《建筑力學》課件

緒論建筑力學的任務桿件結構是由桿件組成的一種體系。桿件體系必須按一定的規(guī)律組成，才能保持穩(wěn)定的骨架而承受各種外部作用。不同結構形式在承受相同的外部作用時，某種結構形式就可能比另一種結構形式合理。在結構分析中，須把實際的結構及承受的作用簡化為計算模型，這樣的模型稱為結構的計算簡圖。結構必須具備可靠(安全)、適用、耐久的功能。強度：在使用期內，務必使結構和構件安全可靠，不發(fā)生破壞，具有足夠的承載能力。結構和構件抵抗破壞的能力稱為強度。剛度：在使用期內，務必使結構和構件不發(fā)生影響正常使用的變形。結構或構件抵抗變形的能力稱為剛度。穩(wěn)定性：在使用期內，務必使結構和構件平衡形態(tài)保持穩(wěn)定。穩(wěn)定性是結構或構件保持原有平衡形態(tài)的能力。建筑力學的任務：研究和分析作用在結構（或構件）上力與其平衡的關系；結構（或構件）的內力、應力、變形的計算方法；構件的強度、剛度和穩(wěn)定條件；為保證結構（或構件）安全可靠又經濟合理提供計算理論依據(jù)。二、建筑力學的研究對象結構：是建筑物或構筑物中承受外部作用的骨架?？赡艹霈F(xiàn)的外部作用包括荷載作用(恒載、活載、風載、水壓力、土壓力等)、變形作用(地基不均沉降、材料脹縮變形、溫度變化引起的變形、地震引起的地面變形等)、環(huán)境作用(陽光、風化、環(huán)境污染引起的腐蝕、火災等)。構件：是組成結構的基本部件。按照幾何特征，結構可分為桿件、板殼和實體(圖)。桿件的幾何特征為長條形，長度遠大于其他兩個尺度(橫截面的長度和寬度)。板殼的厚度遠小于其他兩個尺度(長度和寬度)，板的幾何特征為平面形，殼的特征為曲面形。實體的幾何特征為塊幾何狀，長、寬、高三個尺度大體相近，內部大多為實體。桿件按照一定的方式連接，形成桿件結構。建筑力學的研究對象：結構、構件。三、土木工程與力學土木工程：用建筑材料(土、石、磚、木、混凝土、鋼、鋁、聚合物、鋼筋混凝土、復合材料等)建筑房屋、道路、鐵路、橋梁、隧道、河、港、市政衛(wèi)生等建筑物或構筑物的生產活動和工程技術。力學：研究宏觀機械運動規(guī)律及其應用的學科。機械運動指物體之間或物體內部各部分之間相對位置的變動，包括物體相對于地球的運動、物體的變形、流體的流動等。平衡：是機械運動的特殊情況，指物體相對于地球保持靜止，或作勻速直線平移。土木工程是力學最重要的發(fā)展源泉和應用園地之一，力學是土木工程重要的理論基礎。人類早就會建造房屋了，直到掌握了豐富的力學知識以后，各種各樣的摩天大樓、跨海大橋、特大跨度的公共建筑、水下隧道、高速公路才得以建成。力學的分支學：理論力學、材料力學、結構力學、板殼力學、彈性力學、彈塑性力學、塑性力學、斷裂力學、流體力學、復合材料力學、實驗力學、計算力學、量子力學等。作為高等職業(yè)教育的一門課程?！敖ㄖW”的內容只是力學中最基本的應用廣泛的部分。它將靜力學、材料力學、結構力學三門課程的主要內容貫通融合成為一體。第一章靜力學基本概念第一節(jié)力和平衡的概念力的定義力是物體間相互間的機械作用力的效應使物體的機械運動狀態(tài)發(fā)生改變，叫做力的運動效應或外效應。使物體的形狀發(fā)生改變，叫做力的變形效應或內效應。力的三要力的大小、方向、作用點稱為力的三要素。力的表示法力是一個矢量，用帶箭頭的直線段來表示，如右圖所示（虛線為力的作用線）。力的單位力的國際單位是牛頓(N)或千牛頓（kN）。F→力系:作用于同一個物體上的一組力。力系的分類:各力的作用線都在同一平面內的力系稱平面力系，否則稱為空間力系。平面力系的分類平面匯交力系：各力作用線匯交于同一點的力系。平面力偶系：若干個力偶（一對大小相等、指向相反、作用線平行的兩個力稱為一個力偶）組成的力系。平面匯交力系平面力偶系平面力系的分類平面平行力系：各力作用線平行的力系。平面一般力系：除了平面匯交力系、平面力偶系、平面平行力系之外的平面力系。平面一般力系平面平行力系等效：指兩個力(系)對物體的作用效果完全相同。（內效應、外效應）平衡力系：作用在平衡物體上的一個力系。合力與分力：若一個力與一個力系等效。則這個力稱為該力系的合力，而力系中的各個力稱為該合力的一個分力。第二節(jié)靜力學基本公理二力平衡公理作用在同一剛體上的兩個力，使剛體平衡的必要和充分條件是，這兩個力大小相等，方向相反，作用在同一條直線上。上述的二力平衡公理對于剛體是充分的也是必要的，而對于變形體只是必要的，而不是充分的。如圖1.5所示的繩索的兩端若受到一對大小相等、方向相反的拉力作用可以平衡，但若是壓力就不能平衡。（剛化原理）受二個力作用而處于平衡狀態(tài)的桿件或構件，稱為二力桿件，簡稱為二力桿或二力構件。加減平衡力系公理在作用于剛體上的任意力系中，加上或去掉任何平衡力系，并不改變原力系對剛體的作用效果。力的可傳性原理作用于剛體上的力可沿其作用線移動到剛體內任意一點，而不會改變該力對剛體的作用效應。力的平行四邊形法則作用在物體上同一點的兩個力，可以合成為仍作用于該點的一個合力，合力的大小和方向由以原來的兩個力為鄰邊所構成的平行四邊形的對角線矢量來表示。三力平衡匯交定理一剛體受共面不平行的三力作用而平衡時，此三力的作用線必匯交于一點。作用與反作用定律兩個相互作用物體之間的作用力與反作力大小相等，方向相反，沿同一直線且分別作用在這兩個物體上。第三節(jié)約束與約束反力限制物體運動的物體稱為約束物體，簡稱約束。約束必然對被約束物體有力的作用，以阻礙被約束物體的運動或運動趨勢。這種力稱為約束反力，簡稱反力約束反力位于約束與被約束物體的連接或接觸處，其方向必與該約束所能阻礙物體的運動方向相反。運用這個準則，可確定約束反力的方向和作用點的位置。1．柔體約束用柔軟的皮帶、繩索、鏈條阻礙物體運動而構成的約束叫柔體約束。這種約束作用是將物體拉住，且柔體約束只能受拉力，不能受壓力，柔性約束的約束反力（大小、方向、作用點）一定通過接觸點（場力除外），沿著柔體中心線背離被約束物體的方向，且恒為拉力，如圖1.14中的力。2．光滑接觸面約束當兩物體在接觸處的摩擦力很小而略去不計時，其中一個物體就是另一個物體的光滑接觸面約束。這種約束不論接觸面的形狀如何，都只能在接觸面的公法線方向上將被約束物體頂住或支撐住，所以光滑接觸面的約束反力（大小、方向、作用點）過接觸點，沿著接觸面的公法線指向被約束的物體，只能是壓力，如圖1.15中的力。3、光滑圓柱鉸鏈約束（簡稱鉸約束）光滑圓柱鉸鏈約束的約束性質是限制物體平面移動（不限制轉動），其約束反力（大小、方向、作用點）是互相垂直的兩個力（本質上是一個力），指向任意假設。XRY4．鏈桿約束鏈桿就是兩端鉸接而中間不受力的剛性直桿，由此所形成的約束稱為鏈桿約束。這種約束只能限制物體沿鏈桿軸線方向上的移動。鏈桿可以受拉或者是受壓，但不能限制物體沿其他方向的運動和轉動，所以，鏈桿約束的約束反力（大小、方向、作用點）沿著鏈桿的軸線，其指向假設。工程上將結構或構件連接在支承物上的裝置，稱為支座。在工程上常常通過支座將構件支承在基礎或另一靜止的構件上。支座對構件就是一種約束。支座對它所支承的構件的約束反力也叫支座反力。支座的構造是多種多樣的，其具體情況也是比較復雜的，只有加以簡化，歸納成幾個類型，才便于分析計算。建筑結構的支座通常分為固定鉸支座，可動鉸支座，和固定(端)支座三類。1．固定鉸支座圖1.18(a)是固定鉸支座的示意圖。構件與支座用光滑的圓柱鉸鏈聯(lián)接，構件不能產生沿任何方向的移動，但可以繞銷釘轉動，可見固定鉸支座的約束反力與圓柱鉸鏈約束相同，即約束反力一定作用于接觸點，通過銷釘中心，方向未定。固定鉸支座的簡圖如圖1.18(b)所示。約束反力如圖1.18(c)所示，可以用RA和一未知方向角α表示，也可以用一個水平力X和垂直力Y表示。XYRA2．可動鉸支座圖l.20(a)是可動鉸支座的示意圖。構件與支座用銷釘連接，而支座可沿支承面移動，這種約束，只能約束構件沿垂直于支承面方向的移，而不能阻止構件繞銷釘?shù)霓D動和沿支承面方向的移動。所以，它的約束反力的作用點就是約束與被約束物體的接觸點、約束反力通過銷釘?shù)闹行?，垂直于支承面，方向可能指向構件，也可能背離構件，視主動力情況而定。這種支座的簡圖如1.20(b)所示約束反力如圖1.20(c)所示。3．固定端支座整澆鋼筋混凝土的雨篷，它的一端完全嵌固在墻中，一端懸空如圖1.22(a)，這樣的支座叫固定端支座。在嵌固端，既不能沿任何方向移動，也不能轉動，所以固定端支座除產生水平和豎直方向的約束反力外，還有一個約束反力偶(力偶將在第三章討論)。這種支座簡圖如圖1.22(b)所示，其支座反力表示如圖1.22?（c）所示。第四節(jié)物體的受力分析與受力圖研究力學問題，首先要了解物體的受力狀態(tài)，即對物體進行受力分析，反映物體受力狀態(tài)的圖稱為受力圖。受力圖的繪制步驟為：取分離體；畫已知力；畫約束反力。例1.2重量為的小球，按圖1.23(a)所示放置，試畫出小球的受力圖。解：(1)根據(jù)題意取小球為研究對象。(2)畫出主動力：主動力為小球所受重力。(3)畫出約束反力：約束反力為繩子的約束反力以及光滑面的約束反力。小球的受力圖如圖1.23(b)所示。TANBGG例1.3畫圖（a）所示結構ACDB的受力圖。解：(1)取結構ACDB為研究對象。(2)畫出主動力：主動力為FP。(3)畫出約束反力：約束為固定鉸支座和可動鉸支座，畫出它們的約束反力，如圖（b）所示。XAXBYA第五節(jié)結構的計算簡及荷載分類任何建筑物在施工過程中以及建成后的使用過程中，都要受到各種各樣的作用，這種作用造成建筑物整體或局部發(fā)生變形、位移甚至破壞。例如，建筑物各部分的自重、人和設備的重力、風力、地震，溫度變化等等。其中建筑物的自重、人和設備的重力、風力等作用稱為直接作用，在工程上稱為荷載；而地震，溫度變化等作用稱為間接作用。工程中，有時不嚴格區(qū)分直接作用或間接作用，對引起建筑物變形、位移甚至破壞的作用一概稱之為荷載。荷載的分類:在工程中，作用在結構上的荷載是多種多樣的。為了便于力學分析，需要從不同的角度，將它們進行分類。1、荷載按其作用時間的長短分為永久荷載（恒載）、可變荷載（活載）和偶然荷載。2、荷載按作用在結構上的性質分為靜力荷載和動力荷載。3、荷載按作用位置是否變化分為移動荷載和固定荷載。4、荷載按其作用在結構上的分布情況分為分布荷載和集中荷載。集中荷載:分布范圍很小，可近似認為作用在一點的荷載；線分布荷載:沿直線或曲線分布的荷載（單位：kN/m）；面分布荷載:沿平面或曲面分布的荷載（單位：kN/m2）；體分布荷載:沿物體內各點分布的荷載（單位：kN/m3）。工程中，荷載的分布情況往往比較復雜，但在很多情況下，都可簡化為沿直線和平面均勻分布的荷載進行分析計算。分布荷載的合力計算分布荷載的合力作用在分布區(qū)域的中心，指向不變，其大小等于分布集度的大小q乘以分布范圍。第二章平面匯交力系力系的分類平面力系：各力的作用線都在同一平面內的力系，否則為空間力系。平面力系的分類平面匯交力系：各力作用線匯交于一點的力系。平面力偶系：若干個力偶（一對大小相等、指向相反、作用線平行的兩個力稱為一個力偶）組成的力系。平面平行力系：各力作用線平行的力系。平面一般力系：除了平面匯交力系、平面力偶系、平面平行力系之外的平面力系。對所有的力系均討論兩個問題：1、力系的簡化（即力系的合成）問題；2、力系的平衡問題。平面匯交力系的合成與平衡（幾何法）設任意的力F1、F2、F3、F4的作用線匯交于A點，構成一個平面匯交力系。由力的平行四邊形法則，可將其兩兩合成，最終形成一個合力R，由此可得結論如下：1、平面匯交力系的合成結果是一個合力R；2、平面匯交力系的幾何平衡條件是合力：R=0AF2F1F4F3R平面匯交力系的合成與平衡（解析法）力F在坐標軸上的投影可根據(jù)下式計算：當投影Fx、Fy已知時，則可求出力F的大小和方向：合力投影定理合力在任一軸上的投影，等于它的各分力在同一軸上的投影的代數(shù)和。對于由n個力F1、F2、……、Fn組成的平面匯交力系，可得：從而，平面匯交力系的合力R的計算式為：當物體處于平衡狀態(tài)時，平面匯交力系的合力R必須為零，即：從而得平面匯交力系的（解析）平衡條件為：上式的含義為：所有X方向上的力的總和必須等于零，所有y方向上的力的總和必須等于零。運用平衡條件求解未知力的步驟為：1、合理確定研究對象并畫該研究對象的受力圖；2、由平衡條件建立平衡方程；3、由平衡方程求解未知力。實際計算時，通常規(guī)定與坐標軸正向一致的力為正。即水平力向右為正，垂直力向上為正。例1:圖示三角支架，求兩桿所受的力。解：取B節(jié)點為研究對象，畫受力圖由∑Y=0，建立平衡方程：解得：負號表示假設的指向與真實指向相反。由∑X=0，建立平衡方程：解得：B例2:圖(a)所示體系，物塊重P=20kN，不計滑輪的自重和半徑，試求桿AB和BC所受的力。解：1.取滑輪B的軸銷作為研究對象，畫出其受力圖。T1=PT2=P2、列出平衡方程：由∑Y=0，建立平衡方程：解得：由∑X=0，建立平衡方程：解得：反力NBA為負值，說明該力實際指向與圖上假定指向相反。即桿AB實際上受拉力。T1=PT2=P第三章力矩與平面力偶系在力的作用下，物體將發(fā)生移動和轉動。力的轉動效應用力矩來衡量，即力矩是衡量力轉動效應的物理量。討論力的轉動效應時，主要關心力矩的大小與轉動方向，而這些與力的大小、轉動中心（矩心）的位置、轉動中心到力作用線的垂直距離（力臂）有關。力F的轉動效應——力矩M可由下式計算：M=

±

F·d式中：F是力的數(shù)值大小;d是力臂，M以逆時針轉動取正號，常用單位是kN-m。力矩用帶箭頭的弧線段表示。集中力引起的力矩直接套用公式進行計算；對于均布線荷載引起的力矩，先計算其合力，再套用公式進行計算。例1求圖中荷載對A、B兩點之矩(a)(b)解：圖（a）：MA=-8×2=-16kN·mMB=8×2=16kN·m圖（b）：MA=-4×2×1=-8kN·mMB=4×2×1=8kN·m力矩的特性1、力作用線過矩心，力矩為零；2、力沿作用線移動，力矩不變。合力矩定理一個力對一點的力矩等于它的兩個分力對同一點之矩的代數(shù)和。例2：求圖中力對A點之矩解：將力F沿X方向和Y方向等效分解為兩個分力，由合力矩定理得：

MA=－Ｆ.ｄor：MA=Y.x－X.y=YA.xA－XA.yA

=－20×0.707×２－0=－28.28kNXAYA力偶和力偶矩力偶——大小相等的二個反向平行力稱之為一個力偶。力偶的作用效果是引起物體的轉動，和力矩一樣，產生轉動效應。力偶的轉動效應用力偶矩表示，它等于力偶中任何一個力的大小與力偶臂d的乘積，加上適當?shù)恼撎?，即：M=±

F×d式中：F:力的大小；d:力偶臂，是力偶中兩個力的作用線之間的距離；力偶以

逆時針為正，順時針為負。常用單位為kN·m。力偶的圖例力偶的圖例力偶特性一：力偶的轉動效應與轉動中心的位置無關，所以力偶在作用平面內可任意移動。力偶特性二：力偶的合力主矢為零，所以力偶的效應只能與轉動效應平衡，即只能與力偶平衡，而不能與一個力平衡。力偶系的合成作用在一個物體上的一組力偶稱為一個力偶系。力偶系的合成結果為一個合力偶M。即：M=M1+M2+ ……+Mn=∑M力偶系的平衡顯然，當物體平衡時，合力偶必須為零，即：

∑M=0上式稱為力偶系的解析平衡條件。第四章平面一般力系作用線既不匯交也不完全平行的平面力系稱為平面一般力系，也叫平面任意力系。對于平面一般力系，討論兩個問題：1、力系的合成；2、力系的平衡。下面討論平面一般力系的合成，先介紹力的等效平移定理。設圓盤A點處作用一個P力，討論P力的等效平移問題。力的等效平移原理等效平移一個力，必須附加一個力偶，其力偶矩等于原來的力對新作用點之矩。PPBM=Pr力系向任意一點O的簡化應用力的等效平移定理，將平面一般力系中的各個力（以三個力為例）全部平行移到作用面內某一給定點O。從而這力系被分解為一個平面匯交力系和一個平面力偶系。這種等效變換的方法稱為力系向給定點O的簡化。點O稱為簡化中心。F1F2F3==F2’F3’RMOOOA1A2A3F1’M1M2M3匯交力系F1’、F2’、F3’的合成結果為一作用在點O的力R。這個力矢R稱為原平面任意力系的主矢。附加力偶系的合成結果是一個作用在同一平面內的力偶M，稱為原平面任意力系對簡化中心O的主矩。、因此，平面任意力系向任意一點的簡化結果為一個主矢R和一個主矩M，這個結果稱為平面任意力系的一般簡化結果。幾點說明：1、平面任意力系的主矢的大小和方向與簡化中心的位置無關。2、平面任意力系的主矩的大小與轉向與簡化中心O的位置有關。因此，在說到力系的主矩時，一定要指明簡化中心。主矢、主矩的計算：主矢按力多邊形規(guī)則作圖求得或用解析法計算。主矢方向角的正切：

主矩M可由下式計算：

平面任意力系的解析平衡條件平面任意力系的一般簡化結果為一個主矢R和一個主矩M。當物體平衡時，主矢和主矩必須同時為零。由主矢R=0，即：得：

由主矩M=0，得：三者必須同時為零，從而得平面任意力系下的解析平衡條件為：|這三個平衡條件是互相獨立的，對于一個研究對象可以求解三個未知力，且最多求解三個未知力。應用平衡條件求解未知力的步驟為：1、確定研究對象，畫受力圖；2、由平衡條件建立平衡方程；3、由平衡方程求解未知力。例1已知q=2kN/m，求圖示結構A支座的反力。解：取AB桿為研究對象畫受力圖。由∑X=0：XA=0由∑Y=0：YA

－2q=0

YA=2q=2*2=4kN(↑)由∑MA=0：MA－２*2*1=0

MA=4kN.m()XAYA例2求圖示結構的支座反力。解：取AB桿為研究對象畫受力圖。由∑X=0：XA=0由∑MA=0：

－4*2*1－20*2+4YB=0

YB=12kN(↑)由∑Y=0：YA－4*2-20+

YB=0YA

=28－12=16kN(↑)YBYAXA例3求圖示結構的支座反力。解：取整個結構為研究對象畫受力圖。由∑X=0：2*4－XA=0

XA=8kN(←)由∑MA=0：

－2*4*2+4YB=0

YB=4kN(↑)由∑Y=0：YA+

YB=0YA

=－4kN(↓)XAYAYB物體系統(tǒng)的平衡問題以上討論的都是單個物體的平衡問題。對于物體系統(tǒng)的平衡問題，其要點在于如何正確選擇研究對象，一旦確定了研究對象，則計算步驟與單個物體的計算步驟完全一樣。下面舉例講解如何正確選擇研究對象的問題。例4求圖示結構的支座反力。解：一個研究對象最多有三個平衡條件，因此研究對象上最多只能有三個未知力。注意到BC桿有三個未知力，而AB桿未知力超過三個，所以應先取BC桿為計算對象，然后再取AB桿為計算對象。BC桿：由∑X=0：XB=0由∑MB=0：

－12*2+4YC=0

YC=6kN(↑)由∑Y=0：YB－12+YC=0YB

=6kN(↑)↓AB桿：由∑X=0：XA=0由∑MA=0：

－3*6*3－8YB’+6YD=0

YC=17kN(↑)由∑Y=0：YA－3*6－YB’+YD=0YA=7kN(↑)注意作用與反作用關系!XB’=XB

YB’=YB例5求圖示三鉸拱的支座反力。解：取整體為研究對象，畫受力圖：由∑MA=0：

－20*2－4*4*6+－8YB=0YB=17kN(↑)由∑Y=0：YA－4*4

+YB=0YA=－1kN(↓)由∑X=0：XA=0

XA+20－XB=0取右半部分為研究對象，畫受力圖：由∑MＣ=0：

－4*4*2－4XB+

4YB=0即：－4*4*2－4XB+

4*17=0XB=9kN(←)將XB

代入式：得：XA=XB－20=－11kN(←)第五章材料力學的基本概念第一節(jié)變形固體及其基本假設一、變形固體工程上所用的構件都是由固體材料制成的，如鋼、鑄鐵、木材、混凝土等，它們在外力作用下會或多或少地產 生變形，有些變形可直接觀察到，有些變形可以通過儀器測出。在外力作用下，會產生變形的固體稱為變形固體。在靜力學中，由于研究的是物體在力作用下平衡的問題。物體的微小變形對研究這種問題的影響是很小的，可以作為次要因素忽略。因此認為物體在外力作用下，大小形狀都不發(fā)生變化，而把物體視為一個剛體來進行理論分析。在材料力學中，由于主要研究的是構件在外力作用下的強度、剛度和穩(wěn)定性的問題。對于這類問題，即使是微小的變形往往也是主要影響的因素之一，必須予以考慮而不能忽略。因此，在材料力學中，必須將組成構件的各種固體視為變形固體。變形固體在外力作用下會產生兩種不同性質的變形：一種是外力消除時，變形隨著消失，這種變形稱為彈性變形；另一種是外力消除后，不 能消失的變形稱為塑性變形。一般情況下，物體受力后，即有彈性變形，又有塑性變形。但工程中常用的材料，當外力不超過一定范圍時，塑性 變形很小，忽略不計，認為只有彈性變形，這種只有彈性變形的變形固體稱為完全彈性體。只引起彈性變形的外力范圍稱為彈性范圍。本書主要討論材料在彈性范圍內的變形及受力。 二、變形固體的基本假設變形固體有多種多樣，其組成和性質是非常復雜的。對于用變形固體材料做成的構件進行強度、剛度和穩(wěn)定性計算時，為了使問題得到簡化，常略去一些次要的性質，而保留其主要的性質，因此，對變形固體材料作出下列的幾個基本 假設。1．均勻連續(xù)假設假設變形固體在其整個體積內毫無空隙的充滿了物體，并且各處的材料力學性能完全相同。 實際上，變形固體是由很多微?；蚓w組成的，各微?；蚓w之間是有空隙的，且各微?；蚓w彼此的性質并不完全相同。但是由于與構件的尺寸相比這些空隙是極微小的，同時構件包含的微粒或晶體的數(shù)目極多，排列也不規(guī)則，所以，物體的力學性能(宏觀上)并不 反映其某一個組成部分的性能，而是反映所有組成部分性能的統(tǒng)計平均值。因而可以認為固體的結構是密實的，力學性能是均勻的。有了這個假設，物體內的一些物理量，才可能是連續(xù)的，才能用連續(xù)函數(shù)來表示。在進行分析時，可以從物體內任何位置取出一小部分來研究材料的性質，其結果可代表整個物體，也可將那些大尺寸構件的試驗結果應用于物體的任何微小部分上去。2．各向同性假設假設變形固體沿各個方向的力學性能均相同。 實際上，組成固體的各個晶體在不同方向上有著不同的性質。但由于構件所包含的晶體數(shù)量極多，且排列也完全沒有規(guī)則，變形固體的性質是這些晶粒性質的統(tǒng)計平均值。這樣，在以構件為對象的研究問題中，就可以認為是各向同性的。工程使用的大多數(shù)材料，如鋼材、玻璃、銅和澆灌很好的混凝土，可以認為是各向同性的材料。 根據(jù)這個假設當獲得了材料在任何一個方向的力學性能后，就可將其結果用于其它方向。在工程實際中，也存在了不少的各向異性材料。例如軋制鋼材、木材、竹材等，它們沿各方向的力學性能是不同的。很明顯，當木材分別在順紋方向、橫紋方向和斜紋方向受到外力作用時，它所表現(xiàn)出的強度或其它的力學性質都是各不相同的。因此，對于由各向異性材 料制成的構件，在設計時必須考慮材料在各個不同方向的不同力學性質。

3．小變形假設在實際工程中，構件在荷載作用下，其變形與構件的原尺寸相比通常很小，可以忽略不計， 所以在研究構件的平衡和運動時，可按變形前的原始尺寸和形狀進行計算。在研究和計算變形 時，變形的高次冪項也可忽略不計。這樣，使計算工作大為簡化，而又不影響計算結果的精度?？偟膩碚f，在材料力學中是把實際材料看作是連續(xù)、均勻、各向同性的彈性變形固體，且限于小 變形范圍。 第二節(jié) 桿件變形的基本形式 作用在桿上的外力是多種多樣的，因此，桿件的變形也是多種多樣的。但總不外乎是由下列四種基本變形之一，或者是幾種基本變形形式的組合。一、軸向拉伸和軸向壓縮 在一對大小相等、方向相反、作用線與桿軸線重合的外力作用下，桿件的主要變形是長度改變。這種變形稱為軸向拉伸（圖5－1（a））或軸向壓縮（圖5－1（b））。二、剪切在一對相距很近、大小相等、方向相反的橫 向外力作用下，桿件的主要變形是橫截面沿外力作用方向發(fā)生錯動。這種變形形式稱為剪切（圖5－1（c））。三、扭轉 在一對大小相等、方向相反、位于垂直于桿軸線的兩平面內的外力偶作用下，桿的任意橫截面將繞軸線發(fā)生相對轉動，而軸線仍維持直線，這種變形形式稱為扭轉（圖5－1（d））。四、彎曲在一對大小相等、方向相反、位于桿的縱向平 面內的外力偶作用下，桿件的軸線由直線彎曲成曲線，這種變形形式稱為彎曲（圖5－1（e））。在工程實際中，桿件可能同時承受不同形的荷載而發(fā)生復雜的變形，但卻可看作是上述基本變形的組合。由兩種或兩種以上基本變形組成的復雜變形稱為組合變形。第六章軸向拉伸與壓縮

6.1軸向拉伸與壓縮的概念在工程中以拉伸或壓縮為主要變形的桿件， 稱為：拉壓桿若桿件所承受的外力或外力合力作用線與桿軸線重合的變形，稱為軸向拉伸或軸向壓縮。

6.2 軸向拉(壓)桿的內力與軸力圖一、拉壓桿的內力截面法：顯示內力的一種方法要領：截、代、平∑X=0N=F唯一內力分量為軸力其作用線垂直于橫截 面沿桿軸線并通過形心。通常規(guī)定：軸力使桿件受拉為正，受壓為負。N二、軸力圖 用平行于軸線的坐標表示橫截面的位置，垂直于桿軸線的坐標表示橫截面上軸力的數(shù)值，以此表示軸力與橫截面位置關系的幾何圖形，稱為軸力圖。作軸力圖時應注意以下幾點：1、軸力圖的位置應和桿件的位置相對應。軸力的大小，按比例畫在坐標上，并在圖上標出代表點數(shù)值。2、習慣上將正值（拉力）的軸力圖畫在坐標的正向；負值（壓力）的軸力圖畫在坐標的負向。NNN1N3N2例題6.1：一等直桿及受力情況如圖（a）所示，試作桿的軸力圖。如何調整外力，使桿上軸力分布得比較合理。解：（1）求AB段軸力1–1截面：N1=5kN(拉)2–2截面：N2=5+10=15kN(拉)

3–3截面：N3=30kN(拉)（2）按作軸力圖的規(guī)則，作出軸力圖，（3）軸力的合理分布： 如果桿件上的軸力減小，應力也減小，桿件更加安全可靠。比較：該題若將C截面的外力和D截面的外力對調，軸力圖如（f）圖所示，桿上最大軸力減小了，軸力分布就比較合理。6.3軸向拉(壓)時橫截面上的應力一、應力的概念內力在一點處的集度稱為應力應力與截面既不垂直也不相切，力學中總是將它分解為垂直于截面和相切于截面的兩個分量。與截面垂直的應力分量稱為正應力（或法向應力），用σ表示。與截面相切的應力分量稱為剪應力（或切向應力），用τ表示。應力的單位是帕斯卡，簡稱為帕，符號為“Pa”。

1kPa=103Pa、1MPa=106Pa、1GPa=109Pa

1MPa=106N/m2=106N/106mm2=1N/mm2二、橫截面上的應力平面假設：受軸向拉伸的桿件，變形后橫截面仍保持為平面，兩平面相對的位移了一段距離。軸向拉壓等截面直桿，橫截面上正應力均勻分布。

正應力與軸力有相同的正、負號，即：拉應力為正，壓應力為負。 例6.2:一階梯形直桿受力如圖所示，已知橫截面面積為A1=400mm2、A2=300mm2、A3=200mm2，試求各橫截面上的應力。

解： １、計算各段軸力：利用截面法可求得階梯桿各段的軸力分別為：

N1=50kN,

N2=-30kN,

N3=10kN,

N4=-20kN。 ２、畫軸力圖：軸力圖如圖（ｂ）。３、計算各段的正應力AB段：BC段：

CD段：DE段：例6.3：石砌橋墩的墩身高h

=10m，其橫截面尺寸如圖所示。如果載荷F

=1000kN，材料的重度γ=23kN/m３，求墩身底部橫截面上的壓應力。墩身橫截面面積：

墩身底面應力：

三、應力集中的概念應力集中的程度用最大局部應力σmax與該截面上的名義應力σ的比值表示：

比值K稱為應力集中系數(shù)（因子）。

在設計時，從以下三方面考慮應力集中對構件強度的影響:

1.在設計脆性材料構件時，應考慮應力集中的影響。

2.在設計塑性材料的靜強度問題時，通常可以不考慮應力集中的影響。3.設計在交變應力作用下的構件時，制造構件的材料無論是塑性材料或脆性材料，都必 須考慮應力集中的影響。6.4軸向拉(壓)時的變形一、軸向變形與胡克定律長為l的等直桿，在軸向力作用下，伸長了：軸向正應變?yōu)? 試驗表明：當桿內的應力不超過材料的某一極 限值，則正應力和正應變成線性正比關系

即：

上式稱為胡克定律英國科學家胡克（RobetHooke，1635~1703）于1678年首次用試驗方法論證了這種線性關系后提出的。胡克定律：上式只適用于在桿長為l長度內N、E、A均為常值的情況下，即在桿的長度l內變形是均勻的情況。EA稱為桿的拉壓剛度。二、橫向變形、泊松比橫向正應變?yōu)椋寒攽Σ怀^一定限度時，橫向ε’應變與軸向應變ε之比的絕對值是一個常數(shù)。即：

其中：ν稱為橫向變形因數(shù)或泊松比，它是法國科學家泊松（1781~1840）于1829年從理論上推演得出的結果。 表4-1給出了常用材料的E、ν值。表6.1常用材料的E、ν值三、拉壓桿的位移等直桿在軸向外力作用下，發(fā)生變形，會引起桿上某點處在空間位置的改變，即產生了位移。例6.4如圖等截面直桿受力F1、F2 作用，其中： F1=30kN，F(xiàn)2

=10kN,AC段的橫截面面積AAC=500mm2，CD段的橫截面面積ACD=200mm2，材料的彈性模量E=200GPa。試求：（1）各段桿橫截面上的內力和應力；（2）桿件內最大正應力；（3）桿件的總變形 解：(1)、計算支反力=－20kN∑X=0

F2－F1－RＡ=0R=F2－F1

=(10－30)=－20kN(2)、計算各段桿件橫截面上的軸力AB段：

NAB=RA=－20kN(壓)BD段：

NBD=F2=10kN(拉)(3)、畫出軸力圖，如圖（c）所示。(4)、計算各段應力AB段:BC段:CD段:(5)、計算桿件內最大應力（6）計算桿件的總變形整個桿件伸長0.015mm。 作業(yè)題：圖示鋼制階梯形直桿，各段橫截面面積分別 為：A1=100mm2，A2=80mm2，A3=120mm2，鋼材的彈性模量E

=200GPa試求：（1）各段的軸力，指出最大軸力發(fā)生 在哪一段，最大應力發(fā)生在哪一段；（2）計算桿的總變形；例6.5：圖示托架，已知lAB=3m，lBC=5m，lAC=4m，F(xiàn)=40kN，與水平向夾角為60。，圓截面鋼桿AB的直徑d=20mm，桿BC是工字鋼，其橫截面面積為1430mm2，鋼材的彈性模量E=200GPa，求托架在F力作用下，節(jié)點B的鉛垂位移和水平位移？解：（1）取節(jié)點B為研究對象，求兩桿軸力由∑Y=0，有－NBＣ×0.8－Fsin60

。＝0由∑X=0，有

－NAB－NBＣ×0.6＋Fcos60。＝0ACBFNBC=－40×cos30?！?/4=－43.3kNNAB=NBC×3/5+Fsin30。=

46kN（2）求AB、BC桿變形（3）求B點位移，利用幾何關系水平位移：鉛垂位移：總位移：6.5材料在拉伸與壓縮時的力學性能材料的力學性能：是材料在常溫、靜載條件下，塑性材料和脆性材料在受力過程中（拉伸和壓縮）表現(xiàn)出的各種物理性質（又稱力學性能）。一、標準試樣試樣原始標距與原始橫截面面積有關系者為比例試樣。國際上使用的比例系數(shù)k的值為5.65。若k為5.65的值不能符合這一最小標距要求時，可以采取較高的值（優(yōu)先采用11.3的值）。采用圓形試樣，換算后l0=5d和l0=10d兩種試樣，按照GB/T2975的要求切取樣坯和制備試樣。二、低碳鋼拉伸時的力學性能低碳鋼為典型的塑性材料。在應力–應變圖中呈現(xiàn)如下四階段1、彈性階段（oa’段)oa 段為直線段，a點對應的應力稱為比例極限，用σp表示。正應力和正應變成線性正比關系，即遵循胡克定律。σ=E.ε彈性模量E和α的關系：tanα=σ/ε=E2、屈服階段

(bc段）過b點，應力變化不大，應變急劇增大，曲線上 出現(xiàn)水平鋸齒形狀，材料失去繼續(xù)抵抗變形的能力，發(fā)生屈服現(xiàn)象工程上常稱下屈服強度為材料的屈服極限，用σc表示。材料屈服時，在光滑試樣表面可以觀察到與軸線成

45。 的紋線，稱為滑移線3、強化階段（cd段）材料晶格重組后，又增加了抵抗變形的能力，要使試件繼續(xù)伸長就必須再增加拉力，這階段稱為強化階段。曲線最高點 d

處的應力，稱為強度極限(σb)冷作硬化現(xiàn)象，在強化階段某一點處，緩慢卸載，則試樣的應力–應變曲線會沿著fo1回到o1

。冷作硬化使材料的彈性強度提高，而塑性降低的現(xiàn) 象。4、局部變形階段（ de 段）試樣變形集中到某一局部區(qū)域，由于該區(qū)域橫截面的收縮，形成了圖示的“頸縮”現(xiàn)象。試件最后在“頸縮”處被拉斷。代表材料強度性能的主要指標：屈服極限和強度極限可以測得表示材料塑性變形能力的兩個指標：伸長率和斷面收縮率。（1）伸長率：低碳鋼伸長率約為（26～30）%δ≥5%的材料稱為塑性材料（鋼、鋁、化纖等）；δ<5%的材料稱為脆性材料（灰鑄鐵、玻璃、陶瓷、混凝土等)。2）斷面收縮率 :

低碳鋼的斷面收縮率約為50%～ 60%左右三、其它材料拉伸時的力學性能灰口鑄鐵是典型的脆性材料，其應力–應變圖是一微彎的曲線，如圖所示。沒有明顯的直線。無屈服現(xiàn)象，拉斷 時變形很小，其伸長率δ<1，強度指標只有強度極限σb。對于沒有明顯屈服階段的塑性材料，通常以產生0.2%的塑性應變所對應的應力值作為屈服極限 稱為名義屈服極限，用σ0.2表示。（2002年的標準稱為規(guī)定殘余延伸強度，用Rr

表示，例如Rr0.2，表示規(guī)定殘余延伸率為0.2%時的應力。）四、材料壓縮時的力學性能金屬材料的壓縮試樣，一般制成短圓柱形，圓 柱的高度約為直徑的1.5~3倍，試樣的上下平面有平行度和光潔度的要求。非金屬材料，如混凝土、石料等通常制成正方形。低碳鋼是塑性材料，壓縮時的應力–應變圖，如圖示。在屈服以前，壓縮時的曲線和拉伸時的曲線基本重合，屈服以后隨著壓力的增大，試樣被壓成“鼓形”，最后被壓成“薄餅”而不發(fā)生斷裂，所以低碳鋼壓縮時無強度極限。鑄鐵是脆性材料，壓縮時的應力–應變圖，如圖示，試樣在較小變形時突然破壞，壓縮時的強度極限遠高于拉伸強度極限（約為3~6倍），破壞斷面與橫截面大致成的傾角。鑄鐵壓縮破壞屬于剪切破壞。 建筑專業(yè)用的混凝土，壓縮時的應力–應變圖，如圖所示。 混凝土的抗壓強度要比抗拉強度大10倍左右6.6安全因數(shù)、許用應力、強度條件一、安全因數(shù)與許用應力塑性材料，當應力達到屈服極限時，構件已發(fā)生 明顯的塑性變形，影響其正常工作，稱之為失效，因此把屈服極限作為塑性材料的極限應力。脆性材料，直到斷裂也無明顯的塑性變形，斷裂是失效的唯一標志，因而把強度極限作為脆性材料的極限應力。根據(jù)失效的準則，將屈服極限與強度極限通稱為極限應力(σu) 把極限應力除以一個大于1的因數(shù)，得到的應力值稱為許用應力([σ])[σ]=σu/n大于1的因數(shù)n稱為安全因數(shù)。許用拉應力([

σt])、許用壓應力([

σc])工程中安全因數(shù)n的取值范圍，由國家標準規(guī)定，一般不能任意改變。6.6.2強度條件為了保障構件安全工作，構件內最大工作應力必須小于許用應力。

σmax=[N/A]max≤[σ]公式稱為拉壓桿的強度條件利用強度條件，可以解決以下三類強度問題：1、強度校核：在已知拉壓桿的形狀、尺寸和許用應力及受力情況下，檢驗構件能否滿足上述強度條件，以判別構件能否安全工作。2、設計截面：已知拉壓桿所受的載荷及所用材料的許用應力，根據(jù)強度條件設計截面的形狀和尺寸，表達式為：

3、計算許用載荷：已知拉壓桿的截面尺寸及所用材料的許用應力，計算桿件所能承受的許可軸力，再根據(jù)此軸力計算許用載荷，表達式為：在計算中，若工作應力不超過許用應力的5%，在工程中仍然是允許的。 例題6.6 已知：一個三角架，AB桿由兩根 80×80×7等邊角鋼組成,橫截面積為A1，長度為2m，AC桿由兩根10號槽剛組成，橫截面積為A2，鋼材為3號鋼,容許應力[σ]=120

MPa。求：許可載荷？P解：（1）對A節(jié)點受力分析：由：∑Y=0NABsin30-P=0∑X=0-NABcos30-NAC=0得：NAB=2PNAC=-1.732P（2）、計算許可軸力[P]查型鋼表:A1=10.86×2=21.7cm2A2=12.74×2=25.48cm2由強度條件：(3)計算許可荷載：[P1]=0.5NABMAX=130kN[P2]=1/1.732NACMAX=176.5kN[P]=min{[P1]，[P2]}=130kN例題6.7：起重吊鉤的上端借螺母固定，若吊鉤 螺栓內徑d

=55mm，F(xiàn)=170kN，材料許用應力[σ]=160MPa，試校核螺栓部分的強度。解：計算螺栓內徑處的面積A吊鉤螺栓部分安全。 例題6.8 圖示一托架，AC是圓鋼桿，許用拉應力 >@

160MPa，BC是方木桿試選定鋼桿直徑d？解：（1）軸力分析。并假設鋼桿的軸力，取結點C為研究對象。∑Y=0－NBC.sinα－F=0∑X=0－NBC.cosα－NAC=0并假設鋼桿的軸力6.7連接件的強度計算連接構件用的螺栓、銷釘、焊接、榫接等這些連接件，不僅受剪切作用，而且同時還伴隨著擠壓作用。6.7.1剪切實用計算在外力作用下，鉚釘?shù)?/p>

mn

截面將發(fā)生相對錯動，稱為剪切面。在剪切面上與截面相切的內力，如圖所示。稱為剪力 Q。Q=F在剪切面上，假設切應力均勻分布，得到名義切應力，即：

τ=Q/F 剪切極限應力 τu，可通過材料的剪切破壞試驗確定。 極限應力τu除以安全因數(shù)。 即得出材料的許用應力[τ]。剪切強度條件表示為：

τ=Q/A≤[τ]剪切計算主要有以下三種：1、剪切強度校核；2、截面設計；3、計算許用荷載。例題6.9：正方形截面的混凝土柱，其橫板，邊長為200mm，其基底為邊長1m的正方形混凝土板，柱承受軸向壓力F=100kN，設地基對混凝土板的支反力為均勻分布，混凝土的許用切應力[τ]

=1.5MPa。

試設計混凝土板的最小厚度 δ為多少時，才不至于使柱穿過混凝土板？解：（1）混凝土板的受剪面面積AA=0.2m×4×δ=0.8δmm（2）剪力計算Q=F－[0.2

×0.2×(F/(1×1)]=100×103－[0.04

×100×103

]=96×103

N（3）、混凝土板厚度設計δ≥Q/(0.8×[τ])=96×103/(0.8×1.5)=80mm取混凝土板厚度δ=80mm例題6.10：鋼板的厚度δ=5mm，其剪切極限應力 τu=400MPa，問要加多大的沖剪力F才能在鋼板上沖出一個直徑 d

=18mm的圓孔。解：（1）鋼板受剪面面積AA=π.d.δ（2）剪斷鋼板的沖剪力

τ=Q/A=F/A>τuFmin=τu.A=τu

.π.d.δ=400×π×18×5=113×103N=113kN例題6.11：為使壓力機在超過最大壓力F=160kN作用時，重要機件不發(fā)生破壞，在壓力機沖頭內裝有保險器（壓塌塊）。設極限切應力τu=360MPa，已知保險器（壓塌塊）中的尺寸d1=50mm，d2=51mm，D=82mm，試求保險器（壓塌塊）中的尺寸δ值。解：為了保障壓力機安全運行，應使保險器達到最大沖壓力時即破壞。

利用保險器被剪斷，以保障主機安全運行的安全裝置，在壓力容器、電力輸送及 生活中的高壓鍋等均可以見到。6.7.2擠壓實用計算 連接件與被連接件在互相傳遞力時，接觸表面是相互壓緊的，接觸表面上的總壓緊力稱為擠壓力，相應的應力稱為擠壓應力(σbs)。假定擠壓應力在計算擠壓面上均勻分布，表示為：

上式計算得到的名義擠壓應力與接觸中點處的最大理論擠壓應力值相近。按名義擠壓應力公式得到材料的極限擠壓應力。從而確定了許用擠壓應力[σbs]。擠壓強度條件為：對于塑性材料：例題6.12：圖示木屋架結構端節(jié)點A的單榫齒連接詳圖。該節(jié)點受上弦桿AC的壓力NAC，下 弦桿AB的拉力NAB及支座A的反力YA的作用。NAC使上弦桿與下弦桿的接觸面ae發(fā)生擠壓；NAC的水平分力使下弦桿的端部沿剪切面發(fā)生剪切，在下弦桿截面削弱處ec截面，產生拉伸。 已知：l=400mm ，h1=60mm，b=160mm，h=200mm，Nac=60kN，α=π/6。試求擠壓應力σbs切應力τ和拉應力σ！解：（1）求ae截面的擠壓應力計算擠壓面面積：(2)、求ed截面的切應力：

(3)計算下弦桿截面削弱處ec截面的拉應力 第七章剪切與扭轉

7.1扭轉的概念及外力偶矩的計算扭轉的概念作用于垂直桿軸平面內的力偶使桿件引起的變形， 稱扭轉變形。發(fā)生這種變形后桿件各橫截面之間繞桿軸線相對轉動了一個角度，稱為扭轉角，用表示以扭轉變形為主要變形的直桿稱為軸。外力偶矩的計算已知軸所傳遞的功率和軸的轉速。導出外力偶矩m、功率N和轉速n之間的關系為：

式中 ：m-----作用在軸上的外力偶矩，單位為N.m

N-----軸傳遞的功率，單位為KWn------軸的轉速，單位為r/min。

7.2圓軸扭轉時橫截面上的內力及扭矩圖一、扭矩平衡條件∑MX=0T=MX內力偶矩T稱為扭矩扭矩的單位：N.m或kN.m扭矩的正負號規(guī)定為：自截面的外法線向截面看， 逆時針轉向為正，順時針轉向為負扭矩圖常用與軸線平行的x坐標表示橫截面的位置，以與之垂直的坐標表示相應橫截面的扭矩，把計算結果按比例繪在圖上，正值扭矩畫在x軸上方，負值扭矩畫在x軸下方。這種圖形稱為扭矩圖。例題7.1：圖示傳動軸，轉速 n=300r/min，A輪為主動輪，輸入功率NA=10kW，B、C、D為從動輪，輸出功率分別為NB=4.5kW，NC=3.5kW，ND=2kW，試求各段扭矩。解：1、計算外力偶矩2、分段計算扭矩，分別為:T2、T3為負值說明實際方向與假設的相反。3、作扭矩圖|T|max175kN7.3等直圓軸扭轉時橫截面上的切應力一、實心圓軸橫截面上的應力1、變形幾何關系⑴變形后，圓軸上所有的橫截面均保持為平面，即平面假設；⑵橫截面上的半徑仍保持為直線；⑶各橫截面的間距保持不變。2、物理關系3、靜力學關系稱截面的極慣性矩

得到圓軸扭轉橫截面上任意點切應力公式當時，表示圓截面邊緣處的切應力最大式中：稱為抗扭截面系數(shù)。它是與截面形狀和尺寸有關的量。二、極慣性矩和抗扭截面系數(shù)實心圓截面的極慣性矩：抗扭截面系數(shù)為：空心圓極慣性矩軸：式中為空心圓軸內外徑之比?？招膱A的抗扭截面系數(shù)極慣性矩的量綱是長度的四次方，常用的單位為mm4抗扭截面系數(shù)的量綱是長度的三次方，常用單位為mm37.4等直圓軸扭轉時的強度計算一、圓軸扭轉強度條件工程上要求圓軸扭轉時的最大切應力不得超過材料的許用切應力，即：上式稱為圓軸扭轉強度條件。試驗表明，材料扭轉許用切應力塑性材料：脆性材料：例題7.2：汽車的主傳動軸由45號鋼的無縫鋼管制成，外徑D=90mm，壁厚δ=2.5mm，工作時的最大扭矩T=1.5N.m，若材料的許用切應力[τ]=60MPa，試校核該軸的強度。解：1、計算抗扭截面系數(shù)主傳動軸的內外徑之比抗扭截面系數(shù)為：2、計算軸的最大切應力：3、強度校核：主傳動軸安全 例題7.3：如把上題中的汽車主傳動軸改為實心軸，要求它與原來的空心軸強度相同，試確定實心軸的直徑，并比較空心軸和實心軸的重量。解：1、求實心軸的直徑，要求強度相同，即實心軸的最大切應力也為51MPa ，即：2、在兩軸長度相等、材料相同的情況下，兩軸重量之比等于兩軸橫截面面積之比，即：討論：由此題結果表明，在其它條件相同的情況下，空心軸的重量只是實心軸重量的31%，其節(jié)省材料是非常明顯的。7.5等直圓軸扭轉時的變形及剛度條件一、圓軸扭轉時的變形軸的扭轉變形用兩橫截面的相對扭轉角：當扭矩為常數(shù)，且GIP也為常量時，相距長度為l的兩橫截面相對扭轉角為式中：GIP稱為圓軸扭轉剛度，表示軸抵抗扭轉變形的能力。相對扭轉角的正負號由扭矩的正負號確定，即正扭矩產生正扭轉角，負扭矩產生負扭轉角。若兩橫截面之間T有變化，或極慣性矩變化，亦或材料不同（切變模量G變化），則應通過積分或分段計算出各段的扭轉角，然后代數(shù)相加，即：對于受扭轉圓軸的剛度通常用相對扭轉角沿桿長度的變化率用θ表示，稱為單位長度扭轉角。 即：二、圓軸扭轉剛度條件對于建筑工程、精密機械，剛度的剛度條件：

θ≤[θ]在工程中[θ]的單位習慣用（度/米）表示，將上式中的弧度換算為度，得：對于等截面圓軸，即為：許用扭轉角的數(shù)值，根據(jù)軸的使用精密度、生產要求和工作條件等因素確定。對一般傳動軸：對于精密機器的軸：例題7.4

圖示軸的直徑=50mm，切變模量G=80GPa，試計算該軸兩端面之間的扭轉角。

解：兩端面之間扭轉為角：

例題7.5：主傳動鋼軸，傳遞功率P=60kW，轉速n=250r/m，傳動軸的許用切應力[τ]=40MPa，許用單位長度扭轉角[θ]=0.5(/m)，切變模量G=80GPa，求傳動軸所需的直徑？解：1、計算軸的扭矩2、根據(jù)強度條件求所需直徑3、根據(jù)圓軸扭轉的剛度條件，求直徑故應按剛度條件確定傳動軸直徑，取d=76mm第八章平面圖形的幾何性質在建筑力學以及建筑結構的計算中，經常要用到與截面有關的一些幾何量。例如軸向拉壓的橫截面面積A、圓軸扭轉時的抗扭截面系數(shù)WP和極慣性矩IP。等都與構件的強度和剛度有關。以后在彎曲等其他問題的計算中，還將遇到平面圖形的另外一些如形心、靜矩、慣性矩、抗彎截面系數(shù)等幾何量。這些與平面圖形形狀及尺寸有關的幾何量統(tǒng)稱為平面圖形的幾何性質。第一節(jié)

重心和形心一、重心的概念地球上的任何物體都受到地球引力的作用，這個力稱為物體的重力?？蓪⑽矬w看作是由許多微小部分組成，每一微小部分都受到地球引力的作用，這些引力匯交于地球中心。但是，由于一般物體的尺寸遠比地球的半徑小得多，因此，這些引力近似地看成是空間平行力系。這些平行力系的合力就是物體的重力。由實驗可知，不論物體在空間的方位如何，物體重力的作用線始終是通過一個確定的點，這個點就是物體重力的作用點，稱為物體的重心。

二、一般物體重心的坐標公式

1、一般物體重心的坐標公式如圖8—1所示，為確定物體重心的位置，將它分割成n個微小塊，各微小塊重力分別為G1、G2、……、Gn，其作用點的坐標分別為(x1，y1，z1)、(x2，y2，z2)

、……、(xn，yn，zn)，各微小塊所受重力的合力W即為整個物體所受的重力G＝ΣGi，其作用點的坐標為C(xc，yc，zc)。對y軸應用合力矩定理，有：同理，對y軸取矩可得：將物體連同坐標轉90o而使坐標面oxz成為水平面，再對x軸應用合力矩定理，可得：因此，一般物體的重心坐標的公式為：第二節(jié)靜矩一、定義任意平面幾何圖形如圖A-1所示。在其上取面積微元dA，該微元在Oxy坐標系中的坐標為x、y。定義下列積分：

分別稱為圖形對于x軸和y軸的截面一次矩或靜矩，其單位為

。如果將dA視為垂直于圖形平面的力，則ydA和zdA分別為dA對于z軸和y軸的力矩；

和

則分別為dA對z軸和y軸之矩。圖8-6圖形的靜矩與形心圖形幾何形狀的中心稱為形心,若將面積視為垂直于圖形平面的力，則形心即為合力的作用點。設z、y為形心坐標，則根據(jù)合力之矩定理第三節(jié)慣性炬、慣性積、慣性半徑一、慣性炬、慣性積、慣性半徑的定義1、慣性矩平面圖形對某坐標軸的二次矩，如圖8-9所示。2、慣性積3、慣性半徑量綱為長度的四次方，恒為正。相應定義為圖形對軸和對軸的慣性半徑。二、平行移軸公式由于同一平面圖形對于相互平行的兩對直角坐標軸的慣性矩或慣性積并不相同，如果其中一對軸是圖形的形心軸時，如圖8-11所示，可得到如下平行移軸公式簡單證明之：其中為圖形對形心軸的靜矩，其值應等于零，則得:同理可證（8-10）中的其它兩式。第四節(jié)

形心主慣性軸和形心主慣性矩的概念從式(8-10)的第三式可以看出，對于確定的點(坐標原點)，當坐標軸旋轉時，隨著角度α的改變，慣性積也發(fā)生變化，并且根據(jù)慣性積可能為正，也可能為負的特點，總可以找到一角度α0以及相應的x0、y0軸，圖形對于這一對坐標軸的慣性積等于零。為確定α0，令式(A-19)中的第三式為零，即由此解得或如果將式(8-11)對α求導數(shù)并令其為零，即同樣可以得到式(8-10)或(8-11)的結論。這表明:當α改變時,Ix、Iy的數(shù)值也發(fā)生變化，而當α=α0時，二者分別為極大值和極小值。定義

過一點存在這樣一對坐標軸，圖形對于其慣性積等于零，這一對坐標軸便稱為過這一點的主軸。圖形對主軸的慣性矩稱為主軸慣性矩，簡稱主慣性矩。顯然，主慣性矩具有極大或極小的特征。根據(jù)式(8-11)和(8-12)，即可得到主慣性矩的計算式:需要指出的是對于任意一點(圖形內或圖形外)都有主軸，而通過形心的主軸稱為形心主軸，圖形對形心主軸的慣性矩稱為形心主慣性矩。工程計算中有意義的是形心主軸和形心主矩。當圖形有一根對稱軸時，對稱軸及與之垂直的任意軸即為過二者交點的主軸。例如圖所示的具有一根對稱軸的圖形，位于對稱軸y一側的部分圖形對x、y軸的慣性積與位于另一側的圖形的慣性積，二者數(shù)值相等，但反號。所以，整個圖形對于x、y軸的慣性積Ixy=0，故下圖對稱軸為主軸x、y為主軸。又因為C為形心，故x、y為形心主軸。第九章梁的彎曲9.1工程中梁彎曲的概念一、梁平面彎曲的概念以軸線變彎為主要特征的變形形式稱為彎曲變形或簡稱彎曲。以彎曲為主要變形的桿件稱為梁。當梁上所有外力均作用在縱向對稱面內時，變形后的梁軸線也仍在縱向對稱平面內，這種在變形后梁的軸線所在平面與外力作用面重合的彎曲稱為平面彎曲。二、單跨靜定梁的類型梁的約束反力能用靜力平衡條件完全確定的梁，稱為靜定梁。根據(jù)約束情況的不同，單跨靜定梁可分為以下三種常見形式：

(1)簡支梁。梁的一端為固定鉸支座，另一端為可動鉸支座。

(2)懸臂梁。梁的一端固定，另一端自由。

(3)外伸梁。簡支梁的一端或兩端伸出支座之外。9.2梁的內力—剪力和彎矩一、梁的剪力和彎矩梁在外力作用下，其任一橫截面上的內力可用截面法來確定。現(xiàn)分析距A端為x處橫截面m-m上的內力。如果取左段為研究對象，則右段梁對左段梁的作用以截開面上的內力來代替。存在兩個內力分量：內力Q與截面相切，稱為剪力，內力偶矩M稱為彎矩。

二、剪力和彎矩的正負號規(guī)定即微段有左端向上而右端向下的相對錯動時，橫截面上的剪力Q為正號，反之為負號。當微段的彎曲為向下凸即該微段的下側受拉時，橫截面上的彎矩為正號，反之為負號。三、計算指定截面上的剪力和彎矩例題9.1

外伸梁受荷載作用，圖中截面1-l和2-2都無限接近于截面A，截面3-3和4-4也都無限接近于截面D。求圖示各截面的剪力和彎矩。解：1.根據(jù)平衡條件求約束反力2.求截面1-1的內力3.求截面2-2的內力4.求截面3-3的內力5.求截面4-4的內力比較截面1-1和2-2的內力發(fā)現(xiàn)說在集中力的兩側截面剪力發(fā)生了突變，突變值等該集中力的值。比較截面3-3和4-4的內力在集中力偶兩側橫截面上剪力相同，而彎矩突變值就等于集中力偶矩。梁的內力計算的兩個規(guī)律：（1）梁橫截面上的剪力Q，在數(shù)值上等于該截面一側（左側或右側）所有外力在與截面平行方向投影的代數(shù)和。即：若外力使選取研究對象繞所求截面產生順時針方向轉動趨勢時，等式右邊取正號；反之，取負號。此規(guī)律可簡化記為“順轉剪力為正”，或“左上，右下剪力為正”。相反為負。（2）橫截面上的彎矩M，在數(shù)值上等于截面一側（左側或右側）梁上所有外力對該截面形心O的力矩的代數(shù)和。即：若外力或外力偶矩使所考慮的梁段產生向下凸的變形(即上部受壓，下部受拉)時，等式右方取正號，反之，取負號。此規(guī)律可簡化記為“下凸彎矩正”或“左順，右逆彎矩正”，相反為負。例題9.2一外伸梁，所受荷載如圖示，試求截面C、截面B左和截面B右上的剪力和彎矩。解：1.根據(jù)平衡條件求出約束力反力2.求指定截面上的剪力和彎矩截面C：根據(jù)截面左側梁上的外力得：截面B左、B右：取右側梁計算，得：在集中力作用截面處，應分左、右截面計算剪力；在集中力偶作用截面處，也應分左、右截面計算彎矩。9.3梁的內力圖—剪力圖和彎矩圖一、剪力方程和彎矩方程在一般情況下，則各橫截面上的剪力和彎矩都可以表示為坐標x的函數(shù)。梁的剪力方程Q=Q(x)梁的彎矩方程M=M(x)二、剪力圖和彎矩圖以梁橫截面沿梁軸線的位置為橫坐標，以垂直于梁軸線方向的剪力或彎矩為縱坐標，分別繪制表示Q(x)和M(x)的圖線。這種圖線分別稱為剪力圖和彎矩圖，簡稱Q圖和M圖。繪圖時一般規(guī)定正號的剪力畫在x軸的上側，負號的剪力畫在x軸的下側；正彎矩畫在x軸下側，負彎矩畫在x軸上側，即把彎矩畫在梁受拉的一側。例題9.3圖所示，懸臂梁受集中力F作用，試作此梁的剪力圖和彎矩圖解：1.列剪力方程和彎矩方程2.作剪力圖和彎矩圖由剪力圖和彎矩圖可知：例題9.4簡支梁受均布荷載作用，如圖示，作此梁的剪力圖和彎矩圖。解：1.求約束反力由對稱關系，可得：2.列剪力方程和彎矩方