高等數(shù)學(xué)微積分-第8節(jié)-函數(shù)的連續(xù)性省公開課金獎全國賽課一等獎微課獲獎?wù)n件

第八節(jié)函數(shù)連續(xù)性一.連續(xù)函數(shù)概念1.改變量初值終值記作:注1.改變量可正可負.2.1/342.連續(xù)定義2.14設(shè)函數(shù)在點某鄰域內(nèi)有定義,自變量改變量假如時,函數(shù)改變量趨于也趨于即,則稱在點連續(xù).注在點函數(shù)連續(xù)幾何意義.2/343/34例1證實在處連續(xù).因證所以故在處連續(xù).例2證實在處連續(xù).4/34例3證實在內(nèi)任一點連續(xù).證在內(nèi)任取一點因所以故在內(nèi)任一點連續(xù).5/34討論函數(shù)連續(xù)另一定義形式6/34定義2.15設(shè)函數(shù)在點某鄰域內(nèi)有定義,假如則稱在點連續(xù).注準確性定義:設(shè)函數(shù)在點某鄰域內(nèi)有定義,假如對不論多么小,總存在當時,恒有則稱在點連續(xù).7/34連續(xù)條件:有定義有極限值相等.有定義、有極限都是連續(xù)必要條件.假如則稱在點右連續(xù).則稱在點左連續(xù).關(guān)系連續(xù)充要條件為左連續(xù)且右連續(xù).8/34區(qū)間連續(xù):假如函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)每一點都連續(xù),則稱在開區(qū)間內(nèi)連續(xù).假如函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù),而且在左端點右連續(xù),在右端點左連續(xù),則稱在閉區(qū)間上連續(xù).注幾何意義兩定義分工:定義(1)普通用于證實題.定義(2)普通用于詳細題判斷.9/34例4設(shè)討論處連續(xù)性.解故在處連續(xù).在即10/34例5討論函數(shù)處連續(xù)性.解所以故函數(shù)連續(xù).因又從而在11/34例6求值,使函數(shù)在分界點連續(xù)解依題意得故12/34二、函數(shù)間斷點13/341.跳躍間斷點例7解14/342.可去間斷點例815/34解注意

可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.16/34關(guān)于可去間斷點附加說明在是可去間斷點.因而卻不存在,所以間斷.假如將改成則在連續(xù).但實際上是在連續(xù).數(shù)學(xué)上能夠經(jīng)過討論處理問題.17/34補充定義方法:先求極限值,極限值是幾,就將函數(shù)值改成幾.例8給補充一個什么數(shù)值,能使在點連續(xù).解補充18/34如例8中,跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.特點19/343.第二類間斷點例9解20/34例10解注意不要認為函數(shù)間斷點只是個別幾個點.21/34例11解22/34例12討論若有間斷點判別其類型，并作出圖形解23/3424/34

跳躍間斷點

可去間斷點

第一類間斷點

左右極限存在

左右極限不相等

左右極限相等不等于函數(shù)值25/34

無窮間斷點

其它間斷點

第二類間斷點左右極限最少有一個不存在左右極限最少有一個為無窮大

振蕩間斷點

左右極限最少有一個振蕩26/34第一類間斷點oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點oyxoyx可去型oyx27/34三.連續(xù)函數(shù)性質(zhì)假如和在點連續(xù),則(1)在點連續(xù);(2)在點連續(xù);(3)當時,在點連續(xù).假如函數(shù)在點連續(xù),在點連續(xù),而且則復(fù)合函數(shù)在點連續(xù).定理2.22定理2.2328/34假如函數(shù)在點連續(xù),且有反函數(shù)則在點連續(xù).主要結(jié)論一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù).注在定義域內(nèi)不連續(xù).定理2.2429/34問題:(1)初等函數(shù)求連續(xù)區(qū)間?(2)初等函數(shù)求間斷點?(3)分段函數(shù)求間斷點?求極限:(1)已知在點連續(xù),則例13求解原式30/