2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章基本初等函數(shù)Ⅰ章末總結(jié)教案新人教A版必修1

PAGEPAGE1本章總結(jié)1．駕馭分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1)．2．駕馭指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系：ab＝N?logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)．3．指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：ar·as＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝ar·br，其中a>0，b>0，r，s∈Q.4．對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN，loga(MN)＝logaM＋logaN，logaMn＝nlogaM(n∈R)，其中a>0，且a≠1，M>0，N>0.5．對數(shù)恒等式：loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N，其中a>0，且a≠1，N>0.6．比較大小問題：應(yīng)先區(qū)分是正還是負(fù)，再區(qū)分是大于1的數(shù)還是小于1的正數(shù)，然后分類比較，要留意指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)單調(diào)性在應(yīng)用上的區(qū)分，若是同底數(shù)冪比較大小，則利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；若是同指數(shù)冪比較大小，則利用冪函數(shù)的單調(diào)性．7．精確地駕馭對數(shù)的運(yùn)算法則是正確進(jìn)行對數(shù)運(yùn)算的前提，利用對數(shù)運(yùn)算，可以把乘、除、乘方、開方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為對數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算，從而顯示了利用對數(shù)運(yùn)算的優(yōu)越性．8．利用換底公式時，應(yīng)留意選擇恰當(dāng)?shù)牡?，既要擅長“正用”，還要留意它的“逆用”．9．在比較與鑒別中學(xué)習(xí)，留意指數(shù)與對數(shù)運(yùn)算法則的對比；指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的對比；函數(shù)增長快慢的對比．10．留意數(shù)形結(jié)合，本章的內(nèi)容中，圖象占有很大的比重，函數(shù)的圖象在探討函數(shù)的性質(zhì)時起到了很重要的作用，因此在學(xué)習(xí)中要特殊留意利用函數(shù)圖象，心中不但有“數(shù)”，而且還要有“圖”．記住某些常見的函數(shù)圖象的草圖，養(yǎng)成利用函數(shù)圖象來說明函數(shù)的性質(zhì)和分析問題的習(xí)慣．eq\a\vs4\al(專題一指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算問題)指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算、對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算是兩個重要的學(xué)問點(diǎn)，它們既是學(xué)習(xí)和探討指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)，也是高考必考內(nèi)容之一，教學(xué)中應(yīng)賜予足夠的重視．[例1](1)計(jì)算：②原式＝lg5(3lg2＋3)＋(eq\r(3)lg2)2＋lg0.01＝3lg2·lg5＋3lg5＋3lg22－2＝3lg2(lg5＋lg2)＋3lg5－2＝3－2＝1.[點(diǎn)評](1)對于根式的運(yùn)算結(jié)果，不強(qiáng)求形式的統(tǒng)一，但結(jié)果絕不能同時含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)．(2)指、對數(shù)式的運(yùn)算、求值、化簡、證明等問題主要依據(jù)冪、對數(shù)的運(yùn)算法則及性質(zhì)加以解決，在運(yùn)用法則時要留意法則的逆用．在進(jìn)行指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算時還要留意相互間的轉(zhuǎn)化，因此要嫻熟把握這些運(yùn)算性質(zhì)的基本特征：①同底；②“和積”互化．eq\a\vs4\al(專題二指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的圖象與性質(zhì))指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的基本初等函數(shù)．它們的圖象與性質(zhì)始終是高考考查的重點(diǎn)．由于指數(shù)函數(shù)y＝ax，對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)的圖象與性質(zhì)都與a的取值有親密的聯(lián)系，冪函數(shù)y＝xα的圖象與性質(zhì)與α的取值有關(guān)，a，α變更時，函數(shù)的圖象與性質(zhì)也隨之變更；因此，在a，α的值不確定時，要對它們進(jìn)行分類探討．[例2]如下圖所示，函數(shù)f(x)＝1＋log2x與g(x)＝2－x＋1在同一平面直角坐標(biāo)系下的圖象大致是()[解析]因?yàn)閒(x)＝1＋log2x，所以f(x)的圖象應(yīng)由y＝log2x的圖象沿y軸向上平移一個單位而得到，與x軸的交點(diǎn)為(eq\f(1,2)，0)．因?yàn)間(x)＝2－x＋1＝(eq\f(1,2))x－1，所以應(yīng)由y＝(eq\f(1,2))x的圖象沿x軸向右平移一個單位而得到，故選C.[答案]C[例3]方程a－x＝logax(a>0，且a≠1)的實(shí)數(shù)解的個數(shù)為()A．0B．1C．2D．3[解析]本例可用數(shù)形結(jié)合法畫出y＝a－x與y＝logax的圖象，視察交點(diǎn)個數(shù)，要留意對a分a>1與0<a<1兩種狀況探討．當(dāng)a>1時，在同一坐標(biāo)系中畫出y1＝logax的圖象和y2＝a－x的圖象如圖(1)，由圖象知兩函數(shù)圖象只有一個交點(diǎn)；同理，當(dāng)0<a<1時，由圖象(2)知，兩圖象也只有一個交點(diǎn)．因此，不論何種狀況，方程只有一個實(shí)數(shù)解．[答案]B[例4]方程log2(x＋2)＝eq\r(－x)的實(shí)數(shù)解有()A．0個 B．1個C．2個 D．3個[分析]令y1＝log2(x＋2)，y2＝eq\r(－x)，分別作出兩個函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法解題．[解析]令y1＝log2(x＋2)，y2＝eq\r(－x)，分別畫出兩個函數(shù)圖象，如圖所示．函數(shù)y1＝log2(x＋2)的圖象是由函數(shù)y＝log2x的圖象向左平移2個單位長度得到．函數(shù)y2＝eq\r(－x)的圖象是由冪函數(shù)y＝xeq\s\up15(eq\f(1,2))的圖象關(guān)于y軸對稱得到．由圖象可知，明顯y1與y2有一個交點(diǎn)．故選B.[答案]B[點(diǎn)評]本題所給方程不能干脆求解，而是需構(gòu)造兩個函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合可從圖象上視察到兩個函數(shù)圖象交點(diǎn)的個數(shù)，從而推出這個方程解的個數(shù)，關(guān)鍵是較精確地作出y1＝log2(x＋2)與y2＝eq\r(－x)的圖象．[例5]當(dāng)0<x≤eq\f(1,3)時，logax>8x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(0，eq\f(\r(3),3)) B．(eq\f(\r(3),3)，1)C．(1，eq\r(3)) D．(eq\r(3)，2)[解析]∵logax>8x，∴l(xiāng)ogax>0，而0<x≤eq\f(1,3)，∴0<a<1，作出y＝8x與y＝logax的大致圖象如圖所示，則只需滿意logaeq\f(1,3)>8eq\s\up15(eq\f(1,3))＝2＝logaa2，解得a>eq\f(\r(3),3)，∴eq\f(\r(3),3)<a<1，故選B.[答案]B[例6]已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ax－1,ax＋1)(a>0，且a≠1)．(1)求f(x)的定義域和值域；(2)探討f(x)的單調(diào)性．[分析]由指數(shù)函數(shù)的定義知y＝ax(a>0，且a≠1)的定義域?yàn)閤∈R，且y＝ax>0，因此在求函數(shù)值域時可由ax>0求y的取值范圍．在探討單調(diào)性時，可由定義入手，也可由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性入手．[解](1)易得f(x)的定義域?yàn)镽.設(shè)y＝eq\f(ax－1,ax＋1)，解得ax＝－eq\f(y＋1,y－1).①∵ax>0，∴當(dāng)且僅當(dāng)－eq\f(y＋1,y－1)>0時，方程①有解．解－eq\f(y＋1,y－1)>0，得－1<y<1.∴f(x)的值域?yàn)閧y|－1<y<1}．(2)f(x)＝eq\f(ax＋1－2,ax＋1)＝1－eq\f(2,ax＋1).①當(dāng)a>1時，∵y＝ax＋1為增函數(shù)，且ax＋1>0，∴y＝eq\f(2,ax＋1)為減函數(shù)，從而f(x)＝1－eq\f(2,ax＋1)＝eq\f(ax－1,ax＋1)為增函數(shù)．②當(dāng)0<a<1時，同理可得f(x)＝eq\f(ax－1,ax＋1)為減函數(shù)(還可以用單調(diào)性的定義探討證明)．[點(diǎn)評]求定義域留意表達(dá)式中自變量x受限制的條件，求值域敏捷駕馭、運(yùn)用換元法、分別常數(shù)法、單調(diào)性法、數(shù)形結(jié)合法、判別式法等各種方法．eq\a\vs4\al(專題三指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用)[例7]某醫(yī)藥探討所開發(fā)了一種新藥，假如成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測，服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時間t(小時)之間的關(guān)系近似滿意如圖所示的曲線．(1)寫出服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(t)；(2)據(jù)進(jìn)一步測定：每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時，治療疾病有效．求服藥一次治療疾病有效的時間．[分析]分段求函數(shù)的解析式，再利用解析式解決問題．[解](1)當(dāng)0≤t≤1時，點(diǎn)M(1,4)在線段y＝kt上，則k＝4，這時y＝4t；當(dāng)t≥1時，點(diǎn)M(1,4)在曲線y＝(eq\f(1,2))t－a上，則(eq\f(1,2))1－a＝4，得a＝3，這時y＝(eq\f(1,2))t－3，所以f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4t0≤t≤1，,\f(1,2)t－3t>1.))(2)由題意知，需f(t)≥0.25，當(dāng)0≤t≤1時，由4t≥0.25，得t≥eq\f(1,16)，所以eq\f(1,16)≤t≤1；當(dāng)t>1時，由(eq\f(1,2))t－3≥0.25＝(eq\f(