2024-2025學(xué)年陜西省西安市碑林區(qū)高二上冊第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年陜西省西安市碑林區(qū)高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題一、單選題：共8小題，每小題5分，共計(jì)40分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1已知，則（）A. B. C. D.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.3.某次投籃比賽中，甲、乙兩校都派出了10名運(yùn)動員參加比賽，甲校運(yùn)動員的得分分別為8，6，7，7，8，10，9，8，7，8，這些成績可用下圖中的（1）所示，乙校運(yùn)動員的得分可用下圖中的（2）所示.則以下結(jié)論中，正確的是（）A.甲校運(yùn)動員得分的中位數(shù)為7.5B.乙校運(yùn)動員得分的75%分位數(shù)為10C.甲校運(yùn)動員得分的平均數(shù)大于8D.甲校運(yùn)動員得分的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙校運(yùn)動員得分的標(biāo)準(zhǔn)差4.已知，若不能構(gòu)成空間一個(gè)基底，則（）A.3 B.1 C.5 D.75.已知直線：，：，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.設(shè)直線的方程為，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.7.方程表示的曲線是（）A.兩個(gè)圓 B.一個(gè)圓和一條直線C.一個(gè)半圓 D.兩個(gè)半圓8.如果直線和函數(shù)圖象恒過同一個(gè)定點(diǎn)，且該定點(diǎn)始終落在圓的內(nèi)部或圓上，那么的取值范圍是（）A. B.C D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法中，正確的有（）A.直線在y軸上的截距是1B.當(dāng)m變化時(shí)，圓恒過定點(diǎn)有且只有一個(gè)C.過，兩點(diǎn)的所有直線的方程為D.直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程是10.如圖，在三棱柱中，底面為等邊三角形，為的重心，，若，則（）A. B.C. D.11.已知圓M：，P為直線上一動點(diǎn)，過P作圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，則下列說法中正確的是（）A.的最小值為 B.直線AB恒過定點(diǎn)C.的最小值為 D.的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.經(jīng)過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為___________.13.已知點(diǎn)在圓：和圓：的公共弦上，則的最小值為_________.14.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)A，B距離之比為常數(shù)λ（λ＞0且λ≠1）的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線AB上的圓，該圓簡稱為阿氏圓．根據(jù)以上信息，解決下面的問題：如圖，在長方體中，，點(diǎn)E在棱AB上，，動點(diǎn)滿足．若點(diǎn)在平面ABCD內(nèi)運(yùn)動，則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為________；若點(diǎn)在長方體內(nèi)部運(yùn)動，F(xiàn)為棱的中點(diǎn)，M為CP的中點(diǎn)，則三棱錐的體積的最小值為________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)，（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，，，求的面積.16.已知圓，兩點(diǎn)、（1）若，直線過點(diǎn)且被圓所截的弦長為6，求直線的方程；（2）動點(diǎn)滿足，若的軌跡與圓有公共點(diǎn)，求半徑的取值范圍.17.甲、乙、丙三人結(jié)伴去游樂園玩射擊游戲，其中甲射擊一次擊中目標(biāo)的概率為，甲、乙兩人各射擊一次且都擊中目標(biāo)的概率為，乙、丙兩人各射擊一次且都擊中目標(biāo)的概率為，且任意兩次射擊互不影響．（1）分別計(jì)算乙，丙兩人各射擊一次擊中目標(biāo)的概率；（2）求甲、乙、丙各射擊一次恰有一人擊中目標(biāo)的概率；（3）若乙想擊中目標(biāo)的概率不低于，乙至少需要射擊多少次？（參考數(shù)據(jù)：，）18.如圖，已知四棱錐的底面ABCD是平行四邊形，側(cè)面PAB是等邊三角形，，，．（1）證明：平面平面PAB，并求PD與平面PAB所成角的大??；（2）設(shè)Q為側(cè)棱PD上一點(diǎn)，四邊形BEQF是過B，Q兩點(diǎn)的截面，且平面BEQF，是否存在點(diǎn)Q，使得平面BEQF與平面PAD夾角的余弦值為？若存在，求的值；若不存在，說明理由．19.蝴蝶定理因其美妙構(gòu)圖，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代數(shù)學(xué)名家蜂擁而證，正所謂花若芬芳蜂蝶自來．如圖，已知圓的方程為，直線與圓M交于，，直線與圓交于，．原點(diǎn)在圓內(nèi)．設(shè)交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．（1）當(dāng)，，，時(shí)，分別求線段和的長度；（2）①求證：．②猜想OP和OQ的大小關(guān)系，并證明．2024-2025學(xué)年陜西省西安市碑林區(qū)高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題一、單選題：共8小題，每小題5分，共計(jì)40分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】先求出集合，再根據(jù)集合間的運(yùn)算即可求出.【詳解】解：由知：，解得：，，由知：，，.故選：C.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，再代入模的公式，即可求解.【詳解】由題知，，所以.故選：D.3.某次投籃比賽中，甲、乙兩校都派出了10名運(yùn)動員參加比賽，甲校運(yùn)動員的得分分別為8，6，7，7，8，10，9，8，7，8，這些成績可用下圖中的（1）所示，乙校運(yùn)動員的得分可用下圖中的（2）所示.則以下結(jié)論中，正確的是（）A.甲校運(yùn)動員得分的中位數(shù)為7.5B.乙校運(yùn)動員得分的75%分位數(shù)為10C.甲校運(yùn)動員得分的平均數(shù)大于8D.甲校運(yùn)動員得分標(biāo)準(zhǔn)差大于乙校運(yùn)動員得分的標(biāo)準(zhǔn)差【正確答案】B【分析】先計(jì)算出甲校派出的10名運(yùn)動員參賽成績的中位數(shù)，平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差；再計(jì)算出乙校派出的10名運(yùn)動員參賽成績的75%分位數(shù)，平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差即可.【詳解】甲校派出的10名運(yùn)動員參賽成績從小到大為：6，7，7，7，8，8，8，8，9，10，其中位數(shù)為：，平均數(shù)為：，故選項(xiàng)A、C錯(cuò)誤；其標(biāo)準(zhǔn)差為：；乙校派出的10名運(yùn)動員參賽成績分別為：6，7，8，9，9，9，9，10，10，10，則其平均數(shù)為：，75%分位數(shù)為：，標(biāo)準(zhǔn)差為.所以甲校運(yùn)動員得分的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙校運(yùn)動員得分的標(biāo)準(zhǔn)差，故選項(xiàng)B正確，D錯(cuò)誤.故選：B4.已知，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則（）A.3 B.1 C.5 D.7【正確答案】B【分析】直接利用基底的定義和共面向量求出結(jié)果.【詳解】若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，共面，存在，使，即，解得，故選.5.已知直線：，：，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】C【分析】利用充要條件的定義判斷.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，直線：，：，則，當(dāng)時(shí)，，即，解得，故“”是“”的充要條件，故選：C6.設(shè)直線的方程為，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】求出直線的斜率的取值范圍，結(jié)合傾斜角的取值范圍可得結(jié)果.【詳解】直線的方程可化為，所以，，因?yàn)?，因此，直線的傾斜角的取值范圍是.故選：C.7.方程表示的曲線是（）A.兩個(gè)圓 B.一個(gè)圓和一條直線C.一個(gè)半圓 D.兩個(gè)半圓【正確答案】D【分析】方程可化為，去絕對值分，兩種情況解決即可.【詳解】方程可化為，因，所以或，若時(shí)，則方程為,是以為圓心，以1為半徑的左半圓；若時(shí)，則方程為，是以為圓心，以1為半徑的右半圓;總之，方程表示的曲線是以為圓心，以1為半徑的右半圓與以為圓心，以1為半徑的左半圓合起來的圖形.故選：D8.如果直線和函數(shù)的圖象恒過同一個(gè)定點(diǎn)，且該定點(diǎn)始終落在圓的內(nèi)部或圓上，那么的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)恒過定點(diǎn)，求得，又由始終落在所給圓的內(nèi)部或圓上，得，聯(lián)立方程組，得到點(diǎn)在以和為端點(diǎn)的線段上運(yùn)動，利用斜率公式，即可求解．【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)，恒過定點(diǎn).將點(diǎn)代入，可得.由于始終落在所給圓的內(nèi)部或圓上，所以.又由解得或，所以點(diǎn)在以和為端點(diǎn)的線段上運(yùn)動，當(dāng)取點(diǎn)時(shí)，，取點(diǎn)時(shí)，，所以的取值范圍是.本題主要考查了直線與圓的方程的應(yīng)用，以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和直線的斜率公式的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題意，得到點(diǎn)在以和為端點(diǎn)的線段上運(yùn)動是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法中，正確的有（）A.直線在y軸上的截距是1B.當(dāng)m變化時(shí)，圓恒過定點(diǎn)有且只有一個(gè)C.過，兩點(diǎn)的所有直線的方程為D.直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程是【正確答案】CD【分析】根據(jù)直線截距的概念判斷A的真假；求出圓經(jīng)過的頂點(diǎn)，判斷B的真假；根據(jù)直線兩點(diǎn)式方程的意義判斷C的真假；根據(jù)兩直線的位置關(guān)系判斷D的真假.【詳解】對A：直線中，令得，所以直線在軸上的截距為，故A錯(cuò)誤；對B：令得：或，所以當(dāng)變化時(shí)，圓恒過定點(diǎn)和，故B錯(cuò)誤；對C：根據(jù)直線兩點(diǎn)式方程的概念知，C正確；對D：設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，則，由點(diǎn)在直線上，得，故D正確.故選：CD10.如圖，在三棱柱中，底面為等邊三角形，為的重心，，若，則（）A. B.C. D.【正確答案】ABD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)重心性質(zhì)得到，求出；B選項(xiàng)，，利用向量數(shù)量積公式得到，得到垂直關(guān)系；C選項(xiàng)，，故兩者不平行；D選項(xiàng)，利用向量數(shù)量積公式得到，得到.【詳解】A選項(xiàng)，底面為等邊三角形，為的重心，故，又，故，A正確；B選項(xiàng)，，故，故，B正確；C選項(xiàng)，，又，設(shè)，即，無解，故與不平行，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，故，D正確.故選：ABD11.已知圓M：，P為直線上一動點(diǎn)，過P作圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，則下列說法中正確的是（）A.的最小值為 B.直線AB恒過定點(diǎn)C.的最小值為 D.的最小值為【正確答案】ABC【分析】對A，的最小值即到的距離；對B，設(shè)，進(jìn)而求得以為圓心，為半徑的圓方程，再與圓的方程相減可得方程，進(jìn)而可得定點(diǎn)；對C，設(shè)，，根據(jù)數(shù)量積公式與幾何性質(zhì)化簡可得，再根據(jù)；對D，根據(jù)幾何關(guān)系化簡可得，進(jìn)而可得最小值.【詳解】對A，圓M：，故，又的最小值即到的距離，故A正確；對B，設(shè)，由切線性質(zhì)可得，故以為圓心，為半徑的圓的方程為，即，又圓M：，方程相減可得，即.聯(lián)立，可得，即直線AB恒過定點(diǎn)，故B正確；對C，設(shè)，，則，又，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，又由A可知，故能取最小值為，故C正確；對D，設(shè)，因?yàn)?，故，則，故為等腰的中線和高，故，.，故當(dāng)取最小值時(shí)，取最小值，故D錯(cuò)誤.故選：ABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.經(jīng)過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為___________.【正確答案】【分析】由題可設(shè)直線方程為，代入已知點(diǎn)坐標(biāo)即得.【詳解】由題可設(shè)所求直線方程為，代入點(diǎn)，可得，即，所以經(jīng)過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為.故答案為.13.已知點(diǎn)在圓：和圓：的公共弦上，則的最小值為_________.【正確答案】8【分析】兩圓方程相減得公共弦所在直線方程，代入已知點(diǎn)坐標(biāo)得關(guān)系式，然后由基本不等式求得最小值，并驗(yàn)證等號成立時(shí)，點(diǎn)在公共弦上．【詳解】兩圓方程相減得，即，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，點(diǎn)為，，，點(diǎn)在兩圓公共弦上，滿足題意，故8.14.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)A，B距離之比為常數(shù)λ（λ＞0且λ≠1）的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線AB上的圓，該圓簡稱為阿氏圓．根據(jù)以上信息，解決下面的問題：如圖，在長方體中，，點(diǎn)E在棱AB上，，動點(diǎn)滿足．若點(diǎn)在平面ABCD內(nèi)運(yùn)動，則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為________；若點(diǎn)在長方體內(nèi)部運(yùn)動，F(xiàn)為棱的中點(diǎn)，M為CP的中點(diǎn)，則三棱錐的體積的最小值為________．【正確答案】①.②.【分析】以AB為軸，AD為軸，為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)，求出點(diǎn)的軌跡為，即得點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑；②先求出點(diǎn)的軌跡為，到平面的距離為，再求出的最小值即得解三棱錐的體積的最小值.【詳解】①以AB為軸，AD為軸，為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，設(shè)，由得，所以，所以若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動，則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為.②設(shè)點(diǎn)，由得，所以，由題得所以，設(shè)平面的法向量為，所以，由題得，所以點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)椋?，所以點(diǎn)M到平面的最小距離為，由題得為等邊三角形，且邊長為，所以三棱錐的體積的最小值為.故，.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)，（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，，，求的面積.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）運(yùn)用兩角和差的正弦公式，輔助角公式化簡，整體代入求出單調(diào)減區(qū)間；（2）求出角度，后運(yùn)用余弦定理，借助已知的方程，聯(lián)立求出，最后用面積公式求解即可【小問1詳解】，運(yùn)用兩角和差正弦得到，,運(yùn)用輔助角公式得到，.令，解得.故的單調(diào)遞減區(qū)間為【小問2詳解】，則，即，，則.由余弦定理知道，即.（?）而，兩邊平方得到與（?）聯(lián)立得到.故的面積.16.已知圓，兩點(diǎn)、（1）若，直線過點(diǎn)且被圓所截的弦長為6，求直線的方程；（2）動點(diǎn)滿足，若的軌跡與圓有公共點(diǎn)，求半徑的取值范圍.【正確答案】（1）或（2）【分析】（1）根據(jù)題意，得到圓心到直線的距離為，分直線的斜率不存在和直線的斜率存在時(shí)，兩種情討論，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解；（2）將點(diǎn)代入得軌跡方程，然后利用兩圓有公共點(diǎn)列不等式求解即可.【小問1詳解】若時(shí)，圓，可得圓心，因?yàn)橹本€被圓截得的弦長為，則圓心到直線的距離為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線的方程為，不滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，則，解得，所以直線方程為或，綜上可得，所求直線的方程為或.【小問2詳解】因?yàn)閯狱c(diǎn)滿足，、，所以，化簡得，所以動點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，因?yàn)榈能壽E與圓有公共點(diǎn)，所以，即，解得，所以半徑的取值范圍.17.甲、乙、丙三人結(jié)伴去游樂園玩射擊游戲，其中甲射擊一次擊中目標(biāo)的概率為，甲、乙兩人各射擊一次且都擊中目標(biāo)的概率為，乙、丙兩人各射擊一次且都擊中目標(biāo)的概率為，且任意兩次射擊互不影響．（1）分別計(jì)算乙，丙兩人各射擊一次擊中目標(biāo)的概率；（2）求甲、乙、丙各射擊一次恰有一人擊中目標(biāo)的概率；（3）若乙想擊中目標(biāo)的概率不低于，乙至少需要射擊多少次？（參考數(shù)據(jù)：，）【正確答案】（1）乙射擊一次擊中目標(biāo)的概率為，丙射擊一次擊中目標(biāo)的概率為（2）（3）12【分析】（1）利用相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算可得；（2）記甲、乙、丙各射擊一次恰有一人擊中目標(biāo)為事件，根據(jù)相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率公式計(jì)算可得；（3）設(shè)甲射擊次，則至少有一次擊中目標(biāo)的概率為，令，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得；小問1詳解】記甲射擊一次擊中目標(biāo)為事件，乙射擊一次擊中目標(biāo)為事件，丙射擊一次擊中目標(biāo)為事件，依題意，，所以，，所以，所以乙射擊一次擊中目標(biāo)的概率為，丙射擊一次擊中目標(biāo)的概率為；【小問2詳解】記甲、乙、丙各射擊一次恰有一人擊中目標(biāo)為事件，則，所以甲、乙、丙各射擊一次恰有一人擊中目標(biāo)的概率；【小問3詳解】設(shè)乙射擊次，則至少有一次擊中目標(biāo)的概率為，令，所以，所以，又為正整數(shù)，所以，即甲至少要射擊次.18.如圖，已知四棱錐的底面ABCD是平行四邊形，側(cè)面PAB是等邊三角形，，，．（1）證明：平面平面PAB，并求PD與平面PAB所成角的大小；（2）設(shè)Q為側(cè)棱PD上一點(diǎn)，四邊形BEQF是過B，Q兩點(diǎn)的截面，且平面BEQF，是否存在點(diǎn)Q，使得平面BEQF與平面PAD夾角的余弦值為？若存在，求的值；若不存在，說明理由．【正確答案】（1）證明見解析；（2）存在，或【分析】（1）先證明線面垂直，再證明出面面垂直.得到兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的求解公式得到答案；（2）證明出，求出平面的法向量，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，根據(jù)兩平面夾角列出方程，求出或，設(shè)，進(jìn)而根據(jù)求出答案.【小問1詳解】因?yàn)?，，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，又平面平面，兩平面交線為，平面，所以平面，取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)槠矫?，所以平面，因平面，所以，，故兩兩垂直，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，由勾股定理得，所以，平面的法向量為，設(shè)與平面所成角的大小為，則，因?yàn)?，所?【小問2詳解】設(shè)平面的法向量為，則，令得，則，連接，因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，不妨設(shè)，則，，設(shè)，則，即，故，設(shè)，則，即，故