新課程人教版高中數(shù)學(xué)選修22課后習(xí)題解答

新諛彩杼推教孽選弟2—2第一章得.后習(xí)題豳答

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

3.1變化率與導(dǎo)數(shù)

練習(xí)(P6)

在第3h和5h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為-1和3.它說明在第3h附近，原油溫度大

約以1°C/h的速度下降；在第5h時(shí)，原油溫度大約以3°C/h的速率上升.

練習(xí)(P8)

函數(shù)帕)在"與附近單調(diào)遞增，在附近單調(diào)遞增.并且，函數(shù)咐)在與附近比在片附近

增加得慢.說明:體會(huì)“以直代曲”的思想.

練習(xí)(P9)

函數(shù)/?(7)=:—(0WVW5)的圖象為

，4萬

根據(jù)圖象，估算出/(0.6)0.3,/(1.2)?0.2.

說明：如果沒有信息技術(shù)，教師可以將此圖直接提供給學(xué)生，然后讓學(xué)生根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意

義估算兩點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).

習(xí)題1.1A組(P10)

1、在￡。處，雖然叱伉)=卬,1),然而“生)二”一二加)2一%%二加).

-Ar一加

所以，企業(yè)甲比企業(yè)乙治理的效率高.

說明：平均變化率的應(yīng)用，體會(huì)平均變化率的內(nèi)涵.

cA/Z力(1+加)一力(1).-.cc，，“、CC

2、一=---------—=-4.9Ar-3.3,所以，/?,(1)=-3.3.

這說明運(yùn)動(dòng)員在，=1s附近以3.3m/s的速度下降.

3、物體在第5s的瞬時(shí)速度就是函數(shù)s(f)在t=5時(shí)的導(dǎo)數(shù).

—=5(5+A/)~V(5)=Ar+10,所以，$<5)=10.

AzX

因此，物體在第5s時(shí)的瞬時(shí)速度為10m/s,它在第5s的動(dòng)能4='x3xl02=i50J.

2

4、設(shè)車輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為。，時(shí)間為f,則。=比2。＞0).

由題意可知，當(dāng)f=0.8時(shí)，。=2萬.所以女2=5且萬，于是。=7與5萬巴

88

車輪轉(zhuǎn)動(dòng)開始后第3.2s時(shí)的瞬時(shí)角速度就是函數(shù)仇f)在/=3.2時(shí)的導(dǎo)數(shù).

△66(3.2+Af)一伙3.2)25萬,七?八，「…cc

—=—-------------=——4+20%,所以夕(3.2)=20萬.

ArAr8

因此，車輪在開始轉(zhuǎn)動(dòng)后第3.2s時(shí)的瞬時(shí)角速度為20乃s-1.

說明：第2,3,4題是對了解導(dǎo)數(shù)定義及熟悉其符號表示的鞏固.

5、由圖可知，函數(shù)/(x)在x=-5處切線的斜率大于零，所以函數(shù)在x=-5附近單調(diào)遞增.同

理可得，函數(shù)/(x)在x=-4,-2,0,2附近分別單調(diào)遞增，幾乎沒有變化，單調(diào)遞減，單調(diào)

遞減.說明：“以直代曲”思想的應(yīng)用.

6、第一個(gè)函數(shù)的圖象是一條直線，其斜率是-?個(gè)小于零的常數(shù)，因此，其導(dǎo)數(shù)/'(X)的圖象

如圖(I)所示；第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù);(x)恒大于零，并且隨著x的增加，/'(X)的值也在增加;

對于第三個(gè)函數(shù)，當(dāng)x小于零時(shí)，/'(x)小于零，當(dāng)x大于零時(shí):/'(X)大于零，并且隨著x的

增加，尸(x)的值也在增加.以下給出了滿足上述條件的導(dǎo)函數(shù)圖象中的一種.

說明：本題意在讓學(xué)生將導(dǎo)數(shù)與曲線的切線斜率相聯(lián)系.

習(xí)題3.1B組(P11)

1、高度關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)刻畫的是運(yùn)動(dòng)變化的快慢，即速度；速度關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)刻畫的是

速度變化的快慢，根據(jù)物理知識(shí)，這個(gè)量就是加速度.

說明：由給出的丫。)的信息獲得sQ)的相關(guān)信息，并據(jù)此畫出s。)的圖象的大致形狀.這個(gè)

過程基于對導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵的了解，以及數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)換.

3、由(1)的題意可知，函數(shù)/(x)的圖象在點(diǎn)(1,-5)處的切線斜率為-1,所以此點(diǎn)附近曲

線呈下降趨勢.首先畫出切線的圖象，然后再畫出此點(diǎn)附近函數(shù)的圖象.同理可得(2)(3)某

點(diǎn)處函數(shù)圖象的大致形狀.下面是一種參考答案.

y

1,

/

/

OX

(I>(2)(3)

說明：這是一個(gè)綜合性問題，包含了對導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵、導(dǎo)數(shù)兒何意義的了解，以及對以直代曲思

想的領(lǐng)悟.本題的答案不唯一.

1.2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

練習(xí)(P18)

1、f'(x)=2x-l,所以，⑵=—3,/'⑹=5.

,1

2、(1)y二----(2)y'=2ex

xln2

(3)yf=10x4-6x；(4)yr=-3sinx-4cosx；

,1.x1

(5)y=——sin—；(6)

33/x—1

習(xí)題1.2A組(P18)

ASS(r+Ar)-5(r)

1、27rr+Ar,所以，S'(r)=lim(2乃r+Ar)=2冗丫.

Ar△r->0

2、/⑺=—9.8r+6.5.

3

3、r^V)=-A

3V4TTV2?

4、(1)y'=3x2+---(2)y'=nx"-'eK+xnex；

xln2

,3x2sinx-x3cosx+cosx

(3)y="(4)y'=99(x+l)98；

(5)y'=—21；(6)yr=2sin(2x+5)+4xcos(2x+5).

5、r(x)=—8+20X.由r(x0)=4有4=—8+28/,解得無()=30.

6、(1)y'=Inx+l；(2)y=x-l.

rx

7、y二——+1f.

7t

8、(1)氨氣的散發(fā)速度A'Q)=500xIn0.834x0.834'.

(2)A(7)=-25.5,它表示氨氣在第7天左右時(shí)，以25.5克/天的速率減少.

就越來越逼近函數(shù)y=cosx.

2、當(dāng)y=0時(shí)，x=0.所以函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)P(0,0).

>'=—/,所以y[r=o=T.

所以，曲線在點(diǎn)尸處的切線的方程為丁=--

2、/(f)=-4sinf.所以，上午6:00時(shí)潮水的速度為-0.42m/h；上午9:00時(shí)潮水的速度為

-0.63m/h；中午12:00時(shí)潮水的速度為-0.83m/h；下午6:00時(shí)潮水的速度為-1.24m/h.

1.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

練習(xí)(P26)

1、(1)因?yàn)?(乃=爐—2X+4,所以/'(x)=2x—2.

當(dāng)—(x)>0,即x>l時(shí)，函數(shù)/(x)=f—2x+4單調(diào)遞增；

當(dāng)/'(x)<0,即x<l時(shí)，函數(shù)/(x)=X?-2x+4單調(diào)遞減.

(2)因?yàn)?(x)=e*-x,所以尸(x)=e*—L

當(dāng);(x)>0,即x>0時(shí)，函數(shù)/(x)=e=x單調(diào)遞增；

當(dāng)/'(x)<0,即x<0時(shí)，函數(shù)/(x)=e*-x單調(diào)遞減.

(3)因?yàn)?(x)=3x7,所以尸(x)=3—3f.

當(dāng)/'(x)>0,即-1<X<1時(shí),函數(shù)/(x)=3x—V單調(diào)遞增；

當(dāng)/'(x)<0,即x<-l或x>l時(shí)，函數(shù)/(x)=單調(diào)遞減.

(4)因?yàn)閒(x)=Xs-x1-x,所以f'(x)=3X2-2X-1.

當(dāng)了'(X)>O,即X<—；或X>1時(shí)，函數(shù)/(X)=_x單調(diào)遞增;

當(dāng);(x)<0,即一:<x<l時(shí)，函數(shù)/(x)=x3-x2-x單調(diào)遞減.

2、

注：圖象形狀不唯

3、因?yàn)?(x)=ax?+bx+c(a工0),所以/'(x)=2ax+b.

(1)當(dāng)?！?時(shí)，

±

函數(shù)/(x)=ax2+hx+c(a*0)單調(diào)遞增;

2±a

2

r(x)<o,勿函數(shù)/(x)=ax+bx+c{aH0)單調(diào)遞減.

(2)當(dāng)a<0時(shí),

f'(x)>0,即x<—2時(shí)，函數(shù)/(3)=4/+公+。570)單調(diào)遞增；

2a

b

f\x)<0,即x〉——時(shí)，函數(shù)/。)=℃2+/+?。70)單調(diào)遞減.

2a

4、證明:因?yàn)?*)=2/-6/+7,所以((X)=6/_12X.

當(dāng)XG(0,2)時(shí),/z(x)=6x2-12x<0,

因此函數(shù)/(x)=2d—6x2+7在。2)內(nèi)是減函數(shù).

練習(xí)(P29)

1、％2，》4是函數(shù)y=/(X)的極值點(diǎn)，

其中x=*2是函數(shù)y=/(x)的極大值點(diǎn)，x=%4是函數(shù)y=/(x)的極小值點(diǎn).

2、(1)因?yàn)?(x)=6x2—X—2,所以尸(x)=12x—l.

令/'(x)=12x—1=0,得"='.

當(dāng)X>\時(shí)，/(X)單調(diào)遞增；當(dāng)了<《時(shí)，/'(X)<0，/(x)單調(diào)遞減.

所以，當(dāng)％=-!-時(shí)，“X)有極小值，并且極小值為/(L)=6x(-L)2--L—2=—絲.

1212121224

(2)因?yàn)?(》)=9_27%，所以尸(X)=3/—27.

令;(x)=3f_27=0,得X=±3.

下面分兩種情況討論：

①當(dāng)廣(尤)>0,即x<—3或x>3時(shí)；②當(dāng)/'(x)<0,即一3<x<3時(shí).

當(dāng)X變化時(shí)，/'(X),/(X)變化情況如下表:

X(-00,-3)-3(-3,3)3(3,+8)

(⑸十0一0+

/(X)單調(diào)遞增54單調(diào)遞減-54單調(diào)遞增

因此，當(dāng)x=-3時(shí)，/(x)有極大值，并且極大值為54；

當(dāng)x=3時(shí)，/(X)有極小值，并且極小值為-54.

(3)因?yàn)?(x)=6+12x—所以/(乃=12-31.

令/'(x)=12-3x?=0,得尢=±2.

下面分兩種情況討論：

①當(dāng)廣(x)>0,即一2<x<2時(shí)；②當(dāng)/'(x)<0,即x<—2或x>2時(shí).

當(dāng)x變化時(shí)，/'(x),/(x)變化情況如卜.表：

X(-8,-2)-2(-2⑵2(2,+8)

f'M—0+0—

fM單調(diào)遞減-10單調(diào)遞增22單調(diào)遞減

因此，當(dāng)x=-2時(shí)，，/(x)有極小值，并且極小值為-10；

當(dāng)彳=2時(shí):/(x)有極大值，并且極大值為22

(4)因?yàn)?(X)=3X—X3,所以:(x)=3—3f.

令;(x)=3—3/=0,得*=±1.

下面分兩種情況討論：

①當(dāng)/'(x)>0,即—1<X<1時(shí)；②當(dāng)尸(x)<0,即x<—1或x>l時(shí).

當(dāng)x變化時(shí)，/'(x),/(x)變化情況如下表：

X(-00,-1)-1(-U)1。,+8)

f'M一0+0一

fW單調(diào)遞減-2單調(diào)遞增2單調(diào)遞減

因此，當(dāng)x=-1時(shí)，/(x)有極小值，并且極小值為-2；

當(dāng)x=l時(shí)，/(x)有極大值，并且極大值為2

練習(xí)(P31)

1149

(1)在在,2］上,當(dāng)％=工時(shí),/(x)=6/-x—2有極小值，并且極小值為/(」?)=一空.

121224

又由于/(0)=—2,/(2)=20.

49

因此，函數(shù)/(x)=6/7-2在［0,2］上的最大值是20、最小值是-一.

24

⑵在［—4,4］上，當(dāng)x=—3時(shí)，/(x)=x3—27x有極大值，并且極大值為/(—3)=54；

當(dāng)x=3時(shí)，/(x)=x3_27x有極小值，并且極小值為"3)=—54；

又由于/(—4)=44,/(4)=一44.

因此，函數(shù)=27x在［-4,4］上的最大值是54、最小值是-54.

(3)在［-；,3］上，當(dāng)x=2H寸，/(x)=6+12x—x3有極大值，并且極大值為/(2)=22.

又由于/(—；)=||，/⑶=15.

因此，函數(shù)/(X)=6+12X-X3在［」,引上的最大值是22、最小值是史.

327

(4)在［2,3］上,函數(shù)/(x)=3x-無極值.

因?yàn)?(2)=-2,/⑶=—18.

因此，函數(shù)/(x)=3x-x3在⑵引上的最大值是-2、最小值是-18.

習(xí)題1.3A組(P3I)

1、(1)因?yàn)閒(x)=—2x+l,所以廣(無)=-2<0.

因此，函數(shù)/(x)=-2x+l是單調(diào)遞減函數(shù).

TTJT

⑵因?yàn)閒(x)=x+cos…€(0節(jié)),所以八x)=jinx〉0'Xe(0,p

因此，函數(shù)/(x)=x+cosx在(0,g上是單調(diào)遞增函數(shù).

(3)因?yàn)?(x)=—2x—4,所以/'(x)=—2<0.

因此，函數(shù)/(x)=2x-4是單調(diào)遞減函數(shù).

(4)因?yàn)?(x)=2d+4x,所以/")=6/+4>().

因此，函數(shù)/(x)=21+4x是單調(diào)遞增函數(shù).

2、(1)因?yàn)镮(x)=f+2x-4,所以/'(x)=2x+2.

當(dāng)廣(x)>0,即x>—l時(shí)，函數(shù)/(x)=x2+2x—4單調(diào)遞增.

當(dāng)廣(x)<0,即x<—l時(shí)，函數(shù)/(x)=x2+2x-4單調(diào)遞減.

(2)因?yàn)?(X)=2X2-3X+3,所以廣(x)=4x—3.

當(dāng)/(x)>0,即x>2時(shí)，函數(shù)f(x)=2尤2-3%+3單調(diào)遞增.

4

當(dāng)—<0,即無<?時(shí),函數(shù)f(x)=2尤2-3x+3單調(diào)遞減.

4

(3)因?yàn)?(尤)=3%+丁,所以廣(%)=3+3/>0.

因此，函數(shù)/(x)=3x+x3是單調(diào)遞增函數(shù).

(4)因?yàn)?(x)=d+x2-x,所以r(X)=3/+2X-1.

當(dāng)/'(x)〉0，即x<-l或x>；時(shí)，函數(shù)/(xQxW-x單調(diào)遞增.

當(dāng);(x)<0,即時(shí)，函數(shù)=1+/一%單調(diào)遞減.

3、(1)圖略.(2)加速度等于0.

4、(1)在％處，導(dǎo)函數(shù)y=/'(x)有極大值；

(2)在x=X1和x=》4處，導(dǎo)函數(shù)y=/'(x)有極小值；

(3)在％處，函數(shù)y=/(x)有極大值；

(4)在％處，函數(shù)y=/(x)有極小值.

5、(1)因?yàn)?(X)=6X2+X+2,所以尸(X)=12X+L

令尸(x)=12x+1=0,得了=—

當(dāng)x>-、時(shí)，f\x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x<-\時(shí)，f\x)<0,/(x)單調(diào)遞減.

所以，x=-2■時(shí)，f(x)有極小值,并且極小值為f(--)=6x(-—)2----2---.

1212121224

(2)因?yàn)?(幻=尤3—I2x,所以尸(x)=3f—12.

令尸(x)=3x2—12=0,得％=±2.

下面分兩種情況討論：

①當(dāng)/'(x)>0,即x<—2或x〉2時(shí)；②當(dāng)/'(x)<0,即—2<x<2時(shí).

當(dāng)x變化時(shí)，/'(X),/(x)變化情況如下表:

X(-co,-2)-2(々2)2(2,+8)

廣(X)+0一0+

單調(diào)遞增16單調(diào)遞減-16單調(diào)遞增

因此，當(dāng)x=-2時(shí)，/(%)有極大值，并且極大值為16；

當(dāng)x=2時(shí)，/(x)有極小值，并且極小值為-16.

(3)因?yàn)?(x)=6—12x+J,所以/'(x)=—12+3x2.

令/'(x)=-12+3x?=0,得工=±2.

下面分兩種情況討論：

①當(dāng)廣(x)>0,即x<—2或x>2時(shí)；②當(dāng)/'(x)<0,即一2<x<2時(shí).

當(dāng)x變化時(shí)，/'(X),/(x)變化情況如卜表：

X(-8,-2)-2(-2⑵2(2,+8)

廣(X)+0—0+

/(X)單調(diào)遞增22單調(diào)遞減-10單調(diào)遞增

因此，當(dāng)x=-2時(shí);/(x)有極大值，并且極大值為22；

當(dāng)％=2時(shí);/(x)有極小值，并且極小值為-10.

(4)因?yàn)?(X)=48X—X3,所以尸(?=48-31.

令/'(x)=48-3/=0,#x=±4.

下面分兩種情況討論：

①當(dāng)/'(x)>0,即x<—2或x>2時(shí);②當(dāng)r(x)<0,即一2Vx<2時(shí).

當(dāng)X變化時(shí)，/'(X),/(X)變化情況如下表：

X(-00,-4)-41,4)4(4,+00)

/'(X)一0+0一

/(X)單調(diào)遞減-128單調(diào)遞增128單調(diào)遞減

因此，當(dāng)x=-4時(shí)，/(x)有極小值，并且極小值為-128；

當(dāng)x=4時(shí)，/(x)有極大值，并且極大值為128.

147

6、(1)在［—1,1］上，當(dāng)x=—五時(shí)，函數(shù)/(x)=6x2+x+2有極小值，并且極小值為彳.

由于/(—1)=7,/⑴=9,

47

所以，函數(shù)/(x)=6f+x+2在［-1,1］上的最大值和最小值分別為9,—.

(2)在［-3,3］上，當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)/(x)=Y—I2x有極大值，并且極大值為16；

當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)/(X)=Y—12X有極小值，并且極小值為-16.

由于/(—3)=9,〃3)=-9,

所以，函數(shù)/(幻=》3_12》在［-3,3］上的最大值和最小值分別為16,-16.

(3)在上，函數(shù)/(x)=6—12X+V在上無極值.

由于/(一；)=三~，/⑴=一5，

所以，函數(shù)/(x)=6-12x+d在［_；/］上的最大值和最小值分別為箸，-5.

(4)當(dāng)x=4時(shí)，/(x)有極大值，并且極大值為128..

由于/(-3)=-117,/⑸=115,

所以，函數(shù)/(x)=48x-/在［-3,5］上的最大值和最小值分別為128,-117.

習(xí)題3.3B組(P32)

1、(1)證明：設(shè)/(x)=sinx-x,xG(0,71}.

因?yàn)?'(x)=cosx-1<0,X￡(0,乃)

所以/(1)=$1111-1在(0,乃)內(nèi)單調(diào)遞減

因此/(x)=sinx-x</(0)=0,xG(0,,即sinxcx,xe(0,TT).圖略

(2)證明：設(shè)/(%)=x-尤"xG(0,1).

因?yàn)?0)=1—2x,XG(0,1)

所以，當(dāng)xw(O,g)時(shí)，/,(x)=l-2x>0,/(x)單調(diào)遞增，

/(x)=x-x2>/(0)=0；

當(dāng)xe(g,l)時(shí)，/,(x)=l-2x<0,/(x)單調(diào)遞減，

/(x)=x-x2>/(l)=O；

X/(l)=l>0.因此，x-x2>0,xe(O,l).圖略

(3)證明：設(shè)/(x)=e■'-l—x,x#0.

因?yàn)?(x)=e'-l,XHO

所以，當(dāng)x〉O時(shí)，f\x)=ex-l>0,/(x)單調(diào)遞增，

/(x)=^-l-x>/(O)=O；

當(dāng)x<0時(shí)，廣(x)="-l<0,/(x)單調(diào)遞減，

/(x)=^-l-x>/(0)=0;

綜上，ex-l>x,x^O.圖略

(4)證明：設(shè)/(x)=lnx-x,x>0.

因?yàn)閺V(X)=L—1,XH0

X

所以，當(dāng)0<x<l時(shí)，//(x)=--l>0,/(x)單調(diào)遞增，

X

/(x)=lnx-x</(l)=-l<0；

當(dāng)x>l時(shí)，/f(x)=--l<0,/(x)單調(diào)遞減，

X

/(x)=lnx-x</(l)=-l<0；

當(dāng)x=l時(shí)，顯然lnl<l.因此，Inx<x.

由(3)可知，e'>x+l>x,x>0.

.綜上，lnx<x</,x>0圖略

2、(1)函數(shù)/(口=辦3+/+以+1的圖象大致是個(gè)“雙峰”圖象，類似“2”或“S”

的形狀.若有極值，則在整個(gè)定義域上有且僅有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值，從圖象上能大致估

計(jì)它的單調(diào)區(qū)間.

(2)因?yàn)?(x)=ax'+%/+cx+d,所以/'(x)=3ax?+2bx+c.

下面分類討論：

當(dāng)aw0時(shí)，，分a>0和a<0兩種情形：

①當(dāng)a>0,且。2-3ac>0時(shí)，

設(shè)方程廣(%)=3。/+28》+。=0的兩根分另1」為％,彳2，JLx(<x2,

當(dāng)廣(X)=3?！?2"+，〉0,即xc』或XAX?時(shí)，函數(shù)/(x)=a/+bx2+cx+d單調(diào)遞增；

當(dāng)廣(x)=3。/+2Z?x+c<0,即菁<》<》2時(shí)，函數(shù)/(幻=如^+匕/+cx+d單調(diào)遞減.

當(dāng)a>0,且人2-3ac40時(shí)，

此時(shí)f'(x)=3ax2+2bx+c>0,函數(shù)/(x)=ax'+cx+d單調(diào)遞增.

②當(dāng)a<0,且/?2-3ac>0時(shí)，

設(shè)方程/'(》)=3辦2+2云+。=0的兩根分別為和苫2，且再ex?，

當(dāng)r(x)=3ax2+2bx+c>0,即玉<%<々時(shí)，函數(shù)/(?nad+bK+cx+d單調(diào)遞增；

當(dāng)/'(x)=3以2+26x+c<0,即x<X］或x>%2時(shí)，函數(shù)/(x)=以3+/>/+cx+d單調(diào)遞減.

當(dāng)a<0,且￡>2-3ac40時(shí)，

此時(shí)/'(X)=3ax2+2bx+c<0,函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d單調(diào)遞減

1.4生活中的優(yōu)化問題舉例

習(xí)題1.4A組(P37)

xI-Y

1、設(shè)兩段鐵絲的長度分別為X,/-X,則這兩個(gè)正方形的邊長分別為工’兩個(gè)正方

4

形的面積和為5=/(%)=(-)2+(―)2=—(2x2-2lx+l2),Q<x<l,

4416

令r(x)=0,即4x—2/=0,x=g.

當(dāng)xe(0,3)時(shí)，/,(x)<0；當(dāng)xe(g,/)時(shí)，/,(x)>0.

因此，x=j是函數(shù)/(x)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn).

所以，當(dāng)兩段鐵絲的長度分別是上時(shí)，兩個(gè)正方形的面積和最小.

2

2、如圖所示，由于在邊長為。的正方形鐵片的四角截去

四個(gè)邊長為X的小正方形，做成一個(gè)無蓋方盒，所以無

蓋方盒的底面為正方形，且邊長為a-2x,高為X.

(1)無蓋方盒的容積V(x)=(a-2x)21,0<x<-.

2

(2)因?yàn)檠尽?=4丁一4數(shù)2+八,

(第2題)

所以V'(x)=12x12-8ax+a2.

令V'(x)=O,得x=@(舍去)，sgx=-.

26

當(dāng)xw(o,q)時(shí)，v\x)>o；當(dāng)時(shí)，v,(%)<o.

662

因此，x=g是函數(shù)V(x)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn).

6

所以，當(dāng)x=g時(shí)，無蓋方盒的容積最大.

6

3、如圖，設(shè)圓柱的高為〃，底半徑為R,

則表面積S=2萬即7+2%/?2

CV

由丫=乃/?-力，得力=——7-

7UR2

Vc2Vc

因此,S(R)=2TTR—亍+2TTR2=—+2)A?,R＞。.

TIR-R

2V[\T

令S'(R)=——+4?R=0,解得R=d一.

R丫2"

當(dāng)Ae(O,J上)時(shí)，S'(H)<0；

N27r

當(dāng)上,+oo)時(shí)，S'(R)>0.

兀

(是函數(shù)S(A)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn).此時(shí)，％=奈2欄=2心

因此，R=3

所以，當(dāng)罐高與底面直徑相等時(shí)，所用材料最省.

]〃?n

4、證明：由于/(x)=—X(x-q)2，所以r(x)=—￡(x-q).

〃；=in,=i

令f'M-0,得尤=，￡%，

〃1

1n

可以得到，x=是函數(shù)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn).

n,=i

1〃

這個(gè)結(jié)果說明，用〃個(gè)數(shù)據(jù)的平均值，表示這個(gè)物體的長度是合理的,

n,-=,

這就是最小二乘法的基本原理.

2

5、設(shè)矩形的底寬為xm,則半圓的半徑為土m,半圓的面積為旦n?,

28

2

矩形的面積為。-三匚!!？，矩形的另一邊長為(q一三)m

8x8

因止匕鐵絲的長為/(幻=少+》+即一修=(1+工)8+經(jīng)，0<x<、怪

2x44xN兀

令心)=1+十1=。，得片層(負(fù)值舍去).

當(dāng)X€(O,、廬I)時(shí)，/'(x)<0；當(dāng)xw(牛!隹)時(shí)，r(x)>0.

因此，x=是函數(shù)/(X)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn).

所以，當(dāng)?shù)讓挒?匹m時(shí)，所用材料最省.

6、利潤L等于收入R減去成本C,而收入R等于產(chǎn)量乘單價(jià).

由此可得出利潤L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式，再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤.

收入/?=[?〃=q(25-看)=25<7-：/，

OO

利澗L=R—c=(25q-1/)—(100+4q)=—+100,0<^<200.

88

求導(dǎo)得U=」q+21

4

令//=0,即」q+21=0,q=84.

4

當(dāng)qw(0,84)時(shí),r>0；當(dāng)ge(84,200)時(shí),L'<0；

因此，g=84是函數(shù)L的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn).

所以，產(chǎn)量為84時(shí)，利潤L最大，

習(xí)題1.4B組(P37)

1、設(shè)每個(gè)房間每天的定價(jià)為x元，

Y—1RO1

-2

那么賓館利潤L(X)=(50-[o)(x-20)=--X+70X-1360,180<X<680.

令L'(x)=—"x+70=0,解得x=350.

當(dāng)x6(180,350)時(shí)，L'(x)>0；當(dāng)x€(350,680)時(shí),L'(x)>0.

因此，x=35O是函數(shù)L(x)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn).

所以，當(dāng)每個(gè)房間每天的定價(jià)為350元時(shí)，賓館利潤最大.

2、設(shè)銷售價(jià)為x元/件時(shí)，

b—x4Sh

利潤L(x)=(x-Q)(C+c-----x4)=c(x-a)(5——x),a<x<一.

bh4

八八/、8c4ac+5bc?癡相4。+5》

令L(x)=——x+-----------=0,解得%二-------.

bb8

、i,4Q+5Z?、Q...?、1,4〃+5/?5b—.

當(dāng)xw(a,---------)時(shí)，Lr(x)>0；當(dāng)XE(------,一)時(shí)，L(x)<0.

884

當(dāng)》="譽(yù)是函數(shù)L(x)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn).

所以，銷售價(jià)為擔(dān)土及元/件時(shí)，可獲得最大利潤.

8

1.5定積分的概念

練習(xí)(P42)

8

31

說明：進(jìn)一步熟悉求曲邊梯形面積的方法和步驟，體會(huì)“以直代曲”和“逼近”的思想.

練習(xí)(P45)

??1,10

1、Ai,.?Ay；=v(-)A/=[-(-)2+2]--=-(-)2i=l,2,.

nnnnnn

于是s=￡As,?名As；=￡v(-)Ar

n

/=1/=1i=\

這[-d)T+馬

7Z|nnn

=-(-)2--——(^)2---(-)2--+2

nnnnnn

1

=Jl+272+???+眉7+2

1〃5+l)(2〃+l)

=—7-----------------------F2

n36

=--(l+-)(l+—)+2

3nIn

取極值，得

n1；>1111c

s=lim>v(-)]=limY[—_(1+-)(1+—)+2]=-

"TB占"n"f8占3nIn3

說明：進(jìn)一步體會(huì)“以不變代變”和“逼近”的思想.

說明：進(jìn)一步體會(huì)“以不變代變”和“逼近”的思想，熟悉求變速直線運(yùn)動(dòng)物體路程的方法

和步驟.

練習(xí)(P48)

=說明：進(jìn)一步熟悉定積分的定義和幾何意義.

從幾何上看，表示由曲線y=Y與直線x=0,x=2,y=0所圍成的曲邊梯形的面積S=4.

習(xí)題1.5A組(P50)

f210()；11

1、(1)[(x-l)Jx?y[(l+——)-l]x—=0.495；

J100100

R500；_|]

(2)f(x-l)Jx?2；[(1+—)-1]x=0.499；

.方500500

C四i一11

(3)I(x-l)Jx?y[(l+——)-l]x——=0.4995.

3tr10001000

說明：體會(huì)通過分割、近似替換、求和得到定積分的近似值的方法.

2、距離的不足近似值為：18x1+12x1+7x1+3x1+0x1=40(m)；

距離的過剩近似值為：27x1+18x1+12x1+7x1+3x1=67(m).

3、證明：令/(x)=l.用分點(diǎn)a-x0<<?-?<<xt<--?<xn-b

將區(qū)間［a,切等分成"個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間兄,X,.］上任取一點(diǎn)奴i=1,2,…

〃,lh—n

作和式中22丁"。，

從而f\dx=limV---=h-a,

1=1"

說明：進(jìn)一步熟悉定積分的概念.

4、根據(jù)定積分的幾何意義，(Jl-x2dx表示由直線x=0,x=\,y=0以及曲線y=J1-￡

所圍成的曲邊梯形的面積，即四分之一單位圓的面積，因此=

5、(1)fx3dx=~~.

J-i4

由于在區(qū)間［一1,0］上所以定積分工產(chǎn)3右表示由直線x=o,x=_i,y=o和曲線

y=d所圍成的曲邊梯形的面積的相反數(shù).

(2)根據(jù)定積分的性質(zhì)，得fx3dx=fx3dx+f=-—+—=0.

J-iJ-iJo44

由于在區(qū)間上d40,在區(qū)間［0,1］上dNO,所以定積分jx3dx等于位于x軸上方的

曲邊梯形面積減去位于x軸下方的曲邊梯形面積.

(3)根據(jù)定積分的性質(zhì)，得［x^dx-(°x3dx+［2=--+4=—

J-iJ-iJb44

由于在區(qū)間上VKO,在區(qū)間［0,2］上工320,所以定積分j/dx等于位于x軸上方的

曲邊梯形面積減去位于x軸下方的曲邊梯形面積.

說明：在(3)中，由于/在區(qū)間上是非正的，在區(qū)間。2］上是非負(fù)的，如果直接利

用定義把區(qū)間［-1,2］分成〃等份來求這個(gè)定積分，那么和式中既有正項(xiàng)又有負(fù)項(xiàng)，而且無法抵

擋一些項(xiàng)，求和會(huì)非常麻煩.利用性質(zhì)3可以將定積分￡/公化為f/dx+f/dx,這樣，x3

在區(qū)間和區(qū)間［0,2］上的符號都是不變的，再利用定積分的定義，容易求出工產(chǎn)3公，

f/dx,進(jìn)而得到定積分,產(chǎn)3公的值.由此可見，利用定積分的性質(zhì)可以化簡運(yùn)算.

在(2)(3)中，被積函數(shù)在積分區(qū)間上的函數(shù)值有正有負(fù)，通過練習(xí)進(jìn)一步體會(huì)定積分的

幾何意義.

習(xí)題1.5B組(P50)

1、該物體在，=0到"6(單位：s)之間走過的路程大約為145m.

說明：根據(jù)定積分的幾何意義，通過估算曲邊梯形內(nèi)包含單位正方形的個(gè)數(shù)來估計(jì)物體走過

的路程.

2、(1)v=9.8k.

8711QQ

(2)過剩近似值：y9.81x-x-=9.81x-x——X=88.29(m)；

￡2242

；

不足近似值：y89.81x-_x-1!-1-9.81x1-x—2v-7=68.67(m)

占2242

(3)[9.81fdf；)9.81而=78.48(m).

3、(1)分割

在區(qū)間［0,/］上等間隔地插入〃-1個(gè)分點(diǎn)，將它分成〃個(gè)小區(qū)間：

nnnn

記第，個(gè)區(qū)間為(i=l,2,…〃)，其長度為

nn

AH(1)/1

nnn

把細(xì)棒在小段［0」］,……，］絲二型,/］上質(zhì)量分別記作:

nnnn

△機(jī)i，A〃乙，

則細(xì)棒的質(zhì)量m=Z'%.

i=\

(2)近似代替

當(dāng)〃很大，即Ac很小時(shí)，在小區(qū)間［9刊，乜］上，可以認(rèn)為線密度2(x)=x2的值變

nn

化很小，近似地等于一個(gè)常數(shù)，不妨認(rèn)為它近似地等于任意一點(diǎn)。€區(qū)二義,占處的函數(shù)

nn

值「(。)=短.于是，細(xì)棒在小段也二必當(dāng)上質(zhì)量△祖產(chǎn)(i=l,2,.

nnn

（3）求和

得細(xì)棒的質(zhì)量"2==.

i=l?=1/=1〃

（4）取極限

細(xì)棒的質(zhì)量m=limV4；2—,所以，”=

…,Jn

1.6微積分基本定理

練習(xí)(P55)

405

(1)50；(3)(4)24；

⑵三33

(5)--ln2；(6)—；(7)0；(8)-2.

22

說明：本題利用微積分基本定理和定積分的性質(zhì)計(jì)算定積分.

習(xí)題1.6A組(P55)

40.9

1、(1)?(2)---31n2；(3)-+In3-ln2；

322

17

(4)(5)——+1；(6)e>2-e-21n2.

~68

說明：木題利用微積分基本定理和定積分的性質(zhì)計(jì)算定積分.

2、]sinxdx-[-cos-2.

它表示位于x軸上方的兩個(gè)曲邊梯形的面積與x軸下方的曲邊梯形的面積之差.或表述為：

位于X軸上方的兩個(gè)曲邊梯形的面積（取正值）與X軸下方的曲邊梯形的面積（取負(fù)值）的代

數(shù)和.

習(xí)題1.6B組（P55）

102]1￡1/Q

1、（1）原式=[/2工=]—；；（2）原式=gsin2x]：=5-]；

店十r2/6

(3)原式=[——];=——

ln21In2

r.,cos加%1/八

2、(1)sinmxax=r[----------=--------r[cosm兀-cos(一加乃月=()；

“m'm

s'n""匕乃=—(一萬)]=；

(2)fcosmxdx=[sinmrc-sin60

J-*mm

r.27r1-cos2mx,xsin2mxM

(3)r

?UJ”224mj

嚴(yán)2,儼1+cos2mx.xsin2mx

(4)r

J”k224m一%

3、(1)s⑺=,6(1—ew)力=[如+與/%=幻+與e*-冬=45+245e-02/-245.

kkkkkk

(2)由題意得4%+245產(chǎn)一245=5000.

這是一個(gè)超越方程，為了解這個(gè)方程，我們首先估計(jì)f的取值范圍.

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),當(dāng)f〉0時(shí)，0<產(chǎn)<1,從而5000<4%<5245,

—O.2x——O.2x49-

因此245e49。