清實(shí)221等差數(shù)列第一課時(shí)市公開課一等獎(jiǎng)省賽課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

清實(shí)高二數(shù)學(xué)組張傳彬1/27在過去三百多年里，人們分別在以下時(shí)間里觀察到了哈雷慧星：（1）1682，1758，1834，1910，1986，（）你能預(yù)測(cè)出下一次大致時(shí)間嗎？2062主持人問:最近時(shí)間什么時(shí)候能夠看到哈雷慧星？天文學(xué)家說:2062年左右。相差76新課引入2/27通常情況下，從地面到10公里高空，氣溫隨高度改變而改變符合一定規(guī)律，請(qǐng)你依據(jù)下表預(yù)計(jì)一下珠穆朗瑪峰峰頂溫度。8844.43米高度(km)溫度(℃)1232821.515458.52……9-24(2)28,21.5,15,8.5,2,…,-24.降低6.53/27觀察與思索：下面幾個(gè)數(shù)列：（1）1，3，5，7，9，11，……（2）3，6，9，12，15，18，……（3）1，1，1，1，1，1，1，……（4）3，0，－3，－6，－9，－12，……問題：這些數(shù)列有何特點(diǎn)？特點(diǎn)：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)差都等于同一個(gè)常數(shù)對(duì)于數(shù)列（1），從第2項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)差都等于2;對(duì)于數(shù)列（2），從第2項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)差都等于3;對(duì)于數(shù)列（3），從第2項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)差都等于0;對(duì)于數(shù)列（4），從第2項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)差都等于-3.4/27一、等差數(shù)列定義

普通地，假如一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列公差，公差通慣用字母d表示.

假如等差數(shù)列首項(xiàng)是，公差是，那么依據(jù)等差數(shù)列定義能夠得到以下結(jié)論：數(shù)列為等差數(shù)列判斷標(biāo)準(zhǔn)5/27對(duì)等差數(shù)列定義了解1．假如一個(gè)數(shù)列，不是從第2項(xiàng)起，而是從第3項(xiàng)起或第4項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一

項(xiàng)差是同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列不

是等差數(shù)列．2．一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一

項(xiàng)差盡管等于常數(shù)，這個(gè)數(shù)列也不一

定是等差數(shù)列，因?yàn)檫@些常數(shù)不一定相同．當(dāng)這些常數(shù)不一樣時(shí)，此數(shù)列不是等差數(shù)列6/27對(duì)等差數(shù)列定義了解3．求公差時(shí)，要注意相鄰兩項(xiàng)相減次序d=an+1-an或d=an-an-1(n≥2)——后-前4.要判斷一個(gè)數(shù)列是不是等差數(shù)列，只要

看對(duì)于任意正整數(shù)n，an-an-1，是不是通

一個(gè)常數(shù)，切記不可經(jīng)過計(jì)算a2-a1,a3-a2

等有限幾個(gè)式子值后，發(fā)覺它一個(gè)

常數(shù)，就得出該數(shù)列為等差數(shù)列結(jié)論7/275.常數(shù)列一定是等差數(shù)列

6.等差數(shù)列公差d討論——3種

d>0,遞

數(shù)列d<0,遞

數(shù)列d=0,

數(shù)列8/27例1、判斷下面數(shù)列是否為等差數(shù)列.ex1、觀察以下數(shù)列是否是等差數(shù)列9/27ex2、判斷正誤①數(shù)列a，2a，3a，4a，…是等差數(shù)列（

）②若an－an+1=3(n∈N*)，則{an}是公差為3

等差數(shù)列。（）若a2－a1=a3－a2,則數(shù)列｛an｝是等差數(shù)

列（）③10/27問題：已知等差數(shù)列｛an｝首項(xiàng)為a1，公差為d，求an解法一：由等差數(shù)列定義可知：

a2－a1=d,a3－a2=d,a4－a3=d,……

則a2=a1＋da3=a2＋d=（a1＋d）＋d=a1＋2da4=a3＋d=（a1＋2d）＋d=a1＋3d……由此可知：an=a1＋（n－1）d當(dāng)n=1時(shí),a1=a1＋（1－1）d=a1

等式成立這表明當(dāng)n∈N*時(shí)，an=a1＋（n－1）d成立。不完全歸納法11/27解法二：等差數(shù)列{an}首項(xiàng)是a1,公差是d，如：

那麼，則由定義得：

a2-a1=d(1)

a3-a2=d(2)a4-a3=d(3)a5-a4=d(4)

、、、、、an-an-1=d分析：假如把左邊由（1）式到最終一個(gè)式子，共_____個(gè)式子相加，則有：n-1

等號(hào)左邊為：an-a1,

等號(hào)右邊為：(n-1)d所以：an-a1=(n-1)d,即

an=a1+(n-1)d

當(dāng)n=1時(shí)，上式兩邊都等于a1。∴n∈N*，公式成立。

∴等差數(shù)列通項(xiàng)公式是:an=a1+(n-1)d累加法12/27簡(jiǎn)單應(yīng)用等差數(shù)列中a1=1,d=2an=

關(guān)鍵求出a1和d1+（n-1）×2=2n-113/27簡(jiǎn)單應(yīng)用通項(xiàng)公式中有幾個(gè)量？a1,d,an，n含義？已知其中三個(gè)量就能夠求出第四個(gè)14/27例1(1)求等差數(shù)列8，5，2，…，第20項(xiàng)。解：(2)–401是否是等差數(shù)列-5，-9，-13，…，項(xiàng)？假如是，是第幾項(xiàng)？解：所以，解得,20,385,81=-=-==ndaQ15/27解：由題意得：例2求通項(xiàng)公式關(guān)鍵步驟：求基本量a1和d：依據(jù)已知條件列方程，由此解出a1和d，再代入通項(xiàng)公式。16/27

（一）求通項(xiàng)an

若已知一個(gè)等差數(shù)列首項(xiàng)a1和公差d，即可求出an比如：①a1=1,d=2,則

an=1+(n－1)·2=2n－1②已知等差數(shù)列8，5，2，…求an及a20(第20項(xiàng))。解：a1=8,d=5－8=－3∴a20=－49∴an=8+(n－1)·(－3)=－3n+11練習(xí)：已知等差數(shù)列3，7，11，…

則an=_______________a4=_________a10=__________an=a1+(n－1)d(n∈N*)4n-11539典例精講17/27(二)求首項(xiàng)a1比如：已知a20=－49,d=－3則，由a20=a1+(20－1)·(－3)得a1=8練習(xí)：a4=15d=3則a1=______________6an=a1+(n－1)d(n∈N*)18/27(三)求項(xiàng)數(shù)n

比如：①已知等差數(shù)列8，5，2…問－49是第幾項(xiàng)?

解：a1=8,d=－3則an=8+(n－1)·(－3)－49=8+(n－1)·(－3)得n=20。an=a1+(n－1)d(n∈N*)19/27

②問－400是不是等差數(shù)列－5，－9，－13，…

項(xiàng)？假如是，是第幾項(xiàng)？

解：a1=－5,d=－4an=－5+(n－1)·(－4),則由題意知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n，使得－400=－5+(n－1)·(－4)成立所以－400不是這個(gè)數(shù)列項(xiàng)解之得n=4399-401是該數(shù)列項(xiàng)嗎？假如是，是第幾項(xiàng)？20/27

練習(xí)：在三位正整數(shù)集合中有多少個(gè)是7倍數(shù)？解：這些數(shù)組成首項(xiàng)a1=105,公差d=7等差數(shù)列。

∴an=105+(n－1)·7又an≤999

即105+(n－1)·7≤999解得n≤128

∵n∈N*∴n最大為128，故共有128個(gè)。

7521/27

(四)求公差d

比如一張?zhí)葑幼罡咭患?jí)寬33cm，最低一級(jí)寬110cm,中間還有10級(jí)，各級(jí)寬度成等差數(shù)列。求公差d及中間各級(jí)寬度。分析：用｛an｝表示梯子自上而下各級(jí)寬度所成等差數(shù)列。

由題意知a1=33,a12=110,n=12由an=a1+(n-1)d得110=33+(12-1)d解得d=7從而可求出a2=33+7=40a3=40+7=47a4=54…?？偨Y(jié)：在an=a1+(n－1)dn∈N*

中，有an,a1,n,d四個(gè)量,已知其中任意3個(gè)量即可求出第四個(gè)量。那么假如已知一個(gè)等差數(shù)列任意兩項(xiàng)，能否求出an呢？an=a1+(n－1)d(n∈N*)22/27

即這個(gè)等差數(shù)列首項(xiàng)是－2，公差是3.例3、在等差數(shù)列中，已知求首項(xiàng)與公差d.解：由題意可知解得：注：等差數(shù)列通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d中，an,a1,n，d這四個(gè)變量，知道其中三個(gè)量就能夠求余下一個(gè)量，知三求一.

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解：由題意可得a1+5d=12(1)﹛a1+17d=36(2)∴an=2+(n-1)×2=2n∴a1=2d=2

此題解法是利用數(shù)學(xué)函數(shù)與方程思想，函數(shù)與方程思想是數(shù)學(xué)幾個(gè)主要思想方法之一，也是高考必考思想方法，應(yīng)熟悉并掌握。變式、在等差數(shù)列{an}中，已知a6=12，a18=36,求通項(xiàng)an。

分析：此題已知a6=12，n=6；a18=36,n=18分別代入通項(xiàng)，公式an=a1+(n-1)d中

，可得兩個(gè)方程，都含a1與d兩個(gè)未知數(shù)組成方程組，可解出a1與d。***********評(píng)注：24/27小結(jié)：證實(shí)一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列方法是：25/27四、能力培養(yǎng)：兩個(gè)等差數(shù)列5，8，11，…，和3，7，11，…都有100項(xiàng)，求：這兩個(gè)數(shù)列相同項(xiàng)個(gè)數(shù)解法一：已知兩個(gè)等差數(shù)列｛an｝:5，8，11，…公差為3｛bn｝:3，7，11，…公差為4

通項(xiàng)公式分別是an=5+(