微專題16 立體幾何經(jīng)典題型精練 -2025年新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)微專題提分突破140分方案

PAGE1微專題16立體幾何經(jīng)典題型精練【典型例題】例1．（2024·高三·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面.(1)求證：平面平面；(2)若點(diǎn)為的中點(diǎn)，線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為.若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以三點(diǎn)共線，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（2）以所在的直線為軸和軸，過(guò)點(diǎn)作平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，設(shè)，所以，所以，由（1）知平面，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，即當(dāng)或時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為.例2．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，，，為側(cè)棱上一點(diǎn)，．(1)求證：平面；(2)求二面角的大小；(3)求點(diǎn)到平面的距離．【解析】（1）在直三棱柱中，平面，平面，，又，，，平面，平面，平面，平面，．，，、平面，平面；（2）方法一：設(shè)，連接，由（1）知，平面．平面，，，為二面角的平面角，在和中，，，，，，，在中，，，，在中，，．因此，二面角的大小為；方法二：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)點(diǎn)，則，，，解得，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，可得，令，則，，∴平面的一個(gè)法向量為．顯然，是平面的一個(gè)法向量，，結(jié)合圖形知，二面角為銳角，它的大小為；（3）方法一：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，易知，，可知，，即，，因此，點(diǎn)到平面的距離為；方法二：易知點(diǎn)到平面的距離為．例3．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)若點(diǎn)G、H分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為底面上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．【解析】（1）連接BD、AC，∵E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，∴，又∵，∴，又平面，平面，∴，又，平面,平面,∴平面，又平面,∴．（2）設(shè)點(diǎn)A到面的距離為d，∵正方體的棱長(zhǎng)為2，∴,，∴,∴，∴，又，到面的距離為2，∴，又，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為．（3）連接，設(shè)交于點(diǎn)H，則，又平面，平面，∴，又，平面,∴平面，∴不論G在上何處，都有，而取最小值時(shí)必有平面，此時(shí)且，將與展平后如圖所示，則，，故.則的最小值為到線段的距離.例4．（2024·天津·一模）如圖所示，在三棱柱中，平面，.是棱的中點(diǎn)，為棱中點(diǎn)，是的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線的交點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面夾角的余弦值.【解析】（1）在三棱柱中，平面，，則直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：由，得，，在中，且是棱的中點(diǎn)，則也是的中點(diǎn)，即，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則則，令，得，，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平面．?）由（1）知平面的法向量，又，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值．例5．（2024·遼寧·一模）如圖，在平行六面體中，E在線段上，且F，G分別為線段，的中點(diǎn)，且底面為正方形.(1)求證:平面平面(2)若與底面不垂直，直線與平面所成角為且求點(diǎn)A到平面的距離.【解析】（1）因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，，即，因?yàn)槭钦叫危?，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，所以，又，平面，平面，又平面，平面平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)作與平面垂直的直線為軸，以的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，又，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，解得或（舍），，所以點(diǎn)到平面的距離為，則點(diǎn)到平面的距離為.例6．（2024·高三·山東菏澤·階段練習(xí)）已知三棱柱，其中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，，異面直線和所成角記為．

(1)若，求三棱柱外接球的表面積；(2)若，則在過(guò)點(diǎn)且與平行的截面中，當(dāng)截面圖形為等腰梯形時(shí)，求該截面面積．【解析】（1）因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，、平面，，所以平面，故三棱柱為直三棱柱，因?yàn)楫惷嬷本€和所成角的余弦值為，所以，，設(shè)該三棱柱外接球球心為點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由余弦定理可得，由正弦定理可得底面外接圓為圓心的直徑，而，所以球的半徑，所以球的表面積，當(dāng)時(shí)，，同理可得球的半徑，所以球的表面積；（2）分別取，，的中點(diǎn)，，，連接，，，，則且，在直三棱柱中，是的中位線，且，，且，，，，四點(diǎn)共面，，分別為，的中點(diǎn)，，又平面，平面，平面，，且，分別為，的中點(diǎn)，四邊形即為符合要求的等腰梯形，當(dāng)不是的中點(diǎn)時(shí)，不平行于平面，過(guò)作，連接得到與平行的平面，三棱柱底面三角形為直角三角形，可以將三棱柱補(bǔ)成正方體，過(guò)作，延長(zhǎng)與相交于，連接交于點(diǎn)，不平行于平面，與共面，則與不平行，此時(shí)四邊形不是等腰梯形，故等腰梯形有且僅有一個(gè)，在等腰梯形中，，取，的中點(diǎn)，，由圖可知，，故，所以該截面面積為.例7．（2024·高一·浙江紹興·期末）如圖1，在梯形中，，是線段上的一點(diǎn)，，，將沿翻折到的位置.(1)如圖2，若二面角為直二面角，，分別是，的中點(diǎn)，若直線與平面所成角為，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值的取值范圍；(2)我們把和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，分別在線段，上（不包含端點(diǎn)），且為，的公垂線，如圖3所示，記四面體的內(nèi)切球半徑為，證明：.【解析】（1）由題意知，而，是的中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，在平面內(nèi)作的垂直作為軸，所以軸，如圖以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以分別為軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系：因?yàn)?，設(shè)，所以，，，，，則，，所以，，，，.設(shè)平面的法向量，由得，取，，解得.設(shè)平面的法向量，由得，取，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則，所以平面與平面所成銳二面角余弦值的取值范圍是.（2）是四面體的表面積，，令與面所成角為，，，因?yàn)槭枪咕€，上的點(diǎn)和上的點(diǎn)的最短距離是，（取不到等號(hào)，），，.例8．（2024·高三·重慶·階段練習(xí)）如圖所示，已知在四棱柱中，所有的棱長(zhǎng)均為2，側(cè)面底面為的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），過(guò)三點(diǎn)的截面記為平面.

(1)是否存在點(diǎn)使得底面？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)當(dāng)平面與平面所成二面角的余弦值為時(shí)，試求平面截得四棱柱兩部分幾何體的體積之比（體積小的部分作比值的分子）.【解析】（1）連接，取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，故三角形為等邊三角形，則；因?yàn)槊婷?，面面面，故面；又面，故；在三角形中，因?yàn)?，三角形為等邊三角形，則；綜上兩兩垂直，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：又，故，設(shè)，，則，即；因?yàn)槊?，故取平面的法向量為；又，設(shè)平面的法向量為，則，則，取，則；故平面的法向量為；若存在點(diǎn)使得底面，則，即，解得；故存在點(diǎn)，當(dāng)其與重合時(shí)，平面底面.（2）設(shè)平面與平面所成二面角為，由題可得，即，整理得：，解得（舍去）或.故當(dāng)為上靠近的三等分點(diǎn)時(shí)，平面與平面所成二面角的余弦值為；此時(shí)，取上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)為，取上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)為，連接，如下所示：在三角形中，分別為中點(diǎn)，故//，又////，且，故四邊形為平行四邊形，則////，則平面與平面是同一個(gè)平面；又；，，由（1）知，，面，故面，則棱臺(tái)的高為，則，兩部分體積分別為和，故體積之比為.例9．（2024·天津和平·一模）如圖，四棱錐的底面是正方形，平面，，點(diǎn)分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值；(3)若直線與平面所成的角的正弦值為，求此時(shí)的長(zhǎng)度.【解析】（1）因?yàn)樗睦忮F的底面是正方形，平面，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，又因?yàn)椋瑒t，即，由平面，所以平面.（2）設(shè)平面與平面的夾角為，平面的法向量，平面的法向量,所以，，則平面與平面的夾角的余弦值為.（3）設(shè)長(zhǎng)度為，，設(shè)直線與平面所成角為，因?yàn)椋?，解得，此時(shí)的長(zhǎng)度為.【過(guò)關(guān)測(cè)試】1．（2024·高三·浙江寧波·階段練習(xí)）已知四棱錐的底面是直角梯形，，，，，為的中點(diǎn)，.(1)證明：平面平面；(2)若與平面所成的角為，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，求點(diǎn)到平面的距離.【解析】（1）證明：由四邊形是直角梯形，且，在直角中，，可得，從而是等邊三角形，平分，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，又因?yàn)榍移矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋杂?，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，連接，可得為與平面所成的角，則，在直角中，，在等邊中，可得，在直角中，可得，又因?yàn)榈冗?，且為的中點(diǎn)，所以.以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，可得，設(shè)，可得，則，由，解得，滿足題意，所以點(diǎn)到平面的距離為.2．（2024·遼寧·一模）如圖，在三棱柱中，平面是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別是線段的中點(diǎn)，記平面與平面的交線為.(1)求證：；(2)當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求.【解析】（1）因?yàn)榉謩e是線段的中點(diǎn)，所以.在三棱柱中，四邊形為平行四邊形，所以，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?因?yàn)槠矫?，平面平面，所?（2）解法一：在直三棱柱中，平面，所以，又，所以兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則所以.設(shè)平面的法向量為，則,令，得.易知平面的一個(gè)法向量為，則，解得或（舍去）.綜上，當(dāng)二面角的大小為時(shí)，.解法二：作，交于點(diǎn)，連接.因?yàn)?，所以，所以四點(diǎn)共面，所以平面平面.因?yàn)?，所以平面，所以平面，所以，所以為二面角的平面?若，則在中，，又，所以，又，所以.3．（2024·河北唐山·一模）如圖，三棱柱中，側(cè)面為矩形，底面ABC為等邊三角形．(1)證明：；(2)若，，①證明：平面平面ABC；②求平面ABC與平面的夾角的余弦值．【解析】（1）取的中點(diǎn)為，連接,由于側(cè)面為矩形，所以,由于底面ABC為等邊三角形,所以,平面，所以平面，由于故四邊形為平行四邊形，故平面，故，又是中點(diǎn)，所以，（2）①由于是中點(diǎn)，所以,又且，所以，由于，,故為的平面角，由于,所以，故平面平面ABC；②由于兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，,則設(shè)平面的法向量為，則，取，則，由于平面ABC的法向量為,故故平面ABC與平面的夾角的余弦值為4．（2024·廣東江門(mén)·一模）如圖，四邊形是圓柱底面的內(nèi)接矩形，是圓柱的母線.

(1)證明：在側(cè)棱上存在點(diǎn)，使平面；(2)在（1）的條件下，設(shè)二面角為，，，求三棱錐的體積.【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接交于，連接，因?yàn)闉榫匦?，所以為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，（2）設(shè)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，又平面的法向量可以為，設(shè)平面的法向量為，則，取，因?yàn)槎娼菫椋?，解得（?fù)值舍去），所以，所以，又點(diǎn)到平面的距離，所以.5．（2024·山東煙臺(tái)·一模）如圖，在三棱柱中，，為的中點(diǎn)，平面.

(1)求證：；(2)若，求二面角的余弦值.【解析】（1）在三棱柱中，，則，由，得，在中，，由余弦定理，得，，于是，由平面平面，得，而平面，因此平面，又平面，所以，（2）由（1）知，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，得，則，于是，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，取，得，顯然為平面的一個(gè)法向量，因此，顯然二面角的大小為銳角，所以二面角的余弦值為.6．（2024·陜西咸陽(yáng)·二模）在幾何體中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形．平面，若．(1)求證：平面平面；(2)是否在線段上存在一點(diǎn)，使得二面角的大小為．若存在，求出的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）證明：如圖，設(shè)分別為邊的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫妫裕?進(jìn)而，即四邊形為平行四邊形，可得，在底面正三角形中，為邊的中點(diǎn)，則，又平面，且平面，所以．由于，且平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，則平面，又平面，則平面平面．（2）如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則．設(shè)點(diǎn)，則．設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為．由題意知即令，則，即，即取，則，由，，解得：，由于點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，故，所以，當(dāng)時(shí)，二面角所成角為銳角，即存在點(diǎn)滿足，此時(shí)．7．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，PO是三棱錐P-ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E是PB的中點(diǎn)．(1)求證：OE∥平面PAC；(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C-AE-B的正弦值．【解析】(1)證明：如圖，連接BO并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)D，連接OA，PD.因?yàn)镻O是三棱錐PABC的高，所以PO⊥平面ABC.因?yàn)锳O，BO?平面ABC，所以PO⊥AO，PO⊥BO.又PA＝PB，所以△POA≌△POB，即OA＝OB，所以∠OAB＝∠OBA.又AB⊥AC，即∠BAC＝90°，所以∠OAB＋∠OAD＝90°，∠OBA＋∠ODA＝90°，所以∠ODA＝∠OAD，所以AO＝DO，即AO＝DO＝OB，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)．又E為PB的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥PD.又OE?平面PAC，PD?平面PAC，所以O(shè)E∥平面PAC.(2)過(guò)點(diǎn)A作Az∥OP，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)镻O＝3，AP＝5，所以O(shè)A＝＝4.又∠OBA＝∠OBC＝30°，所以BD＝2OA＝8，則AD＝4，AB＝4，所以AC＝12，所以O(shè)(2，2，0)，B(4，0，0)，P(2，2，3)，C(0，12，0)，所以E(3，1，)，則＝(3，1，)，＝(4，0，0)，＝(0，12，0).設(shè)平面AEB的法向量為n＝(x，y，z)，則令z＝2，則y＝－3，x＝0，所以n＝(0，－3，2).設(shè)平面AEC的法向量為m＝(a，b，c)，則令a＝，則c＝－6，b＝0，所以m＝(，0，－6)，所以cos〈n，m〉＝＝＝－.設(shè)二面角CAEB的大小為θ，則|cosθ|＝|cos〈n，m〉|＝，所以sinθ＝＝，即二面角C-AE-B的正弦值為.8．（2024·江西九江·二模）如圖，三棱錐中，平面，，，，點(diǎn)滿足，.

(1)證明：平面平面；(2)點(diǎn)在上，且，求直線與平面所成角的正弦值.【解析】（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以，，又點(diǎn)滿足，，所以，在中，在中，，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）由（1）可知平面，平面，所以平面平面，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，則平面，又平面，平面，所以，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，設(shè)，所以，，因?yàn)?，所以，即，解得，所以為的中點(diǎn)，則，設(shè)平面的法向量為，又，，則，取，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.9．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）三階行列式是解決復(fù)雜代數(shù)運(yùn)算的算法，其運(yùn)算法則如下：.若，則稱為空間向量與的叉乘，其中，，為單位正交基底.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S?軸?軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，已知是空間直角坐標(biāo)系中異于的不同兩點(diǎn).(1)①若，求；②證明：.(2)記的面積為，證明：；(3)問(wèn)：的幾何意義表示以為底面?為高的三棱錐體積的多少倍？【解析】（1）①因?yàn)?，則.②證明：設(shè)，則，與互換，與互換，與互換，可得，故.（2）證明：因?yàn)?故，故要證，只需證，即證.由（1），故，又，則成立，故.（3）由（2），得，故，故的幾何意義表示：以為底面?為高的三棱錐體積的6倍.10．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知四邊形是矩形，平面，且，M?N是線段?上的點(diǎn)，滿足.(1)若，求證：直線平面；(2)是否存在實(shí)數(shù)，使直線同時(shí)垂直于直線，直線？如果有請(qǐng)求出的值，否則請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若，求直線與直線所成最大角的余弦值.【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以M是線段上的中點(diǎn)，因此有，因?yàn)槭蔷匦?，N是線段上的中點(diǎn)，所以，因此有，所以四邊形是平行四邊形，所以有，而平面，平面，所以直線平面；（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使直線同時(shí)垂直于直線，直線，因?yàn)樗倪呅问蔷匦危?，即，而平面，所以平面，因?yàn)槭蔷匦危?，因?yàn)槠矫?，平面，所以，而平面，所以平面，因此，顯然不可能，所以假設(shè)不成立，因此不存在實(shí)數(shù)，使直線同時(shí)垂直于直線，直線；（3）當(dāng)時(shí)，由（2）可知：，所以是直線與直線所成角，設(shè)，由（2）可知，所以，在中，由余弦定理可知：，令，所以，于是有，當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，此時(shí)有最大值.則直線與直線所成最大角的余弦值為.11．（2024·山東濟(jì)南·一模）在空間直角坐標(biāo)系中，任何一個(gè)平面的方程都能表示成，其中，，且為該平面的法向量.已知集合，，.(1)設(shè)集合，記中所有點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為，中所有點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為，求和的值；(2)記集合Q中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積為，中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積為，求和的值：(3)記集合T中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為W.①求W的體積的值；②求W的相鄰（有公共棱）兩個(gè)面所成二面角的大小，并指出W的面數(shù)和棱數(shù).【解析】（1）集合表示平面上所有的點(diǎn)，表示這八個(gè)頂點(diǎn)形成的正方體內(nèi)所有的點(diǎn)，而可以看成正方體在平面上的截面內(nèi)所有的點(diǎn).發(fā)現(xiàn)它是邊長(zhǎng)為2的正方形，因此.對(duì)于，當(dāng)時(shí)，表示經(jīng)過(guò)，，的平面在第一象限的部分.由對(duì)稱性可知Q表示，，這六個(gè)頂點(diǎn)形成的正八面體內(nèi)所有的點(diǎn).而可以看成正八面體在平面上的截面內(nèi)所有的點(diǎn).它是邊長(zhǎng)為的正方形，因此.（2）記集合，中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積分別為，；考慮集合的子集；即為三個(gè)坐標(biāo)平面與圍成的四面體.四面體四個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，，此四面體的體積為由對(duì)稱性知，考慮到的子集構(gòu)成的幾何體為棱長(zhǎng)為1的正方體，即，，顯然為兩個(gè)幾何體公共部分，記，，，.容易驗(yàn)證，，在平面上，同時(shí)也在的底面上.則為截去三棱錐所剩下的部分.的體積，三棱錐的體積為.故的體積.當(dāng)由對(duì)稱性知，.（3）如圖所示，即為所構(gòu)成的圖形.其中正方體即為集合P所構(gòu)成的區(qū)域.構(gòu)成了一個(gè)正四棱錐，其中到面的距離為，，.由題意面方程為，由題干定義知其法向量面方程為，由題干定義知其法向量故.由圖知兩個(gè)相鄰的面所成角為鈍角.故H相鄰兩個(gè)面所成角為.由圖可知共有12個(gè)面，24條棱.12．（2024·江蘇·一模）如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，點(diǎn)P是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在棱BC上．

(1)若，證明：平面；(2)若二面角的正弦值為，求BQ的長(zhǎng)．【解析】（1）證明：取的中點(diǎn)M，連接MP，MB．在四棱臺(tái)中，四邊形是梯形，，，又點(diǎn)M，P分別是棱，的中點(diǎn)，所以，且．在正方形ABCD中，，，又，所以．從而且，所以四邊形BMPQ是平行四邊形，所以．又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）在平面中，作于O．因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，，平面，所以平面．在正方形ABCD中，過(guò)O作AB的平行線交BC于點(diǎn)N，則．以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)樗倪呅问堑妊菪?，，，所以，又，所以．易得，，，，，所以，，．?：設(shè)，所以．設(shè)平面PDQ的法向量為，由，得，取，另取平面DCQ的一個(gè)法向量為．設(shè)二面角的平面角為θ，由題意得．又，所以，解得（舍負(fù)），因此，．所以當(dāng)二面角的正弦值為時(shí)，BQ的長(zhǎng)為1．法2：設(shè)，所以．設(shè)平面PDQ的法向量為，由，得，取，另取平面DCQ的一個(gè)法向量為．設(shè)二面角的平面角為θ，由題意得．又，所以，解得或6（舍），因此．所以當(dāng)二面角的正弦值為時(shí)，BQ的長(zhǎng)為1．法3：在平面中，作，垂足為H．因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以．在平面ABCD中，作，垂足為G，連接PG．因?yàn)椋?，，PH，平面，所以平面，又平面，所以．因?yàn)?，，所以是二面角的平面角．在四棱臺(tái)中，四邊形是梯形，，，，點(diǎn)P是棱的中點(diǎn)，所以，．設(shè)，則，，在中，，從而．因?yàn)槎娼堑钠矫娼桥c二面角的平面角互補(bǔ)，且二面角的正弦值為，所以，從而．所以在中，，解得或（舍）．所以當(dāng)二面角的正弦值為時(shí)，BQ的長(zhǎng)為1．13．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知的直角邊，點(diǎn)是從左到右的四等分點(diǎn)（非中點(diǎn)）.已知橢圓所在的平面⊥平面，且其左右頂點(diǎn)為，左右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上.

(1)求三棱錐體積的最大值；(2)證明：二面角不大于60°.【解析】（1）因?yàn)闄E圓所在的平面⊥平面,且交線為,又平面,,則平面,取中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所以空間直角坐標(biāo)系．設(shè)點(diǎn)．橢圓的方程為，由題意，易知，,則，，解得，所以．故三棱錐體積的最大值是．（2）易知，，，設(shè)，則，，,，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則,令，則，，所以平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則令，則，，令，則，當(dāng)時(shí)，則，所以，令，，因?yàn)椋?，令得，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．,當(dāng)時(shí)，令，，設(shè)，則，所以單調(diào)遞減，所以，即單調(diào)遞減，，綜上，對(duì)成立，即，即，故二面角不大于60°得證．14．（2024·江西南昌·一模）如圖，四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，已知為棱的中點(diǎn)，在底面的投影為線段的中點(diǎn)，是棱上一點(diǎn).

(1)若，求證：平面；(2)若，確定點(diǎn)的位置，并求二面角的余弦值.【解析】（1）設(shè)，因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為2的菱形，所以，對(duì)角線BD平分，又為棱的中點(diǎn)，所以,在中，根據(jù)角平分線性質(zhì)定理得，又，所以，所以，，平面，且平面平面.（2）平面，且平面，，因?yàn)?，所以，在中，，，所以是等邊三角形，又為棱的中點(diǎn)，所以，平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面ABCD，平面，又平面，，又，平面，平面，且平面，.因?yàn)镻在底面的投影H為線段EC的中點(diǎn)，所以，又所以為等邊三角形，故為中點(diǎn)，所以在底面上的投影為的中點(diǎn).在中，，，以為原點(diǎn)，分別以為軸，以過(guò)點(diǎn)且與平面垂直的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令，則，即，平面，是平面的一個(gè)法向量，，因?yàn)槎娼鞘且粋€(gè)銳角，所以二面角的余弦值為.15．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，四面體中，，，，為的中點(diǎn)．

(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，，點(diǎn)在上；①點(diǎn)為中點(diǎn)，求與所成角的余弦值；②當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．【解析】（1）∵，為的中點(diǎn)，∴，在和中，∴，∴，又為的中點(diǎn)，∴，又平面，，∴平面，又∵平面，∴平面平面；（2）①取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則，，∴（或其補(bǔ)角）為與所成的角，由且，∴是等邊三角形，則，由且，為的中點(diǎn)，∴在等腰直角中，，在中，，所以，即，又，∴，在中，由余弦定理得，即，∴，在中，，由余弦定理得，在中，，即，∴，故，在中，，，，故，∴與所成角的余弦值為．②連接，由（1）知，平面，平面，∴，則，當(dāng)時(shí)最小，即的面積最?。咂矫?，平面，∴，又∵平面，平面，，∴平面，又∵平面，∴平面平面，過(guò)點(diǎn)作于（或交延長(zhǎng)線），∵平面平面，平面，∴平面，∴（或其補(bǔ)角）為與平面所成的角，由知，∴，在直角中，，所以，在直角中，，∴，在等腰中，，，∴，∴，∴與平面所成的角的正弦值為．16．（2024·河南南陽(yáng)·一模）如圖，在幾何體中，平面平面，四邊形為正方形，四邊形為平行四邊形，四邊形為菱形，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，平面.

(1)證明平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【解析】（1）如圖，連接DC1，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，又平面，所以平面，所以，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，且，所以，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以，又，所以，因?yàn)槠矫妫云矫?（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸、軸、軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.易知，所以，，所以，，設(shè)，則，因?yàn)槠矫鍮DF，所以存在唯一的，使得.所以，解得，所以，設(shè)平面的法向量為，則，所以，取，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，所以，取，則，故，設(shè)平面與平面的夾角為，則，故平面與平面BDF夾角的余弦值為.17．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）在四棱雉中，四邊形為矩形，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．已知點(diǎn)在平面上的射影在四邊形外，且直線與平面所成的角為．(1)設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求證：；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．【解析】（1）作平面ABCD，連接OA，OD，OE所以直線與平面所成的角即為，又因?yàn)樵诘妊切蜛PD中，，所以，因?yàn)?，所以，故，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以垂直于OF所在直線，OF，OP所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以所以，，所以（2）點(diǎn)，設(shè)平面PAC的法向量為，則有，又，所以，不妨令，則，所以，取平面ABCD的一個(gè)法向量，則18．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）如圖1，在平行四邊形中，，將沿折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P位置，且，連接得三棱錐，如圖2．(1)證明：平面平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)M，使平面與平面的夾角的余弦值為，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）證明：翻折前，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，，則，因?yàn)?，則，，由余弦定理可得，所以，，則，同理可證，翻折后，則有，，因?yàn)?，，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，則，因?yàn)?，、平面，所以，平面，所以平面平?（2）因?yàn)?/p>