第36屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽理論試題及答案

第36屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽理論考試試題解答2019年9月21日一(40分)、如圖a，旅行車上有一個(gè)半徑為R的三腳圓凳(可視為剛性結(jié)構(gòu))，三個(gè)相同凳腳的端點(diǎn)連線(均水平)構(gòu)成邊長為a的等邊三角形，凳子質(zhì)心位于其軸上的G點(diǎn).半徑為r的一圓筒形薄壁茶杯放在凳面上，杯底中心位于凳面中心O點(diǎn)處，茶杯質(zhì)量為m(遠(yuǎn)小于凳子質(zhì)量)，其中杯底質(zhì)量為(杯壁和杯底各自的質(zhì)量分布都是均勻的)，杯高為H(與杯高相比，杯底厚度可忽略).杯中盛有茶水，茶水密度為.重力加速度大小為g.(1)為了使茶水杯所盛茶水盡可能多并保持足夠穩(wěn)定，杯中茶水的最佳高度是多少?(2)現(xiàn)該茶水杯的底面邊緣剛好緩慢滑移到與圓凳的邊緣內(nèi)切于D點(diǎn)時(shí)靜止(凳面邊有小凸緣，可防止物體滑出；凳面和凳面邊的凸緣各自的質(zhì)量分布都是均勻的)，且OD⊥AC(見圖b)，求此時(shí)旅行車內(nèi)底板對各凳腳的支持力相對于滑移前(該茶水杯位于凳面中心處)的改變.參考解答:(1)以凳面中心0為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過O點(diǎn)向上的豎直線為y軸.茶杯(包括茶水在內(nèi))的質(zhì)心位置為(1)5分式中h是杯中茶水的高度.令，(1)式即事實(shí)上，考慮在茶杯中茶水的水平面從杯底逐漸緩慢上升的過程，茶水杯整體的質(zhì)心先是逐漸降低，然后再逐漸上升.為了使茶水杯盛盡可能多的茶水并保持足夠穩(wěn)定，茶水杯整體的質(zhì)心應(yīng)盡可能接近凳面，處于最低點(diǎn)的位置，故有(2)5分由(1)(2)式得(3)舍棄負(fù)值(不合題意)，杯中茶水的最佳高度為(4)3分【另一種解法：事實(shí)上，考慮在茶杯中茶水的水平面從杯底逐漸緩慢上升的過程，茶水杯整體的質(zhì)心先是逐漸降低，然后再逐漸上升.為了使茶水杯盛盡可能多的茶水并保持足夠穩(wěn)定，茶水杯整體的質(zhì)心應(yīng)盡可能接近凳面，處于最低點(diǎn)的位置.(1)式即它滿足代數(shù)不等式式中當(dāng)h滿足即(4)3分時(shí)取等號，即杯中茶水的最佳高度.】(2)記凳子質(zhì)量為M.該茶水杯的底面邊緣剛好滑移到與圓凳的邊緣內(nèi)切于D點(diǎn)靜止后，坐標(biāo)系及三腳圓凳的受力分析分別如解題圖a和解題圖b所示，其中、和分別是車內(nèi)底板對凳腳A、B和C的支持力.由幾何關(guān)系有(5)3分(6)3分三腳圓凳處于力平衡狀態(tài)，豎直方向合力為零(7)3分(8)3分式中，，P=Mg.由(7)(8)式得以x軸為轉(zhuǎn)動(dòng)軸，力矩平衡(9)5分記，由(5)(6)(9)式有【另一種解法：以AC為轉(zhuǎn)動(dòng)軸，由力矩平衡條件有(9)5分即】聯(lián)立以上各式得(10)(11)值得指出的是，解(10)滿足，即，(12)這已由題給條件保證了.由(7)(10)(11)式得，此時(shí)旅行車內(nèi)底板對各凳腳的支持力相對于茶水杯滑移前的改變?yōu)?13)4分(14)6分評分標(biāo)準(zhǔn):本題40分.第(1)問13分，(1)(2)式各5分，(4)式3分；第(2)問27分，(5)(6)(7)(8)式各3分，(9)式5分，(13)式4分，(14)式6分.二(50分)、農(nóng)用平板車的簡化模型如圖a所示，兩車輪的半徑均為r(忽略內(nèi)外半徑差)，質(zhì)量均為m(車輪輻條的質(zhì)量可忽略)，兩輪可2m繞過其中心的光滑細(xì)車軸轉(zhuǎn)動(dòng)(軸m的質(zhì)量可忽略)；車平板長為l、質(zhì)把手量為2m，平板的質(zhì)心恰好位于車輪的軸上；兩車把手(可視為細(xì)直桿)1的長均為21、質(zhì)量均為m，且把手前端與平板對齊，平板、把手和車軸固連成一個(gè)整體，車輪、平板和把手各自的質(zhì)量分布都是均勻的.重力加速度大小為g.(1)該平板車的車輪被一裝置(圖中未畫出)卡住而不能前后移動(dòng)，但仍可繞車軸轉(zhuǎn)動(dòng).將把手提至水平位置由靜止開始釋放，求把手在與水平地面碰撞前的瞬間的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度.(2)在把手與水平地面碰撞前的瞬間立即撤去卡住兩車輪的裝置，同時(shí)將車輪和軸鎖死，在碰后的瞬間立即解鎖，假設(shè)碰撞時(shí)間較短(但不為零)，碰后把手末端在豎直方向不反彈.已知把手與地面、車輪與地面之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)均為μ(最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力).求在車輪從開始運(yùn)動(dòng)直至靜止的過程中，車軸移動(dòng)的距離.參考解答:(1)車輪被一裝置卡住而不能前后移動(dòng)，但仍可繞輪軸轉(zhuǎn)動(dòng).把手繞車軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為平板繞車軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為平板與把手整體繞車軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為(1)4分把手和平板整體的質(zhì)心位置到車軸的距離(見解題圖a)為(2)4分設(shè)把手與地面碰撞前的瞬間的角速度為，由機(jī)械能守恒有(3)4分式中h是把手和平板整體的質(zhì)心下降的距離(見解題圖b)將(2)式代入上式得由上式和(1)(3)式得(4)4分(2)在把手與地面碰撞前的瞬間，把手和平板車的質(zhì)心的速度大小為由幾何關(guān)系有，碰前瞬間把手和平板質(zhì)心速度的水平與豎直分量(從把手末端朝向把手前端為正)分別為(5)4分(6)4分記碰撞時(shí)間間隔為△t，由題設(shè)，把手、平板與車輪組成的系統(tǒng)在碰撞過程中可視為一個(gè)物體.剛碰時(shí)，由于把手末端與地面之間有相對速度，把手末端與地面之間在碰撞過程中水平方向的相互作用力是滑動(dòng)摩擦力.設(shè)碰撞過程中地面對系統(tǒng)在豎直方向上總的支持力為N′，在碰撞后的瞬間系統(tǒng)的水平速度為(≥0).在水平和豎直方向上分別對此系統(tǒng)應(yīng)用動(dòng)量定理有(7)2分(8)2分值得注意的是，(8)式左端的沖量不可能等于零，因而(7)式左端的沖量也不可能等于零.由(7)(8)式得即當(dāng)系統(tǒng)靜止，故(9)2分當(dāng)系統(tǒng)開始運(yùn)動(dòng)，下面分兩階段討論系統(tǒng)開始運(yùn)動(dòng)后直至停止的過程:階段I.車輪又滑又滾階段兩車輪的受力如解題圖c所示，圖中是地面對兩車輪的正壓力，和是把手和平板通過軸對兩車輪分別在水平方向和豎直方向的作用力，地面對車輪的滑動(dòng)摩擦力.把手和平板作為一個(gè)整體的受力解題圖d所示，圖中N是地面對把手末端的正壓力.地面與車之間的總滑動(dòng)摩擦力為(10)2分把手、平板和車輪組成的系統(tǒng)的質(zhì)心加速度為(11)2分對把手和平板系統(tǒng)應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有(12)1分(13)1分對把手和平板系統(tǒng)應(yīng)用相對于過質(zhì)心的水平軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理有由(11)(12)(13)式得將以上兩式代入(14)式得(14)2分于是因而對兩車輪在豎直方向上應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有(15)2分對兩車輪應(yīng)運(yùn)用轉(zhuǎn)動(dòng)定理有(16)2分由(15)式得再由(16)式得設(shè)車輪經(jīng)歷時(shí)間間隔t后開始純滾動(dòng)，由純滾動(dòng)條件有(17)2分此即由此得車輪開始做純滾動(dòng)時(shí)的速度為(18)2分在整個(gè)又滑又滾階段，車軸移動(dòng)的距離為于是有(19)2分階段Ⅱ.車輪純滾動(dòng)階段兩車輪的受力如解題圖e所示，圖中是地面對兩車輪的正壓力，和分別是把手和平板通過軸對兩車輪在水平方向和豎直方向的作用力，是地面對車輪的作用力(靜摩擦力)。把手和平板作為一一個(gè)整體的受力解題圖f所示，圖中是地面對把手末端的正壓力.對兩車輪運(yùn)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有`(20)1分對兩車輪運(yùn)用轉(zhuǎn)動(dòng)定理有(21)1分由純滾動(dòng)條件有(22)2分由(20)(21)(22)式得對把手和平板系統(tǒng)在水平方向上應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有聯(lián)立以上兩式有對把手和平板系統(tǒng)在豎直方向上應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有對把手和平板系統(tǒng)應(yīng)用相對于過質(zhì)心C的水平軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理有聯(lián)立以上三式消去和，得解得于是(23)4分在整個(gè)純滾動(dòng)階段，車軸移動(dòng)的距離滿足于是(24)2分在車輪從開始運(yùn)動(dòng)直至靜止的整個(gè)過程中，車軸移動(dòng)的距離為(25)2分評分標(biāo)準(zhǔn):本題50分.第(1)問10分，(1)式4分，(2)(3)(4)式各2分；第(2)問40分，(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)式各2分，(12)(13)式各1分，(14)(15)(16(17)(18)(19)式各2分，(20)(21)式各1分，(22)式2分，(23)式4分，(24)(25)式各2分.三(40分)、某電磁軌道炮的簡化模型如圖a所示，兩圓柱形固定導(dǎo)軌相互平行，其對稱軸所在平面與水平面的夾角為θ，兩導(dǎo)軌的長均為L、半徑均為b、每單位長度的電阻均為，兩導(dǎo)軌之間的最近距離為d(d很小).一彈丸質(zhì)量為m(m較小)的金屬彈丸(可視為薄片)置于兩導(dǎo)軌之間，彈丸直徑為d、電阻為R，與導(dǎo)軌保持良好接觸.兩導(dǎo)軌下端橫截面共面，下端(通過兩根與相應(yīng)導(dǎo)軌同軸的、較長的硬導(dǎo)線)與一電流為I的理想恒流源(恒流源內(nèi)部的能量損耗可不計(jì))相連，不考慮空氣阻力和摩擦阻力，重力加速度大小圖a.某電磁軌道炮的簡化模型為g，真空磁導(dǎo)率為μ0.考慮一彈丸自導(dǎo)軌下端從靜止開始被磁場加速直至射出的過程.(1)求彈丸在加速過程中所受到的磁場作用力；(2)求彈丸的出射速度；(3)求在彈丸加速過程中任意時(shí)刻、以及彈丸出射時(shí)刻理想恒流源兩端的電壓；(4)求在彈丸的整個(gè)加速過程中理想恒流源所做的功:(5)在θ=0°的條件下，若導(dǎo)軌和彈丸的電阻均可忽略，求彈丸出射時(shí)的動(dòng)能與理想恒流源所做的功之比.參考解答:(1)由于彈丸直徑d很小，每根載流導(dǎo)軌均可視為半無限長載流直導(dǎo)線，彈丸上離某導(dǎo)軌軸線距離為r′處的磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為(1)4分方向垂直于兩導(dǎo)軌對稱軸所在平面斜向下。彈丸長為的一段所受到的磁場作用力(安培力)為(2)2分方向平行于導(dǎo)軌軸線斜向上.彈丸所受到的安培力大小為(3)2分方向平行于導(dǎo)軌軸線斜向上，(2)設(shè)彈丸的加速度大小為.由牛頓第二定律有(4)由(3)(4)式得，彈丸的加速度大小為(5)2分方向平行于導(dǎo)軌軸線斜向上.彈丸作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，彈丸的出射速度滿足(6)由(5)(6)式得(7)2分方向平行于導(dǎo)軌軸線斜向上.(3)兩導(dǎo)軌之間離某導(dǎo)軌軸線距離為r處(不一定是彈丸上一點(diǎn))的磁場為(8)通過兩導(dǎo)軌各自從下端開始長為l的一段以及彈丸長為dr的一-段組成平面回路的磁通量為(9)通過兩導(dǎo)軌各自從下端開始長為l的一段以及彈丸組成平面回路的磁通量為(10)4分根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢為(11)2分式中是彈丸沿導(dǎo)軌的運(yùn)動(dòng)速度.由全電路歐姆定律得(12)2分式中U為恒流源兩端的電壓。彈丸做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在通電后任意時(shí)刻t有(13)(14)由(11)(12)(13)(14)式得，在時(shí)刻t恒流源兩端的電壓為即(14)4分由(7)(13)式得，彈丸的加速度時(shí)間為(16)由(15)(16)式得，彈丸出射時(shí)電源兩端的電壓為(17)4分(4)在彈丸的整個(gè)加速過程中，恒流源所做的功為(18)4分下面依次計(jì)算(18)式右端的第一項(xiàng)、第二項(xiàng)，和第三項(xiàng):(19)4分(5)彈丸出射時(shí)的動(dòng)能為:(20)在的條件下，彈丸出射時(shí)的動(dòng)能為(21)2分若導(dǎo)軌和彈丸的電阻可忽略，恒流源所做的功為(22)2分彈丸出射時(shí)的動(dòng)能與恒流源所做的功之比=50%(23)2分評分標(biāo)準(zhǔn):本題40分.第(1)問8分，(1)式4分，(2)(3)式各2分；第(2)問6分，(5)式2分，(7)式4分；第(3)問14分，(10)式4分，(11)(12)式各2分，(15)式4分，(17)式2分；第(4)問6分，(18)(19)式各3分；第(5)問6分，(21)22)(23)式各2分.四(40分)、2016年9月，G20峰會(huì)在杭州隆重召開，其會(huì)議廳的裝飾設(shè)計(jì)既展示出中國建筑的節(jié)能環(huán)保理念，又體現(xiàn)了浙江的竹文化特色。圖a給出了其部分墻面采用的微孔竹板裝飾的局部放大照片，該裝飾同時(shí)又實(shí)現(xiàn)了對聲波的共振吸收.竹板上有一系列不同面積、周期性排列的長方形微孔，聲波進(jìn)入微孔后導(dǎo)致微孔中的空氣柱做簡諧振動(dòng).單個(gè)微孔和竹板后的空氣層，可簡化成一個(gè)亥姆霍茲共振器，如圖b所示.假設(shè)微孔深度均為l、單個(gè)微孔后的空氣腔體體積均為、微孔橫截面積記為S.聲波在空氣層中傳播可視為絕熱過程，聲波傳播速度與空氣密度及體積彈性模量的關(guān)系為其中是氣體壓強(qiáng)的增加量與其體積V相對變化量之比已知標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)(273K，latm=1.01×105Pa)下空氣(可視為理想氣體)的摩爾質(zhì)量Mmol=29.0g/mol，熱容比，氣體普適常量R=8.31J/(K·mol).(1)求標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下空氣的密度和聲波在空氣中的傳播速度；(2)求上述亥姆霍茲共振器吸收聲波的頻率(用、S、I、V0表示)；(3)為了吸收頻率分別為120Hz和200Hz的聲波，相應(yīng)的兩種微孔橫截面積之比應(yīng)為多少?參考解答:(1)由理想氣體狀態(tài)方程有(1)4分式中，P、V和T分別為空氣的壓強(qiáng)、體積和(絕對)溫度，M和Mmol分別為空氣總質(zhì)量和；摩爾質(zhì)量。由(1)式得空氣密度為在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下(以下標(biāo)“標(biāo)”表示)有，(2)2分理想氣體的絕熱過程滿足=常量式中γ是熱容比。對上式兩邊微分得(3)4分由(3)式可得，空氣的體積彈性模量為(4)4分聲波在空氣中的傳播速度為在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下有(5)4分(2)細(xì)管內(nèi)的空氣柱的質(zhì)量為(6)細(xì)管中的空氣柱的運(yùn)動(dòng)是由外界壓力與容器內(nèi)的壓力之差所引起的.設(shè)這部分空氣柱運(yùn)動(dòng)的位移為x(向外為正)，容器內(nèi)的空氣體積的改變?yōu)?7)容器內(nèi)氣體壓力的變化滿足絕熱過程，由(3)式有(8)2分相應(yīng)地，對于細(xì)管內(nèi)運(yùn)動(dòng)著的空氣柱的作用力為(9)4分從而，細(xì)管內(nèi)空氣柱的運(yùn)動(dòng)方程可寫為(10)(10)式可寫成(11)4分這是簡諧振動(dòng)的方程，o是簡諧振動(dòng)的圓頻率(12)將代入(10)式得，所述亥姆霍茲共振器吸收聲波的頻率為(13)6分上式最后一步利用了單個(gè)微孔后的空氣腔體體積為.(3)按題設(shè)，兩種需要通過所述亥姆霍茲共振器吸收聲波的頻率和之比為(14)由(13)式可得，(15)式中，S1和S2是相應(yīng)的上述亥姆霍茲共振器的微孔的橫截面積.由(15)式有(16)即(17)6分評分標(biāo)準(zhǔn):本題40分.第(1)問18分，(1)式4分，(2)式2分，(3)(4)(5)式各4分；第(2)問16分，(8)式2分，(9)(11)式各4分，(13)式6分；第(3)問6分，(17)式6分.五(40分)、圖a是基于全內(nèi)反射原理制備的折射率階躍型光纖及其耦合光路示意圖.光纖內(nèi)芯直徑50μm，折射率n1=1.46；它的玻璃外包層的外徑為125μm，折射率n2=1.45.氦氖激光器輸出一圓柱形平行光束，為了將該激光束有效地耦合進(jìn)入光纖傳輸，可以在光纖前端放置一微球透鏡進(jìn)行聚焦和耦合，微球透鏡的直徑D=3.00mm，折射率n=1.50.已知激光束中心軸通過微球透鏡中心，且與光纖對稱軸重合.空氣折射率n0=1.00.(1)為了使光線能在光纖內(nèi)長距離傳輸，在光纖端面處光線的最大入射角應(yīng)為多大?(2)若光束在透鏡聚焦過程中滿足近軸條件，為了使平行激光束剛好聚焦于光纖端面(與光纖對稱軸垂直)處，微球透鏡后表面中心頂點(diǎn)0與光纖端面距離應(yīng)為多大?(3)為了使進(jìn)入光纖的全部光束能在光纖內(nèi)長距離傳輸，平行入射激光束的直徑最大不能超過多少?參考解答:(1)進(jìn)入光纖芯的光束只有在光纖芯與包層界面滿足全反射條件，才能使得光束在光纖中長距離傳輸.設(shè)光線最大入射角為θ，相應(yīng)的折射角為α，如解題圖a所示.由折射定律和全反射條件有(1)2分(2)2分由(1)(2)式得(3)由(3)式得θ=arcsin0.17=9.8°(4)4分(2)平行激光束首先在微球透鏡前表面一次成像，其成像位置(相對于微球透鏡前表面頂點(diǎn))可利用球面鏡折射成像公式得到(5)4分式中，O1為物距，由于是平行光束O1=∞，是一次成像位置，n是微球透鏡玻璃材料折射率n=1.50，r是微球前表面曲率半徑，.由(5)式得(6)6分光束在微球透鏡后表面第二次成像位置(相對于微球透鏡后表面頂點(diǎn)O)可由球面鏡折射成像公式得到(7)2分式中，為相對于微球透鏡后表面頂點(diǎn)O的物距(8)2分由于此時(shí)是虛物，應(yīng)取負(fù)值，即而是微球后表面曲率半徑將以上數(shù)據(jù)代入(7)式可得二次成像位置為(9)4分即微球透鏡后表面中心頂點(diǎn)O與光纖端面距離應(yīng)為0.75mm.(3)微球透鏡的等效主點(diǎn)與球心重合，而等效焦距為(10)4分為了使進(jìn)入光纖的全部光束能在光纖內(nèi)長距離傳輸，平行入射激光束的直徑d最大時(shí)，光束在光纖端面上的入射角應(yīng)滿足最大入射角條件:(11)4分注意到上式已略去項(xiàng)，將上式結(jié)果代入(11)式，結(jié)合(3)式和題給數(shù)據(jù)得(12)4分平行入射激光束的直徑最大不能超過0.76mm.【解法二】(2)如解題圖b，O′是微球球心，入射光束邊緣的一根光線入射到微球面上的A點(diǎn)，入射角為，折射角為∠O′AB=β；在微球的大圓內(nèi)射到微球面上的B點(diǎn)，由于O′A=O′B，光線在B點(diǎn)的入射角∠O′BA=β，折射角必定為；折射出的光線與光軸交于F點(diǎn)(按題意，F(xiàn)點(diǎn)恰好在光纖端面上)，而AB的延長線與光軸交于C點(diǎn).由題給條件有，由折射定律有即(5)4分于是，(6)6分式中，=∠BFO′是光線在光纖端面上的入射角.而∠CBF=γ=∠FCB(7)2分∠BO′C=-=γ(8)4分因而，ΔBO′C和ΔFCB均為等腰三角形。于是(9)4分這里由于小角度近似，可近似認(rèn)為0點(diǎn)為線段O′C的中點(diǎn).(3)為了使進(jìn)入光纖的全部光束能在光纖內(nèi)長距離傳輸，平行入射激光束的直徑取最大值d時(shí)，光束在光纖端面上的入射角∠BFO′應(yīng)滿足最大入射角條件，即θ′=θ=0.17(10)4分由幾何關(guān)系和(6)(10)式得(11)4分由(10)(11)式得(12)4分平行入射激光束的直徑最大不能超過0.76mm.【解法三】(2)如解題圖b，O′是微球球心，入射光束邊緣的一根光線入射到微球面上的A點(diǎn)，入射角為，折射角為∠O′AB=β；在微球的大圓內(nèi)射到微球面上的B點(diǎn)，由于O′A=O′B，光線在B點(diǎn)的入射角∠O′BA=β，折射角必定為；折射出的光線與光軸交于F點(diǎn)(按題意，F(xiàn)點(diǎn)恰好在光纖端面上)，而AB的延長線與光軸交于C點(diǎn).由折射定律有由折射定律有(5)4分在ΔBO′F中，由正弦定理有(6)6分式中，=∠BFO′是光線在光纖端面上的入射角。記∠BO′C=γ，由幾何關(guān)系有(7)2分(8)4分由(6)(8)式得于是(9)4分式中第三步利用了近軸近似，略去了項(xiàng).(3)為了使進(jìn)入光纖的全部光束能在光纖內(nèi)長距離傳輸，平行入射激光束的直徑取最大值d時(shí)，光束在光纖端面上的入射角∠BFO′應(yīng)滿足最大入射角條件，即θ′=θ(10)4分由(8)(10)式得在(10)式右端略去了項(xiàng)后得(11)4分由幾何關(guān)系得由上式(11)式和題給數(shù)據(jù)得(12)4分平行入射激光束的直徑最大不能超過0.76mm.評分標(biāo)準(zhǔn):本題40分，第(1)問8分，(1)(2)式各2分，(4)式4分；第(2)問20分，(5)式4分，(6)式6分，(7)式2分，(8)(9)式各4分；第(3)問12分，(0)11)(12)式[(12)式結(jié)果在0.75mm-0.76mm之間的都對]各4分.六(40分)、宇宙射線中有大量高速飛行的π介子，它們會(huì)衰變成μ子和μ型反中微子已知π介子和μ子的靜止質(zhì)量分別為mπ=139.57061MeV/c2和mμ=105.65837MeV/c2，反中微子的靜止質(zhì)量近似為零.在實(shí)驗(yàn)室參照系中測得π介子的飛行速度大小為=0.965c(c=3.00×108m/s為真空中的光速).(1)求上述衰變過程產(chǎn)生的μ子的最大速率和最小速率；(2)上述衰變產(chǎn)生的μ子從距離地面10000m的高空豎直向下飛行，已知靜止的μ子的半衰期=1.523μs，求地面觀察者能夠觀測到的μ子的最大概率.參考解答:(1)在相對于π介子靜止的參照系S′(π介子的質(zhì)心系)中，由動(dòng)量守恒有(1)4分式中和分別是μ子和μ型反中微子在S′系中的動(dòng)量(2)2分有能量守恒有(3)4分式中和分別是μ子和μ型反中微子在S′系中的能量，(4)4分將(2)(4)式代入(1)(3)式得(5)即(6)4分【另一種解法】在相対于π介子靜止的參照系S′(π介子的貭心系)中，由劫量守恒有(1)4分式中和分別是μ子和μ型反中微子在S′系中的動(dòng)量；由能量守恒有(2)2分式中和分別是μ子和μ型反中微子在S′系中的能量.自由粒子的能量與幼量満足，(3)4分利用，(2)式即(4)2分式中而是μ子在S′系中的運(yùn)行速度。利用(1)(3)(4)式得上式兩邊平分得即解得(5)4分由此可導(dǎo)出μ子在S′系中的速度為:(6)2分假設(shè)在實(shí)驗(yàn)室系S中，π介子以及衰變后的μ子的飛行方向之間的夾角為θ，這一夾角在S′系中對應(yīng)于夾角θ′.按相對論速度變換規(guī)則，在實(shí)驗(yàn)室系S中，μ子的飛行速度的大小u滿足此即由上式可知，從π介子衰變得到的μ子的最大速率和最小速率分別出現(xiàn)在θ′=0和θ′=π的情形，正好分別相應(yīng)于θ=0和θ=π的情形.于是由可知，從π介子衰變得到的μ子的最大速率和最小速率分別為(7)4分(8)4分(2)根據(jù)放射性衰變規(guī)律，μ子的衰變率滿足(9)4分式中，N0為初始μ子數(shù)，Nt為t時(shí)刻的μ子數(shù)，Δt為μ子走完h=10000m路程所需的時(shí)間間隔。Δt在情形下最短，從而在地面附近出現(xiàn)的概率最大，即(10)2分由于時(shí)間膨脹效應(yīng)，其半衰期在地面參照系中為(11)2分從而，在地面上觀測到這個(gè)μ子的概率為(12)4分【另一解法】根據(jù)放射性衰變規(guī)律，μ子的衰變率滿足(9)4分式中，N0為初始μ子數(shù)，Nt為t時(shí)刻的μ子數(shù)，Δt為μ子走完h=10000m路程所需的時(shí)間間隔在情形下最短，因而在地面附近出現(xiàn)的概率最大，即(10)2分靜止的μ子的平均壽命可從靜止的μ子半衰期(求得由于時(shí)間膨脹效應(yīng)，其平均壽命在地面參照系下，(或)(11)2分從而，在地面上觀測到這個(gè)μ子的概率為，或(11)4分評分標(biāo)準(zhǔn):本題40分.第(1)問26分，(1)式4分，(2)式2分，(3)(4)(6)式各4分，[另一解法:(1)式4分，(2)式2分，(3)式4分，(4)式2分，(5)式4分，(6)式2分]，(7)(8)式各4分；第(2)問14分，(9)式4分，(10)式2分，(11)(12)式各4分.七(70分)、閃電是地球上最壯麗的自然現(xiàn)象之一，人們對閃電進(jìn)行了大量研究，近年來還觀測到閃電導(dǎo)致的瞬間發(fā)光和伽瑪射線暴等新現(xiàn)象.閃電通常由雷電云(離地6-12km)放電產(chǎn)生，多數(shù)閃電發(fā)生在云內(nèi)，少數(shù)到達(dá)地面，由于云內(nèi)冰狀顆粒相互碰撞，小顆粒冰晶帶正電，隨氣流上浮到云上端；較大顆粒帶負(fù)電，下墜到云底端(見圖a).云中閃電中和了云內(nèi)的正負(fù)電荷，而云地閃電則把負(fù)電荷釋放到地面.(1)利用高空氣球攜帶的電場測量儀測量高空中某圓柱形空域雷電云內(nèi)的電場，其強(qiáng)度可視為均勻分布，大小為0.15MV/m.該圓柱區(qū)域的中軸線垂直于地面，半徑為2.5km，高度為1.0km.求該區(qū)域上下兩端的電勢差、正電荷總量以及攜帶的總電能.已知真空介電常量=8.85×10-12F/m.(2)在起電過程中，雷電云上下兩端電荷會(huì)隨時(shí)間指數(shù)增加.當(dāng)?shù)乇黼妶龃笥?.0kV/m時(shí)，就會(huì)發(fā)生云地閃電，因此地表電場很少超過10kV/m.假定1)中所述的雷電云從高空緩慢整體下移，直至其負(fù)電荷層離地高度為6.0km時(shí)暫時(shí)保持穩(wěn)定，地面為良導(dǎo)體，試估算此雷電云正下方產(chǎn)生的地表電場強(qiáng)度.(3)云地閃電通常由帶電云底端帶負(fù)電的冰晶顆粒尖端放電觸發(fā)，先形成一條指向地面的放電細(xì)路徑(直徑為厘米量級)，該細(xì)路徑隨時(shí)間向下延伸，并導(dǎo)致周圍空氣不斷電離，逐漸形成以原細(xì)路徑(橫截面大小可視為不變)為軸的粗圓柱形帶電體，最后接近地面形成云地閃電通道.該閃電通道垂直于地面，所帶負(fù)電荷總量為2.5C(原細(xì)放電路徑內(nèi)所帶電量相對很小)，閃電通道(中心放電細(xì)路徑除外)內(nèi)部電場強(qiáng)度大小相等.假設(shè)閃電通道的長度遠(yuǎn)大于其直徑，閃電通道的直徑遠(yuǎn)大于中心放電細(xì)路徑的直徑，且在閃電通道連通云地前的極短時(shí)間內(nèi)，閃電通道內(nèi)部的電荷分布可視為穩(wěn)定分布.已知大氣的電場擊穿閾值為3.0MV/m，試估算該云地閃電通道的直徑，并導(dǎo)出閃電通道(中心放電細(xì)路徑除外)內(nèi)的電荷密度徑向分布的表達(dá)式(4)閃電通道連通云地后，云底和通道內(nèi)部的負(fù)電荷迅速流向地面；閃電區(qū)域的溫度驟然上升到數(shù)萬攝氏度，導(dǎo)致其中的空氣電離，形成等離子體，放出強(qiáng)光，同時(shí)通道會(huì)劇烈膨脹，產(chǎn)生雷聲，閃電的放電電流經(jīng)過約10μs時(shí)間即可達(dá)數(shù)萬安培.在通道底部(接近地面)向四周輻射出頻率約為30kHz的很強(qiáng)的無線電波.由于頻率低于20MHz(此即所謂電離層截止頻率)的電磁波不能進(jìn)入電離層內(nèi)部，該無線電波會(huì)加熱電離層底部(離地約80km)的等離子體，閃電電流--旦超過某閾值將導(dǎo)致該電離層底部瞬間發(fā)光，形成一個(gè)以強(qiáng)無線電波波源(通道底部)正上方對應(yīng)的電離層底部為中心的光環(huán)，最大直徑可延伸到數(shù)百公里.試畫出電離層底部光環(huán)產(chǎn)生與擴(kuò)展的物理過程示意圖，并計(jì)算光環(huán)半徑為100km時(shí)光環(huán)擴(kuò)張的徑向速度.(5)球形閃電(球閃)的微波空泡模型認(rèn)為球閃是一個(gè)球形等離子體微波空腔(空泡).當(dāng)閃電微波較弱時(shí)，不足以形成微波空泡，會(huì)向太空輻射，穿透電離層，可被衛(wèi)星觀測到.實(shí)際上，衛(wèi)星確實(shí)觀測到了這種微波輻射.但衛(wèi)星觀測信號易受電離層色散的干擾，攜帶探測器的高空氣球可到達(dá)雷電云上方觀測，以避免此類干擾.為了在離地12km的高空觀測閃電發(fā)出的微波信號，需要在該區(qū)域懸浮一個(gè)載荷(包括氣球材料和探測器)為50kg的高空氦氣球，求此氣球在高空該區(qū)域懸浮時(shí)的體積.已知在離地12km的高度以下，大氣溫度隨高度每升高1km下降5.0K，地面溫度T0=290K，地面壓強(qiáng)=1.01×105pa，空氣摩爾質(zhì)量M=29g/mol；氣球內(nèi)氦氣密度(在離地高度12km處的值)=0.18kg/m3.重力加速度g=9.8m/s2，氣體普適常量R=8.31J/(K·mol).參考解答:(1)該圓柱形雷電云空域的電荷分布可近似認(rèn)為是一個(gè)平行板電容器，其電容為(1)2分式中，r=2.5km，d=1.0km.該區(qū)域上下兩端的電勢差為U=Ed=150MV(2)2分式中E=0.15MV/m。所帶正電荷總量為=26C(3)2分?jǐn)y帶的總電能為J(4)2分(2)將地面考慮為平面導(dǎo)體.應(yīng)用鏡像電荷法，可得高度為h的點(diǎn)電荷Q產(chǎn)生的地面電場為(5)4分雷電云正負(fù)電荷產(chǎn)生的總地表電場為=-3.5kV/m(6)4分已利用(3)式和題給數(shù)據(jù)h=6.0km，d=1.0km，r=2.5km.結(jié)果為負(fù)，說明電場方向垂直于地面朝上.【另一解法】(較為精確的計(jì)算):考慮圓盤上一圓環(huán)形的電荷微元其中r′為圓盤半徑，為圓盤面電荷密度.該電荷微元在圓盤中軸線(過圓盤中心且與圓盤垂直的軸線)上與盤相距x處產(chǎn)生的電勢為整個(gè)帶電圓盤在圓盤中軸線上與盤相距x處產(chǎn)生的電勢為整個(gè)帶電圓盤在圓盤中軸線上與盤相距x處產(chǎn)生的電場為雷電云負(fù)電荷圓盤在x=h產(chǎn)生的電場為，式中h為負(fù)電荷的高度.正電荷圓盤在x=h+d產(chǎn)生的電場為將地面考慮為平面導(dǎo)體.應(yīng)用鏡像電荷法，得到正負(fù)電荷產(chǎn)生的地面電場為(5)4分已利用了(3)式。代入題給數(shù)據(jù)h=6.0km，d=1.0km，r=2.5km，得=-2.8kV/m(6)6分結(jié)果為負(fù)，說明電場方向垂直于地面朝上。(3)閃電通道的線電荷密度為(7)2分式中Q=2.5C，h=6.0km.利用高斯定理得，圓柱電荷體系外的電場為(8)4分式中r′為到圓柱中軸線的距離.閃電通道的表面(柱面)電場應(yīng)為擊穿電場，故其直徑為=5.0m(9)4分式中E擊穿=3.0MV/m.由題設(shè)，閃電通道的長度遠(yuǎn)大于其直徑，閃電通道的直徑遠(yuǎn)大于中心放電細(xì)路徑的直徑，閃電通道可視為無窮長的直圓柱體.在該直圓柱體上下兩端面的電場通量(邊緣效應(yīng))可忽略.在閃電通道內(nèi)部，取與閃電通道同軸的圓柱形封閉面(包含中心放電細(xì)路徑)，應(yīng)用高斯定理得(10)2分此即將上式兩邊對r求導(dǎo)得:(11)于是，閃電通道內(nèi)(中心放電細(xì)路徑除外)電荷密度分布為(12)6分(4)電離層底部光環(huán)產(chǎn)生與擴(kuò)展的物理過程示意圖如解題圖a所示.8分圖中，無線電波從閃電O點(diǎn)在t=0時(shí)刻以球面波形式輻射出來，波前在t=tA時(shí)刻到達(dá)電離層底面A處時(shí)開始加熱該電離層底部的A處，這對應(yīng)光環(huán)的出現(xiàn)時(shí)刻。由于頻率低于電離層截止頻率(30kHz<<20MHz)，無線電波不能進(jìn)入電離層，無線電波的波前會(huì)掠過電離層底面.當(dāng)波前在t=tB時(shí)刻到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，對應(yīng)的光環(huán)的半徑就為.假設(shè)在較短的時(shí)間Δt內(nèi)，光環(huán)外徑從B傳播到C；對應(yīng)的無線電波的波前從B點(diǎn)傳播到了D點(diǎn)。由于無線電波的傳播速度為c，故(13)2分其中c是光速.光環(huán)從B到C的移動(dòng)速度為(14)2分代入題給數(shù)據(jù)(15)4分由(14)(15)式得(16)代入題給數(shù)據(jù)=80km，=100km，得=1.28c=3.8×108m/s；(17)4分【另一解法】電離層底部光環(huán)產(chǎn)生與擴(kuò)展的物理過程示意圖如解題圖a所示.