第05講 一元二次不等式與其他常見不等式解法（十大題型）（講義）（原卷版）-【上好課】2025年高考數(shù)學一輪復習講練測（新教材新高考）

第05講一元二次不等式與其他常見不等式解法目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標導航 202知識導圖·思維引航 303考點突破·題型探究 4知識點1：一元二次不等式 4知識點2：分式不等式 4知識點3：絕對值不等式 5解題方法總結 5題型一：不含參數(shù)一元二次不等式的解法 6題型二：含參數(shù)一元二次不等式的解法 7題型三：三個二次之間的關系 8題型四：分式不等式以及高次不等式的解法 9題型五：絕對值不等式的解法 10題型六：二次函數(shù)根的分布問題 10題型七：一元二次不等式恒（能）成立問題 11題型八：解含參型絕對值不等式 12題型九：解不等式組型求參數(shù)問題 13題型十：不等式組整數(shù)解求參數(shù)問題 1304真題練習·命題洞見 1405課本典例·高考素材 1506易錯分析·答題模板 16易錯點：解含參數(shù)不等式時分類討論不恰當 16答題模板：一元二次不等式恒成立問題 16

考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）會從實際情景中抽象出一元二次不等式．（2）結合二次函數(shù)圖象，會判斷一元二次方程的根的個數(shù)，以及解一元二次不等式．（3）了解簡單的分式、絕對值不等式的解法．2020年I卷第1題，5分從近幾年高考命題來看，三個“二次”的關系是必考內(nèi)容，單獨考查的頻率很低，偶爾作為已知條件的一部分出現(xiàn)在其他考點的題目中．復習目標：1、理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關系解決簡單問題.2、會結合二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程實根的存在性及實根的分布問題.3、能借助二次函數(shù)求解二次不等式，類比會求高次方程和絕對值不等式.

知識點1：一元二次不等式一元二次不等式，其中，是方程的兩個根，且（1）當時，二次函數(shù)圖象開口向上．（2）=1\*GB3①若，解集為．=2\*GB3②若，解集為．=3\*GB3③若，解集為．（2）當時，二次函數(shù)圖象開口向下．=1\*GB3①若，解集為=2\*GB3②若，解集為【診斷自測】不等式的解集是，則的值是（

）A． B． C． D．知識點2：分式不等式（1）（2）（3）（4）【診斷自測】不等式的解集為（

）A． B． C． D．知識點3：絕對值不等式（1）（2）；；（3）含有兩個或兩個以上絕對值的不等式，可用圖象法和零點分段法求解.【診斷自測】（2024·高三·山西忻州·期末）不等式的解集是．解題方法總結1、已知關于的不等式的解集為，解關于的不等式．由的解集為，得：的解集為即關于的不等式的解集為．2、已知關于的不等式的解集為（其中），解關于的不等式．由的解集為，得：的解集為，即關于的不等式的解集為．3、已知關于的不等式的解集為，解關于的不等式．由的解集為，得：的解集為即關于的不等式的解集為，以此類推．4、已知關于的不等式的解集為（其中），解關于的不等式．由的解集為，得：的解集為即關于的不等式的解集為．5、已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；6、已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；7、已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；8、已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足．題型一：不含參數(shù)一元二次不等式的解法【典例1-1】（2024·上海嘉定·一模）不等式的解集為．【典例1-2】不等式的解集是，則不等式的解集是（用集合表示）．【方法技巧】解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相應方程根，將根標在軸上，結合圖象，寫出其解集.【變式1-1】不等式的解集是．【變式1-2】一元二次不等式的解集為.題型二：含參數(shù)一元二次不等式的解法【典例2-1】設函數(shù)(1)若不等式對一切實數(shù)x恒成立，求a的取值范圍；(2)解關于的不等式：．【典例2-2】已知關于的一元二次不等式的解集為．(1)求和的值；(2)求不等式的解集．【方法技巧】(1)根據(jù)二次項系數(shù)為正、負及零進行分類討論．(2)根據(jù)判別式Δ與0的關系判斷根的個數(shù)，數(shù)形結合處理．(3)有兩個根時，還需要根據(jù)兩根的大小進行討論，注意分類討論．【變式2-1】已知函數(shù)．(1)若關于x的不等式的解集為R，求實數(shù)a的取值范圍；(2)解關于x的不等式．【變式2-2】解關于實數(shù)的不等式：．【變式2-3】設函數(shù)，其中．解不等式；題型三：三個二次之間的關系【典例3-1】（2024·高三·云南德宏·期末）已知關于的不等式的解集為，則關于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．【典例3-2】已知的解集為，則不等式的解集為（

）A． B．C．或 D．【方法技巧】1、一定要牢記二次函數(shù)的基本性質(zhì)．2、含參的注意利用根與系數(shù)的關系找關系進行代換．【變式3-1】若不等式的解集是，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【變式3-2】（多選題）不等式的解集為，且.以下結論錯誤的是（

）A． B． C． D．【變式3-3】（多選題）已知關于的不等式的解集是，則（

）A．B．C．D．不等式的解集是或題型四：分式不等式以及高次不等式的解法【典例4-1】（2024·高三·上海楊浦·期中）關于x的不等式的解集是.【典例4-2】已知關于x的不等式的解集是，則實數(shù)的取值范圍是．【方法技巧】分式不等式化為二次或高次不等式處理．【變式4-1】（2024·上海浦東新·模擬預測）不等式的解集是．【變式4-2】（2024·上海青浦·二模）已知函數(shù)的圖像如圖所示，則不等式的解集是.【變式4-3】不等式的解集是．題型五：絕對值不等式的解法【典例5-1】（2024·高三·上海長寧·期中）不等式的解集為.【典例5-2】（2024·上海青浦·二模）不等式的解集為．【方法技巧】（1）（2）；；（3）含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式，可用零點分段法和圖象法求解【變式5-1】（2024·上海虹口·模擬預測）不等式的解集為.【變式5-2】不等式的解集是．題型六：二次函數(shù)根的分布問題【典例6-1】已知函數(shù)，關于的方程有三個不等的實根，則實數(shù)的取值范圍是.【典例6-2】若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實根，且．則實數(shù)a的取值范圍為．【方法技巧】解決一元二次方程的根的分布時，常需考慮：判別式，對稱軸與所給區(qū)間的位置關系，區(qū)間端點處函數(shù)值的符號，所對應的二次函數(shù)圖象的開口方向．【變式6-1】已知一元二次方程的兩根都在內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式6-2】已知函數(shù)，若關于的方程恰有4個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式6-3】已知關于的方程在區(qū)間內(nèi)有實根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型七：一元二次不等式恒（能）成立問題【典例7-1】已知關于的不等式.(1)是否存在實數(shù)，使不等式對任意恒成立，并說明理由；(2)若不等式對于恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)若不等式對有解，求的取值范圍.【典例7-2】（2024·陜西西安·模擬預測）當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．【方法技巧】恒成立問題求參數(shù)的范圍的解題策略（1）弄清楚自變量與參數(shù)．（2）一元二次不等式在R上恒（能）成立，可用判別式，一元二次不等式在給定的某個區(qū)間上恒（能）成立，不能用判別式，一般分離參數(shù)求最值或分類討論處理．【變式7-1】當時，不等式恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式7-2】已知函數(shù)，，(1)當時，解不等式；(2)若任意，都有成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)若，，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.【變式7-3】若存在實數(shù)，對任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是.【變式7-4】已知函數(shù)，若對任意，則所有滿足條件的有序數(shù)對是．題型八：解含參型絕對值不等式【典例8-1】已知關于的不等式有實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是.【典例8-2】若存在實數(shù)使得不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是．【方法技巧】含參型絕對值不等式，可用零點分段法和圖象法求解.【變式8-1】若關于x的不等式的解集為，則實數(shù)m的取值范圍是【變式8-2】（2024·上海長寧·二模）若對任意，均有，則實數(shù)a的取值范圍為．題型九：解不等式組型求參數(shù)問題【典例9-1】設集合，集合為關于的不等式組的解集，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【典例9-2】（2024·高三·山東菏澤·期中）已知不等式組的解集是關于的不等式的解集的子集，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A．a(chǎn)≤0 B．a(chǎn)<0 C．a(chǎn)≤-1 D．a(chǎn)<-2【方法技巧】求不等式(組)參數(shù)的問題，往往要利用不等式的性質(zhì)、不等式(組)的解集，建立對應關系后求解.【變式9-1】（2024·高三·山西呂梁·開學考試）若不等式組的解集是空集，則實數(shù)的取值范圍是.【變式9-2】若不等式組的解集不是空集，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型十：不等式組整數(shù)解求參數(shù)問題【典例10-1】已知關于的不等式組的解集中存在整數(shù)解且只有一個整數(shù)解，則的取值范圍為.【典例10-2】關于x的不等式恰有2個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【方法技巧】不等式組整數(shù)解求參數(shù)問題通常使用分類討論與數(shù)形結合處理.【變式10-1】已知關于的不等式組僅有一個整數(shù)解，則的取值范圍為（

）A．或 B．或C．或 D．或【變式10-2】若關于的不等式組的整數(shù)解共有36個，則正數(shù)的取值范圍是.【變式10-3】設集合，集合若中恰有一個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍（

）A． B． C． D．1．（2014年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試數(shù)學（江蘇卷））已知函數(shù)，若對于任意的都有，則實數(shù)的取值范圍為.2．（2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學卷（北京））已知集合，．若，則實數(shù)的取值范圍是．3．（2019年天津市高考數(shù)學試卷（文科））設，使不等式成立的的取值范圍為.1．當k取什么值時，一元二次不等式對一切實數(shù)x都成立.2．是什么實數(shù)時，下列各式有意義？（1）；（2）.3．如圖，據(jù)氣象部門預報，在距離某碼頭南偏東45°方向600km處的熱帶風暴中心正以20km/h的速度向正北方向移動，距風暴中心450km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響.據(jù)以上預報估計，從碼頭現(xiàn)在起多長時間后，該碼頭將受到熱帶風暴的影響，影響時間大約為多長（精確到0.1h）？4．一名同學以初速度豎直上拋一排球，排球能夠在拋出點以上的位置最多停留多長時間（精確到）？易錯點：解含參數(shù)不等式時分類討論不恰當易錯分析：含參數(shù)不等式的解法是不等式問題的難點．解此類不等式時一定要注意對字母分類討論，討論時要做到不重不漏，分類解決后，要對各個部分的結論按照參數(shù)由小到大進行整合．【易錯題1】當時，解關于的不等式.【易錯題2】解關于實數(shù)的不等式：．答題模板：一元二次不等式恒成立