BE，∴∠C＝∠1，∵∠1＝46°，∴∠C＝46°，所以∠C的度數(shù)為46°；（2）證明：∵AB∥CD，∴∠BFD＝∠D，∵∠2+∠D＝90°，∴∠BFD+∠2＝∠D+∠2＝90°，∴∠CFD＝90°，由（1）可知，CF∥BE，∴∠EPD＝∠CFD＝90°，∴BE⊥DF．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)．19．（2024秋?長沙期末）如圖，直線AB和CD交于點(diǎn)O，∠COE＝90°，OD平分∠BOF，∠BOE＝55°．（1）求∠AOC的度數(shù)；（2）求∠EOF的度數(shù)．【考點(diǎn)】對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角；角平分線的定義．【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)平角的定義進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)角平分線的定義以及圖形中線段之間的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵∠BOE＝55°，∠COE＝90°，而∠AOC+∠COE+∠BOE＝180°，∴∠AOC＝180°﹣55°﹣90°＝35°，（2）∵∠DOE＝∠COE＝90°，∴∠BOD＝90°﹣55°＝35°，又∵DO平分∠BOF，∴∠BOD＝∠DOF＝35°，∴∠EOF＝55°+35°+35°＝125°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線的定義，對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，理解對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角以及角平分線的定義是正確解答的關(guān)鍵．20．（2024秋?蘇州期末）如圖，AF∥DE，∠A＝∠D．（1）填空：因?yàn)锳F∥DE，所以∠A＝∠BED（兩直線平行，同位角相等）．因?yàn)椤螦＝∠D，所以∠D＝∠BED（等量代換）．所以AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．（2）若∠BED＝75°，求∠AFD的度數(shù)．【考點(diǎn)】平行線的判定與性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】（1）兩直線平行，同位角相等；∠BED；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；（2）105°．【分析】（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【解答】解：（1）因?yàn)锳F∥DE，所以∠A＝∠BED（兩直線平行，同位角相等）．因?yàn)椤螦＝∠D，所以∠D＝∠BED（等量代換）．所以AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．故答案為：兩直線平行，同位角相等；∠BED；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；（2）∵AF∥DE，∴∠AFD+∠D＝180°，∵∠D＝∠BED＝75°，∴∠AFD＝105°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．列代數(shù)式（1）定義：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)字、字母和運(yùn)算符號(hào)的式子表示出來，就是列代數(shù)式．（2）列代數(shù)式五點(diǎn)注意：①仔細(xì)辨別詞義．列代數(shù)式時(shí)，要先認(rèn)真審題，抓住關(guān)鍵詞語，仔細(xì)辯析詞義．如“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區(qū)分．②分清數(shù)量關(guān)系．要正確列代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關(guān)系．③注意運(yùn)算順序．列代數(shù)式時(shí)，一般應(yīng)在語言敘述的數(shù)量關(guān)系中，先讀的先寫，不同級(jí)運(yùn)算的語言，且又要體現(xiàn)出先低級(jí)運(yùn)算，要把代數(shù)式中代表低級(jí)運(yùn)算的這部分括起來．④規(guī)范書寫格式．列代數(shù)時(shí)要按要求規(guī)范地書寫．像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號(hào)不寫，數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號(hào)；除法可寫成分?jǐn)?shù)形式，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘需把代分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，書寫單位名稱什么時(shí)不加括號(hào)，什么時(shí)要加括號(hào)．注意代數(shù)式括號(hào)的適當(dāng)運(yùn)用．⑤正確進(jìn)行代換．列代數(shù)式時(shí)，有時(shí)需將題中的字母代入公式，這就要求正確進(jìn)行代換．【規(guī)律方法】列代數(shù)式應(yīng)該注意的四個(gè)問題1．在同一個(gè)式子或具體問題中，每一個(gè)字母只能代表一個(gè)量．2．要注意書寫的規(guī)范性．用字母表示數(shù)以后，在含有字母與數(shù)字的乘法中，通常將“×”簡寫作“?”或者省略不寫．3．在數(shù)和表示數(shù)的字母乘積中，一般把數(shù)寫在字母的前面，這個(gè)數(shù)若是帶分?jǐn)?shù)要把它化成假分?jǐn)?shù)．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除號(hào)），而是寫成分?jǐn)?shù)的形式．2．一元一次方程的應(yīng)用（一）一元一次方程解應(yīng)用題的類型有：（1）探索規(guī)律型問題；（2）數(shù)字問題；（3）銷售問題（利潤＝售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)，利潤率=利潤進(jìn)價(jià)×100%）；（4）工程問題（①（5）行程問題（路程＝速度×?xí)r間）；（6）等值變換問題；（7）和，差，倍，分問題；（8）分配問題；（9）比賽積分問題；（10）水流航行問題（順?biāo)俣龋届o水速度+水流速度；逆水速度＝靜水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解決實(shí)際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程、求解、作答，即設(shè)、列、解、答．列一元一次方程解應(yīng)用題的五個(gè)步驟1．審：仔細(xì)審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關(guān)系．2．設(shè)：設(shè)未知數(shù)（x），根據(jù)實(shí)際情況，可設(shè)直接未知數(shù)（問什么設(shè)什么），也可設(shè)間接未知數(shù)．3．列：根據(jù)等量關(guān)系列出方程．4．解：解方程，求得未知數(shù)的值．5．答：檢驗(yàn)未知數(shù)的值是否正確，是否符合題意，完整地寫出答句．3．直線的性質(zhì)：兩點(diǎn)確定一條直線（1）直線公理：經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線．簡稱：兩點(diǎn)確定一條直線．（2）經(jīng)過一點(diǎn)的直線有無數(shù)條，過兩點(diǎn)就唯一確定，過三點(diǎn)就不一定了．4．線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短線段公理兩點(diǎn)的所有連線中，可以有無數(shù)種連法，如折線、曲線、線段等，這些所有的線中，線段最短．簡單說成：兩點(diǎn)之間，線段最短．5．角的概念（1）角的定義：有公共端點(diǎn)是兩條射線組成的圖形叫做角，其中這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．（2）角的表示方法：角可以用一個(gè)大寫字母表示，也可以用三個(gè)大寫字母表示．其中頂點(diǎn)字母要寫在中間，唯有在頂點(diǎn)處只有一個(gè)角的情況，才可用頂點(diǎn)處的一個(gè)字母來記這個(gè)角，否則分不清這個(gè)字母究竟表示哪個(gè)角．角還可以用一個(gè)希臘字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯?dāng)?shù)字（∠1，∠2…）表示．（3）平角、周角：角也可以看作是由一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，當(dāng)始邊與終邊成一條直線時(shí)形成平角，當(dāng)始邊與終邊旋轉(zhuǎn)重合時(shí)，形成周角．（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量單位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．6．角平分線的定義（1）角平分線的定義從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線．（2）性質(zhì)：若OC是∠AOB的平分線則∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠（3）平分角的方法有很多，如度量法、折疊法、尺規(guī)作圖法等，要注意積累，多動(dòng)手實(shí)踐．7．角的計(jì)算（1）角的和差倍分①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，記作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，記作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射線OC是∠AOB的三等分線，則∠AOB＝3∠BOC或∠BOC=13∠（2）度、分、秒的加減運(yùn)算．在進(jìn)行度分秒的加減時(shí)，要將度與度，分與分，秒與秒相加減，分秒相加，逢60要進(jìn)位，相減時(shí)，要借1化60．（3）度、分、秒的乘除運(yùn)算．①乘法：度、分、秒分別相乘，結(jié)果逢60要進(jìn)位．②除法：度、分、秒分別去除，把每一次的余數(shù)化作下一級(jí)單位進(jìn)一步去除．8．余角和補(bǔ)角（1）余角：如果兩個(gè)角的和等于90°（直角），就說這兩個(gè)角互為余角．即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角．（2）補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和等于180°（平角），就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角．即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角．（3）性質(zhì)：等角的補(bǔ)角相等．等角的余角相等．（4）余角和補(bǔ)角計(jì)算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián)．注意：余角（補(bǔ)角）與這兩個(gè)角的位置沒有關(guān)系．不論這兩個(gè)角在哪兒，只要度數(shù)之和滿足了定義，則它們就具備相應(yīng)的關(guān)系．9．角的大小比較（1）比較角的大小有兩種方法：①測量法，即用量角器量角的度數(shù)，角的度數(shù)越大，角越大．②疊合法，即將兩個(gè)角疊合在一起比較，使兩個(gè)角的頂點(diǎn)及一邊重合，觀察另一邊的位置．（2）表示法：①∠AOB＞∠A′O′B′，②∠AOB＝∠A′O′B′，③∠AOB＜∠A′O′B′．10．對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角（1）對(duì)頂角：有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角．（2）鄰補(bǔ)角：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角．（3）對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等．（4）鄰補(bǔ)角的性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，即和為180°．（5）鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角成對(duì)出現(xiàn)，在相交直線中，一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)．鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角都是相對(duì)與兩個(gè)角而言，是指的兩個(gè)角的一種位置關(guān)系．它們都是在兩直線相交的前提下形成的．11．垂線（1）垂線的定義當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交