《等差數(shù)列》教學(xué)設(shè)計二

高中數(shù)學(xué)精選資源3/3《等差數(shù)列》教學(xué)設(shè)計二教學(xué)設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)過程學(xué)生活動設(shè)計意圖創(chuàng)設(shè)情境1.多媒體展示場景一個小探險家在古墓中尋寶，來到寶藏門外，發(fā)現(xiàn)門上有四個0~9刻度的轉(zhuǎn)盤，要求把四個轉(zhuǎn)盤分別轉(zhuǎn)到指定數(shù)字，門才能打開.門上還有四組數(shù)字如下：（1）1,3,5,（）,9；（2）15,12,（）,6,3（3）48,53,58,（）68；（4）8,（）,8,8,8.2.分析場景，漸進式提問問題1：你能找出打開寶藏之門的密碼嗎？問題2：這四列數(shù)有何共同特點？嘗試尋找線索，打開寶藏之門.思考片刻后，請兩位同學(xué)回答兩個問題，若學(xué)生回答不到位，其他同學(xué)可以補充.創(chuàng)設(shè)學(xué)生比較感興趣的情境，激發(fā)學(xué)生對本節(jié)課的學(xué)習(xí)興趣，在游戲中加入等差數(shù)列的內(nèi)容，讓學(xué)生初步感知等差數(shù)列的特點，同時培養(yǎng)學(xué)生的觀察和歸納能力.新知探究師:我們把這樣的數(shù)列稱為等差數(shù)列,今天我們就來認識這一典型數(shù)列一一等差數(shù)列(板書課題).師:請同學(xué)們根據(jù)等差數(shù)列的特征,嘗試給等差數(shù)列下個定義.1.等差數(shù)列的定義一般地,如果數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項之差都等于同一個常數(shù),即恒成立,則稱為等差數(shù)列,其中稱為等差數(shù)列的公差.問題1定義中為什么要說從第2項起?能不能將同一個常數(shù)改為常數(shù)?為什么?問題2上述定義能否轉(zhuǎn)化為符號語言?(板書:或問題3剛才引例中四個數(shù)列的公差分別是什么?師點評:可見公差可正,可負,也可為0,且公差一定是每一項與它前一項的差而非后一項的差.問題4公差大于0、小于0、等于0時等差數(shù)列分別有何特點?師:說明等差數(shù)列要么是遞增數(shù)列,要么是遞減數(shù)列,要么是常數(shù)列.等差數(shù)列在生活中應(yīng)用非常廣泛,比如衣服鞋子的尺寸、打車費用等.概念辨析:師:請大家判斷以下數(shù)列是否為等差數(shù)列?(PPT展示)判斷下列各組數(shù)列中哪些是等差數(shù)列,哪些不是?如果是,寫出首項和公差;如果不是,說明理由.（1）(1);（2）;（3）;（4）.師點評:判斷一個數(shù)列是不是等差數(shù)列,主要是由定義進行判斷,即看是不是同一個常數(shù).由,所以也可以通過檢查是否恒成立來判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列.問題:數(shù)列是不是等差數(shù)列?師:等差數(shù)列至少有三項(引出等差中項的概念).2.等差中項如果在與中間插入一個數(shù),使成等差數(shù)列,那么稱為與的等差中項.問題5等差中項與之間有怎樣的關(guān)系?問題6下列兩個數(shù)的等差中項分別是什么?（1）2，（），4;（2），（）0.問題7是不是任意兩數(shù)都存在等差中項?存在幾個?師點評:任意兩數(shù)的等差中項即為兩數(shù)的平均值.問題8等差數(shù)列中,與之間有怎樣的關(guān)系?為什么?師點評:反之亦成立,由此我們可以得到判斷等差數(shù)列的又一方法.師:若一個等差數(shù)列的首項和公差確定,那么這個數(shù)列中的每一項是否唯一確定?3.等差數(shù)列的通項公式問題9數(shù)列中,是多少?呢?問題10等差數(shù)列中,公差為,那么通項是什么?如何推導(dǎo)?師點評:剛才我們是通過等差數(shù)列的前幾項歸納得出通項公式,后面我們會知道由這種方法得到的結(jié)論還需要進行證明才可以使用.問題11還有沒有其他的推導(dǎo)方法?師PPT展示:由等差數(shù)列的定義得:，，，.將這個式子相加得.問題12從第幾項開始歸納的?(第2項,所以)問題時呢?(當時,等式也是成立的,因而等差數(shù)列的通項公式為師點評:這種求通項的方法稱為累加法,它是求數(shù)列通項的常見方法之一.根據(jù)這個通項公式,只要已知首項和公差,便可求得等差數(shù)列的任意項.思考在等差數(shù)列的通項公式中,與的關(guān)系與以前所學(xué)過的什么函數(shù)有關(guān)?結(jié)論:因為,所以,如果記,則可以看出,而且有（1）當公差時,是常數(shù)函數(shù),此時數(shù)列是常數(shù)列(因此,公差為0的等差數(shù)列是常數(shù)列);（2）當公差時,是一次函數(shù),而且的增減性依賴于公差的符號,因此,當時,是遞增數(shù)列;當時,是遞減數(shù)列.這也說明,當用直角坐標系中的點來表示等差數(shù)列時,所有的點一定在一條直線上.4.等差數(shù)列的性質(zhì)思考已知數(shù)列是等差數(shù)列,那么:（1）是否成立?呢?為什么?（2）是否成立?據(jù)此你能得到什么結(jié)論?（3）是否成立?你又能得到什么結(jié)論?結(jié)論:(性質(zhì))一般地,如果是等差數(shù)列,而且正整數(shù)滿足,則.特別地,如果,則.學(xué)生代表嘗試給出等差數(shù)列的定義其他同學(xué)補充修正.生解釋.問題2，3生口答.生口答.生口答.齊答.生口答.齊答.齊答.齊答.學(xué)生分組討論，3分鐘后選一小組代表投影展示小組討論成果，小組成員補充.師生共同歸納等差數(shù)列的通項公式.另選一個小組展不同方法.齊答.學(xué)生小組討論后回答.學(xué)生思考后小組討論回答.學(xué)生思考討論后回答.由特殊到一般，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)探究知識的自主性，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力.通過定義的剖析，讓學(xué)生體會知識的形成過程，感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成就感，進一步培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力.進一步熟悉等數(shù)列的特點和性質(zhì).讓學(xué)生感受到等差數(shù)列是現(xiàn)實生活中大量存在實例的數(shù)學(xué)模型.進一步理解等差數(shù)列的定義，掌握等差數(shù)列的判斷方法.引出等差中項的概念.概括等差中項的概念，總結(jié)等差中項公式，并發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的性質(zhì).典例解析例1（1）求等差數(shù)列的第20項.解由題意可知,給出的等差數(shù)列的首項為8,公差為.由等差數(shù)列的通項公式得,所以等差數(shù)列的第20項是.師點評:等差數(shù)列的通項公式中共有四個變量,,知道其中任意三個,便可求出剩余一個,即“知三求一”.（2）是不是等差數(shù)列的項?如果是,是第幾項?解由,可知這個數(shù)列的通項公式為,由題意知,得,即是這個數(shù)列的第100項.教師追問:呢?(不是)師點評:要判斷一個數(shù)是不是數(shù)列中的某項,就是看它是否滿足該數(shù)列的通項公式,即代入通項公式看解出來的是否為正整數(shù).1分鐘后讓兩個學(xué)生分別對這兩小題加以分析（已知什么？要求什么？怎么求？），同時教師PPT展示解題過程.通過具體問題，分析等差數(shù)列通項公式中的四個量，已知什么？求什么？怎么求？提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.鞏固練習(xí)在等差數(shù)列中,已知,求.解,解得,故.師根據(jù)學(xué)生回答適時給出公式:.師點評:這種根據(jù)已知量與已知量的關(guān)系列出方程求解已知量的思想方法稱為方程思想.問題14還有沒有其他做法?問題15從結(jié)果來看,之間有怎樣的關(guān)系?這種關(guān)系是必然還是偶然?你能利用這種關(guān)系解題嗎?2分鐘后請一名學(xué)生先嘗試展示自己的結(jié)果.其余學(xué)生可以各抒己見.齊答:由可求得.進一步使學(xué)生熟練掌握通項公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，并靈活應(yīng)用公式及性質(zhì)解決問題.實際應(yīng)用例2第15屆奧運會于1952年在芬蘭赫爾辛基舉行.奧運會每4年舉行一次,如因故不能舉行,屆數(shù)照算.（1）首屆奧運會是在哪一年舉行的?（2）2008年北京奧運會是第幾屆?（3）2050年舉行奧運會嗎?解(1)根據(jù)題意可得,解得,故首屆奧運會是在1896年舉行的.（2）,解得,故2008年北京奧運會是第29屆.（3）由于無整數(shù)解,故2050年不舉行奧運會.師點評:用數(shù)列解決實際問題的步驟:審題一建模一解模一還原.例3已知為等差數(shù)列,,求.解由已知得,所以,所以.所以.1~2分鐘后學(xué)生分析并闡述例2（1）的解答過程，其他同學(xué)可陳述自己的觀點.（2）（3）分組競技.學(xué)生獨立完成例3的解答，小組內(nèi)交流是否有不同的解法.學(xué)以致用，結(jié)合了奧運會，不僅可以擴充學(xué)生的課外知識，也可以加深學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，體會數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用同時滲透數(shù)學(xué)建模這一核心素養(yǎng).課時小結(jié)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？師生共同回顧本節(jié)知識內(nèi)容的生成過程，從中提煉知識與思想方法.使學(xué)生對自己所學(xué)知識有更深刻的認識.作業(yè)布置教材第21頁練習(xí)A第3~5題，練習(xí)B第1，2題.學(xué)生課下獨立完成.作業(yè)是課堂的延續(xù)，除了檢驗學(xué)生對本節(jié)課知識的理解程度，還在于引導(dǎo)學(xué)生對本課知識的進一步探究思考.板書