高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)11任意角弧度111任意角省公開課一等獎新課獲獎?wù)n件

第1章三角函數(shù)1/281．1任意角、弧度1．1.1任意角

第1章三角函數(shù)2/28學(xué)習(xí)導(dǎo)航

第1章三角函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解角定義．2．了解任意角、象限角概念．(重點、難點)3．掌握終邊相同角表示方法．(重點)學(xué)法指導(dǎo)1.解答與任意角相關(guān)問題關(guān)鍵在于抓住角四個“要素”：頂點、始邊、終邊和旋轉(zhuǎn)方向．2．確定任意角大小要抓住旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量．3．學(xué)習(xí)象限角時，注意角在直角坐標(biāo)系中放法，在這個統(tǒng)一前提下，才能對終邊落在坐標(biāo)軸上角、象限角進行定義.3/281.角概念(1)角定義：一個角能夠看做平面內(nèi)一條射線繞著它端

點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成圖形．射線端點

稱為角____________，射線旋轉(zhuǎn)開始位置和終止位置稱

為角____________和____________

(如圖)．頂點始邊終邊4/28(2)正角、負角和零角按____________時針方向旋轉(zhuǎn)所形成角叫做正角，按____________時針方向旋轉(zhuǎn)所形成角叫做負角．假如射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，那么也把它看成一個角,叫做_________.(3)象限角和軸線角以角頂點為坐標(biāo)原點，角始邊為x軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，角終邊(除端點外)在第幾象限，則這個角是第幾象限角；假如角終邊在____________上，稱這個角為軸線角．逆順零角坐標(biāo)軸5/282.終邊相同角關(guān)系(1)角β與角α終邊相同?______________________________.(2)與角α終邊相同角集合為：__________________________________．β＝k·360°＋α，k∈Z{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}6/281．以下各組角中，終邊相同是________．(只填序號)①－60°，300°，420°；②－60°，－300°，－420°;③－60°，300°，－420°；④60°，－300°，－420°.解析：兩角相減是360°整數(shù)倍即是終邊相同角．③7/282．在148°，475°，－960°，－1601°，－185°這5個角中，屬于第二象限角個數(shù)是________．48/283．把－1485°寫成k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)形式是_________________________．解析：－1485°＝－5×360°＋315°.4．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，則α為第________象限角．解析：α＝k·180°＋45°，k∈Z.當(dāng)k為偶數(shù)時，設(shè)k＝2n(n∈Z)，則α＝n·360°＋45°，α為第一象限角．當(dāng)k為奇數(shù)時，設(shè)k＝2n＋1(n∈Z)，則α＝n·360°＋225°，α為第三象限角．綜上，α為第一或三象限角．－5×360°＋315°一或三9/28角概念推廣已知以下說法：①[0°，90°)角是第一象限角；②第一象限角都是銳角；③銳角都是第一象限角；④小于90°角都是銳角．其中正確是________(填序號)．(鏈接教材P7練習(xí)T6)10/28[解析]

[0°，90°)角是指0°≤α＜90°，而0°不屬于任何象限；銳角是指0°＜α＜90°角；第一象限角為k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，不一定是銳角；小于90°角也可為負角、零角．[答案]

③方法歸納(1)處理這類問題關(guān)鍵在于正確了解象限角、銳角、小于90°角概念．(2)本題也可采取排除法，這時需掌握判斷說法真假技巧.判斷說法為真需要證實,而判斷說法為假只需舉一反例即可.11/281.若θ是第四象限角，則90°＋θ是第________象限角．解析：∵θ是第四象限角，∴k·360°－90°<θ<k·360°，k∈Z.∴k·360°<90°＋θ<k·360°＋90°，k∈Z.∴90°＋θ是第一象限角．一12/28終邊相同角(·北京高一檢測)已知α＝－1910°.(1)把α寫成β＋k·360°(k∈Z，0°≤β<360°)形式，

指

出它是第幾象限角；(2)求θ，使θ與α終邊相同，且－720°≤θ<0°.(鏈接教材P6例1)[解]

(1)∵－1910°÷360°＝－6余250°，∴－1910°＝－6×360°＋250°，∴β＝250°，從而α＝－6×360°＋250°是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到適合－720°≤θ<0°角．250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.13/28方法歸納將任意角化為α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)形式，關(guān)鍵是確定k.可用觀察法(α較小時適用)，也可用除以360°方法．要注意：正角除以360°，按通常除法進行，負角除以360°，商是負數(shù)，且余數(shù)是正值．14/282.寫出與－1484°37′角終邊相同角β集合S，分別

求

出符合以下條件角．(1)絕對值最小角；(2)把適合不等式－720°≤β＜360°元素寫出來．解：與－1484°37′角終邊相同角集合S＝{β|β＝k·360°－1484°37′，k∈Z}．(1)∵－1484°37′＝－4×360°－44°37′，∴4×360°－1484°37′＝－44°37′，5×360°－1484°37′＝315°23′，所以k＝4時，絕對值最小角為－44°37′.15/28(2)S中適合－720°≤β＜360°元素是3×360°－1484°37′＝－404°37′；4×360°－1484°37′＝－44°37′；5×360°－1484°37′＝315°23′.16/28區(qū)域角表示已知集合A＝{α|30°＋k×180°<α<90°＋k×180°,k∈Z},B＝{β|－45°＋k×360°<β<45°＋k×360°,k∈Z}.(1)試在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出集合A和B中角終邊所在區(qū)域；(2)求A∩B.(鏈接教材P10練習(xí)T11)17/28[解]

(1)如圖所表示：集合A中角終邊在陰影(Ⅰ)內(nèi)，集合B中角終邊在陰影(Ⅱ)內(nèi)．(2)集合A∩B中角終邊在陰影(Ⅰ)和(Ⅱ)公共部分內(nèi)，所以A∩B＝{γ|30°＋k×360°<γ<45°＋k×360°,k∈Z}．18/2819/283.如圖(1)、圖(2)、圖(3)所表示，寫出終邊落在陰影處(包含邊界)角集合．20/28解：(1)由圖(1)可知，角集合為{α|－40°＋k×360°≤α≤50°＋k×360°，k∈Z}．(2)由圖(2)可知，角集合為{α|45°＋k×360°≤α≤90°＋k×360°，k∈Z}∪{α|225°＋k×360°≤α≤270°＋k×360°，k∈Z}＝{α|45°＋2k×180°≤α≤90°＋2k×180°，k∈Z}∪{α|45°＋(2k＋1)×180°≤α≤90°＋(2k＋1)×180°，k∈Z}＝{α|45°＋n×180°≤α≤90°＋n×180°，n∈Z}．(3)由圖(3)可知，角集合為{α|60°＋k×360°≤α≤315°＋k×360°，k∈Z}．21/28規(guī)范解答終邊相同角問題(本題滿分14分)在與1089°角終邊相同角中，求滿足以下條件角．(1)在－360°～720°內(nèi)；(2)最大負角；(3)最小正角．[解]與1089°角終邊相同角普通形式為α＝k·360°＋1089°(k∈Z).3分(1)由－360°≤α<720°，得－360°≤k·360°＋1089°<720°(k∈Z)，－1449°≤k·360°<－369°(k∈Z)，所以k＝－4，－3，－2，所以