高等數(shù)學(xué)中多元函數(shù)極值問(wèn)題：課件講解

高等數(shù)學(xué)中多元函數(shù)極值問(wèn)題本課件旨在全面講解高等數(shù)學(xué)中多元函數(shù)極值問(wèn)題的相關(guān)知識(shí)，通過(guò)系統(tǒng)地回顧預(yù)備知識(shí)、深入理解核心概念、掌握求解方法，并結(jié)合具體例題和實(shí)際應(yīng)用，幫助學(xué)生全面掌握多元函數(shù)極值問(wèn)題的求解思路與技巧。希望通過(guò)本課件的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠熟練運(yùn)用偏導(dǎo)數(shù)、Hesse矩陣、拉格朗日乘數(shù)法等工具，解決無(wú)條件極值和條件極值問(wèn)題，并在實(shí)際問(wèn)題中靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)。課程概述：多元函數(shù)極值的重要性理論意義多元函數(shù)極值是多元函數(shù)微分學(xué)的重要組成部分，是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具。它不僅是進(jìn)一步學(xué)習(xí)多元函數(shù)微積分的基礎(chǔ)，也是理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)分析的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。應(yīng)用價(jià)值多元函數(shù)極值在實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，例如在經(jīng)濟(jì)學(xué)中用于成本最小化和利潤(rùn)最大化問(wèn)題，在物理學(xué)中用于能量最小化問(wèn)題，在工程學(xué)中用于優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題等。掌握多元函數(shù)極值的求解方法，可以為解決實(shí)際問(wèn)題提供重要的數(shù)學(xué)工具。學(xué)習(xí)目標(biāo)通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)能夠掌握多元函數(shù)極值的定義、存在的必要條件和充分條件，熟練運(yùn)用偏導(dǎo)數(shù)、Hesse矩陣和拉格朗日乘數(shù)法求解多元函數(shù)的極值問(wèn)題，并能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識(shí)應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題。預(yù)備知識(shí)回顧：一元函數(shù)極值1極值的定義設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于x?的點(diǎn)x，都有f(x)<f(x?)（或f(x)>f(x?)），則稱(chēng)f(x?)為函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值（或極小值）。2極值存在的必要條件若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?處可導(dǎo)，且f(x?)為極值，則f'(x?)=0。滿(mǎn)足該條件的點(diǎn)x?稱(chēng)為駐點(diǎn)。3極值存在的充分條件設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?處二階可導(dǎo)，且f'(x?)=0。若f''(x?)<0，則f(x?)為極大值；若f''(x?)>0，則f(x?)為極小值；若f''(x?)=0，則無(wú)法確定。一元函數(shù)極值的判定方法求導(dǎo)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)。求駐點(diǎn)令f'(x)=0，解方程求出所有駐點(diǎn)。判定對(duì)于每個(gè)駐點(diǎn)x?，求f''(x?)。若f''(x?)<0，則f(x?)為極大值；若f''(x?)>0，則f(x?)為極小值；若f''(x?)=0，則需要進(jìn)一步判斷。列表分析若f''(x?)=0，則列表分析f'(x)在x?左右的符號(hào)，若左正右負(fù)，則f(x?)為極大值；若左負(fù)右正，則f(x?)為極小值；若符號(hào)不變，則不是極值點(diǎn)。偏導(dǎo)數(shù)的概念定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x?,y?)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y?時(shí)，z=f(x,y?)是關(guān)于x的一元函數(shù)。若該一元函數(shù)在x=x?處可導(dǎo)，則稱(chēng)該導(dǎo)數(shù)為函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x?,y?)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，記為?f/?x|(x?,y?)或f?(x?,y?)。類(lèi)似地，可以定義f(x,y)在點(diǎn)(x?,y?)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，記為?f/?y|(x?,y?)或f?(x?,y?)。計(jì)算方法求?f/?x時(shí)，將y視為常數(shù)，對(duì)x求導(dǎo)；求?f/?y時(shí)，將x視為常數(shù)，對(duì)y求導(dǎo)。例如，對(duì)于函數(shù)f(x,y)=x2+xy+y2，則?f/?x=2x+y，?f/?y=x+2y。偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)?f/?x|(x?,y?)表示固定y=y?時(shí)，函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x?,y?)處沿x軸正方向的變化率，也就是曲線(xiàn)z=f(x,y?)在點(diǎn)(x?,y?)處的切線(xiàn)斜率。對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)?f/?y|(x?,y?)表示固定x=x?時(shí)，函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x?,y?)處沿y軸正方向的變化率，也就是曲線(xiàn)z=f(x?,y)在點(diǎn)(x?,y?)處的切線(xiàn)斜率。多元函數(shù)的連續(xù)性定義設(shè)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x?,y?)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ，使得當(dāng)點(diǎn)(x,y)滿(mǎn)足√((x-x?)2+(y-y?)2)<δ時(shí)，都有|f(x,y)-f(x?,y?)|<ε，則稱(chēng)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x?,y?)處連續(xù)。理解多元函數(shù)的連續(xù)性意味著當(dāng)點(diǎn)(x,y)無(wú)限接近點(diǎn)(x?,y?)時(shí)，函數(shù)值f(x,y)也無(wú)限接近函數(shù)值f(x?,y?)。注意多元函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，并不能保證在該點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù)；反之，多元函數(shù)在某點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù)，也不能保證在該點(diǎn)連續(xù)。多元函數(shù)可微是連續(xù)的充分條件。多元函數(shù)的微分可微的定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x?,y?)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若函數(shù)增量Δz可以表示為Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A和B不依賴(lài)于Δx和Δy，ρ=√((Δx)2+(Δy)2)，則稱(chēng)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x?,y?)處可微。全微分若函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x?,y?)處可微，則稱(chēng)AΔx+BΔy為函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x?,y?)處的全微分，記為dz=AΔx+BΔy。全微分的定義數(shù)學(xué)表達(dá)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x?,y?)處可微，則其全微分dz可以表示為：dz=?f/?x|(x?,y?)dx+?f/?y|(x?,y?)dy，其中dx=Δx，dy=Δy。理解全微分是函數(shù)增量Δz的線(xiàn)性主要部分，它近似地表示了當(dāng)x和y分別改變微小量dx和dy時(shí)，函數(shù)z的改變量。聯(lián)系函數(shù)可微是函數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)的充分條件，也是函數(shù)連續(xù)的充分條件。如果函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x?,y?)處可微，那么它在該點(diǎn)一定存在偏導(dǎo)數(shù)且連續(xù)。全微分的幾何解釋切平面對(duì)于函數(shù)z=f(x,y)，其全微分dz可以看作是函數(shù)圖像在點(diǎn)(x?,y?,f(x?,y?))處的切平面的增量。這個(gè)切平面是函數(shù)圖像在點(diǎn)(x?,y?)處最好的線(xiàn)性逼近。線(xiàn)性近似當(dāng)Δx和Δy很小時(shí)，函數(shù)增量Δz可以近似地用全微分dz來(lái)表示，即Δz≈dz。這種近似在實(shí)際計(jì)算中非常有用，可以簡(jiǎn)化復(fù)雜函數(shù)的計(jì)算。梯度向量的概念定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x?,y?)處具有一階偏導(dǎo)數(shù)，則向量(?f/?x|(x?,y?),?f/?y|(x?,y?))稱(chēng)為函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x?,y?)處的梯度向量，記為gradf(x?,y?)或?f(x?,y?)。推廣對(duì)于三元函數(shù)u=f(x,y,z)，其梯度向量為(?f/?x,?f/?y,?f/?z)，記為gradf(x,y,z)或?f(x,y,z)。梯度向量可以推廣到任意多元函數(shù)。梯度向量與方向?qū)?shù)的關(guān)系方向?qū)?shù)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x?,y?)處沿單位向量e=(cosα,sinα)的方向?qū)?shù)為?f/?l=?f/?x|(x?,y?)cosα+?f/?y|(x?,y?)sinα。關(guān)系方向?qū)?shù)可以表示為梯度向量與單位向量的點(diǎn)積，即?f/?l=gradf(x?,y?)·e。梯度向量指向函數(shù)增長(zhǎng)最快的方向，方向?qū)?shù)在該方向上取得最大值，最大值為梯度向量的模。理解梯度向量是函數(shù)在某點(diǎn)處變化率最大的方向，沿著梯度向量的方向，函數(shù)值增長(zhǎng)最快；沿著與梯度向量相反的方向，函數(shù)值減少最快。多元函數(shù)的極值定義定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x?,y?)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于(x?,y?)的點(diǎn)(x,y)，都有f(x,y)<f(x?,y?)（或f(x,y)>f(x?,y?)），則稱(chēng)f(x?,y?)為函數(shù)f(x,y)的一個(gè)極大值（或極小值）。理解多元函數(shù)的極值是指函數(shù)在某一點(diǎn)附近的值大于（或小于）該點(diǎn)的值，這個(gè)點(diǎn)就是極值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的值就是極值。極值是局部性質(zhì)，不是整體性質(zhì)。區(qū)別多元函數(shù)的極值與最值是不同的概念。極值是局部概念，而最值是整體概念。函數(shù)在某區(qū)域內(nèi)的最大值和最小值稱(chēng)為最值。極值點(diǎn)不一定是最值點(diǎn)，最值點(diǎn)也不一定是極值點(diǎn)。局部最大值與局部最小值1局部最大值如果對(duì)于點(diǎn)(x?,y?)的某個(gè)鄰域內(nèi)所有點(diǎn)(x,y)，都有f(x,y)≤f(x?,y?)，則稱(chēng)f(x?,y?)為函數(shù)f(x,y)的局部最大值，點(diǎn)(x?,y?)為局部最大值點(diǎn)。2局部最小值如果對(duì)于點(diǎn)(x?,y?)的某個(gè)鄰域內(nèi)所有點(diǎn)(x,y)，都有f(x,y)≥f(x?,y?)，則稱(chēng)f(x?,y?)為函數(shù)f(x,y)的局部最小值，點(diǎn)(x?,y?)為局部最小值點(diǎn)。多元函數(shù)極值存在的必要條件費(fèi)馬定理如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x?,y?)處取得極值，且在該點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在，則?f/?x|(x?,y?)=0，?f/?y|(x?,y?)=0。梯度為零上述必要條件也可以表示為gradf(x?,y?)=(0,0)，即梯度向量為零向量。駐點(diǎn)滿(mǎn)足上述必要條件的點(diǎn)(x?,y?)稱(chēng)為函數(shù)f(x,y)的駐點(diǎn)。駐點(diǎn)是函數(shù)可能取得極值的點(diǎn)，但不是一定取得極值的點(diǎn)。費(fèi)馬定理在多元函數(shù)中的應(yīng)用定理內(nèi)容費(fèi)馬定理是多元函數(shù)極值存在的必要條件，它指出如果多元函數(shù)在某點(diǎn)取得極值，且在該點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在，那么該點(diǎn)的所有偏導(dǎo)數(shù)都必須為零。應(yīng)用方法利用費(fèi)馬定理，我們可以找到多元函數(shù)所有可能的極值點(diǎn)，即駐點(diǎn)。通過(guò)求解偏導(dǎo)數(shù)方程組，可以得到所有駐點(diǎn)的坐標(biāo)。但是，駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，需要進(jìn)一步判斷。駐點(diǎn)的概念定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)有定義，且?f/?x和?f/?y都存在。如果點(diǎn)(x?,y?)∈D，且滿(mǎn)足?f/?x|(x?,y?)=0，?f/?y|(x?,y?)=0，則稱(chēng)點(diǎn)(x?,y?)為函數(shù)f(x,y)的駐點(diǎn)。理解駐點(diǎn)是函數(shù)圖像上切平面水平的點(diǎn)，即切平面與xy平面平行。駐點(diǎn)可能是極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)或鞍點(diǎn)。駐點(diǎn)的求解方法求偏導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)?f/?x和?f/?y。列方程組令?f/?x=0和?f/?y=0，得到方程組。解方程組解方程組，求出所有滿(mǎn)足方程組的(x,y)的值，這些值就是函數(shù)的駐點(diǎn)。多元函數(shù)極值存在的充分條件1二階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x?,y?)處具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且(x?,y?)是f(x,y)的駐點(diǎn)，即?f/?x|(x?,y?)=0，?f/?y|(x?,y?)=0。2Hesse矩陣記A=?2f/?x2|(x?,y?)，B=?2f/?x?y|(x?,y?)，C=?2f/?y2|(x?,y?)。計(jì)算判別式Δ=AC-B2。3判定若Δ>0且A>0，則f(x?,y?)為極小值；若Δ>0且A<0，則f(x?,y?)為極大值；若Δ<0，則f(x?,y?)不是極值（鞍點(diǎn)）；若Δ=0，則無(wú)法確定，需要進(jìn)一步判斷。二階偏導(dǎo)數(shù)的概念定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x?,y?)的某個(gè)鄰域內(nèi)具有一階偏導(dǎo)數(shù)，如果?f/?x和?f/?y作為x和y的函數(shù)，在點(diǎn)(x?,y?)處仍然可導(dǎo)，則稱(chēng)它們的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x?,y?)處的二階偏導(dǎo)數(shù)。表示方法二階偏導(dǎo)數(shù)有四個(gè)：?2f/?x2，?2f/?y2，?2f/?x?y，?2f/?y?x。其中?2f/?x?y表示先對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)，再對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)；?2f/?y?x表示先對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)，再對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)。當(dāng)二階混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)時(shí)，?2f/?x?y=?2f/?y?x。Hesse矩陣的定義定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x?,y?)處具有二階偏導(dǎo)數(shù)，則Hesse矩陣定義為：H=[[?2f/?x2?2f/?x?y],[?2f/?y?x?2f/?y2]]，其中所有偏導(dǎo)數(shù)都在點(diǎn)(x?,y?)處取值。理解Hesse矩陣是由函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)組成的矩陣，它可以用來(lái)判斷多元函數(shù)在駐點(diǎn)處是否取得極值，以及是極大值還是極小值。Hesse矩陣的性質(zhì)對(duì)稱(chēng)性如果函數(shù)f(x,y)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則Hesse矩陣是對(duì)稱(chēng)矩陣，即?2f/?x?y=?2f/?y?x。正定性如果Hesse矩陣是正定矩陣，則函數(shù)在該點(diǎn)取得局部最小值。正定矩陣的特征值都大于零。負(fù)定性如果Hesse矩陣是負(fù)定矩陣，則函數(shù)在該點(diǎn)取得局部最大值。負(fù)定矩陣的特征值都小于零。不定性如果Hesse矩陣是不定矩陣，則函數(shù)在該點(diǎn)不是極值點(diǎn)（鞍點(diǎn)）。不定矩陣既有正的特征值，也有負(fù)的特征值。正定、負(fù)定、不定的Hesse矩陣1正定矩陣Hesse矩陣的所有特征值都大于零，或者所有順序主子式都大于零。2負(fù)定矩陣Hesse矩陣的所有特征值都小于零，或者奇數(shù)階順序主子式小于零，偶數(shù)階順序主子式大于零。3不定矩陣Hesse矩陣既有正的特征值，也有負(fù)的特征值，或者存在順序主子式小于零，也存在順序主子式大于零。利用Hesse矩陣判定極值求駐點(diǎn)首先，求出函數(shù)f(x,y)的所有駐點(diǎn)，即滿(mǎn)足?f/?x=0和?f/?y=0的點(diǎn)。求Hesse矩陣計(jì)算函數(shù)f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)，并構(gòu)造Hesse矩陣。判定對(duì)于每個(gè)駐點(diǎn)，計(jì)算Hesse矩陣在該點(diǎn)的值，并判斷Hesse矩陣的正定性。如果Hesse矩陣是正定的，則該點(diǎn)為極小值點(diǎn)；如果Hesse矩陣是負(fù)定的，則該點(diǎn)為極大值點(diǎn)；如果Hesse矩陣是不定的，則該點(diǎn)不是極值點(diǎn)（鞍點(diǎn)）。二元函數(shù)極值的判定步驟求偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算函數(shù)f(x,y)的一階偏導(dǎo)數(shù)?f/?x和?f/?y。求駐點(diǎn)解方程組?f/?x=0和?f/?y=0，求出所有駐點(diǎn)。求二階偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算函數(shù)f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)?2f/?x2，?2f/?y2和?2f/?x?y。計(jì)算判別式對(duì)于每個(gè)駐點(diǎn)(x?,y?)，計(jì)算判別式Δ=(?2f/?x2)(?2f/?y2)-(?2f/?x?y)2。判定若Δ>0且?2f/?x2>0，則(x?,y?)為極小值點(diǎn)；若Δ>0且?2f/?x2<0，則(x?,y?)為極大值點(diǎn)；若Δ<0，則(x?,y?)不是極值點(diǎn)（鞍點(diǎn)）；若Δ=0，則無(wú)法確定，需要進(jìn)一步判斷。無(wú)條件極值問(wèn)題的求解示例求偏導(dǎo)計(jì)算一階偏導(dǎo)數(shù)。1找駐點(diǎn)解方程組，求出駐點(diǎn)。2二階偏導(dǎo)計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造Hesse矩陣。3Hesse矩陣計(jì)算判別式，判定極值點(diǎn)。4例題1：求解z=x^2+y^2的極值解題步驟首先，計(jì)算函數(shù)z=x2+y2的偏導(dǎo)數(shù)：?z/?x=2x，?z/?y=2y。然后，令?z/?x=0和?z/?y=0，解得x=0，y=0。因此，(0,0)是函數(shù)的駐點(diǎn)。接著，計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù)：?2z/?x2=2，?2z/?y2=2，?2z/?x?y=0。構(gòu)造Hesse矩陣：H=[[20],[02]]。計(jì)算判別式：Δ=(2)(2)-(0)2=4>0，且?2z/?x2=2>0，因此，(0,0)是極小值點(diǎn)，極小值為z=0。結(jié)論函數(shù)z=x2+y2在點(diǎn)(0,0)處取得極小值，極小值為0。該函數(shù)沒(méi)有極大值。例題2：求解z=x^3+y^3-3xy的極值解題步驟首先，計(jì)算函數(shù)z=x3+y3-3xy的偏導(dǎo)數(shù)：?z/?x=3x2-3y，?z/?y=3y2-3x。然后，令?z/?x=0和?z/?y=0，解得x2=y，y2=x。解方程組得到兩個(gè)駐點(diǎn)：(0,0)和(1,1)。接著，計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù)：?2z/?x2=6x，?2z/?y2=6y，?2z/?x?y=-3。構(gòu)造Hesse矩陣：H=[[6x-3],[-36y]]。對(duì)于駐點(diǎn)(0,0)，H=[[0-3],[-30]]，Δ=(0)(0)-(-3)2=-9<0，因此，(0,0)是鞍點(diǎn)。對(duì)于駐點(diǎn)(1,1)，H=[[6-3],[-36]]，Δ=(6)(6)-(-3)2=27>0，且?2z/?x2=6>0，因此，(1,1)是極小值點(diǎn)，極小值為z=1+1-3=-1。結(jié)論函數(shù)z=x3+y3-3xy在點(diǎn)(0,0)處是鞍點(diǎn)，在點(diǎn)(1,1)處取得極小值，極小值為-1。該函數(shù)沒(méi)有極大值。條件極值問(wèn)題的概念定義條件極值問(wèn)題是指在一定約束條件下，求函數(shù)的極值。例如，求函數(shù)z=f(x,y)在滿(mǎn)足條件φ(x,y)=0下的極值。區(qū)別條件極值問(wèn)題與無(wú)條件極值問(wèn)題的區(qū)別在于，條件極值問(wèn)題需要在滿(mǎn)足約束條件的情況下求極值，而無(wú)條件極值問(wèn)題沒(méi)有約束條件。求解方法求解條件極值問(wèn)題常用的方法是拉格朗日乘數(shù)法。拉格朗日乘數(shù)法通過(guò)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，將條件極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值問(wèn)題。拉格朗日乘數(shù)法的基本思想構(gòu)造拉格朗日函數(shù)將條件極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值問(wèn)題，通過(guò)引入拉格朗日乘子，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)。求解方程組通過(guò)求解拉格朗日函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)方程組，找到可能的極值點(diǎn)。判定極值通過(guò)比較函數(shù)在各個(gè)可能的極值點(diǎn)的值，確定函數(shù)的極大值和極小值。拉格朗日函數(shù)的定義一般形式設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在約束條件φ(x,y)=0下求極值，則拉格朗日函數(shù)定義為L(zhǎng)(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)，其中λ為拉格朗日乘子。多元函數(shù)對(duì)于多元函數(shù)u=f(x,y,z)在約束條件φ(x,y,z)=0和ψ(x,y,z)=0下求極值，拉格朗日函數(shù)定義為L(zhǎng)(x,y,z,λ,μ)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)+μψ(x,y,z)，其中λ和μ為拉格朗日乘子。目的拉格朗日函數(shù)的目的是將條件極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值問(wèn)題，從而可以使用無(wú)條件極值問(wèn)題的求解方法來(lái)求解條件極值問(wèn)題。拉格朗日函數(shù)的構(gòu)造方法確定目標(biāo)函數(shù)明確需要求極值的函數(shù)，即目標(biāo)函數(shù)f(x,y)。確定約束條件明確約束條件φ(x,y)=0。構(gòu)造拉格朗日函數(shù)根據(jù)拉格朗日函數(shù)的定義，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)。拉格朗日方程組的建立偏導(dǎo)數(shù)方程對(duì)于拉格朗日函數(shù)L(x,y,λ)，分別對(duì)x，y和λ求偏導(dǎo)數(shù)，得到三個(gè)方程：?L/?x=0，?L/?y=0，?L/?λ=0。方程組將上述三個(gè)方程聯(lián)立成方程組，得到拉格朗日方程組。求解該方程組可以得到可能的極值點(diǎn)。意義拉格朗日方程組是求解條件極值問(wèn)題的關(guān)鍵，通過(guò)求解該方程組可以找到滿(mǎn)足約束條件且可能取得極值的點(diǎn)。拉格朗日方程組的求解求解方程組使用代數(shù)方法或數(shù)值方法求解拉格朗日方程組，得到所有可能的(x,y,λ)的值。確定極值點(diǎn)對(duì)于每個(gè)解(x?,y?,λ?)，將(x?,y?)代入目標(biāo)函數(shù)f(x,y)，計(jì)算函數(shù)值f(x?,y?)。比較比較所有可能的極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，確定函數(shù)的極大值和極小值。條件極值問(wèn)題的求解步驟構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)。列方程組建立拉格朗日方程組：?L/?x=0，?L/?y=0，?L/?λ=0。解方程組求解拉格朗日方程組，得到所有可能的極值點(diǎn)(x?,y?)。判定將所有可能的極值點(diǎn)代入目標(biāo)函數(shù)f(x,y)，比較函數(shù)值，確定極大值和極小值。例題3：求解x^2+y^2=1條件下z=x+y的極值解題步驟首先，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(x,y,λ)=x+y+λ(x2+y2-1)。然后，建立拉格朗日方程組：?L/?x=1+2λx=0，?L/?y=1+2λy=0，?L/?λ=x2+y2-1=0。解方程組得到兩個(gè)可能的極值點(diǎn)：(√2/2,√2/2)和(-√2/2,-√2/2)。將這兩個(gè)點(diǎn)代入目標(biāo)函數(shù)z=x+y，得到z(√2/2,√2/2)=√2，z(-√2/2,-√2/2)=-√2。因此，(√2/2,√2/2)是極大值點(diǎn)，極大值為√2；(-√2/2,-√2/2)是極小值點(diǎn)，極小值為-√2。結(jié)論在約束條件x2+y2=1下，函數(shù)z=x+y的極大值為√2，極小值為-√2。例題4：求解x+y+z=1條件下xyz的極值解題步驟首先，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(x,y,z,λ)=xyz+λ(x+y+z-1)。然后，建立拉格朗日方程組：?L/?x=yz+λ=0，?L/?y=xz+λ=0，?L/?z=xy+λ=0，?L/?λ=x+y+z-1=0。解方程組得到一個(gè)可能的極值點(diǎn)：(1/3,1/3,1/3)。將這個(gè)點(diǎn)代入目標(biāo)函數(shù)f(x,y,z)=xyz，得到f(1/3,1/3,1/3)=1/27。由于x,y,z>0，所以該點(diǎn)為極大值。結(jié)論在約束條件x+y+z=1下，函數(shù)f(x,y,z)=xyz的極大值為1/27。實(shí)際問(wèn)題中的極值應(yīng)用成本最小化在一定產(chǎn)量下，如何分配生產(chǎn)要素，使得生產(chǎn)成本最小。利潤(rùn)最大化在一定約束條件下，如何確定產(chǎn)量和價(jià)格，使得利潤(rùn)最大。距離最小化如何找到一點(diǎn)，使得該點(diǎn)到多個(gè)點(diǎn)的距離之和最小。成本最小化問(wèn)題問(wèn)題描述設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為Q=f(K,L)，其中Q為產(chǎn)量，K為資本投入，L為勞動(dòng)投入，資本的價(jià)格為r，勞動(dòng)的價(jià)格為w，總成本為C=rK+wL。在產(chǎn)量Q固定的情況下，如何選擇K和L，使得總成本C最??？求解方法使用拉格朗日乘數(shù)法。構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(K,L,λ)=rK+wL+λ(Q-f(K,L))。然后，建立拉格朗日方程組：?L/?K=r-λ?f/?K=0，?L/?L=w-λ?f/?L=0，?L/?λ=Q-f(K,L)=0。解方程組得到K和L的值，這些值就是使得總成本最小的資本和勞動(dòng)投入。利潤(rùn)最大化問(wèn)題問(wèn)題描述設(shè)需求函數(shù)為P=f(Q)，其中P為價(jià)格，Q為產(chǎn)量，成本函數(shù)為C(Q)。利潤(rùn)函數(shù)為π=PQ-C(Q)=f(Q)Q-C(Q)。如何選擇產(chǎn)量Q，使得利潤(rùn)π最大？求解方法求利潤(rùn)函數(shù)π對(duì)Q的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為零，解方程得到Q的值。然后，求二階導(dǎo)數(shù)，判斷二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)。如果二階導(dǎo)數(shù)小于零，則該Q值為利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量。距離最小化問(wèn)題問(wèn)題描述給定n個(gè)點(diǎn)(x?,y?),(x?,y?),...,(x?,y?)，如何找到一點(diǎn)(x,y)，使得該點(diǎn)到這n個(gè)點(diǎn)的距離之和最??？求解方法設(shè)距離之和為D=∑?√((x-x?)2+(y-y?)2)。求D對(duì)x和y的偏導(dǎo)數(shù)，令偏導(dǎo)數(shù)為零，解方程組得到x和y的值。這些值就是使得距離之和最小的點(diǎn)。例題5：最小化材料使用量問(wèn)題問(wèn)題描述要制作一個(gè)容積為V的圓柱形容器，如何設(shè)計(jì)容器的尺寸（半徑r和高度h），使得所用的材料最少？求解方法圓柱形容器的表面積為S=2πr2+2πrh，容積為V=πr2h。根據(jù)容積V固定，可以得到h=V/(πr2)。將h代入表面積公式，得到S=2πr2+2V/r。求S對(duì)r的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為零，解方程得到r=√(V/(π√2))。然后，計(jì)算h=V/(πr2)。這些r和h的值就是使得材料使用量最少的尺寸。多元函數(shù)極值問(wèn)題的幾何解釋曲面多元函數(shù)z=f(x,y)的圖像是一個(gè)曲面。極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)于曲面上的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)。切平面在極值點(diǎn)處，曲面的切平面是水平的，即與xy平面平行。這意味著在極值點(diǎn)處，函數(shù)的梯度向量為零向量。等高線(xiàn)與極值點(diǎn)等高線(xiàn)等高線(xiàn)是函數(shù)z=f(x,y)在xy平面上的投影，表示函數(shù)值相等的點(diǎn)的集合。在等高線(xiàn)圖中，極值點(diǎn)通常位于等高線(xiàn)的中心，即等高線(xiàn)圍繞極值點(diǎn)形成一個(gè)閉合曲線(xiàn)。梯度方向梯度向量的方向垂直于等高線(xiàn)，指向函數(shù)值增長(zhǎng)最快的方向。在極值點(diǎn)附近，梯度向量的方向指向或背離極值點(diǎn)。三維空間中的極值點(diǎn)局部最高點(diǎn)極大值點(diǎn)對(duì)應(yīng)于三維空間中的局部最高點(diǎn)，即在這一點(diǎn)附近，函數(shù)值都小于該點(diǎn)的值。局部最低點(diǎn)極小值點(diǎn)對(duì)應(yīng)于三維空間中的局部最低點(diǎn)，即在這一點(diǎn)附近，函數(shù)值都大于該點(diǎn)的值。鞍點(diǎn)鞍點(diǎn)對(duì)應(yīng)于三維空間中的一個(gè)既不是最高點(diǎn)也不是最低點(diǎn)的點(diǎn)。在鞍點(diǎn)處，函數(shù)值在一個(gè)方向上是極大值，而在另一個(gè)方向上是極小值，類(lèi)似于馬鞍的形狀。鞍點(diǎn)的概念定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x?,y?)處的一階偏導(dǎo)數(shù)為零，且Hesse矩陣在該點(diǎn)處不定，則稱(chēng)(x?,y?)為函數(shù)f(x,y)的鞍點(diǎn)。特征在鞍點(diǎn)處，函數(shù)值在一個(gè)方向上是極大值，而在另一個(gè)方向上是極小值。鞍點(diǎn)既不是極大值點(diǎn)，也不是極小值點(diǎn)。鞍點(diǎn)的幾何特征馬鞍形狀鞍點(diǎn)附近的函數(shù)圖像類(lèi)似于馬鞍的形狀，因此得名。在馬鞍的兩個(gè)方向上，函數(shù)值的變化趨勢(shì)相反。切平面水平在鞍點(diǎn)處，曲面的切平面是水平的，即與xy平面平行。這意味著在鞍點(diǎn)處，函數(shù)的梯度向量為零向量。多元函數(shù)極值問(wèn)題的注意事項(xiàng)1駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)駐點(diǎn)是函數(shù)可能取得極值的點(diǎn)，但不是一定取得極值的點(diǎn)。需要通過(guò)二階偏導(dǎo)數(shù)或Hesse矩陣來(lái)判斷駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)。2邊界點(diǎn)如果極值點(diǎn)位于區(qū)域的邊界上，則不能直接使用偏導(dǎo)數(shù)等于零的條件來(lái)求解。需要單獨(dú)考慮邊界點(diǎn)的情況。3判別式等于零如果Hesse矩陣的判別式等于零，則無(wú)法確定該點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，需要進(jìn)一步判斷。駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)鞍點(diǎn)鞍點(diǎn)是函數(shù)的駐點(diǎn)，但不是極值點(diǎn)。在鞍點(diǎn)處，函數(shù)值在一個(gè)方向上是極大值，而在另一個(gè)方向上是極小值。其他情況除了鞍點(diǎn)之外，還存在其他類(lèi)型的駐點(diǎn)不是極值點(diǎn)。例如，函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零，但該點(diǎn)不是極值點(diǎn)。邊界點(diǎn)的處理方法單獨(dú)考慮如果極值點(diǎn)位于區(qū)域的邊界上，則不能直接使用偏導(dǎo)數(shù)等于零的條件來(lái)求解。需要單獨(dú)考慮邊界點(diǎn)的情況?？梢詫⑦吔绶匠檀肽繕?biāo)函數(shù)，將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，然后求解一元函數(shù)的極值。拉格朗日乘數(shù)法可以使用拉格朗日乘數(shù)法來(lái)求解邊界上的極值。將邊界方程作為約束條件，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，然后求解拉格朗日方程組。多元函數(shù)極值問(wèn)題的推廣1多元函數(shù)的最值問(wèn)題求函數(shù)在有界閉區(qū)域上的最大值和最小值。需要考慮區(qū)域內(nèi)部的極值點(diǎn)和邊界上的極值點(diǎn)。2多元函數(shù)的條件最值問(wèn)題求函數(shù)在滿(mǎn)足一定約束條件下的最大值和最小值?？梢允褂美窭嗜粘藬?shù)法來(lái)求解。多元函