《概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其MATLAB實現(xiàn)（微課版）》 習(xí)題及答案 第3章

PAGEPAGE18習(xí)題3.11.設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)為，試用表示下面事件的概率.(1)(2)(3)(4).【解】(1)；(2)；(3);(4).2.已知二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)為(1)求的值；(2)求概率，，.【解】(1)(2)；；.3.一個盒中放有同樣的5個球，其中3個白球，2個黑球，從中任意取2次，每次取1球.令在放回和不放回兩種情況下，求的聯(lián)合概率分布律.【解】（1）放回情況，，.（2）不放回情況，，.4.設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合概率分布律如下表所示.表3-6的聯(lián)合概率分布律YX12010.5000.5（1）求的聯(lián)合分布函數(shù)；（2）求.【解】略.5.設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)為.求(1)；(2),其中區(qū)域有圍成（見下圖）；(3).【解】(1)于是，；(2).第5題區(qū)域D(3第5題區(qū)域D.6.設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)為.求(1)；(2).【解】(1)；(2).習(xí)題3.21.設(shè)二維離散隨機變量的聯(lián)合概率分布律如下表所示.表3-11的聯(lián)合概率分布律YX123-110.050.250.1000.200.40求的邊緣概率分布律.【解】先求的邊緣概率分布律,.再求的邊緣概率分布律,,.2.設(shè)二維離散隨機變量的聯(lián)合概率分布律如下表所示.表3-12的聯(lián)合概率分布律YX-11/21-10301/121/31/6005/1200求的邊緣概率分布律.【解】先求的邊緣概率分布律,,.再求的邊緣概率分布律,,.3.設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)為求的邊緣分布函數(shù).【解】4.設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為求的邊緣概率密度函數(shù).【解】5.設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為求的邊緣概率密度函數(shù).【解】6.設(shè)為二維正態(tài)隨機變量，即，求的邊緣概率密度函數(shù).【解】略.習(xí)題3.31.設(shè)二維離散隨機變量的聯(lián)合概率分布律如下表所示.表3-16的聯(lián)合概率分布律YX012-10301/61/61/61/601/61/60(1)求在的條件下，的概率分布律；(2)求在的條件下，的概率分布律；【解】首先求出的邊緣概率分布律,,.,,.(1)，，.(2)，,.2.設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為求條件概率密度函數(shù).【解】于是，當(dāng)時，當(dāng)時，3.設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為求條件概率密度函數(shù).【解】于是，當(dāng)時，當(dāng)時，習(xí)題3.41.設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合概率分布律如表3-19所示.表3-19的聯(lián)合概率分布律XY2580.40.80.150.300.350.050.120.03判斷隨機變量X與Y的獨立性.【解】的邊緣概率分布律為,,.的邊緣概率分布律為,.由于，故隨機變量X與Y不相互獨立.2.設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合概率分布律如表3-20所示.表3-20的聯(lián)合概率分布律XY123121/61/91/181/3ab已知隨機變量X與Y相互獨立，求a,b的值.【解】略.3.設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為判斷隨機變量是否相互獨立.【解】驗證可知，故不相互獨立.4.設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為判斷隨機變量是否相互獨立.【解】驗證可知，故不相互獨立.5.設(shè)和是兩個相互獨立的隨機變量，在上服從均勻分布，的概率密度為（1）求和的聯(lián)合概率密度函數(shù)；（2）設(shè)含有的二次方程為，試求方程有實根的概率.【解】(1)由可知，的概率密度函數(shù)為再由和是相互獨立的隨機變量可得，和的聯(lián)合概率密度函數(shù)為(2)方程有實根等價于事件，于是方程有實根的概率為.習(xí)題3.51.設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合概率分布律如表3-27所示.表3-27的聯(lián)合概率分布律YX0121201/31/31/601/6(1)求概率分布律；(2)求概率分布律.【解】p(i,j)01/31/31/601/6(X,Y)(1,0)(1,1)(1,2)(2,0)(2,1)(2,2)Z1=X+Y123234Z2=max{X,Y}112222于是，概率分布律為Z11234pz1(xi)01/21/31/6概率分布律為Z212pz2(xi)1/32/32.設(shè)隨機變量相互獨立，且均服從參數(shù)的指數(shù)分布，求隨機變量的概率密度函數(shù).【解】由于隨機變量且相互獨立，故于是，隨機變量的概率密度函數(shù)為.3.設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為求隨機變量的概率密度函數(shù).【解】隨機變量的概率密度函數(shù)為.由的聯(lián)合概率密度函數(shù)可知，使的區(qū)域為（見下圖）.于是第3題.第3題4.設(shè)隨機變量均服從指數(shù)分布且相互獨立，記隨機變量.求的聯(lián)合概率密度函數(shù).【解】由于均服從指數(shù)分布，于是的概率密度函數(shù)分別為考慮到相互獨立，故的聯(lián)合概率密度函數(shù)為函數(shù)存在唯一的反函數(shù)，且反函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù).同時，由于，得到.此時雅可比行列式為.于是的聯(lián)合概率密度函數(shù)為.習(xí)題3.6設(shè)隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布見下表表3-29的聯(lián)合概率分布律（X,Y）-201234500.020.010.050.010.020.040.0110.010.10.050.0200.010.0230.030.010.040.010.020.030.0150.040.080.050.020.070.07060.020.030.050.020.010.010.01利用MATLAB軟件計算(1)X和Y的邊緣分布律；(2)P{2<X+sin(Y)<3.6}.【解】clc;clear;closeall;Xvalue=[01356];Yvalue=[-2012345];Pvalue=[0.020.010.050.010.020.040.01;0.010.100.050.020.000.010.02;0.030.010.040.010.020.030.01;0.040.080.050.020.070.070.00;0.020.030.050.020.010.010.01;]PX=[Xvalue;sum(Pvalue,2)']%X的邊緣概率PY=[Yvalue;sum(Pvalue)]%Y的邊緣概率P=0;fori=1:5forj=1:7ifXvalue(i)+sin(Yvalue(j))<3.6ifXvalue(i)+sin(Yvalue(j))>2P=P+Pvalue(i,j);[Xvalue(i)Yvalue(j)]endendendendP運行結(jié)果：(1)X01356pi0.160.210.150.330.15Y-2012345pj0.120.230.240.080.120.160.05(2)P{2<X+sin(Y)<3.6}=0.10設(shè)具有聯(lián)合概率密度函數(shù)為：利用MATLAB軟件計算(1)；(2)邊緣概率密度和；(3)的概率密度.【解】(1)輸入程序symsxyzfxy=2-x-y;P=int(int(fxy,y,0,x/2),x,0,1)運行結(jié)果：P=7/24.(2)輸入程序symsxyzfxy=2-x-y;fxz=2-z;fx=int(fxy,y,0,1)fy=int(fxy,x,0,1)運行結(jié)果：,.(3)輸入程序symsxyzfxz=2-z;fz1=int(fxz,x,0,z)fz2=int(fxz,x,z-1,1)運行結(jié)果：第3章考研真題1.設(shè)平面區(qū)域由曲線及直線所圍成，二維隨機變量在區(qū)域上服從均勻分布，求關(guān)于的邊緣概率密度在處的值為多少？（1998研考）【解】區(qū)域的面積為，于是的聯(lián)合概率密度函數(shù)為.的邊緣概率密度函數(shù)為，所以有.2.設(shè)隨機變量相互獨立，下表列出了二維隨機變量聯(lián)合分布律及關(guān)于的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值.試將其余數(shù)值填入表中的空白處.（1998研考）表3-30的聯(lián)合概率分布律YXy1y2y3P{X=xi}=pix1x21/81/8P{Y=yj}=pj1/61【解】略.3.設(shè)某班車起點站上客人數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為，且中途下車與否相互獨立，以表示在中途下車的人數(shù)，求：（1）在發(fā)車時有個乘客的條件下，中途有人下車的概率；（2）二維隨機變量的概率分布.（2001研考）【解】(1)顯然，這是求條件下，的概率，即求.由于車上的每位乘客是否下車是相互獨立的，故的條件分布是一個二項分布，于是有(2)4.設(shè)隨機變量和相互獨立，其中的概率分布為，而的概率密度為，求隨機變量的概率密度函數(shù).(2002研考)【解】設(shè)的分布函數(shù)為，的分布函數(shù)為，則由全概率公式可知于是，隨機變量的概率密度函數(shù)為.5.設(shè)隨機變量和相互獨立，且分別服從參數(shù)為1與參數(shù)為4的指數(shù)分布，則（）(2012研考)【解】由于隨機變量和分別服從參數(shù)為1與參數(shù)為4的指數(shù)分布，故有，.考慮到隨機變量和相互獨立，因此，于是.6.設(shè)隨機變量和相互獨立，且均服從區(qū)間[0,3]上的均勻分布，求.(2006研考)【解】已知隨機變量和相互獨立，且均服從區(qū)間[0,3]上的均勻分布，故有以及.于是，.7.設(shè)隨機變量的概率密度函數(shù)為令隨機變量(1)求的分布函數(shù)；(2)求概率.(2013研考)【解】，故而.(1)由隨機變量可知，的取值范圍為，于是當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.(2).8.設(shè)二維隨機變量服從正態(tài)分布，則(2015研考)【解】由可知，與的相關(guān)系數(shù)，于是有與相互獨立，且，.所以.9.設(shè)二維隨機變量在區(qū)域上服從均勻分布，令(1)寫出的概率密度；(2)問與是否相互獨立？并說明理由；(3)求的分布函數(shù).(2016研考)【解】(1)區(qū)域的面積為，故而的聯(lián)合概率密度函數(shù)為.(2),..，，.顯然，，即與不相互獨立.(3)先求出.當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.即.再求出.于是，當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，.即.由以上可計算出.10.設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，求常數(shù)及條件概率密度函數(shù).(2010研考)【解】注意到，則有于是，.又.故有.11.設(shè)隨機變量和相互獨立，且的概率分布為，的概率密度函數(shù)為(1)求；(2)求的概率密度函數(shù).(2017研考)【解】(1)..(2)先求.為此，由求出的分布函數(shù)為.于是，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.再求出.于是，當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，.由以上可計算出所以.12.設(shè)隨機變量和相互獨立，且均服從正態(tài)分布，則()(A)與無關(guān)，而與有關(guān)；(B)與有關(guān)，而與無關(guān)；(C)與,都有關(guān)；(D)與,都無關(guān).(2019研考)【解】已知隨機變量和相互獨立，且均服從正態(tài)分布，故有，于是.所以，與無關(guān)，而與有關(guān).13.設(shè)隨機變量和相互獨立，服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，的概率分布為,.令.(1)求出的概率密度；(2)為何值時，和不相關(guān)；(3)與是否相互獨立？(2019研考)【解】注意解題過程中要使用全概率公式.(1).于是，(2)當(dāng)時，，則和不相關(guān).已知服從參