《信號(hào)與系統(tǒng)》第4章-連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的

復(fù)頻域分析教學(xué)提示：拉普拉斯變換分析法是分析線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)的有效工具。本章首先由傅里葉變換引出拉普拉斯(Laplace)變換，然后討論拉普拉斯正、反變換的求取及拉普拉斯變換的性質(zhì)，進(jìn)而利用拉普拉斯變換進(jìn)行連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析。在此基礎(chǔ)上分析了系統(tǒng)函數(shù)及其與系統(tǒng)特性的關(guān)系，最后介紹了用MATLAB實(shí)現(xiàn)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析。教學(xué)要求：本章要求學(xué)生深刻理解拉普拉斯變換的定義、收斂域的概念；熟練掌握拉普拉斯變換的的性質(zhì)、卷積定理的意義和它們的應(yīng)用。掌握根據(jù)拉普拉斯變換的定義和性質(zhì)求解拉普拉斯變換與反變換。能根據(jù)時(shí)域電路模型畫出s域電路模型，并求解其響應(yīng)，包括全響應(yīng)、零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和沖激響應(yīng)。能根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布情況分析、判斷系統(tǒng)的時(shí)域與頻域特性。會(huì)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

傅里葉變換法對(duì)系統(tǒng)分析是十分有用的。因?yàn)轭l域中的激勵(lì)可分解為無(wú)窮多個(gè)正弦分量之和，這樣就可用求解線性系統(tǒng)對(duì)一系列正弦激勵(lì)的響應(yīng)之和的方法來(lái)討論線性系統(tǒng)對(duì)一般激勵(lì)的響應(yīng)，從而使響應(yīng)的求解得到簡(jiǎn)化。特別在信號(hào)的分析與處理方面如有關(guān)諧波成分、頻率響應(yīng)、系統(tǒng)帶寬、波形失真等問(wèn)題上，它所給出的結(jié)果都具有清楚的物理意義，是信號(hào)與系統(tǒng)分析的重要方法。但頻域分析也存在一些不足，第一，某些信號(hào)不存在傅里葉變換，因而無(wú)法利用頻域分析法；第二，系統(tǒng)頻域分析法只能求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，而系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)仍需按時(shí)域方法求解；第三，頻域分析法中，傅里葉反變換一般較為復(fù)雜。為此，在本章中將通過(guò)把頻域中的傅里葉變換推廣到復(fù)頻域來(lái)解決這些問(wèn)題。此外，拉普拉斯變換把時(shí)域中兩函數(shù)的卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域中兩函數(shù)的乘法運(yùn)算，在此基礎(chǔ)上建立了系統(tǒng)函數(shù)的概念，利用系統(tǒng)函數(shù)零點(diǎn)、極點(diǎn)分布可以簡(jiǎn)明、直觀地表達(dá)系統(tǒng)特性的許多規(guī)律，系統(tǒng)函數(shù)這一重要概念的應(yīng)用為研究信號(hào)經(jīng)過(guò)線性系統(tǒng)傳輸問(wèn)題提供了許多方便。第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

目錄4.1

拉普拉斯變換4.2

拉普拉斯變換的基本性質(zhì)4.3

拉普拉斯反變換4.4

系統(tǒng)的復(fù)頻域分析4.5

系統(tǒng)函數(shù)H(s)4.6系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)4.7線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性4.1

拉普拉斯變換4.1.1

從傅里葉變換到拉普拉斯變換在信號(hào)的頻域分析中，絕對(duì)可積條件是信號(hào)傅里葉變換存在的充分條件，信號(hào)若滿足絕對(duì)可積條件，則其傅里葉變換一定存在。有些信號(hào)如單位階躍信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件，因而不能直接從傅里葉變換定義式直接求出它的傅里葉變換。而另一些常用信號(hào)，如，傅里葉變換則不存在，這是由于時(shí)信號(hào)的幅度不衰減，甚至增長(zhǎng)。若將乘以衰減因子，則當(dāng)時(shí)，就成為指數(shù)衰減信號(hào)，傅里葉變換存在，即第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

令，則上式可寫為推廣到一般情況，用衰減因子乘以信號(hào)，根據(jù)信號(hào)的不同特征，選取合適的值，使乘積信號(hào)在和時(shí)信號(hào)幅度衰減，從而使信號(hào)滿足絕對(duì)可積條件，可以進(jìn)行傅里葉變換，于是將此式與第5章中的傅里葉正變換式相比較，可以看出是將的傅里葉變換式中的換成的結(jié)果。如果令，再以表示這個(gè)頻譜函數(shù)，則有

(4-1)對(duì)求傅里葉反變換則有上式兩邊同乘可得第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

考慮到，則，將它們代入上式，將積分變量改為，并相應(yīng)地改變積分限，則上式可寫為

(4-2)這也相當(dāng)于把第5章的傅里葉反變換式中的用代替所得的結(jié)果。式(4-1)與式(4-2)組成了一對(duì)新的變換式，稱之為雙邊拉普拉斯變換或廣義的傅里葉變換，其中式(4-1)稱為拉普拉斯正變換，式(4-2)稱為拉普拉斯反變換；兩式中稱為“原函數(shù)”，稱為“象函數(shù)”。常表示為和。實(shí)際中所遇到的激勵(lì)信號(hào)與系統(tǒng)響應(yīng)或者為有始信號(hào)，即時(shí)，或者信號(hào)雖然不起始于，而問(wèn)題的討論只需考慮信號(hào)的部分。在這兩種情況下，式(4-1)可以表示為(4-3)第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

應(yīng)該指出的是，為了適應(yīng)激勵(lì)與響應(yīng)中在原點(diǎn)存在沖激函數(shù)或其各階導(dǎo)數(shù)的情況，積分區(qū)間應(yīng)包括零點(diǎn)在內(nèi)，即式(4-3)中積分下限應(yīng)取。當(dāng)然如果函數(shù)在時(shí)間零點(diǎn)處連續(xù)，即則就不必再區(qū)分和了。為書寫方便，今后一般仍寫為0，但其意義表示。至于式(4-2)，由于包含的仍為從到的各個(gè)分量，所以其積分區(qū)間不變。但因原函數(shù)為有始信號(hào)，由式(4-2)所求得的，在范圍內(nèi)必然為零。因此對(duì)有始信號(hào)來(lái)說(shuō)，式(4-2)可寫為

(4-4)式(4-3)及式(4-4)也是一組變換對(duì)。因?yàn)槭侵粚?duì)在時(shí)間軸一個(gè)方向上的信號(hào)進(jìn)行變換，為區(qū)別于雙邊拉普拉斯變換式，故稱之為單邊拉普拉斯變換式，并標(biāo)記如下：和或簡(jiǎn)單地以符號(hào)表示為第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

在此強(qiáng)調(diào)一下，如果沒有特殊說(shuō)明，以后求信號(hào)的拉普拉斯變換都是指單邊拉普拉斯變換。由以上分析可以看出，無(wú)論雙邊或單邊拉普拉斯變換都可看成是傅里葉變換在復(fù)變數(shù)域中的推廣。從物理意義上說(shuō)，拉普拉斯變換是把信號(hào)分解成復(fù)指數(shù)的線性組合，由于可正、可負(fù)也可為零，所以每一對(duì)正、負(fù)的復(fù)指數(shù)信號(hào)可能是增幅、減幅或等幅的“正弦振蕩”，其振幅也是一無(wú)窮小量，且按指數(shù)規(guī)律隨時(shí)間變化。與在傅里葉變換中一樣，這些振蕩的頻率是連續(xù)的，并且分布及于無(wú)窮。根據(jù)這種概念，通常稱s為復(fù)頻率，并可把看成是信號(hào)的復(fù)頻譜。第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

4.1.2

拉普拉斯變換的收斂域從以上討論可知，當(dāng)信號(hào)乘以衰減因子以后，就有可能滿足絕對(duì)可積條件。然而，是否一定滿足，還要由的性質(zhì)與值的相對(duì)關(guān)系決定。例如，為使收斂，衰減因子中的必須滿足，否則在時(shí)仍不能收斂。也就是說(shuō)，對(duì)于某一信號(hào)通常并不是在所有的值上都能使為有限值。即并不是對(duì)所有的值而言信號(hào)都存在拉氏變換，而只是在值的一定范圍內(nèi)，是收斂的，才存在拉氏變換。通常把使?jié)M足絕對(duì)可積條件的值的范圍稱為拉氏變換的收斂域。在收斂城內(nèi)，信號(hào)的拉氏變換存在，在收斂域外，信號(hào)的拉氏變換不存在。若乘以衰減因子后，存在下列關(guān)系

(4-5)則收斂條件為

，根據(jù)值可將s平面劃分為兩個(gè)區(qū)域，如圖4.1所示。第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

稱為收斂橫坐標(biāo)，經(jīng)過(guò)的垂直線是收斂邊界，或稱為收斂軸。凡滿足式(4-5)的信號(hào)稱為“指數(shù)階函數(shù)”，意思是可借助于指數(shù)函數(shù)的衰減作用將信號(hào)可能存在的發(fā)散性壓下去，使之成為收斂函數(shù)。因此，它們的收斂域都位于收斂軸的右邊。下面舉幾個(gè)簡(jiǎn)單信號(hào)為例來(lái)說(shuō)明收斂區(qū)的情況。

(1)單個(gè)脈沖信號(hào)單個(gè)脈沖信號(hào)在時(shí)間上有始有終，且其能量有限。因此，對(duì)任何值式(4-5)均成立，其收斂坐標(biāo)位于。整個(gè)平面全屬于收斂區(qū)，也就是說(shuō)單個(gè)脈沖的拉普拉斯變換是一定存在的。圖4.1

收斂區(qū)的劃分第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

(2)單位階躍信號(hào)對(duì)于單位階躍信號(hào)，不難看出對(duì)于的任何值，式(4-5)都是滿足的，即所以單位階躍信號(hào)的收斂區(qū)為，即平面的右半面。(3)指數(shù)信號(hào)對(duì)于指數(shù)信號(hào)，式(4-5)只有當(dāng)時(shí)方能滿足，即故其收斂域?yàn)?。?yīng)該說(shuō)明的是，在工程技術(shù)中實(shí)際遇到的有始信號(hào)，都是指數(shù)階信號(hào)，且一般也都具有分段連續(xù)的性質(zhì)。因此只要取得足夠大，式(4-5)總是能滿足的；也就是說(shuō)實(shí)際上存在的有始信號(hào)，其單邊拉普拉斯變換一定存在。當(dāng)然，也有某些信號(hào)隨時(shí)間的增長(zhǎng)較指數(shù)函數(shù)為快，如或等，對(duì)這樣的信號(hào)，不論取何值，式(4-5)都不能滿足，單邊拉普拉斯變換就不存在。然而這類信號(hào)在實(shí)用中不會(huì)遇到，因此也就沒有討論的必要。在本書中主要討論單邊拉普拉斯變換，因?yàn)槠涫諗繀^(qū)必定存在，一般情況下，不再注明其收斂域。第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

4.1.3

常用信號(hào)的拉普拉斯變換工程中常見的信號(hào)(除少數(shù)例外)，通常屬于下列信號(hào)之一：t的指數(shù)信號(hào)；t的正整冪信號(hào)。如單位階躍信號(hào)、正弦信號(hào)、衰減正弦信號(hào)等，都可由t的指數(shù)信號(hào)導(dǎo)出。下面給出一些常用信號(hào)的拉普拉斯變換。1.單邊指數(shù)信號(hào)，為常數(shù)由式(4-3)可得其拉普拉斯變換為

(4-6)由此可導(dǎo)出一些常用信號(hào)的變換。(1)單位階躍信號(hào)令式(4-6)中則得

(4-7)(2)正弦型信號(hào)，余弦型信號(hào)

(4-8)第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

同理可得

(4-9)(3)衰減正弦型信號(hào)，衰減余弦型信號(hào)

(4-10)同理可得

(4-11)2.的正整冪信號(hào)，為正整數(shù)即第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

依次類推，可得

(4-12)特別是時(shí)，有

(4-13)3.單位沖激信號(hào)由第2章式2.20給出的沖激信號(hào)定義如下

由此可得

(4-14)將上述結(jié)果以及其他常用信號(hào)的拉普拉斯變換列于表4-1中，以便查閱。第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

序號(hào)112345678是正整數(shù))

信號(hào)與系統(tǒng)

表4-1

常用信號(hào)的拉普拉斯變換4.2

拉普拉斯變換的基本性質(zhì)在實(shí)際應(yīng)用中，人們常常不是利用定義式計(jì)算拉普拉斯變換，而是巧妙地利用拉普拉斯變換的一些基本性質(zhì)。這些性質(zhì)與傅里葉變換性質(zhì)極為相似，在某些性質(zhì)中，只要把傅里葉變換中的用s替代即可。但是，傅里葉變換是雙邊的，而這里討論的拉普拉斯變換是單邊的，所以某些性質(zhì)又有差別。與傅里葉變換相類同的性質(zhì)這里就不再證明。第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

1.線性若，則

(4-15)式中，、為任意常數(shù)。2.尺度變換若則當(dāng)時(shí)

(4-16)3.時(shí)移性若

(4-17)上式中的規(guī)定對(duì)于單邊拉氏變換是十分必要的，因?yàn)槿?，信?hào)的波形有可能左移越過(guò)原點(diǎn)，這將導(dǎo)致原點(diǎn)以左部分不能包含在從到的積分中去，因而造成錯(cuò)誤?！纠?-1】設(shè)，因而，試求則第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

(1)(2)(3)(4)的拉普拉斯變換()解：四種信號(hào)如圖4.2所示。圖4.2

例4-1題圖第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

對(duì)于(a)和(b)兩種信號(hào)，在時(shí)二者的波形相同，所以它們的拉氏變換也相同，即對(duì)于信號(hào)(c)，它的拉氏變換是對(duì)于信號(hào)(d)，它的拉氏變換是第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

可見，在以上四種信號(hào)中，只有信號(hào)(d)是，向右移了，因此只有信號(hào)(d)才可以應(yīng)用時(shí)移性。時(shí)間平移特性還可以用來(lái)求取有始周期信號(hào)的拉普拉斯變換。這里所說(shuō)的有始周期信號(hào)意思是指時(shí)呈現(xiàn)周期性的信號(hào)，在范圍內(nèi)信號(hào)為零。設(shè)為有始周期信號(hào)，其周期為T，而、、…分別表示信號(hào)的第一周期、第二周期、…的信號(hào)，則可寫為由于是周期信號(hào)，因此可看成是延時(shí)一個(gè)周期T構(gòu)成的，可看成是延時(shí)兩個(gè)周期構(gòu)成的，依此類推，則有根據(jù)時(shí)移特性，若則(4-18)第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

【例4-2】求圖4.3單邊方波周期信號(hào)的拉普拉斯變換。解：由圖可以看出，第一個(gè)方波及先求出再利用式(4-18)，可得單邊方波周期信號(hào)的拉普拉斯變換為圖4.3

單邊方波周期信號(hào)4.

S域平移若則(4-19)例如由，運(yùn)用S域平移性質(zhì)可得同理第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

5.時(shí)域微分若則有(4-20)

(4-21)式中，及分別為時(shí)及的值。證明：根據(jù)拉普拉斯變換的定義應(yīng)用分部積分法，則有第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

同理依次類推，可得式(4-21)。若信號(hào)為有始信號(hào)，即時(shí)，則、、…都為零，于是式(4-20)及式(4-21)可簡(jiǎn)化為

(4-22)

(4-23)【例4-3】已知，利用時(shí)域微分特性求，。解：6.

時(shí)域積分若第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

則有

(4-24)

(4-25)式中，。證明：根據(jù)拉普拉斯變換的定義運(yùn)用分部積分，得如信號(hào)的積分區(qū)間不由0開始而是由開始，因故有第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

7.復(fù)頻域微分與積分若則

(4-26)及(4-27)【例4-4】已知，求，，。解：利用復(fù)頻域微分性質(zhì)依次類推，可得8.初值定理和終值定理若第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

則

(4-28)

(4-29)證明：由時(shí)域微分特性有得若令則有得第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

若令則有得

【例4-5】已知，求的初值和終值。解：由初值定理，有由終值定理，有【例4-6】已知，求的初值。解：由初值定理，有由于第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

所以顯然，兩者不一致，其原因在于信號(hào)在零點(diǎn)含有沖激。對(duì)于這種情況，若需要求的初值，應(yīng)對(duì)初值定理進(jìn)行修改。若信號(hào)包含沖激函數(shù)，可以證明因?yàn)?，所以上式也可以寫?/p>

(4-30)式中，為真分式。例4-6中為假分式，可寫成應(yīng)用式(4-29)，有第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

與直接由時(shí)域求得的初值一致。在應(yīng)用終值定理時(shí)也要注意，的極點(diǎn)要限制于s平面的左半平面內(nèi)或是在原點(diǎn)處的單極點(diǎn)，目的是為了保證存在。因?yàn)槿绻袠O點(diǎn)落在右半平面內(nèi)，則將隨無(wú)限地增長(zhǎng)；如果有極點(diǎn)落在虛軸上，則所表示的為等幅振蕩；在原點(diǎn)處的重階極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的也是隨時(shí)間增長(zhǎng)的信號(hào)。在上述的這幾種情況下，的終值都不存在，終值定理也就無(wú)法運(yùn)用。初值定理與終值定理除了用來(lái)確定的初值與終值外，還可用來(lái)在求拉普拉斯反變換前驗(yàn)證拉普拉斯變換的正確性。9.卷積定理

與傅里葉變換中的卷積定理相類似，拉普拉斯變換也有卷積定理如下：第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

與傅里葉變換中的卷積定理相類似，拉普拉斯變換也有卷積定理如下：若，，則(4-31)卷積定理可證明如下：與時(shí)域卷積定理相對(duì)應(yīng)，還有復(fù)頻域卷積定理，有時(shí)也稱為復(fù)卷積定理。復(fù)卷積定理表示如下：若,,則(4-32)第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

復(fù)卷積定理說(shuō)明時(shí)域中的乘法運(yùn)算相應(yīng)于復(fù)頻域中的卷積運(yùn)算，即兩時(shí)間函數(shù)乘積的拉普拉斯變換等于兩時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換相卷積并除以常數(shù)?，F(xiàn)將上述拉普拉斯變換的性質(zhì)列在表4-2中，以便查閱。表4-2

拉普拉斯變換的基本性質(zhì)性質(zhì)時(shí)域≥0復(fù)頻域線性尺度變換時(shí)移性s域平移第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

時(shí)域微分時(shí)域積分復(fù)頻域微分復(fù)頻域積分時(shí)域卷積復(fù)頻域卷積初值定理終值定理第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

從象函數(shù)求原函數(shù)的過(guò)程稱為拉普拉斯反變換。簡(jiǎn)單的拉普拉斯反變換只要應(yīng)用表4-1以及上節(jié)討論的拉普拉斯變換的性質(zhì)便可得到相應(yīng)的時(shí)間信號(hào)。求取復(fù)雜拉普拉斯變換式的反變換通常有兩種方法：部分分式展開法和圍線積分法。前者是將復(fù)雜拉普拉斯變換式分解為許多簡(jiǎn)單變換式之和，然后分別查表即可求得原信號(hào)，它適合于為有理函數(shù)的情況；后者則是直接進(jìn)行拉普拉斯反變換積分，它的適用范圍更廣。4.3.1

部分分式展開法常見的拉普拉斯變換式是s的多項(xiàng)式之比，一般形式是：

(4-33)式中，系數(shù)、都為實(shí)數(shù)，及都為正整數(shù)。這里令分母多項(xiàng)式首項(xiàng)系數(shù)為1，式(4-33)并不失其一般性。如時(shí)，在將上式分解為部分分式前，應(yīng)先化為真分式，例如第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

4.3

拉普拉斯反變換因此，假分式可分解為多項(xiàng)式與真分式之和。多項(xiàng)式的拉普拉斯反變換為沖激信號(hào)及其各階導(dǎo)數(shù)，如上式中，而。因?yàn)闆_激信號(hào)及其各階導(dǎo)數(shù)只在理想情況下才出現(xiàn)，因此一般情況下拉普拉斯變換多為真分式。現(xiàn)在討論將真分式分解為部分分式的兩種情形。(1)，的根無(wú)重根情況因是的次多項(xiàng)式，可以進(jìn)行因式分解這里，、、…、為的根。當(dāng)?shù)扔谌我桓禃r(shí)，等于無(wú)窮大，故這些根也稱為的極點(diǎn)。當(dāng)、、…、互不相等時(shí)，可表示為第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

式中，、、…、、…、為待定系數(shù)。在式(4-34)兩邊同時(shí)乘以因子，再令，于是式(4-34)右邊僅留下系數(shù)一項(xiàng)，即

(4-35)顯然，式(4-34)的拉普拉斯反變換可由表4-1查得，即

(4-36)(4-34)第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

由此可見，有理代數(shù)分式的拉普拉斯反變換可以表示為若干指數(shù)信號(hào)項(xiàng)之和。應(yīng)該說(shuō)明，根據(jù)單邊拉普拉斯變換的定義，反變換在區(qū)域中應(yīng)恒等于零，故按式(4-36)所求得的反變換只適用于的情況?！纠?-7】求的拉普拉斯反變換。解：將寫成部分分式展開形分別求，，：

故第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

【例4-8】求的拉普拉斯反變換。解：用分子除以分母(長(zhǎng)除法)得到式中最后一項(xiàng)滿足的要求，可按前述部分分式展開方法分解得到：

故【例4-9】求的拉普拉斯反變換。解：(1)部分分式展開法

第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

分別求系數(shù)，，：

故 (2)配方法當(dāng)具有共軛復(fù)根時(shí)，還可用簡(jiǎn)便的方法來(lái)求原函數(shù)，可將一對(duì)共軛復(fù)根作為一個(gè)整體來(lái)考慮，即第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

式中于是

為求系數(shù)和，可用對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等的方法，先令代入上式兩邊，得，再將上式兩邊乘以，并令，得即將共軛復(fù)根的分母配成二項(xiàng)式的平方，得第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

查表4-1得(2)，的根有重根情況假設(shè)有一個(gè)重根，則可寫成展開的部分分式為

式中，的非重根因子組成的部分分式的系數(shù)的求法如前所述。對(duì)于重根因子組成的部分分式的系數(shù)，，…，，可通過(guò)下列步驟求得。將上式兩邊乘以，得

(4-37)第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

令可得

(4-38)將式(4-37)兩邊對(duì)求導(dǎo)后，令可得

(4-39)依次類推，可求得重根項(xiàng)的部分分式系數(shù)的一般公式為

(4-40)當(dāng)全部系數(shù)確定后，由于

(4-41)則得

(4-42)第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

【例4-10】求的拉普拉斯反變換。解：將寫成展開式容易求得為求出與重根有關(guān)的各系數(shù)，令由式(4-38)和式(4-39)、式(4-40)得到于是有逆變換為第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

4.3.2

圍線積分法(留數(shù)法)拉普拉斯反變換為根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論中的留數(shù)定理，有

(4-43)式(4-43)左邊的積分是在平面內(nèi)沿一條不通過(guò)被積函數(shù)極點(diǎn)的封閉曲線C進(jìn)行的，而等式右邊則是在此圍線C中被積函數(shù)各極點(diǎn)上的留數(shù)之和。為應(yīng)用留數(shù)定理，在求拉普拉斯反變換的積分路線(由到)上應(yīng)補(bǔ)足一條積分路線以構(gòu)成一個(gè)封閉曲線。所加積分路線現(xiàn)取半徑為無(wú)窮大的圓弧，如圖4.4所示。當(dāng)然在積分路線進(jìn)行此種變換時(shí)，必須要求沿此額外路線(圖4.4中的弧ACB)函數(shù)的積分值為零。即根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論中的若爾當(dāng)輔助定理，上式在同時(shí)滿足下列條件時(shí)成立:第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

(1)時(shí)，對(duì)于一致地趨近于零。(2)因子的指數(shù)的實(shí)部應(yīng)小于，即，其中為固定常數(shù)。第一個(gè)條件，除了極少數(shù)例外情況(如單位沖激函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的象函數(shù)為的正冪函數(shù))不滿足此條件外，一般都能滿足。為了滿足第二個(gè)條件，當(dāng)，應(yīng)小于，積分應(yīng)沿左半圓弧進(jìn)行，如圖4.4所示；而當(dāng)時(shí)，則應(yīng)沿右半圓弧進(jìn)行，如圖4.5所示。由單邊拉普拉斯變換式的定義可知在，，因此沿右半圓弧的封閉積分應(yīng)為零，也就是說(shuō)被積函數(shù)在此封閉曲線中應(yīng)無(wú)極點(diǎn)，即線應(yīng)在的所有極點(diǎn)的右邊，這也就是上面所說(shuō)的拉普拉斯變換的收斂條件。因此，當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，故可寫為(4-45)(4-46)第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

圖4.4

的封閉積分路線

圖4.5

時(shí)的封閉積分路線

這樣，拉普拉斯反變換的積分運(yùn)算就轉(zhuǎn)換為求被積函數(shù)各極點(diǎn)上留數(shù)的運(yùn)算，從而使運(yùn)算得到簡(jiǎn)化。當(dāng)為有理函數(shù)時(shí)，若為一階極點(diǎn)，則其留數(shù)為

第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

若為階極點(diǎn)，則其留數(shù)為

(4-48)【例4-11】用留數(shù)法求的拉普拉斯反變換。解：令，求得單極點(diǎn)，三重極點(diǎn)。按式(4-47)及式(4-48)求各極點(diǎn)上的留數(shù)：所以可見所求得的結(jié)果與例題4-10中用部分分式展開法所得的結(jié)果是一樣的。第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

4.4

系統(tǒng)的復(fù)頻域分析4.4.1

微分方程的復(fù)頻域求解用拉普拉斯變換分析法求取系統(tǒng)的響應(yīng)，可通過(guò)對(duì)系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行拉普拉斯變換來(lái)得到。對(duì)于任何一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)都可用下列常系數(shù)線性微分方程來(lái)描述，即

(4-49)

，，…，為系統(tǒng)的個(gè)初始狀態(tài)。式(4-49)可表示為

(4-50)第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

對(duì)上式兩邊取拉普拉斯變換，并假定為有始信號(hào)，即時(shí)，，因而，。利用時(shí)域微分特性，有

(4-51)

(4-52)將式(4-51)和式(4-52)代入式(4-50)，得第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

由此可見，時(shí)域中的微分方程已轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域中的代數(shù)方程，并且自動(dòng)地引入初始狀態(tài)，這十分便于直接求出全響應(yīng)。全響應(yīng)的象函數(shù)為式中，第一項(xiàng)僅與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)，而與激勵(lì)信號(hào)無(wú)關(guān)，因此對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，即

……..(4-53)第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

式中，第二項(xiàng)僅與系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)有關(guān)，而與初始狀態(tài)無(wú)關(guān)，因此對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，即

……..(4-54)式中

……..(4-55)它是零狀態(tài)響應(yīng)的拉普拉斯變換與激勵(lì)信號(hào)的拉普拉斯變換之比，稱為系統(tǒng)函數(shù)。對(duì)進(jìn)行反變換，可得全響應(yīng)的時(shí)域表達(dá)式：

…..(4-56)

第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

【例4-12】一連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的微分方程為已知，，；求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。解：對(duì)上述微分方程取拉普拉斯變換，得將，，代入，于是第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

故零狀態(tài)響應(yīng)故全響應(yīng)若直接對(duì)取拉普拉斯反變換，也可直接地得出全響應(yīng)4.4.2

電路的復(fù)頻域模型及其解當(dāng)在復(fù)頻域內(nèi)分析具體電路時(shí)，可不必先列寫微分方程，再用拉普拉斯變換進(jìn)行分析，而是先根據(jù)復(fù)頻域電路模型，從電路中直接列寫求解復(fù)頻域響應(yīng)的代數(shù)方程，然后求解復(fù)頻域響應(yīng)并進(jìn)行拉普拉斯反變換。由于研究電路問(wèn)題的基本依據(jù)是基爾霍夫定律，以及電路元件的伏安關(guān)信號(hào)與系統(tǒng)

第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析系。下面討論其在復(fù)頻域的形式。基爾霍夫電壓定律和基爾霍夫電流定律的時(shí)域描述為對(duì)以上兩式進(jìn)行拉普拉斯變換即得KVL和KCL的復(fù)頻域描述電阻元件的電壓與電流的時(shí)域關(guān)系為將上式兩邊取拉普拉斯變換，得

…….(4-57)由式(4-57)可得到電阻元件的復(fù)頻域模型如圖4.6所示。顯然電阻元件的復(fù)頻域模型與時(shí)頻域模型具有相同的形式。電容元件的電壓與電流的時(shí)域關(guān)系為將上式兩邊取拉普拉斯變換，得

…….(4-58a)信號(hào)與系統(tǒng)

第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析或

……(4-58b)圖4.6

電阻元件的復(fù)頻域模型上式表明，一個(gè)具有初始電壓的電容元件，其復(fù)頻域模型為一個(gè)復(fù)頻容抗與一個(gè)大小為的電壓源相串聯(lián)，或者是與一個(gè)大小為的電流源相并聯(lián)，如圖4.7所示。第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

圖4.7

電容元件的模型電感元件的電壓與電流的時(shí)域關(guān)系為將上式兩邊取拉普拉斯變換，得

……(4-59a)或

………(4-59b)式(4-59b)表明，一個(gè)具有初始電流的電感元件，其復(fù)頻域模型為一個(gè)復(fù)頻感抗與一個(gè)大小為的電壓源相串聯(lián)，或者是與一個(gè)大小為第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

的電流源相并聯(lián)，如圖4.8所示。若把電路中的每個(gè)元件都用它的復(fù)頻域模型來(lái)代替，將信號(hào)源用其拉普拉斯變換式代替，就可由時(shí)域電路模型得到復(fù)頻域電路模型。在復(fù)頻域電路中，電壓與電流的關(guān)系是代數(shù)關(guān)系，可以應(yīng)用與電阻電路一樣的分析方法與定理求解響應(yīng)。

圖4.8

電感元件的模型【例4-13】如圖4.9(a)所示電路，已知，元件參數(shù)初始狀態(tài)第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

方向如圖所示。試求響應(yīng)電流。圖4.9

例4-13圖解：畫出復(fù)頻域電路模型，如圖4.9(b)所示，列寫回路方程為代入電路參數(shù)和初始狀態(tài)，得第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

解得取拉普拉斯反變換得第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

4.5系統(tǒng)函數(shù)H(s)系統(tǒng)函數(shù)是描述連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)特性的重要特征參數(shù)。通過(guò)分析在s平面的零極點(diǎn)分布，可以了解系統(tǒng)的時(shí)域特性、頻域特性，以及穩(wěn)定性等特性。4.5.1系統(tǒng)函數(shù)的定義和性質(zhì)系統(tǒng)函數(shù)是在零狀態(tài)條件下系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)的拉普拉斯變換與激勵(lì)的拉普拉斯變換之比。式(4-49)表示的線性時(shí)不變系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)由式(4-55)給出，即(4-60)可見，已知系統(tǒng)時(shí)域描述的微分方程就很容易直接寫出系統(tǒng)復(fù)頻域描述的系統(tǒng)函數(shù)，反之亦然。由于….根據(jù)拉普拉斯變換時(shí)域卷積特性，有由此可得即系統(tǒng)函數(shù)與沖激響應(yīng)是一對(duì)拉普拉斯變換。和分別從時(shí)域和復(fù)頻域兩個(gè)方面表征了同一系統(tǒng)的特性。對(duì)于具體的電路，系統(tǒng)函數(shù)還可以用零狀態(tài)下的復(fù)頻域模型求得。系統(tǒng)函數(shù)僅決定于系統(tǒng)本身的特性，與系統(tǒng)的激勵(lì)無(wú)關(guān)，它在系統(tǒng)分析與綜合中占有重要地位?！纠?-14】已知描述一連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的微分方程為第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

試求該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和沖激響應(yīng)。解：在零狀態(tài)條件下，對(duì)微分方程兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換，得根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的定義有對(duì)上式進(jìn)行拉普拉斯反變換得【例4-15】試求圖4.10(a)所示電路的系統(tǒng)函數(shù)圖4.10

例4-15圖

第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

解：電路的零狀態(tài)復(fù)頻域模型如圖4.10(b)所示。所以第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

4.6系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)

4.6.1H(s)的零極點(diǎn)一般來(lái)說(shuō)，線性系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是以多項(xiàng)式之比的形式出現(xiàn)的。將式(4-60)給出的系統(tǒng)函數(shù)的分子、分母進(jìn)行因式分解，進(jìn)一步可得式中，為一常數(shù)，，，…，是系統(tǒng)函數(shù)分子多項(xiàng)式的根，稱為系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)，即當(dāng)復(fù)變量位于零點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)函數(shù)的值等于零。，，…，是系統(tǒng)函數(shù)分母多項(xiàng)式的根，稱為系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)，即當(dāng)復(fù)變量位于極點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)函數(shù)的值為無(wú)窮大。稱為零點(diǎn)因子，稱為極點(diǎn)因子。將系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)繪在平面上，零點(diǎn)用“”表示，極點(diǎn)用“”表示，這樣得到的圖形稱為系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布圖。系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)可能是重階的，在畫零極點(diǎn)分布圖時(shí)，若遇到重零點(diǎn)或極點(diǎn)，則在相應(yīng)的零極點(diǎn)旁注以（n）。第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

例如，某系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為表明該系統(tǒng)在原點(diǎn)，和處各有一個(gè)零點(diǎn)。而在處有二重極點(diǎn)，還有一對(duì)共軛極點(diǎn)和，該系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布如圖4.11所示。研究系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布不僅可以了解系統(tǒng)沖激響應(yīng)的形式，還可以了解系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性，以及系統(tǒng)的穩(wěn)定性。下面將分別討論。

第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

4.6.2

系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布決定系統(tǒng)的時(shí)域特性...

系統(tǒng)函數(shù)與沖激響應(yīng)是一對(duì)拉普拉斯變換，因此根據(jù)的零、極點(diǎn)分布就可以確定系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的模式。(1)若的極點(diǎn)位于s平面的原點(diǎn)，如，則沖激響應(yīng)的模式為階躍信號(hào)。(2)若的極點(diǎn)位于s平面的正實(shí)軸上,如，則，沖激響應(yīng)的模式為增長(zhǎng)的指數(shù)信號(hào)；若的極點(diǎn)位于平面的負(fù)實(shí)軸上，如則，沖激響應(yīng)的模式為衰減的指數(shù)信號(hào)。第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

(3)若的極點(diǎn)位于s平面的虛軸(極點(diǎn)必以共軛形式出現(xiàn))上，如，則，沖激響應(yīng)的模式為等幅振蕩。(4)若的極點(diǎn)位于平面的右半平面，如則，沖激響應(yīng)的模式為增幅振蕩；若的極點(diǎn)位于平面的左半平面，如則，沖激響應(yīng)的模式為減幅振蕩。以上分析結(jié)果如圖4.12所示，這里都是單極點(diǎn)的情況。若具有重極點(diǎn)，則沖激響應(yīng)的模式中將含有因子。例如在原點(diǎn)有二重極點(diǎn)，則為斜坡信號(hào)；在虛軸上有兩重共軛極點(diǎn)，則為幅度線性增長(zhǎng)的…..振蕩。以上分析了的極點(diǎn)與沖激響應(yīng)模式的關(guān)系，點(diǎn)分布情況只影響沖激響應(yīng)的幅度和相位，而對(duì)沖激響應(yīng)模式?jīng)]有影響。第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

例如，零點(diǎn)，極點(diǎn)和，則；若極點(diǎn)保持不變，零點(diǎn)為，則沖激響應(yīng)的模式仍為減幅振蕩，只是幅度和相位發(fā)生了變化。第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

圖4.12的單極點(diǎn)分布與沖激響應(yīng)模式的關(guān)系圖4.11系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)圖4.6.3

系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)頻率響應(yīng)特性的關(guān)系所謂“頻響特性”是指系統(tǒng)正弦信號(hào)激勵(lì)下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨信號(hào)頻率的變化情況。這包括幅度隨頻率的響應(yīng)以及相位隨頻率的響應(yīng)兩個(gè)方面。在電路分析課程中已經(jīng)熟悉了正弦穩(wěn)態(tài)分析，在那里，采用向量分析法?，F(xiàn)在從系統(tǒng)函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)考察系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，并借助零、極點(diǎn)分布圖來(lái)研究響應(yīng)特性。設(shè)系統(tǒng)函數(shù)以表示，正弦激勵(lì)源的函數(shù)式寫作

………(4-61)其變換式為

…….(4-62)于是，系統(tǒng)響應(yīng)的變換式可寫作

(4-63)第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

式中，，，…，是的極點(diǎn)，，，…，為部分分式分解各項(xiàng)的系數(shù)，而：這里引用了符號(hào)：第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

至此可求得

(4-64)式(4-63)前兩項(xiàng)的拉普拉斯反變換為

(4-65)系統(tǒng)的全響應(yīng)是

(4-66)第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，其的極點(diǎn)，，…，的實(shí)部小于零，式(4-65)中各指數(shù)項(xiàng)均為衰減指數(shù)函數(shù)，當(dāng)，它們都趨于零，所以穩(wěn)態(tài)響應(yīng)就是式中的第一項(xiàng)

(4-67)可見，在頻率的正弦激勵(lì)信號(hào)作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)仍為同頻率的正弦信號(hào)，但幅度乘以系數(shù)，相位移動(dòng)，和由系統(tǒng)函數(shù)在處的取值所決定

(4-68)當(dāng)正弦激勵(lì)信號(hào)的頻率改變時(shí)，將變量代入中，即可得到頻率響應(yīng)特性

(4-69)第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

式中，是幅頻特性，是相頻特性。根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)在平面的零、極點(diǎn)分布可以繪制頻響特性曲線，包括幅頻特性曲線和相頻特性曲線。下面簡(jiǎn)要介紹由矢量法繪制的系統(tǒng)頻響特性曲線。假定，系統(tǒng)函數(shù)的表示式為

…...(4-70)取，即在平面中沿虛軸移動(dòng)，得到

……(4-71)第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)

可以看出，頻率特性取決于零、極點(diǎn)的分布，即取決于、的位置，而式(4-71)中的是系數(shù)，對(duì)于頻率特性的研究無(wú)關(guān)緊要。分母中任一因子相當(dāng)于由極點(diǎn)引向虛軸上某點(diǎn)的一個(gè)矢量；