湖南省益陽(yáng)市普通高中2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

益陽(yáng)市2024年下學(xué)期普通高中期末質(zhì)量檢測(cè)高一數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試卷包括試題卷和答題卡兩部分；試題卷包括單項(xiàng)選擇題、多項(xiàng)選擇題、填空題和解答題四部分，共4頁(yè)，時(shí)量120分鐘，滿分150分．2．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號(hào)等填寫在本試題卷和答題卡指定位置．請(qǐng)按答題卡的要求在答題卡上作答，在本試題卷和草稿紙上作答無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回．試題卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合．，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合的并集運(yùn)算，可得答案.【詳解】由題意，可得.故選：D.2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在定義域上是增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的定義對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】對(duì)于A，的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是非奇非偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，記，而，所以是奇函數(shù)，又在R上是增函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，記，，所以是奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，均為增函數(shù)，則是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，均為增函數(shù)，則是增函數(shù)，但不能說成在定義域上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而，所以不是奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：B.3.已知，則）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合余弦的二倍角公式運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可得：.故選：C.4.已知，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷AC，舉例說明判斷BD.【詳解】A：若，則，故A錯(cuò)誤；B：舉例，不成立，故B錯(cuò)誤；C：由題意知，則，故C正確；D：舉例，不成立，故D錯(cuò)誤.故選：C5.已知，，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義結(jié)合充分、必要條件分析判斷.【詳解】若，則，即充分性成立；若，則不一定成立，例如，必要性不成立；綜上所述：p是q的充分不必要條件.故選：A.6.已知，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得，結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得，即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞增，則，即，又因?yàn)?，所?故選：A.7.若關(guān)于x的一元二次不等式的解集為，則

（）A.有最小值 B.有最小值C.有最小值3 D.無(wú)最小值【答案】B【解析】【分析】由一元二次不等式的解集為，得到三者之間的關(guān)系即，再由基本不等式求的最值即可【詳解】因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次不等式的解集為，所以，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：B8.已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示，則它的解析式可以是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)，通過特殊點(diǎn)的函數(shù)值的判斷即可．【詳解】由題意，的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，由，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，則，所以是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，則，所以是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，則，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，故D正確.故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.為的零點(diǎn)【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)圖象求得，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】由圖可知，，，又，所以，將點(diǎn)代入，得，得，解得，又，所以，故.故A正確，B錯(cuò)誤；，所以，故C正確；由，故不是的零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：AC10.下列式子化簡(jiǎn)后等于的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于A：根據(jù)兩家和差公式分析判斷；對(duì)于BD：根據(jù)倍角公式分析判斷；對(duì)于C：切化弦結(jié)合倍角公式分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋蔆正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.11.設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.B.若，則C.若，則的值域?yàn)镈.若的最小值為，則【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于AB，由分段函數(shù)的解析式，可得答案；對(duì)于CD，根據(jù)一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合值域的定義以及最值的定義，可得答案.【詳解】對(duì)于A，由，則，故A正確；對(duì)于B，由，則，解得，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，當(dāng)時(shí)，，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，由，則函數(shù)的值域?yàn)?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由C可得，則，解得，故D正確.故選：ABD.12.下列說法正確的是（）A.和表示同一個(gè)函數(shù)B.定義在上的函數(shù)滿足，則C.若是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則有4個(gè)零點(diǎn)D.若是定義在上的偶函數(shù)，且，則是以8為周期的周期函數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】由函數(shù)的定義可判斷A，由方程組法可判斷B，求出時(shí)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，再結(jié)合奇函數(shù)對(duì)稱性，及可判斷C，結(jié)合奇偶性，對(duì)稱性可判斷D；【詳解】對(duì)于A，，定義域?yàn)?,定義域?yàn)?，和表示同一個(gè)函數(shù)，正確，對(duì)于B，由，可得：，兩式聯(lián)立消去，可得，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，令可得：，所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，由奇函數(shù)的對(duì)稱性可知，時(shí)，也有兩個(gè)零點(diǎn)，同時(shí)，故共有5個(gè)零點(diǎn)，C錯(cuò)；對(duì)于D，由可得：又函數(shù)為偶函數(shù)，所以，所以，是以8為周期的周期函數(shù)，D正確，故選：ABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的最小正周期為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦型函數(shù)周期公式計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)的最小正周期為.故答案為：14.已知函數(shù)且，則_________．【答案】【解析】【分析】證明為奇函數(shù)，進(jìn)而求得答案.【詳解】由，，又，所以奇函數(shù)，.故答案為：.15.若，則_____________.【答案】##【解析】【分析】利用二倍角正弦公式和商數(shù)關(guān)系弦化切，代入求解.詳解】，故答案為：.16.如果對(duì)于非空集合中的任意兩個(gè)不同元素，都有且，那么這樣的集合稱為封閉集合，例如集合就是一個(gè)封閉集合.用列舉法寫出一個(gè)至少有三個(gè)元素且只有有限個(gè)元素的封閉集合_________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)任意的，都有且，即可求解.【詳解】若，，則滿足且，取時(shí)，且，則且，即，若令，則，此時(shí)取，經(jīng)檢驗(yàn)符合要求，故答案為：（答案不唯一）.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知集合，，．（1）求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)交集運(yùn)算求解；（2）根據(jù)子集關(guān)系列式運(yùn)算得解.【小問1詳解】，．【小問2詳解】因?yàn)槌闪?，．由得，解?所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知函數(shù)（1）求的定義域;（2）若，求的值;（3），成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)真數(shù)大于零即可求解；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的函數(shù)值確定，解方程即可求解；（3）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)的定義域求出函數(shù)的最小值即可求解.【小問1詳解】由，解得，所以，函數(shù)的定義域?yàn)椋拘?詳解】由，得，所以，即．經(jīng)檢驗(yàn)知符合題意．【小問3詳解】由題意知：對(duì)成立，即．在定義域上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，．所以，，所以19.（1）已知，求函數(shù)的最小值；（2）若，，證明:.【答案】（1）4；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用基本不等式計(jì)算可得；（2）利用基本不等式計(jì)算可得.【詳解】（1），，則．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．所以函數(shù)的最小值為．（2），，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．20.如圖，彈簧掛著的小球做上下運(yùn)動(dòng)．若以小球的平衡位置為原點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)路徑所在的直線為h軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，將小球視為點(diǎn)P，則小球的運(yùn)動(dòng)可視為點(diǎn)P在AB之間的上下運(yùn)動(dòng)．它在ts時(shí)相對(duì)于平衡位置（O點(diǎn)）的高度h（PO）（P在O點(diǎn)下方時(shí)，）（單位:cm）由關(guān)系式確定．（1）點(diǎn)P在開始運(yùn)動(dòng)（即）時(shí)的位置在哪里?每秒鐘點(diǎn)P能往復(fù)運(yùn)動(dòng)多少次?（2）在下圖中畫出h關(guān)于t的函數(shù)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖；（3）當(dāng)點(diǎn)P開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，t軸的負(fù)半軸上M點(diǎn)處連續(xù)發(fā)出一束光經(jīng)過OA的中點(diǎn)，在時(shí)點(diǎn)P恰好被這束光第3次照到，求的值．【答案】（1）點(diǎn)P位于平衡位置上方處，次．（2）答案見解析（3）5【解析】【分析】（1）根據(jù)題意代入可得，即可得點(diǎn)P的位置，結(jié)合周期性可知秒鐘點(diǎn)P能往復(fù)運(yùn)動(dòng)次數(shù)；（2）根據(jù)五點(diǎn)法列表，根據(jù)表格即可得圖象；（3）根據(jù)題意令，根據(jù)正弦函數(shù)求，即可得第3次照到的值.【小問1詳解】因?yàn)?，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，即點(diǎn)P位于平衡位置上方處；又因?yàn)?，所以每秒鐘點(diǎn)P往復(fù)運(yùn)動(dòng)次．【小問2詳解】取值列表如下：t04h200圖象如圖所示：【小問3詳解】當(dāng)點(diǎn)P被光束恰好第三次照到的時(shí)間即為與的圖象的第三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．由，即，則或，得或?qū)⒏鶑男〉酱笈帕械茫?，所?21.已知函數(shù)（1）求的最大值；（2）若將的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象，求的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，求的值．【答案】?）（2）（3）或【解析】【分析】（1）整理可得，即可得的最大值；（2）根據(jù)圖象變換可得，結(jié)合誘導(dǎo)公式可得，，以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)求單調(diào)性；（3）以為整體，根據(jù)題意結(jié)合正項(xiàng)函數(shù)有界性分析求解即可.小問1詳解】由題意可得：．因?yàn)椋缘淖畲笾禐?【小問2詳解】由平移變換知，又因?yàn)?，則，解得，又因?yàn)?，可得，所以，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．【小問3詳解】當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)的值域?yàn)?，因?yàn)椋芍?，且，可得，則，解得，可得，由可知，解得，且，或，解得，或，所以的值為或.22.已知函數(shù)（1）若是偶函數(shù)，求a的值;（2）當(dāng)時(shí)，證明:（3）若，記，函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）．（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）由偶函數(shù)的定義即可求解；（2）結(jié)合基本不等式即可求證；（3）問題可轉(zhuǎn)換為：恰有三個(gè)根，其中滿足，可得：y′=gx?hx【小問1詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，，即．，所以．【小問2詳解】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以原結(jié)論成立.【小問3詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增．恰有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程恰有三個(gè)根，結(jié)合的單調(diào)性可知，y有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程恰有三個(gè)根．當(dāng)時(shí)，，即是方程的一個(gè)根．記，原問題等價(jià)于函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，y′①當(dāng)時(shí)，不符合題意．②當(dāng)時(shí)，恒成立；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減且圖象過點(diǎn)，此時(shí)恰有一個(gè)零點(diǎn)，時(shí)，恰有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意．③當(dāng)時(shí)，（i）當(dāng)，函數(shù)，若時(shí)，則，函數(shù)零點(diǎn)為，