2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)課時(shí)分層作業(yè)10離散型隨機(jī)變量及其分布列含解析北師大版選修2-3

PAGE1-課時(shí)分層作業(yè)(十)(建議用時(shí)：60分鐘)[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]一、選擇題1．下列表中可以作為離散型隨機(jī)變量的分布列的是()D[ξ取值不能重復(fù)，可解除選項(xiàng)A；由性質(zhì)(1)pi>0，可解除選項(xiàng)B；由性質(zhì)(2)eq\i\su(i＝1,n,p)i＝1，可解除選項(xiàng)C，故選D.]2．某一隨機(jī)變量ξ的概率分布列如下表，且m＋2n＝1.2，則m－eq\f(n,2)的值為()ξ0123P0.1mn0.1A.－0.2 B．0.2C．0.1 D．－0.1B[由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可得m＋n＋0.2＝1，又m＋2n＝1.2，解得m＝n＝0.4，可得m－eq\f(n,2)＝0.2.]3．設(shè)隨機(jī)變量X等可能取值1,2,3，…，n，若P(X<4)＝0.3，則n＝()A．3 B．4C．10 D．不確定C[∵X等可能取1,2,3，…，n，∴X的每個(gè)值的概率均為eq\f(1,n).由題意知P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(3,n)＝0.3，∴n＝10.]4．設(shè)隨機(jī)變量X等可能地取值1,2,3,4，…，10.又設(shè)隨機(jī)變量Y＝2X－1，P(Y<6)的值為()A．0.3 B．0.5C．0.1 D．0.2A[Y<6，即2X－1<6，∴X<3.5.X＝1,2,3，P＝eq\f(3,10).]5．隨機(jī)變量ξ的概率分布列為P(ξ＝n)＝eq\f(a,nn＋1)，n＝1,2,3,4，其中a是常數(shù)，則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<ξ<\f(5,2)))的值為()A．eq\f(2,3)B．eq\f(3,4)C．eq\f(4,5)D．eq\f(5,6)D[eq\f(a,1×2)＋eq\f(a,2×3)＋eq\f(a,3×4)＋eq\f(a,4×5)＝aeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(1,5)))))＝eq\f(4,5)a＝1.∴a＝eq\f(5,4).∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<ξ<\f(5,2)))＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq\f(5,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1×2)＋\f(1,2×3)))＝eq\f(5,6).]二、填空題6．若隨機(jī)變量X聽從兩點(diǎn)分布，則P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，則P(Y＝－2)＝________.0.8[由Y＝－2，且Y＝3X－2，得X＝0，∴P(Y＝－2)＝0.8.]7．袋中有4只紅球和3只黑球，從中任取4只球，取到一只紅球得1分，取到一只黑球得3分，設(shè)得分為隨機(jī)變量X，則P(X≤6)＝________.eq\f(13,35)[可能的情形為：4紅，3紅1黑，2紅2黑，1紅3黑，對(duì)應(yīng)的得分依次是4分，6分，8分，10分．P(X≤6)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(4,4),C\o\al(4,7))＋eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(1,35)＋eq\f(12,35)＝eq\f(13,35).]8．如圖所示，A，B兩點(diǎn)5條連線并聯(lián)，它們?cè)趩挝粫r(shí)間內(nèi)能通過的最大信息量依次為2,3,4,3,2.記從中任取三條線且在單位時(shí)間內(nèi)通過的最大信息總量為X，則P(X≥8)＝________.eq\f(4,5)[由已知得，X的取值為7,8,9,10，故P(X≥8)與P(X＝7)是對(duì)立事務(wù)，所以P(X≥8)＝1－P(X＝7)＝1－eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(4,5).]三、解答題9．盒中裝有一打(12個(gè))乒乓球，其中9個(gè)新的，3個(gè)舊的(用過的球即為舊的)，從盒中任取3個(gè)運(yùn)用，用完后裝回盒中，此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量，求ξ的分布列．[解]ξ的全部可能取值為3,4,5,6.P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,12))＝eq\f(1,220)；P(ξ＝4)＝eq\f(C\o\al(1,9)C\o\al(2,3),C\o\al(3,12))＝eq\f(27,220)；P(ξ＝5)＝eq\f(C\o\al(2,9)C\o\al(1,3),C\o\al(3,12))＝eq\f(27,55)；P(ξ＝6)＝eq\f(C\o\al(3,9),C\o\al(3,12))＝eq\f(21,55).所以ξ的分布列為：ξ3456Peq\f(1,220)eq\f(27,220)eq\f(27,55)eq\f(21,55)10.設(shè)S是不等式x2－x－6≤0的解集，整數(shù)m，n∈S.(1)記“使得m＋n＝0成立的有序數(shù)組(m，n)”為事務(wù)A，試列舉A包含的基本領(lǐng)件；(2)設(shè)X＝m2，求X的分布列．[解](1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本領(lǐng)件為(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m的全部不同取值為－2，－1,0,1,2,3，所以X＝m2的全部不同取值為0,1,4,9，且有P(X＝0)＝eq\f(1,6)，P(X＝1)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(X＝4)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(X＝9)＝eq\f(1,6).故X的分布列為X＝i0149P(X＝i)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,6)[實(shí)力提升練]1．袋中有大小相同的5只鋼球，分別標(biāo)有1,2,3,4,5五個(gè)號(hào)碼，隨意抽取2個(gè)球，設(shè)2個(gè)球號(hào)碼之和為X，則X的全部可能取值個(gè)數(shù)為()A．25 B．10C．7 D．6C[X的可能取值為1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.]2．拋擲兩顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和X是一個(gè)隨機(jī)變量，則P(X≤4)等于()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)A[依據(jù)題意，有P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)．拋擲兩顆骰子，按所得的點(diǎn)數(shù)共36個(gè)基本領(lǐng)件，而X＝2對(duì)應(yīng)(1,1)，X＝3對(duì)應(yīng)(1,2)，(2,1)，X＝4對(duì)應(yīng)(1,3)，(3,1)，(2,2)，故P(X＝2)＝eq\f(1,36)，P(X＝3)＝eq\f(2,36)＝eq\f(1,18)，P(X＝4)＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12)，所以P(X≤4)＝eq\f(1,36)＋eq\f(1,18)＋eq\f(1,12)＝eq\f(1,6).]3．隨機(jī)變量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|＝1)＝________.eq\f(2,3)[∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，∴b＝eq\f(1,3)，∴P(|X|＝1)＝a＋c＝eq\f(2,3).]4．隨機(jī)變量Y的分布列如下：Y＝y(tǒng)i123456P(Y＝y(tǒng)i)0.1x0.350.10.150.2則(1)x＝________；(2)P(Y＞3)＝________；(3)P(1＜Y≤4)＝________.(1)0.1(2)0.45(3)0.55[(1)由eq\i\su(i＝1,6,p)i＝1，∴x＝0.1.(2)P(Y＞3)＝P(Y＝4)＋P(Y＝5)＋P(Y＝6)＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45.(3)P(1＜Y≤4)＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＋P(Y＝4)＝0.1＋0.35＋0.1＝0.55.]5．某電視臺(tái)實(shí)行選拔大獎(jiǎng)賽，在選手綜合素養(yǎng)測(cè)試中，有一道把我國(guó)四大文學(xué)名著《水滸傳》、《三國(guó)演義》、《西游記》、《紅樓夢(mèng)》與它們的作者連線的題目，每連對(duì)一個(gè)得3分，連錯(cuò)不得分，記一位選手該題得分為X.(1)求該選手得分不少于6分的概率；(2)求X的分布列.[解](1)P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(2,4),A\o\al(4,4))＝eq\f(1,4)，P(X＝12)＝eq\f(1,A\o\al(4,4))＝eq\f(1,24)，該選手得分不少于6分的概率為P＝P(X＝6)＋P(X＝12)＝eq\