高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題36 向量法求空間角6題型分類-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專題檢測(cè)（原卷版）

專題36向量法求空間角6題型分類1．異面直線所成的角若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|).2．直線與平面所成的角如圖，直線AB與平面α相交于點(diǎn)B，設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(u·n,|u||n|)))＝eq\f(|u·n|,|u||n|).3．平面與平面的夾角如圖，平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補(bǔ)角．設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).（一）異面直線所成的角用向量法求異面直線所成的角的一般步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系．(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量．(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值．(4)注意兩異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對(duì)值．題型1：異面直線所成的角1-1．（2024高二上·北京豐臺(tái)·期末）在正四棱柱中，，是棱上的中點(diǎn)．

(1)求證：；(2)異面直線與所成角的余弦值．1-2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正三棱柱的側(cè)面積是底面積的倍，點(diǎn)E為四邊形的中心，點(diǎn)F為棱的中點(diǎn)，則異面直線BF與CE所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．1-3．（2024高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，且四邊形是正方形，，，分別是棱，，的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)若，求異面直線與所成角的余弦值.題型2：已知線線角求其他量2-1．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，，，E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點(diǎn).

(1)證明：；(2)若BF與CD所成的角為，求平面BEF和平面ABE夾角的余弦值.2-2．（2024高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，，平面平面，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)若點(diǎn)在線段上，，且異面直線與成30°角，求平面和平面夾角的余弦值.2-3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，底面，.點(diǎn)、、分別為棱、、的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，.

(1)求證：平面；(2)已知點(diǎn)在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長(zhǎng)．（二）利用空間向量求線面角的解題步驟題型3：直線與平面所成的角3-1．（2024·貴州六盤(pán)水·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，平面，，，分別為，的中點(diǎn)，且，，.(1)證明：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.3-2．（2024高三上·江西贛州·期中）如圖，在正三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，.

(1)求；(2)求直線與平面所成角的正弦值.3-3．（2024·全國(guó)）在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．3-4．（2024·浙江）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．題型4：已知線面角求其他量4-1．（2024·重慶萬(wàn)州·模擬預(yù)測(cè)）如圖1所示，在四邊形中，，為上一點(diǎn)，，，將四邊形沿折起，使得，得到如圖2所示的四棱錐．

(1)若平面平面，證明：；(2)點(diǎn)是棱上一動(dòng)點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求．4-2．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于，的點(diǎn)，平面，，，，分別為，的中點(diǎn)，平面與平面的交線為，在圓上.

(1)在圖中作出交線（說(shuō)明畫(huà)法，不必證明），并求三棱錐的體積；(2)若點(diǎn)滿足，且與平面所成角的正弦值為，求的值.4-3．（2024·安徽黃山·三模）如圖，在直角梯形ABCD中，，，四邊形為平行四邊形，對(duì)角線和相交于點(diǎn)H，平面⊥平面，，，G是線段上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)）．

(1)當(dāng)點(diǎn)G為線段BE的中點(diǎn)時(shí)，證明：平面；(2)若，且直線與平面成角，求二面角的正弦值．（三）利用空間向量計(jì)算平面與平面夾角大小的常用方法(1)找法向量：分別求出兩個(gè)平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到平面與平面夾角的大?。?2)找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，然后通過(guò)這兩個(gè)向量的夾角可得到平面與平面夾角的大?。}型5：平面與平面的夾角5-1．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱底面，且，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．5-2．（2024高三上·天津南開(kāi)·期中）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，E是棱PB上一點(diǎn)．

(1)求證：平面平面PBC；(2)若E是PB的中點(diǎn)，（i）求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．（ii）求平面PDC和平面EAC的夾角的余弦值．5-3．（2024高三上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）如圖，在四棱臺(tái)中，底面是中點(diǎn)．底面為直角梯形，且．

(1)證明：直線平面；(2)求二面角的正弦值．題型6：已知面面角求其他量6-1．（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）長(zhǎng)方形中，，點(diǎn)為中點(diǎn)（如圖1），將點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)處，使平面平面（如圖2）．

(1)求證：；(2)點(diǎn)在線段上，當(dāng)二面角大小為時(shí)，求四棱錐的體積．6-2．（2024高三上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在幾何體中，平面四邊形是菱形，平面平面，，且，，．

(1)證明：(2)若二面角是直二面角，求直線與直線所成角的余弦值．6-3．（2024·全國(guó)）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．一、單選題1．（2024高三上·安徽滁州·期末）如圖，在正方體中，分別為棱，，的中點(diǎn)，則與MN所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．2．（2024·云南保山·二模）已知正方體，Q為上底面所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與的所成角為45°時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡為（

）A．圓 B．直線 C．拋物線 D．橢圓3．（2024高二下·江蘇·階段練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，為空間內(nèi)一點(diǎn)，為底面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，異面直線與所成角為，則當(dāng)線段的長(zhǎng)度取最小值時(shí)，的值為（

）A． B． C． D．4．（2024高二上·河北張家口·階段練習(xí)）如圖，四棱雉的底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，，且，為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）柏拉圖多面體是因柏拉圖及其追陮者對(duì)正多面體的研究而得名.如圖是棱長(zhǎng)均為的柏拉圖多面體，點(diǎn)，，，分別為，，，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題6．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）正方體中，P是體對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，M是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．異面直線與所成的角的最小值為B．異面直線與所成的角的最大值為C．對(duì)于任意的P，存在點(diǎn)M使得D．對(duì)于任意的M，存在點(diǎn)P使得7．（2024高三上·黑龍江哈爾濱·期中）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，M為邊的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（

）A．與所成角的余弦值為B．過(guò)三點(diǎn)A、M、的截面面積為C．四面體的內(nèi)切球的表面積為D．E是邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊的中點(diǎn)，過(guò)E、M、F三點(diǎn)的截面是六邊形．三、填空題8．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在三棱錐P－ABC中，底面ABC，底面ABC為正三角形，PA＝AB，則異面直線PB與AC所成角的余弦值為9．（2024·河南開(kāi)封·二模）已知矩形，，過(guò)作平面，使得平面，點(diǎn)在內(nèi)，且與所成的角為，則點(diǎn)的軌跡為，長(zhǎng)度的最小值為．10．（2024高三上·河北唐山·期末）如圖，在四棱柱中，底面，且底面為菱形，，，，為的中點(diǎn)，在上，在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)（不與重合），且平面，異面直線與所成角的余弦值為，則的最大值為.11．（2024·江西鷹潭·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，是棱的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記?面直線與所成的角為，則的取值范圍是.12．（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測(cè)）在正四棱柱中，底面邊長(zhǎng)為1，高為3，則異面直線與AD所成角的余弦值是.13．（2024高二下·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，.點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與所成的角最小時(shí)，則線段的長(zhǎng)為四、解答題14．（2024高三上·安徽·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在五面體中，底面為正方形，側(cè)面為等腰梯形，二面角為直二面角，.

(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，若直線與平面及平面所成的角相等，求的值.15．（2024·河南開(kāi)封·三模）如圖，在圓錐中，為圓錐頂點(diǎn)，為圓錐底面的直徑，為底面圓的圓心，為底面圓周上一點(diǎn)，四邊形為矩形，且，．

(1)若為的中點(diǎn)，求證：平面；(2)若與平面所成角為，求二面角的余弦值．16．（2024高三上·廣東·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD為菱形，E，F(xiàn)分別為AB，PD的中點(diǎn).

(1)求證：平面PBC；(2)已知，，又二面角的大小為45°，求PD的長(zhǎng).17．（2024高三上·遼寧鞍山·階段練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，為棱中點(diǎn)，且平面．

(1)求證：；(2)若，二面角的大小為，求三棱錐的內(nèi)切球半徑．18．（2024·江西九江·一模）如圖，直角梯形中，，，，，將沿翻折至的位置，使得，為的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；(2)為線段上一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），若二面角的余弦值為，求線段的長(zhǎng)．19．（2024高三上·山東菏澤·階段練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，，.點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn).

(1)當(dāng)點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，求證：直線平面；(2)若二面角的余弦值為，求線段的長(zhǎng).20．（2024高三上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，且側(cè)面底面，側(cè)面底面，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)，且．

(1)證明：底面；(2)當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上移動(dòng)，使二面角為時(shí)，求二面角的余弦值．21．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）在三棱臺(tái)中，為中點(diǎn)，，，.(1)求證：平面；(2)若，，平面與平面所成二面角大小為，求三棱錐的體積.22．（2024高三上·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，四邊形是矩形，四邊形是梯形，，平面與平面互相垂直，．

(1)求證：．(2)若二面角為，求多面體的體積．23．（2024·寧夏石嘴山·一模）如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，底面為菱形，．

(1)若四棱錐的體積為1，求的長(zhǎng)；(2)求平面與平面所成二面角的正弦值．24．（2024·河北張家口·三模）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，，，.

(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.25．（2024高三上·黑龍江大慶·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，點(diǎn)E在棱PD上，且

(1)證明：平面平面ACE；(2)求平面PAC與平面ACE所成角的余弦值．26．（2024高三上·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，平面ABCD，，‖，‖，，點(diǎn)E，F(xiàn)，M分別為AP，CD，BQ的中點(diǎn)．

(1)求證：‖平面CPM；(2)若N為線段CQ上的點(diǎn)，且直線DN與平面QPM所成的角為，求線段QN的長(zhǎng)．27．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝2，∠DAB＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)在以AD為直徑的半圓上，且，將半圓沿AD翻折如圖2．

(1)求證：EF∥平面ABCD；(2)當(dāng)多面體ABE﹣DCF的體積為4時(shí)，求平面ABE與平面CDF夾角的余弦值．28．（2024·江蘇·一模）在三棱柱中，平面平面，側(cè)面為菱形，，，，是的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)點(diǎn)在線段上（異于點(diǎn)，），與平面所成角為，求的值.29．（2024·廣東廣州·三模）如圖，四棱錐的底面為正方形，，平面，分別是線段的中點(diǎn)，是線段上的一點(diǎn).

(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，且點(diǎn)不是線段的中點(diǎn)，求三棱錐體積.30．（2024高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）在四棱錐S﹣ABCD中，已知底面ABCD為菱形，若.

(1)求證：SE⊥平面ABCD；(2)若，設(shè)點(diǎn)H滿足，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求μ的值.31．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知三棱柱中，是的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn).

(1)求證：；(2)設(shè)是棱上的動(dòng)點(diǎn)（不包括邊界），當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.32．（2024高二上·河北張家口·期末）如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，平面平面，，．(1)求證：平面；(2)若點(diǎn)在線段上，直線與直線所成的角為，求平面與平面夾角的余弦值．33．（2024高三上·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）在如圖所示的多面體中，四邊形為正方形，四點(diǎn)共面，且和均為等腰直角三角形，，平面平面，.

(1)求證：直線平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)若點(diǎn)在直線上，求直線與平面所成角的最大值.34．（2024高三上·廣東河源·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，分別為的中點(diǎn)，連接.

(1)當(dāng)為上不與點(diǎn)重合的一點(diǎn)時(shí)，證明：平面；(2)已知分別為的中點(diǎn)，是邊長(zhǎng)為的正三角形，四邊形是面積為的矩形，當(dāng)時(shí)，求與平面所成角的正弦值.35．（2024高三上·湖南長(zhǎng)沙·假期作業(yè)）如圖所示，直三棱柱中，，，.

(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.36．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）如圖，圖1，四棱錐中，底面，面是直角梯形，M為側(cè)棱上一點(diǎn)．該四棱錐的俯視圖和側(cè)（左）視圖如圖2所示．

(1)證明：平面；(2)證明：平面；(3)線段上是否存在點(diǎn)N，使與所成角的余弦值為？若存在，找到所有符合要求的點(diǎn)N，并求的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．37．（2024高三上·湖北·階段練習(xí)）在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面平面，，.

(1)證明：平面平面；(2)若E為PC的中點(diǎn)，異面直線BE與PA所成角為，求四棱錐的體積.38．（2024高三上·云南昆明·期中）圖1是由正方形和正三角形組成的一個(gè)平面圖形，將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，為的中點(diǎn)，如圖2．

(1)求證：平面；(2)若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．39．（2024高三上·遼寧·期中）直三棱柱中，底面是等腰直角三角形,，，分別為的中點(diǎn)且在平面上的射影是的重心.

(1)求證：平面；(2)求二面角的平面角的余弦值．40．（2024·全國(guó)）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．41．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖1所示，四邊形ABCD中，，，，，M為AD的中點(diǎn)，N為BC上一點(diǎn)，且．現(xiàn)將四邊形ABNM沿MN翻折，使得AB與EF重合，得到如圖2所示的幾何體MDCNFE，其中．

(1)證明：平面FND；(2)若P為FC的中點(diǎn)，求二面角的正弦值．42．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在多面體ABCDPQ中，四邊形ABCD為菱形，，，，平面平面ABCD，平面ABCD，．(1)證明：；(2)求二面角的余弦值．43．（2024高三上·廣東江門(mén)·階段練習(xí)）如圖，平面平面，且．

(1)求證：平面平面;(2)若，求二面角的正弦值．44．（2024高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）如圖所示，已知三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為1．(1)從下面①②③中選擇兩個(gè)作為條件，證明另一個(gè)成立；①；②為直角；③平面平面．(2)設(shè)點(diǎn)是棱上一點(diǎn)．在（1）中條件都成立的情況下，試確定點(diǎn)的位置，使得直線與平面所成的角最大．45．（2024·浙江·一模）如圖，多面體中，四邊形為正方形，平面平面，，，，，與交于點(diǎn)．

(1)若是中點(diǎn)，求證：；(2)求直線和平面所成角的正弦值．46．（2024高三上·湖北·期中）如圖，在三棱錐中，，，，為等邊三角形，，，的中點(diǎn)分別為，，，且.

(1)證明：平面平面.(2)若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.47．（2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）在如圖所示的多面體MNABCD中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形，其對(duì)角線的交點(diǎn)為Q，平面ABCD，，，點(diǎn)P是棱DM的中點(diǎn).

(1)求證：；(2)求直線CN和平面AMN所成角的正弦值.48．（2024高三上·廣西·階段練習(xí)）如圖：四棱雉中，底面為矩形，為直角三角形，的面積是面積的倍．(1)求證：平面平面；(2)為上的一點(diǎn)，四棱錐的體積為四棱錐體積的一半，求直