第3章 圓錐曲線與方程綜合測試（解析版）

第3章圓錐曲線與方程綜合測試第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（2023·高二課時練習）雙曲線的一個焦點是，則的值是（

）A． B．1 C． D．【答案】B【解析】顯然，則雙曲線的標準方程為，由焦點坐標可知，解得：，故選：B.2．（2023·河南·高二校聯(lián)考階段練習）拋物線的準線方程是，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】拋物線的準線方程為，由題意可得，解得.故選：B.3．（2023·四川宜賓·高二宜賓市敘州區(qū)第一中學校?？计谀┮阎獟佄锞€的準線為，且點在拋物線上，則點A到準線的距離為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【解析】由題意知，，所以，所以拋物線方程為，則拋物線的準線l為，所以點A到拋物線準線的距離為.故選：A.4．（2023·高二課時練習）已知點P為橢圓上動點，分別是橢圓C的焦點，則的最大值為（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】D【解析】由橢圓，可得，所以，又由橢圓的定義可得，因為，當且僅當時，等號成立，所以的最大值為.故選：D.5．（2023·甘肅張掖·高二高臺縣第一中學?？茧A段練習）已知，A，B分別在y軸和x軸上運動，O為原點，，則動點P的軌跡方程是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】B【解析】設(shè)，因為，所以；因為，所以，即，所以，整理得，其軌跡是橢圓.故選：B.6．（2023·全國·高二專題練習）已知橢圓，點與的焦點不重合，若關(guān)于的焦點的對稱點分別為，，線段的中點在上，則（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】C【解析】設(shè)的中點為，橢圓的左右焦點分別為，則為的中點，為的中點，所以，同理，所以.故選:C7．（2023·北京·高二北京師大附中?？计谥校┰O(shè)點A，，的坐標分別為，，，動點滿足：，給出下列四個結(jié)論：①點P的軌跡方程為；②；③存在4個點P，使得的面積為；④.則正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由得,所以點的軌跡為以，為焦點的橢圓，且，故點P的軌跡方程為，①正確，當將代入橢圓方程中得，所以點在橢圓內(nèi)，所以,當且僅當運動到時，等號成立，，由于,所以,當且僅當運動到時等號成立，故②錯誤④正確，，其中為點到直線的距離，若，由于當點為橢圓的右頂點時，此時取最大值3，故滿足條件的點只有一個，③錯誤，故選：B.8．（2023·江蘇南通·高二海安高級中學校聯(lián)考階段練習）設(shè)拋物線的焦點為，準線為是與軸的交點，.過此拋物線上一點作直線的垂線，垂足記為點與相交于點，若，則點到軸的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】作圖如下

由得，又因為為，的中點，所以為的三等分點，且，又因為，所以，且，所以，不妨設(shè)，且在第一象限，，，所以，因為點在拋物線上，所以，所以根據(jù)相似關(guān)系，即點到軸的距離為.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．（2023·江西贛州·高二統(tǒng)考期末）已知曲線，則下列說法正確的是（

）A．若，則曲線C是圓B．若，則曲線C是焦點在y軸上的橢圓C．若，則曲線C是焦點在x軸上的雙曲線D．曲線C可以是拋物線【答案】AC【解析】A選項，當時，曲線，表示圓心在原點，半徑為的圓，所以A選項正確.B選項，當時，曲線表示焦點在軸上的橢圓，B選項錯誤.C選項，當時，，曲線表示焦點在軸上的雙曲線，C選項正確.D選項，由于是非零實數(shù)，所以的最高次項都是，所以曲線不可能是拋物線，D選項錯誤.故選：AC10．（2023·江西撫州·高二南城縣第二中學校考階段練習）已知雙曲線一條漸近線與實軸夾角為，且，則離心率e的可能取值是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由于，所以，依題意，所以，所以.故選：BC11．（2023·安徽·高二校聯(lián)考期末）已知為坐標原點，拋物線的焦點到其準線的距離為4，過點作直線交于，兩點，則（

）A．的準線為 B．的大小可能為C．的最小值為8 D．【答案】ACD【解析】由題意得，，則的準線為，故A正確；,設(shè)，整理得，，所以，，，所以，故B錯誤；，當時，的最小值為8，故C正確；∵，∴，故D正確.故選：ACD.12．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高二揚中市第二高級中學?？计谀┮阎本€與橢圓交于、兩點，點為橢圓的左、右焦點，則下列說法正確的有（

）A．橢圓的離心率為B．橢圓上存在點，使得C．當時，，使得D．當，，【答案】AD【解析】橢圓，則對于A，，故A正確；對于B，在中，，

由余弦定理得，又，當且僅當時，最大，則最小值為，因為，函數(shù)在遞減，即最大為，故B錯誤；對于C，時，，即直線過右焦點，設(shè)，則，恒成立，所以，

又，所以，因為，所以，故C錯誤；對于D，時，，設(shè)，聯(lián)立，得；所以，

所以，當時，取到最小值為，故，故D正確.故選：AD.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（2023·高二單元測試）請寫出離心率為的一個雙曲線的標準方程_______.【答案】=1（答案不唯一）【解析】離心率為的一個雙曲線的標準方程為.此時，所以，所以，符合題意.故答案為：（答案不唯一）.14．（2023·高二課時練習）橢圓的焦點為，點P是橢圓上任意一點，當時，P點橫坐標的取值范圍是__________．【答案】【解析】設(shè)，,則，又，所以，故答案為：15．（2023·四川廣元·高二廣元中學校考期中）已知F是拋物線C：y2=4x的焦點，過點F的直線l與拋物線C交于A，B兩點，過AB的中點M作y軸的垂線與拋物線在第一象限內(nèi)交于點P，若，則M點的橫坐標為______【答案】2【解析】拋物線的焦點為，準線方程為，若，可得，即有，，可得的中點的縱坐標為，設(shè)，，，，則，若斜率不存在，不合題意，所以過點F的直線l的斜率存在故直線的方程設(shè)為，代入拋物線的方程可得：，即有，解得，所以直線的方程為．又的中點的縱坐標為，所以點的橫坐標為2．故答案為：2．16．（2023·江蘇鹽城·高二統(tǒng)考期末）設(shè)雙曲線，焦點為，坐標原點為，為上任意一點，則_________．【答案】1【解析】由雙曲線，得，，所以左右焦點的坐標為，設(shè)點，由雙曲線的定義得，平方得，，又，所以，所以．故答案為：1.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．（10分）（2023·青海西寧·高二校聯(lián)考期末）（1）已知拋物線的焦點為，設(shè)過焦點且傾斜角為的直線交拋物線于兩點，求線段的長．（2）已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，求雙曲線C的離心率.【解析】（1）拋物線的焦點為，直線的斜率為，則直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立可得，，由韋達定理可得，因此，.（2）因為，由雙曲線的定義可得，所以，；因為,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.18．（12分）（2023·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學校聯(lián)考期末）已知直線l與拋物線C：交于A，B兩點．(1)若直線l過拋物線C的焦點，線段AB中點的縱坐標為2，求AB的長；(2)若直線l經(jīng)過點，求的值．【解析】（1）設(shè)，，線段中點設(shè)為，則，由題意，拋物線的焦點為，，根據(jù)拋物線的定義得；（2）當直線斜率不存在時，，與拋物線只有一個交點，不符合題意.所以直線斜率必存在，設(shè)為，與拋物線聯(lián)立得：，，得，所以.19．（12分）（2023·內(nèi)蒙古包頭·高二包頭市第四中學校考期末）已知雙曲線與有相同的焦點，且經(jīng)過點.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線交于兩點，且的中點坐標為，求直線的斜率.【解析】（1）由的焦點坐標為

由雙曲線與有相同的焦點所以雙曲線的焦點坐標為故，在雙曲線中：

①又雙曲線經(jīng)過點所以

②解得：所以雙曲線的方程為：（2）由題知直線斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為：由直線與雙曲線交于兩點，設(shè)所以消去整理得：所以所以由的中點坐標為所以所以.20．（12分）（2023·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第70中?？计谥校┮阎獧E圓C關(guān)于x軸?y軸都對稱，并且經(jīng)過兩點，.(1)求橢圓C的離心率和焦點坐標；(2)線段l經(jīng)過橢圓的左焦點且垂直橢圓的長軸，與橢圓交于D?E兩點，求BDE的面積.【解析】（1）設(shè)橢圓方程為：，將，代入，，解得：，故橢圓方程為，顯然焦點在軸上，離心率為，焦點坐標為；（2）由題意得：左焦點為，故線段l所在直線方程為：，將代入中，解得：，不妨設(shè)，故，點到直線的距離為，所以.21．（12分）（2023·高二課時練習）如圖,點A、B分別是橢圓長軸的左、右端點,點F是橢圓的右焦點,點P在橢圓上,且位于x軸上方,．(1)求點P的坐標;(2)設(shè)M是橢圓長軸上的一點,M到直線的距離等于,求橢圓上的點到點M的距離d的最小值．【解析】（1）解:由題知,P在橢圓上,不妨設(shè),,,,即,兩式聯(lián)立可得:,故點P的坐標為;（2）M是橢圓長軸上的一點,不妨設(shè),,,,M到直線的距離等于,,即,因為所以解得設(shè)為橢圓任一點,則滿足,即,則,故當時有最小值為.22．（12分）（2023·浙江杭州·高二統(tǒng)考期末）設(shè)拋物線，過焦點的直線與拋物線交于點，.當直線垂直于軸時，.

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