2021-2022學年高一下學期期末數(shù)學模擬測試卷

2020–2021學年高一數(shù)學下學期期末測試卷01一、單選題1．已知復數(shù)，若z是純虛數(shù)，則實數(shù)a等于（）A．2 B．1 C．0 D．【答案】B【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義列出式子即可求解.【解析】若z是純虛數(shù)，則，解得.故選：B.2．已知向量，，若，則實數(shù)m的值為（）A．4 B． C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)向量共線的坐標運算即可得出答案.【解析】解：因為，所以，解得：.故選：B.3．如圖所示，正方形的邊長為，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則圖形的周長是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)斜二測畫法的性質，結合直觀圖得出原圖形的各邊邊長，從而得出周長.【解析】直觀圖正方形的邊長原圖形為平行四邊形，其中，高即圖形的周長故選：A【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵在于利用斜二測畫法的性質，即平行于軸的線段長度不變，平行于軸的線段的長度減半.4．設函數(shù)，則下列結論錯誤的是（）A．的最小正周期為 B．的圖象關于直線對稱C．在單調遞減 D．的一個零點為【答案】C【分析】根據(jù)解析式結合余弦函數(shù)的性質依次判斷每個選項的正誤即可.【解析】函數(shù)，的最小正周期為，故A正確；，的圖象關于直線對稱，故B正確；當時，，沒有單調性，故C錯誤；，的一個零點為，故D正確.綜上，錯誤的選項為C.故選：C.5．已知，為單位向量，，記是與方向相同的單位向量，則在方向上的投影向量為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量投影的定義求解.【解析】由題設可得，即，則，設與的夾角為，則.又，故,因為是與方向相同的單位向量，所以在方向上的投影向量為.故選:C6．已知向量的夾角為，，向量，且，則向量夾角的余弦值的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】依題意可得，，令，則，通過換元可得，所以，當時，可得的最小值.【解析】依題意可得，，則，，，則，所以，，令，則，令，由得，則，所以，故所以，當時，有最小值.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點是：令，通過換元得到.7．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E、F且EF=，則下列結論中錯誤的是（）A．AC⊥BE B．EF平面ABCDC．三棱錐A-BEF的體積為定值 D．異面直線AE,BF所成的角為定值【答案】D【分析】A．通過線面的垂直關系可證真假；B．根據(jù)線面平行可證真假；C．根據(jù)三棱錐的體積計算的公式可證真假；D．根據(jù)列舉特殊情況可證真假.【解析】A．因為，所以平面，又因為平面，所以，故正確；B．因為，所以，且平面，平面，所以平面，故正確；C．因為為定值，到平面的距離為，所以為定值，故正確；D．當，，取為，如下圖所示：因為，所以異面直線所成角為，且，當，，取為，如下圖所示：因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以異面直線所成角為，且，由此可知：異面直線所成角不是定值，故錯誤.故選：D.【點睛】本題考查立體幾何中的綜合應用，涉及到線面垂直與線面平行的證明、異面直線所成角以及三棱錐體積的計算，難度較難.注意求解異面直線所成角時，將直線平移至同一平面內.8．函數(shù)圖像上一點向右平移個單位，得到的點也在圖像上，線段與函數(shù)的圖像有5個交點，且滿足，，若，與有兩個交點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)已知條件分析出，可得，再由可得對稱軸為，利用可以求出符合題意的一個的值，進而得出的解析式，再由數(shù)形結合的方法求的取值范圍即可.【解析】如圖假設，線段與函數(shù)的圖像有5個交點，則，所以由分析可得，所以，可得，因為所以，即，所以是的對稱軸，所以，即，，所以，可令得，所以，當時，令，則，作圖象如圖所示：當即時，當即時，，由圖知若，與有兩個交點，則的取值范圍為，故選：A【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵是取特殊點便于分體問題，利用已知條件結合三角函數(shù)圖象的特點，以及三角函數(shù)的性質求出的解析式，再利用數(shù)形結合的思想求解的取值范圍.二、多選題9．下列說法正確的是（）A．若，則B．若復數(shù)，滿足，則C．若復數(shù)的平方是純虛數(shù)，則復數(shù)的實部和虛部相等D．“”是“復數(shù)是虛數(shù)”的必要不充分條件【答案】AD【分析】由求得判斷A；設出，，證明在滿足時，不一定有判斷B；舉例說明C錯誤；由充分必要條件的判定說明D正確.【解析】若，則，故A正確；設，由，可得則，而不一定為0，故B錯誤；當時為純虛數(shù)，其實部和虛部不相等，故C錯誤；若復數(shù)是虛數(shù)，則，即所以“”是“復數(shù)是虛數(shù)”的必要不充分條件，故D正確；故選：AD【點睛】本題考查的是復數(shù)的相關知識，考查了學生對基礎知識的掌握情況，屬于中檔題.10．若向量，，下列結論正確的是（）A．若同向，則B．與垂直的單位向量一定是C．若在上的投影向量為（是與向量同向的單位向量），則D．若與所成角為銳角，則n的取值范圍是【答案】AC【分析】A．先根據(jù)共線確定出的可取值，然后根據(jù)同向確定出的值；B．分析的相反向量與的位置關系并進行判斷；C．根據(jù)求解出的值；D．根據(jù)且不同向即可求解出的取值范圍.【解析】A．設，所以，所以，即，所以滿足，故正確；B．因為，所以也是與垂直的單位向量，故錯誤；C．因為在上的投影向量為，所以，所以，所以，故正確；D．因為與所成角為銳角，所以且不同向，所以，所以，故錯誤；故選：AC.【點睛】思路點睛：已知向量的夾角為銳角或者鈍角，求解參數(shù)范圍的步驟：（1）根據(jù)兩個向量的夾角為銳角或鈍角，得到或，求解出的范圍；（2）特殊分析：當兩個向量共線時，計算出參數(shù)的取值；（3）排除兩個向量共線時參數(shù)的取值，確定出參數(shù)的取值范圍.11．對于函數(shù)，下列結論正確的是（）A．把函數(shù)f(x)的圖象上的各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，則是函數(shù)y=g(x)的一個周期B．對，若，則C．對成立D．當且僅當時，f(x)取得最大值【答案】AC【分析】根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則化簡即可判斷A；令，，判斷函數(shù)的單調性，即可判斷B；代入直接利用誘導公式化簡即可；首先求出的最大值，從而得到的取值；【解析】解：因為，令，所以，所以，對于A：將圖象上的各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，則，所以，所以是函數(shù)y=g(x)的一個周期，故A正確；對于B：因為，所以，則在上單調遞減，在上單調遞增，又，對稱軸為，開口向上，函數(shù)在上單調遞減，所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，故B錯誤；對于C：，故C正確；因為，，當時取得最大值，令，則，所以，解得，即當時，函數(shù)取得最大值，故D錯誤；故選：AC【點睛】本題考查三角函數(shù)的綜合應用，解答的關鍵是換元令，將函數(shù)轉化為二次函數(shù)；12．已知中，，，為邊上的高，且，沿將折起至的位置，使得，則（）A．平面平面B．三棱錐的體積為8C．D．三棱錐外接球的表面積為【答案】ACD【分析】根據(jù)及翻折前后幾何元素的位置關系得到，，從而可得平面平面，A選項正確；先根據(jù)已知求出，再求得，然后利用三角形的面積計算公式、錐體的體積計算公式及等體積法求得結果，即可判斷B選項；在中利用余弦定理求得的值，即可判斷C選項；利用幾何直觀及三棱錐外接球的球心與側面的位置關系，結合已知得到部分幾何元素的數(shù)量關系，從而求得三棱錐外接球的半徑，最后根據(jù)球的表面積的計算公式求得結果，即可判斷D選項．【解析】對于A：因為為邊上的高，所以，沿將折起至的位置后，，，所以平面，所以平面平面，所以A選項正確；對于B：因為，，，所以，又，所以，，所以B選項不正確；對于C：在中，，，，由余弦定理可得，所以，所以C選項正確；對于D：如圖，記為三棱錐外接球的球心，為外接圓的圓心，連接，則平面，取的中點，的中點，連接，得，又平面，所以平面PDC，故，連接，，易知平面，平面，故，且，則四邊形為矩形，連接，，則為外接圓的半徑，由正弦定理可得，所以，又，故外接球半徑，所以三棱錐外接球的表面積為，所以D選頊正確．故選：ACD．【點睛】方法點睛：三棱錐外接球的球心的一般作法：分別找到兩個側面三角形的外心，再分別過外心作相應平面的垂線，兩垂線的交點即三棱錐外接球的球心，通常是找到兩個特殊三角形，因為這樣易找到外心或易求得外接圓的半徑．三、填空題13．已知復數(shù)z滿足，則的最小值為_________．【答案】3【分析】可得表示復數(shù)對應的點在以為圓心，1為半徑的圓上，的最小值即為復數(shù)對應的點到的距離的最小值.【解析】由可得復數(shù)對應的點在以為圓心，1為半徑的圓上，表示復數(shù)對應的點到的距離，點到點的距離為，則的最小值.故答案為：3.【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵是正確理解復數(shù)的幾何意義，判斷出表示復數(shù)對應的點在以為圓心，1為半徑的圓上.14．關于，有如下四個結論：①是奇函數(shù).②圖像關于軸對稱.③是的一條對稱軸.④有最大值和最小值.其中說法正確的序號是________．【答案】①③【分析】借助于的性質，對照四個選項，一一驗證.【解析】的定義域對于①：定義域關于原點對稱，，即是奇函數(shù)，故①正確；是奇函數(shù)，圖像關于原點對稱，故②錯誤；對于③：而，所以，故③正確；對于④：令，則，無最小值，無最大值，故④錯誤.故答案為：①③【點睛】這是另一種形式的多項選擇，多項選擇題是2020年高考新題型，需要要對選項一一驗證．15．南宋數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出“三斜求積術”，即以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上：以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實：一為從隅，開平方得積可用公式（其中、、、為三角形的三邊和面積）表示.在中，、、分別為角、、所對的邊，若，且，則面積的最大值為___________.【答案】【分析】由條件結合余弦定理可得出，然后利用二次函數(shù)的基本性質結合公式可求得面積的最大值.【解析】，則，可得，所以，.當且僅當時，等號成立.因此，面積的最大值為.故答案為：.【點睛】方法點睛：求三角形面積的最值一種常見的類型，主要方法有兩類：（1）找到邊與邊之間的關系，利用基本不等式或二次函數(shù)的基本性質來求解；（2）利用正弦定理，轉化為關于某個角的三角函數(shù)，利用函數(shù)思想求解.16．如圖，在中，，，，點是邊（端點除外）上的一動點.若將沿直線翻折，能使點在平面內的射影落在的內部（不包含邊界），且.設，則t的取值范圍是________________.【答案】.【分析】由已知分析可得，在過與的垂線上，且在以為圓心，以為半徑的圓弧上，且在內部．然后求出極端情況，即在上與在上的的值，即可求得的取值范圍．【解析】解：如圖，平面，過作，連接，可得，即在過與的垂線上，又，則在以為圓心，以為半徑的圓弧上，且在內部．分析極端情況：①當在上時，，，可得，設為，在△中，，且，可得，．設，，則，，則，，．在中，由正弦定理可得：，即，得；當在上時，有，此時．在的內部（不包含邊界），的取值范圍是，故答案為：．【點睛】本題的關鍵點在于找到點的兩個臨界位置，并根據(jù)幾何關系求解.四、解答題17．已知復數(shù)．（1）若為純虛數(shù)，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）0；（2）2【分析】（1）根據(jù)為純虛數(shù)，可得實部，虛部，聯(lián)立即可求得答案.（2）根據(jù)復數(shù)相等的條件，列出方程組，即可求導答案.【解析】（1）因為為純虛數(shù)，所以，解得.（2）因為，根據(jù)復數(shù)相等的條件可得：，解得.綜上當時，為純虛數(shù)，當時，.18．已知函數(shù).（1）求的值；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）最大值為，最小值為.【分析】（1）直接代值計算可得結果；（2）利用三角恒等變換化簡函數(shù)解析式為，由計算得出的取值范圍，結合正弦函數(shù)的基本性質可求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【解析】（1）；（2），當時，，所以，當時，取最小值，即，當時，取最大值，即.【點睛】方法點睛：求函數(shù)在區(qū)間上值域的一般步驟：第一步：三角函數(shù)式的化簡，一般化成形如的形式或的形式；第二步：由的取值范圍確定的取值范圍，再確定（或)的取值范圍；第三步：求出所求函數(shù)的值域（或最值）.19．已知的面積為S，三邊分別為，且．（1）求；（2）求，求周長的最大值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由數(shù)量積的定義及面積公式的表示化簡即可得解；（2）由余弦定理得，從而可得最值.【解析】（1）由得，，所以，由，解得；（2）由余弦定理可得：，得，解得，當且僅當時等號成立，所以當時，周長的最大值為，20．如圖，在正三棱柱中，，，、分別為、的中點．（1）求三棱錐的體積；（2）求證：面．【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）計算出的面積，利用錐體的體積公式可求得結果；（2）證明出，利用線面平行的判定定理可證得結論成立.【解析】（1）為等邊三角形且，且，因為、分別為、的中點，所以，，所以，，在正三棱柱中，底面，且，因此，；（2）在正三棱柱中，且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，因為、分別為、的中點，則，所以，，平面，平面，因此，平面.【點睛】方法點睛：常見的線面平行的證明方法有：（1）通過面面平行得到線面平行；（2）通過線線平行得到線面平行，在證明線線平行中，經(jīng)常用到中位線定理或平行四邊形的性質.21．如圖，在梯形中，，．

（1）若，，，試用、表示；（2）若，是梯形所在平面內一點，求的最小值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）計算出的長，利用平面向量的減法法則可得出結果；（2）取的中點，連接，以點為原點，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標系，設點，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算結合二次函數(shù)的基本性質可求得的最小值.【解析】（1）如下圖所示，過點作交于點，設，

，且，所以，四邊形是邊長為的菱形，所以，且，，即，整理可得，，解得，所以，，因此，；（2）取的中點，連接，，為的中點，則，所以，且，又因為，則四邊形為菱形，則，所以，為等邊三角形，取的中點，連接，以點為原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，則、、，設點，，，，則，所以，，所以，當且時，最小值.

【點睛】方法點睛：求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：（1）利用定義：（2）利用向量的坐標運算；（3）利用數(shù)量積的幾何意義．具體應用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應用．22．已知，函數(shù)．（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；（2）若，求的值；（3）若函數(shù)在區(qū)間上是單調遞增函數(shù)，求正數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）由題意先表示出的表達式，然后運用輔助角公式化簡，求出在區(qū)間上的最值（2）由題意得，結合求解出答案（3）表示出函數(shù)的單調增區(qū)間，結合題意討論得到的取值范圍.【解析】（1），因為，所以，所以，所以．（