2021北京重點(diǎn)校高一(上)期中數(shù)學(xué)匯編：指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

1/12021北京重點(diǎn)校高一（上）期中數(shù)學(xué)匯編指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)2一、單選題1．（2021·北京·清華附中高一期中）下列函數(shù)中能說(shuō)明“若函數(shù)滿足，則在內(nèi)不存在零點(diǎn)”為假命題的函數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（2021·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）已知，則的值為（

）A． B． C． D．3．（2021·北京·人大附中高一期中）某商人將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元出售時(shí)，每天可銷(xiāo)售100件，現(xiàn)在他采用提高售價(jià)，減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤(rùn).已知這種商品每件銷(xiāo)售價(jià)提高1元，銷(xiāo)售量就要減少10件，如果要使每天所賺的利潤(rùn)最大，那么他應(yīng)將銷(xiāo)售價(jià)每件定為（

）A．11元 B．12元 C．13元 D．14元4．（2021·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）若，，，則、、的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．5．（2021·北京·人大附中高一期中）某同學(xué)用二分法求方程在內(nèi)近似解的過(guò)程中，設(shè)，且計(jì)算，則該同學(xué)在下次應(yīng)計(jì)算的函數(shù)值為（

）A． B． C． D．6．（2021·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）對(duì)實(shí)數(shù)與，定義新運(yùn)算“”：設(shè)函數(shù)若函數(shù)的圖像與軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．（2021·北京市第十三中學(xué)高一期中）在用二分法求方程的一個(gè)近似解時(shí)，現(xiàn)在已經(jīng)將一根鎖定在（1，2）內(nèi)，則下一步可斷定該根所在的區(qū)間為（）A．（1.4，2） B．（1，1.4） C．(1,1.5) D．(1.5,2)二、填空題8．（2021·北京八十中高一期中）設(shè)方程的解的個(gè)數(shù)為m，則m可能的值有________．9．（2021·北京八十中高一期中）函數(shù)的零點(diǎn)有________個(gè)．10．（2021·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）比較大?。篲__________（填“”或“”）.11．（2021·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）計(jì)算：___________.12．（2021·北京·人大附中高一期中）設(shè)，函數(shù)，若函數(shù)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是___________.13．（2021·北京·人大附中高一期中）對(duì)任意的實(shí)數(shù)，表示不大于的最大整數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)為_(kāi)_____.14．（2021·北京市第十三中學(xué)高一期中）若方程在內(nèi)恰有一解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.15．（2021·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）_____________.三、雙空題16．（2021·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）某電熱元件在通電狀態(tài)下僅有兩種模式，在A模式下元件溫度保持不變；從A模式切換到B模式后，在B模式下，元件溫度（單位）與通電累積時(shí)間（即從通電時(shí)刻開(kāi)始累積計(jì)時(shí)，單位）的乘積保持不變；從B模式再切換到A模式后，原件溫度繼續(xù)保持不變……現(xiàn)將該元件通電，初始溫度為，已知在這四個(gè)時(shí)刻下的元件溫度如表所示，而在時(shí)間內(nèi)隨變化的圖像如圖所示.請(qǐng)根據(jù)以上信息推斷：___________；___________.通電累積時(shí)間（單位）13612元件溫度（單位℃）30201510四、解答題17．（2021·北京八十中高一期中）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且．(1)求函數(shù)的解析式，以及零點(diǎn)．(2)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明．(3)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性．（只需寫(xiě)出結(jié)論）(4)在所給出的平面直角坐標(biāo)系上，作出在定義域R上的示意圖．18．（2021·北京八十中高一期中）為了保護(hù)水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對(duì)居民實(shí)行“階梯水價(jià)”，計(jì)費(fèi)方法如下表：每戶每月用水量水價(jià)不超過(guò)12的部分3元/超過(guò)12但不超過(guò)18的部分6元/超過(guò)18的部分9元/(1)求出每月用水量和水費(fèi)之間的函數(shù)關(guān)系；(2)若某戶居民某月交納的水費(fèi)為54元，則此月此戶居民的用水量為多少？19．（2021·北京·人大附中高一期中）已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且滿足．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)在上的最小值；（3）若滿足，則稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．函數(shù)有兩個(gè)不相等的不動(dòng)點(diǎn)，，且，，求的最小值．20．（2021·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）在對(duì)口扶貧活動(dòng)中，甲將自己經(jīng)營(yíng)某種消費(fèi)品的一個(gè)小店以優(yōu)惠價(jià)2萬(wàn)元轉(zhuǎn)讓給身體有殘疾的乙經(jīng)營(yíng)，并約定從該店經(jīng)營(yíng)的利潤(rùn)中，首先保證乙的每月最低生活開(kāi)支3600元后，逐步償還轉(zhuǎn)讓費(fèi)（不計(jì)息）.在甲提供的資料中，有：①這種消費(fèi)品進(jìn)價(jià)每件14元；②該店月銷(xiāo)量（百件）與銷(xiāo)售價(jià)格（元）的關(guān)系如圖；③每月需要各種開(kāi)支2000元.（Ⅰ）為使該店至少能夠維持乙的生活，商品價(jià)格應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？（Ⅱ）當(dāng)商品價(jià)格每件多少元時(shí)，月利潤(rùn)扣除最低生活費(fèi)的余額最大，并求最大余額.（Ⅲ）若乙只依靠該店，能否在3年內(nèi)脫貧（償還完轉(zhuǎn)讓費(fèi)）？

參考答案1．A【分析】根據(jù)已知條件逐一檢驗(yàn)四個(gè)函數(shù)，滿足，在內(nèi)存在零點(diǎn)即為符合題意的函數(shù).【詳解】對(duì)于A：對(duì)于函數(shù)，，，所以函數(shù)滿足，在內(nèi)存在零點(diǎn)，所以可說(shuō)明命題為假命題符合題意，故選項(xiàng)A符合題意；對(duì)于B：對(duì)于函數(shù)，，所以不滿足，故選項(xiàng)B不符合題意；對(duì)于C：對(duì)于函數(shù)，，由可得，此函數(shù)在內(nèi)不存在零點(diǎn)，不能說(shuō)明命題是假命題，故選項(xiàng)C不符合題意；對(duì)于D：對(duì)于函數(shù)，，，此函數(shù)在內(nèi)不存在零點(diǎn)，不能說(shuō)明命題是假命題，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：A.2．D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)恒等式及冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以故選：D3．D【分析】列出利潤(rùn)關(guān)于售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合二次函數(shù)即可求解【詳解】解：設(shè)售價(jià)為元，則提高價(jià)格為元，少買(mǎi)商品數(shù)為，實(shí)際單品利潤(rùn)為元，實(shí)際賣(mài)出，實(shí)際利潤(rùn)為，當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)有最大值.故選：D4．D【解析】利用指數(shù)函數(shù)比較、、三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較與的大小關(guān)系，由此可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】，即，又，因此，.故選：D.5．C【分析】根據(jù)二分法分析即可求解.【詳解】，零點(diǎn)在內(nèi)，下次應(yīng)計(jì)算的函數(shù)值故選：C6．B【解析】根據(jù)定義的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，并求出的取值范圍，函數(shù)的圖象與軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)轉(zhuǎn)化為，圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，結(jié)合圖象求得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】由題意知，若，即時(shí)，；當(dāng)，即或時(shí)，，所以函數(shù)，由圖可知，當(dāng)時(shí)函數(shù)與的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，的取值范圍是，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查新定義的理解和應(yīng)用，考查零點(diǎn)問(wèn)題的求解，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.7．D【分析】本題由二分法可知對(duì)于區(qū)間（1，2）內(nèi)下一個(gè)取值為1和2的平均數(shù)，結(jié)合1和2的函數(shù)值正負(fù)與平均數(shù)的正負(fù)即可得到結(jié)果【詳解】解：由已知令f（x）＝x3﹣2x﹣1，所以f（1）＝﹣2，f（2）＝3；由二分法知計(jì)算f（1.5）＝﹣0.625＜0，故由f（1）＜0，f（2）＞0；所以方程的跟位于區(qū)間（1.5，2）內(nèi)．故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查用二分法求區(qū)間根的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題型．8．0或2或3或4【分析】作出圖形，通過(guò)數(shù)形結(jié)合得到答案.【詳解】設(shè)，如圖所示（直線僅畫(huà)出一種情形）：則當(dāng)a>3或a=0時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)a=3時(shí)，有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)0<a<3時(shí)，有4個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)a<0時(shí)，沒(méi)有交點(diǎn).故答案為：0或2或3或4.9．1【分析】令解方程，即可得解；【詳解】解：因?yàn)?，令，即，解得故函?shù)有1個(gè)零點(diǎn)；故答案為：110．【分析】由于，，所以通過(guò)比較的大小可得答案【詳解】因?yàn)?，，，所以，即，故答案為?1．2【分析】直接利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可【詳解】，故答案為：212．##【分析】問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線有三個(gè)不同交點(diǎn)，分作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】,若函數(shù)有且僅有3個(gè)零點(diǎn),則函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，如圖：即可，解得，當(dāng)時(shí),如圖：即可，解得，綜上，故答案為：13．【解析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的根的問(wèn)題，結(jié)合，，求解不等式，分別討論即可得解.【詳解】由題意得，.令得，，所以，解得或，從而或.當(dāng)時(shí)，，解得，，與矛盾，故舍去；當(dāng)時(shí)，，，符合題意.故函數(shù)的零點(diǎn)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為分類(lèi)討論求解，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.14．【分析】解方程得到，在內(nèi)恰有一解，代入得到不等式解得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解，不滿足當(dāng)時(shí)，則方程在內(nèi)恰有一解即解得故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了方程的解，也可以利用函數(shù)的零點(diǎn)來(lái)求解，忽略掉的情況是容易犯的錯(cuò)誤.15．【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)與運(yùn)算法則計(jì)算.【詳解】【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)冪的乘除混合運(yùn)算，考查指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和乘除運(yùn)算法則，考查了推理能力與計(jì)算能力.16．

【分析】根據(jù)圖像得到分段函數(shù)解析式，得到，，，，解得答案.【詳解】根據(jù)題意知：，，故，，即，，即，，即，故.故答案為：；.17．(1)，零點(diǎn)為；(2)在上是單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析．(3)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．(4)函數(shù)圖象見(jiàn)解析；【分析】（1）依題意根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到，再由，即可求出、，從而求出函數(shù)解析式，再令，求出，即可得到函數(shù)的零點(diǎn)．（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可（3）結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)給出結(jié)論即可（4）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性作出草圖即可．(1)解：是定義在上的奇函數(shù)，，，又，解得，．令，即，解得，所以函數(shù)的零點(diǎn)為；(2)解：在上是單調(diào)遞減．證明：設(shè)，則，，，，，，即，在上單調(diào)遞減．(3)解：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．證明：設(shè)，則，，，，，，即，在上單調(diào)遞增．(4)解：因?yàn)?，函?shù)圖象如下所示：18．(1)(2)15【分析】（1）先分別求出每一段的函數(shù)解析式，再寫(xiě)成分段函數(shù)的形式即可；（2）由（1）分，，三種情況討論即可的解．(1)解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，關(guān)于的函數(shù)解析式為：；(2)解：當(dāng)時(shí)，，解得舍去，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得舍去，綜上所述，若某戶居民某月交納的水費(fèi)為54元，則此月此戶居民的用水量為15.19．（1）；（2）；（3）6.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，得到，再根據(jù)，由對(duì)稱性求得m即可；（2）根據(jù)，，分，，，討論求解；（3）根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)的定義得到方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，，由，求得t的范圍，再由，利用基本不等式求解.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，所以又，所以，解得，所以函數(shù)的解析式為：．（2），，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以．綜上：（3）因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不相等的不動(dòng)點(diǎn)，，且，所以，即方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，．所以，即，所以．，因?yàn)?，所以，，所以?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取“=”．所以，所以的最小值為6．20．（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)商品價(jià)格每件元時(shí)，月利潤(rùn)扣除最低生活費(fèi)的余額最大，且最大余額為元；（Ⅲ）不能.【解析】根據(jù)題中條件，先確定月銷(xiāo)量（百件）與銷(xiāo)售價(jià)格（元）的函數(shù)關(guān)系式，設(shè)每月的利潤(rùn)余額為，得出與之間函數(shù)關(guān)系式；（Ⅰ）令，求解對(duì)應(yīng)不等式，即可求出結(jié)果；（Ⅱ）根據(jù)與之間函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求出的最大值，以及取最大值時(shí)的值，即可確定結(jié)果；（Ⅲ）由（Ⅱ）中最大值，計(jì)算三年的利潤(rùn)余額的最大值，即可判斷出結(jié)果.【詳解】由該店月銷(xiāo)量（百件）與銷(xiāo)售價(jià)格（元）的關(guān)系圖可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，設(shè)每月的利潤(rùn)余額為，由題意，，（Ⅰ）為使該店至少能夠維持乙的生活，則；當(dāng)