高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題23 平面向量基本定理及坐標表示4題型分類-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點突破和專題檢測（解析版）

專題23平面向量基本定理及坐標表示4題型分類1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底．2．平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．3．平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘運算及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).4．平面向量共線的坐標表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.5.已知P為線段AB的中點，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))；已知△ABC的頂點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).（一）平面向量基本定理的應(yīng)用(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算．(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．題型1：平面向量基本定理的應(yīng)用1-1．（2024高一下·重慶北碚·階段練習(xí)）設(shè)是兩個不平行的向量，則下列四組向量中，不能組成平面向量的一個基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】根據(jù)基底的知識確定正確答案.【詳解】依題意，不共線，A選項，不存在使，所以和可以組成基底.B選項，不存在使，所以和可以組成基底.C選項，，所以和不能構(gòu)成基底.D選項，不存在使，所以和可以組成基底.故選：C1-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)向量是平面內(nèi)一個基底，且，則向量可以用另一個基底表示，即.【答案】【分析】設(shè)，將代入，利用向量基本定理，得出的關(guān)系式，求解，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)，因為，所以，因為不共線，所以，解得，，故答案為：.1-3．（2024高三上·陜西西安·期末）在中，在上，且，在上，且.若，則.【答案】/【分析】根據(jù)已知條件先確定，，再根據(jù)平面向量基本定理，把向量與向量作為一組基底表示出向量即可.【詳解】因為，所以，因為，所以，因為，所以，則，因為，所以，則.故答案為：1-4．（2024·湖南·模擬預(yù)測）在中，，點滿足，若，則的值為.【答案】【分析】根據(jù)向量的加減運算即可得出答案.【詳解】由題意可得：.所以.故答案為：.1-5．（2024高三下·河南·開學(xué)考試）已知分別為平行四邊形的邊的中點，若點滿足，則.【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合平面向量的運算，由條件可得，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，則，所以，又，則，，所以.故答案為：1-6．（2024·天津紅橋·一模）如圖所示，在中，點為邊上一點，且，過點的直線與直線相交于點，與直線相交于點（，交兩點不重合）.若，則，若，，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)向量的加減運算，以為基底，表示出，和已知等式比較，即可得的值，求得的值；結(jié)合已知用表示，結(jié)合三點共線可得，將化為，展開后利用基本不等式，即可求得的最小值.【詳解】在中，，，則，故，故；又，而，，所以，則，又三點共線，所以，結(jié)合已知可知，故，當且僅當，結(jié)合，即時，取等號；即的最小值為，故答案為：；【點睛】結(jié)論點睛：若，則三點共線.1-7．（2024高三上·陜西西安·期末）在中，在上，且在上，且．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量的基本定理和平面向量的線性運算求得正確答案.【詳解】因為，所以，則．因為，所以，則．故選：C（二）平面向量的坐標運算(1)利用向量的坐標運算解題，主要是利用加法、減法、數(shù)乘運算法則，然后根據(jù)“兩個向量相等當且僅當它們的坐標對應(yīng)相等”這一原則，化歸為方程(組)進行求解．(2)向量的坐標表示使向量運算代數(shù)化，成為數(shù)與形結(jié)合的載體，可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運算．題型2：平面向量的坐標運算2-1．（2024高三·全國·對口高考）為平行四邊形的對角線，，則．【答案】【分析】畫圖，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及向量加法法則運算即可.【詳解】

如圖在平行四邊形中，，在中，，所以，故答案為：.2-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知向量，，，且，則.【答案】【分析】根據(jù)向量的坐標線性運算即可求解.【詳解】，由可知解得故．故答案為：2-3．（2024高三·全國·對口高考）已知點，若與的夾角是，，則點B坐標為．【答案】【分析】由向量與的夾角是，知向量與方向相反，設(shè)，則，，則，，解得，得到答案.【詳解】由向量與的夾角是，所以向量與方向相反，設(shè)，則，，則，故，所以，故，由，所以，故.故答案為：.2-4．（2024高一下·全國·課后作業(yè)）已知，，且，則點M的坐標為.【答案】【分析】設(shè)出點M的坐標，將各個點坐標代入中，計算結(jié)果.【詳解】解：由題意得，所以.設(shè)，則，所以，解得，故點M的坐標為.故答案為：（三）向量共線的坐標表示平面向量共線的坐標表示問題的解題策略(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1.(2)在求與一個已知向量a共線的向量時，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)．題型3：利用向量共線求參數(shù)3-1．（2024·江西上饒·一模）已知向量，，若三點共線，則.【答案】【分析】由三點共線得向量共線，然后利用向量共線的坐標運算得答案．【詳解】三點共線，與共線，，解得．故答案為：．3-2．（2024高三上·上海黃浦·開學(xué)考試）若三點不能構(gòu)成三角形，則.【答案】【分析】三點不能構(gòu)成三角形轉(zhuǎn)化為三點共線，利用向量共線的坐標表示求解即可.【詳解】當三點共線，即時，三點不能構(gòu)成三角形.由已知得，，由得，，解得.故答案為：.3-3．（2024·湖南長沙·二模）已知向量，若B，C，D三點共線，則.【答案】【分析】根據(jù)三點共線得出向量共線，從而得到，然后根據(jù)誘導(dǎo)公式求的值.【詳解】因為，所以，，因為B，C，D三點共線，所以，即，所以.故答案為：.3-4．（2024高三下·全國·開學(xué)考試）已知向量，若，則實數(shù)a＝.【答案】【詳解】，由，得，解得.3-5．（2024高一下·山西運城·期中）已知向量，若，則．【答案】【分析】利用向量平行的充分必要條件得到關(guān)于的方程，解方程即可求得實數(shù)的值.【詳解】由題意結(jié)合向量平行的充分必要條件可得：，解方程可得：.故答案為：.3-6．（2024高三·全國·對口高考）已知向量．若與共線，則實數(shù)．【答案】【分析】求得的坐標，根據(jù)向量共線的坐標表示，列式即可求得答案.【詳解】由題意知向量，故，由于與共線，故，故答案為：3-7．（2024高三上·天津河北·期中）設(shè)，，，其中，，為坐標原點，若，，三點共線，則，的最小值為.【答案】2【分析】由題意求得，根據(jù)三點共線可得向量共線，利用向量共線的條件可得的值，將化為，展開后利用基本不等式即可求得答案.【詳解】由，，可得，由于，，三點共線，故共線，所以，即，則，當且僅當，結(jié)合，即時取等號，故答案為：2；題型4：利用向量共線求向量或點的坐標4-1．（2024高三上·福建廈門·開學(xué)考試）寫出一個與向量共線的向量.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)共線向量定理求解即可【詳解】與向量共線的向量為.取，可得出一個與向量共線的向量為（答案不唯一，滿足即可）.故答案為：（答案不唯一）4-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在中，已知點，，與交于點，則點的坐標為.【答案】【分析】將相交條件轉(zhuǎn)化為向量共線建立點坐標滿足的方程組，求解即可.【詳解】因為點，，所以，.設(shè)，則，而，因為三點共線，所以與共線，所以，即.而，，因為三點共線，所以與共線，所以，即.由，得，所以點M的坐標為.故答案為：.4-3．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知點O為坐標原點，，，點P在線段AB上，且，則點P的坐標為．【答案】【分析】解設(shè)點坐標，根據(jù)已知得出，利用直線方程，解設(shè)點坐標，再根據(jù)，得出答案即可.【詳解】由題知，，設(shè)，，，，，，，，，則直線方程為，設(shè)點坐標為，，，，求解可得，，，即點坐標為.故答案為：4-4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知點，O為坐標原點，則AC與OB的交點P的坐標為.【答案】(3,3)【分析】法一：利用向量的共線可設(shè)，表示出的坐標，根據(jù)向量共線列出方程，即可求得答案；法二：設(shè)點P(x,y)，進而表示出相關(guān)向量的坐標，根據(jù)向量共線，列出方程，求得答案.【詳解】法一:由O，P，B三點共線，可設(shè),則,又，由共線，得，解得，所以,所以點P的坐標為(3,3),故答案為：法二:設(shè)點P(x,y)，則，因為，且與共線，所以，即x=y.又，，且共線，所以，解得x=y=3，所以點P的坐標為(3,3)，故答案為：一、單選題1．（2024·北京）已知向量滿足，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【分析】利用平面向量數(shù)量積的運算律，數(shù)量積的坐標表示求解作答.【詳解】向量滿足，所以.故選：B2．（2024高三上·天津武清·階段練習(xí)）在中，，E是線段上的動點（與端點不重合），設(shè)，則的最小值是（

）A．10 B．4 C．7 D．13【答案】D【分析】由已知條件結(jié)合平面向量基本定理可得，，則，化簡后利用基本不等式可得答案.【詳解】因為，所以，因為，所以，因為三點共線，所以，，，當且僅當，即時取等.故選：D.3．（2024·四川成都·一模）已知平行四邊形，若點是邊的三等分點（靠近點處），點是邊的中點，直線與相交于點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，設(shè)，，利用向量的基本定理可得，求得，從而問題可解.【詳解】

設(shè)，則，，設(shè)，，則，，因為，所以，解得，所以，即.故選：C.4．（2024高三上·陜西西安·階段練習(xí)）在中，點滿足，點滿足，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】用、作為一組基底表示出、，再根據(jù)平面向量基本定理得到方程組，解得即可.【詳解】因為點滿足，所以為的中點，所以，又，所以，所以，又，因為，所以，即，所以，解得，所以.故選：C5．（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，點D是線段AB上靠近B的四等分點，點E是線段CD上靠近D的三等分點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：利用平面向量基本定理得到答案；方法二：設(shè)是等腰直角三角形，且，建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，設(shè)，從而得到方程組，求出答案.【詳解】方法一：如圖，由題意得，，故；方法二：不妨設(shè)是等腰直角三角形，且，以C為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖所示，則，則，設(shè)，故，所以，解得，故．故選：C．6．（2024高二上·甘肅蘭州·學(xué)業(yè)考試）已知向量，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】計算，再計算模長即可.【詳解】由題意知，所以，故選：D．7．（2024·廣東·模擬預(yù)測）古希臘數(shù)學(xué)家帕波斯在其著作《數(shù)學(xué)匯編》的第五卷序言中，提到了蜂巢，稱蜜蜂將它們的蜂巢結(jié)構(gòu)設(shè)計為相同并且拼接在一起的正六棱柱結(jié)構(gòu)，從而儲存更多的蜂蜜，提升了空間利用率，體現(xiàn)了動物的智慧，得到世人的認可.已知蜂巢結(jié)構(gòu)的平面圖形如圖所示，則（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】利用坐標法，建立如圖所示的平面直角坐標系，表示出各點坐標利用坐標運算結(jié)合平面向量基本定理即得.【詳解】以D為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系.

不妨設(shè)，則，，，，，故，，.設(shè)，則，解得，所以.故選：B.8．（2024高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分非必要條件B．必要非充分條件 C．充分必要條件 D．非充分非必要條件【答案】A【分析】先得到充分性成立，再舉出反例得到必要性不成立，得到答案.【詳解】若，則，即，故，充分性成立，不妨設(shè)，此時，但不滿足，故必要性不成立，所以“”是“”的充分非必要條件.故選：A9．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知為坐標原點，，若、，則與共線的單位向量為（

）A． B．或C．或 D．【答案】C【分析】求出的坐標，除以，再考慮方向可得．【詳解】由得，即，，，，，與同向的單位向量為，反向的單位向量為．故選：C．10．（2024高三上·四川·開學(xué)考試）設(shè)向量，，則“與同向”的充要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平面平行向量的坐標表示求出的值，驗證同向與反向即可.【詳解】，當時，，同向；當時，，反向.故選：A．11．（2024·全國·模擬預(yù)測）在菱形中，，點是線段上靠近的三等分點，點是線段上靠近的四等分點，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】建立平面直角坐標系后計算即可得.【詳解】作出圖形如圖所示.記線段交于點，分別以所在直線為，軸建立平面直角坐標系.設(shè)，則，，故，，設(shè)，則，解得.故選：C.

12．（2024高三上·河南·專題練習(xí)）如圖，在正八邊形中，，則（）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】分別以所在直線為軸，建立平面直角坐標系，求出向量的坐標運算得解.【詳解】分別以所在直線為軸，建立平面直角坐標系，如圖.設(shè)正八邊形的邊長為1，可得，，，，所以，，.因為，所以，所以，解得，則.故選：D.13．（2024·陜西西安·一模）已知向量，，若不超過3，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的坐標表示和幾何意義可得，解之即可求解.【詳解】由題意知，，所以，得，即，解得，即實數(shù)m的取值范圍為.故選：B14．（2024高三上·河北保定·期末）已知向量，，，若正實數(shù)，滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量線性運算的坐標表示求得，從而得解..【詳解】因為，，，所以，所以，解得，所以.故選：A.15．（湖南省長沙市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第一次階段性檢測數(shù)學(xué)試題）已知向量、不共線，且，若與共線，則實數(shù)的值為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)平面向量共線的基本定理可得關(guān)于實數(shù)的等式，解之即可.【詳解】因為與共線，則存在，使得，即，因為向量、不共線，則，整理可得，即，解得或.故選：C.16．（2024·陜西寶雞·一模）設(shè)向量，，若向量與共線，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量共線的坐標運算求出的值，再由向量線性運算的坐標表示求.【詳解】向量，，則，若向量與共線，有，解得，則，所以.故選：A.17．（2024·山東青島·一模）已知向量＝（－1，2），＝（3，m），m∈R，則“m＝－6”是“∥”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由平面向量線性運算及共線的的坐標表示運算可得解.【詳解】由題意得＝（2，2＋m），由，得－1×（2＋m）＝2×2，所以m＝－6.當m＝－6時，＝（2，－4）＝－2（－1，2），可得，則“m＝－6”是“”的充要條件.故選：A.18．（2024高三上·安徽池州·期末）已知向量，若，則下列關(guān)系一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量線性運算的坐標表示以及向量平行的坐標關(guān)系可直接求得答案.【詳解】，由可得，，整理得．故選：D.19．（2024高三上·江蘇常州·期末）已知扇形的半徑為5，以為原點建立如圖所示的平面直角坐標系，，，弧的中點為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，則，求出，利用同角三角函數(shù)關(guān)系得到，，求出答案.【詳解】令，則，，解得，即，又，又，解得，，，即，所以.故選：B．20．（2024高三上·北京朝陽·期末）在中，，當時，的最小值為.若，，其中，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由的最小值為可得的形狀為等腰直角三角形，建立平面直角坐標系將向量坐標化，利用平面向量共線定理以及的取值范圍表示出的表達式，再由二次函數(shù)單調(diào)性即可求得.【詳解】如下圖所示：在直線上取一點，使得，所以，當時，取得最小值為，即；又，所以可得是以為頂點的等腰直角三角形，建立以為坐標原點的平面直角坐標系，如下圖所示：又可得為的中點，由以及可得在上，可得，所以，可得，則，令，由可得，所以，，由二次函數(shù)在上單調(diào)遞增可得，.故選：C【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵在于利用的最小值為判斷出的形狀，將向量坐標化并表示出模長表達式利用函數(shù)單調(diào)性可求得結(jié)果.21．（2024·湖南邵陽·一模）如圖所示，四邊形是正方形，分別，的中點，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由平面向量的線性運算可得，即可求出，進而求出的值.【詳解】，所以，所以，所以，.故選：D.22．（湖南省益陽市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖所示的矩形中，滿足，為的中點，若，則的值為（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】將作為基底，根據(jù)平面向量基本定理結(jié)合已知條件把用表示，從而可求出的值.【詳解】連接，由題可知，又因為為的中點，所以，所以，所以，所以.故選：A.23．（2024·河南·模擬預(yù)測）在中，點為的中點，，與交于點，且滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量基本定理，用表示即可得答案.【詳解】解：如圖，因為點為的中點，，所以，，，所以，即，解得所以，的值為.故選：B24．（2024·全國）已知向量，則A． B．2C．5 D．50【答案】A【分析】本題先計算，再根據(jù)模的概念求出．【詳解】由已知，，所以，故選A【點睛】本題主要考查平面向量模長的計算，容易題，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查．由于對平面向量的坐標運算存在理解錯誤，從而導(dǎo)致計算有誤；也有可能在計算模的過程中出錯．25．（2024高三上·全國·競賽）平面向量，則（

）A．3 B．5 C．7 D．11【答案】B【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標表示及模的坐標表示即可求解.【詳解】因為，所以，所以.故選：B26．（2024高二上·安徽·期中）如圖，在長方形中，，點P滿足，其中，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】建立平面直角坐標系，寫出點的坐標，得到，，從而求出，求出最值.【詳解】以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立平面直角坐標系，則，設(shè)，因為，所以，即，故，，則，則，因為，所以，，故.故選：B27．（2024高三上·河南南陽·期末）下列向量中，與向量共線的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)共線向量定理的坐標運算得到，驗證即可.【詳解】與向量共線的向量需滿足.故選：C28．（2024高三上·河北保定·期末）已知命題，，與共線，命題，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標表示，結(jié)合必要條件與充分條件的定義，可得答案.【詳解】充分性：由與共線，則，解得或0，p是q的不充分條件；必要性：當，時，由，則與共線，p是q的必要條件.故選：B.29．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）在平面直角坐標系中，向量，，，若A，B，C三點共線，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三點共線的向量關(guān)系式即可求解.【詳解】因為A，B，C三點共線，則，，即，則，解得.故選：C30．（2024·四川巴中·一模）已知向量，若三點共線，則實數(shù)（）A． B． C．4 D．5【答案】A【分析】先求，然后向量共線的坐標表示可得.【詳解】因為，所以，.又三點共線，所以向量與向量共線，所以，解得.故選：A31．（2024·廣西·模擬預(yù)測）已知和是兩個正交單位向量，，且，則（

）A．2或3 B．2或4 C．3或5 D．3或4【答案】B【分析】根據(jù)題意得到，，求得，集合向量模的計算公式，列出方程，即可求解.【詳解】因為和是正交單位向量，，，可得，所以，解得或.故選：B．32．（2024高二上·江蘇南京·期末）已知的頂點在拋物線上，為拋物線的焦點，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出三點的坐標，由拋物線定義求出，，再根據(jù)坐標化即可求解.【詳解】解析：由題意知，，設(shè)，由拋物線定義可得，，，所以，因為，所以，則，所以．故選：C．33．（2024·云南楚雄·模擬預(yù)測）已知，，是直線上不同的三點，點在外，若，則（

）A．3 B．2 C． D．【答案】A【分析】利用平面向量基本定理解題即可.【詳解】由已知得，故，易知，，是直線上不同的三點，故，，三點共線，必有，解得，故選：A34．（2024高一下·江西九江·期末）已知向量．若點A，B，C能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m應(yīng)滿足的條件為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得到與不共線，從而列出不等式，求出答案.【詳解】若點A，B，C能構(gòu)成三角形，則這三點不共線，即與不共線，∵，，，∴，，∴，解得.故選：B．35．（2024高三上·北京大興·期末）設(shè)向量，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘公式和模的公式代入即可求解.【詳解】因為，所以，因為，所以，所以.故選：D36．（2024高三上·山東威海·期末）已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量平行坐標表示求出，再應(yīng)用模長公式求解即可.【詳解】向量，，，.故選：B.37．（2024高三上·北京·期中）已知向量，，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平面共線向量的坐標表示可得，結(jié)合二倍角的正切公式計算即可求解.【詳解】由題意知，，所以，得，所以.故選：A.38．（2024高三上·甘肅蘭州·階段練習(xí)）已知向量，，若與反向共線，則的值為（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量共線的坐標運算，求得參數(shù)，再結(jié)合向量線性運算的坐標運算求模長即可.【詳解】根據(jù)題意可得：，解得或；當時，與共線同向，故舍去；當時，，，.故選：C.39．（2024高三上·江西贛州·階段練習(xí)）已知向量，若與共線且同向，則實數(shù)λ的值為（

）A．2 B．4 C． D．或4【答案】C【分析】通過向量共線且同向，即可求出實數(shù)的值并檢驗即可得解.【詳解】因為，，且與共線且同向，所以，解得或，當時，，則，滿足題意；當時，，則，不滿足題意；綜上，.故選：C．40．（2024高一上·遼寧沈陽·期末）已知向量是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面的四組向量中，不能作為基底的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】判斷兩個向量是否共線即可確定兩個向量是否能作為一組基底.【詳解】對于A，假設(shè)共線，則存在，使得，因為不共線，所以沒有任何一個能使該等式成立，即假設(shè)不成立，也即不共線，則能作為基底；對于B，假設(shè)共線，則存在，使得，即無解，所以沒有任何一個能使該等式成立，即假設(shè)不成立，也即不共線，則能作為基底；對于C，因為，所以兩向量共線，不能作為一組基底，C錯誤；對于D，假設(shè)共線，則存在，使得，即無解，所以沒有任何一個能使該等式成立，即假設(shè)不成立，也即不共線，則能作為基底，故選:C.41．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）在中，點為與的交點，，則（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量基本定理得到，，從而列出方程組，求出，得到，求出答案.【詳解】因為，所以為中點，三點共線，故可設(shè)，即，整理得，因為，所以，即，三點共線，可得，所以，解得，可得，則，.故選：B42．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，其中，，若AM與BN相交于點Q，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題設(shè)條件運用平面向量的線性運算及平面向量的基本定理，將由，線性表示，再由Q，M，A三點共線得到關(guān)于，的關(guān)系式，從而確定正確選項．【詳解】由題意得，因為Q，M，A三點共線，由三點共線可得向量的線性表示中的系數(shù)之和為1，所以，化簡整理得．故選：C．43．（2024·廣東汕頭·三模）如圖，點D、E分別AC、BC的中點，設(shè)，，F(xiàn)是DE的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的運算，利用基底向量表示即可.【詳解】因為點D、E分別AC、BC的中點，F(xiàn)是DE的中點，所以.即.故選：C.44．（2024·山西大同·模擬預(yù)測）在△ABC中，D為BC中點，M為AD中點，，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】根據(jù)圖象及其性質(zhì)，即可得出，，進而根據(jù)，即可求出的值，即可得出答案.【詳解】因為是的中點，所以，.又因為是的中點，所以，，又，所以，，所以．故選：A．45．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形中，M，N分別為，上的點，且，，連接，交于P點，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取為平面的基底，根據(jù)給定條件，結(jié)合平面向量基本定理求出作答.【詳解】在中，取為平面的基底，由，得，由，得，由，知，由，得，因此，則，解得，所以.故選：C46．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測）如圖，在四邊形中，,，點在線段上，且，設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意可得，利用表示，根據(jù)即可求解.【詳解】在梯形中，，且，則，因為在線段上，且，則，，所以.故選:D.47．（2024·安徽·二模）如圖，在中，點D為線段BC的中點，點E，F(xiàn)分別是線段AD上靠近D，A的三等分點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】確定，，相加整理得到答案.【詳解】，則①；，則②；①②兩式相加，，即，故選：C.48．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，平行四邊形中，與相交于點，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，得到為的中點，化簡得到，得到，結(jié)合，求得的值，即可求解.【詳解】因為平行四邊形中，與相交于點，可得為的中點，由，可得為的中點，所以，可得，又由，所以，所以.故選：B．49．（2024高三·全國·對口高考）已知向量．若實數(shù)k與向量滿足，則可以是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)，先求出的坐標，利用建立方程組，找出的關(guān)系來判斷選項即可.【詳解】設(shè)，因為向量，所以，又，所以，時不成立，所以，所以，選項A，不滿足，選項B，不滿足，選項C，不滿足，選項D，滿足，故選：D.50．（2024·河北·模擬預(yù)測）在正六邊形ABCDEF中，直線ED上的點M滿足，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】建立平面直角坐標系，利用坐標法列關(guān)于的方程，解之即可求得的值.【詳解】在正六邊形ABCDEF中，以A為原點，分別以所在直線為軸建立平面直角坐標系，不妨令，則，,由，可得，解之得故選：B51．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·三模）如圖，在四邊形ABCD中，，，，，，，則（

）

A． B．2 C．3 D．6【答案】A【分析】建立平面直角坐標系，求得相關(guān)點坐標，求得相關(guān)向量的坐標，根據(jù)，結(jié)合向量的坐標運算，即可求得答案.【詳解】以A為坐標原點，以為x軸，過點A作的垂線為y軸，建立平面直角坐標系，

則,故,則由可得，即，故，故選：A52．（2024高一下·廣東梅州·期末）已知，且三點共線，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的共線定理的坐標運算即可求解.【詳解】由，得,因為三點共線，所以，即，解得.所以.故選：A.二、多選題53．（2024高三上·黑龍江牡丹江·期末）已知向量，則（

）A． B．C．可以作為平面向量的一個基底 D．【答案】BC【分析】根據(jù)向量的模公式計算可判斷A；由向量坐標運算可判斷B；由向量共線的坐標表示可判斷C；先求坐標，再由向量共線的坐標表示可判斷D.【詳解】選項A，，即，A錯誤；選項B，，B正確；選項C，，即不共線，即可以作為平面向量的一個基底，C正確；選項D，，由，即與不共線，D錯誤．故選：BC54．（2024高一下·福建福州·期中）已知向量不共線，且，其中，若三點共線，則角的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】三點共線即向量共線，由向量共線的坐標運算求得值再判斷．【詳解】三點共線，即共線，所以存在實數(shù)使得，即，又不共線，所以，，又，所以或．故選：CD．55．（2024高三下·山東濟寧·開學(xué)考試）已知為坐標原點，向量是線段的三等分點，則的坐標可能為（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)向量的坐標運算求解，注意三等分點有兩種可能.【詳解】因為，，可得，又因為點是線段的三等分點，則或，所以或，即點的坐標為或.故選：AC.56．（2024高三上·山東青島·期末）已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點.已知平面內(nèi)點，點，，，點繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點，則（

）A． B．C．的坐標為 D．的坐標為【答案】ACD【分析】由題意表示出，結(jié)合題設(shè)可求得，即得，，判斷；根據(jù)題中定義求得坐標，可得點坐標，判斷D；再求得，求得其模，判斷A.【詳解】由題意可知點，點，故，因為，故，又，即，故，所以，，故B錯誤，C正確；因為點繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點，所以，則由,可得點坐標為，故D正確；故，則，A正確，故選：ACD57．（2024·江蘇·一模）已知為復(fù)數(shù)，設(shè)，，在復(fù)平面上對應(yīng)的點分別為A，B，C，其中O為坐標原點，則（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的乘法運算可以表示出，，三點的坐標，通過向量的模長、向量的平行和垂直知識進而可以判斷.【詳解】設(shè)，，，，，，對于A，，故選項A正確；對于B，，，故選項B正確；對于C，，當時，，故選項C錯誤；對于D，，可以為零，也可以不為零，所以不一定平行于，故選項D錯誤.故選:AB.三、填空題58．（2024高三上·貴州貴陽·階段練習(xí)）已知平面向量滿足：，，，設(shè)向量（為實數(shù)），則的取值范圍為．【答案】【分析】以為坐標原點，建立坐標系，設(shè)，，為線段上一點，則，得到點在以為圓心的圓上，所以，得到，根據(jù)圓的性質(zhì)，即可求解.【詳解】如圖所示，以為坐標原點，邊長為2的正方形的，所在直線為軸和軸，建立坐標系，設(shè)，，為線段上一點，則，因為，所以以為圓心，為半徑畫圓，點為圓上一點，設(shè)，，，所以，所以，，所以，所以，可得直線表示斜率為，縱截距為的直線，當圓心為點時，與相切且點在軸的下方時，可得圓的方程為，可得切線坐標為，此時，取得最小值；當圓心為點時，經(jīng)過圓心時，圓的方程為，當點時，此時，取得最大值，所以的取值范圍為．故答案為：．

59．（2024高三下·安徽·階段練習(xí)）已知正方形的邊長為2，中心為，四個半圓的圓心均為正方形各邊的中點（如圖），若在上，且，則的最大值為．【答案】【分析】如圖，以線段BC所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，設(shè)，,又，利用向量的坐標運算，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變形與性質(zhì)求解即可.【詳解】如圖，以線段BC所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，設(shè)，又，則，，即，解得，,因為，則，所以當時，取得最大值1，則的最大值為.故答案為：.60．（2024高一下·山東菏澤·階段練習(xí)）如圖所示，向量與的夾角為，向量與的夾角為，，，若，（，），則．

【答案】/【分析】建立直角坐標系，結(jié)合三角函數(shù)定義，利用向量坐標運算求解即可.【詳解】以O(shè)為坐標原點，OB所在直線為x軸，垂直于OB且向上的方向為y軸建立平面直角坐標系，則．設(shè)，，于是，，且，．由，得，∴解得∴．故答案為：.

61．（2024高三上·湖南永州·階段練習(xí)）已知平面向量，，且，則．【答案】1【分析】根據(jù)向量的坐標運算結(jié)合模長的坐標公式求解.【詳解】由題意可得：，因為，則，解得.故答案為：1.62．（2024高三·全國·專題練習(xí)）向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若，則.

【答案】4【分析】首先以向量和的交點為原點建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)每個小正方形的邊長為1，再利用平面向量坐標運算求解即可.【詳解】以向量和的交點為原點建立如圖所示的平面直角坐標系(設(shè)每個小正方形的邊長為1)，

則，所以.因為，所以.所以.所以.故答案為：463．（2024·廣東深圳·一模）設(shè)點，若動點滿足，且，則的最大值為．【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)向量的坐標表示和模的概念可得，由題意和相等向量可得，進而，結(jié)合基本不等式計算即可求解.【詳解】設(shè)，則，由，得，整理，得，又，代入，有，所以，由，得，當且僅當時等號成立，所以，得，所以.即的最大值為.故答案為：64．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知向量，，，若向量與平行，則．【答案】【分析】利用向量的坐標運算及向量平行求解即可.【詳解】由題意可知，，又與平行，所以，解得.故答案為：.65．（2024·廣西南寧·一模）已知向量．若，則實數(shù)的值為．【答案】【分析】根據(jù)向量的坐標運算和向量共線的坐標形式得到方程，解出即可.【詳解】因為，所以.又，所以，解得.故答案為：.66．（2024·全國）已知向量，，．若，則．【答案】【分析】由兩向量共線的坐標關(guān)系計算即可．【詳解】由題可得,即故答案為【點睛】本題主要考查向量的坐標運算，以及兩向量共線的坐標關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．67．（2024高二上·上海長寧·期末）如圖，已知平面內(nèi)有三個向量，，，其中與和的夾角分別為和，且，，若，則．【答案】8【分析】過點作向量的平行線與它們的延長線分別交于兩點，得到四邊形平行四邊形，結(jié)合平面向量的基本定理，即可求解?！驹斀狻咳鐖D所示，過點作向量的平行線與它們的延長線分別交于兩點，所以四邊形平行四邊形，則，因為向量與和的夾角分別為和，即,則,在直角中，，，所以，在直角中，，，所以，又由，可得，又因為，所以，所以．故答案為：8．【點睛】本題主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的線性運算和向量的運算法則的應(yīng)用，其中解答中熟記向量的線性運算法則，合理利用平面向量的基本定理是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運算能力．68．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知向量，，且，則實數(shù)．【答案】±1【分析】利用向量的坐標運算、向量的模長公式求解即可．【詳解】由題意，得，所以，解得．故答案為：±1.69．（2024·甘肅定西·模擬預(yù)測）已知向量，，若向量，且與的夾角為鈍角，寫出一個滿足條件的的坐標為.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)向量的共線和向量乘法的坐標計算公式即可求解.【詳解】設(shè)，因為向量，且與的夾角為鈍角，所以，所以，不妨令，則，故，故答案為：（答案不唯一）.70．（2024·湖北武漢·三模）已知向量，，向量，，若