10.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義課件

第十章復(fù)數(shù)10.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義

我們知道，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)—一對(duì)應(yīng).也就是說，數(shù)軸可以看成實(shí)數(shù)的一個(gè)幾何模型.那么，能否為復(fù)數(shù)找一個(gè)幾何模型呢？怎樣建立起復(fù)數(shù)與幾何模型中點(diǎn)的一—對(duì)應(yīng)關(guān)系？情境與問題實(shí)數(shù)數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)數(shù)形實(shí)部虛部i為虛數(shù)單位復(fù)數(shù)z由實(shí)部a與虛部b唯一確定。復(fù)數(shù)z=a+bi有序?qū)崝?shù)對(duì)（a,b）一一對(duì)應(yīng)數(shù)形一一對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z（a,b）建立了平面直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面——復(fù)平面y軸——虛軸x軸——實(shí)軸復(fù)數(shù)z=a+bi點(diǎn)Z（a,b）一一對(duì)應(yīng)abZ(a,b)xyOz=a+bi例：復(fù)數(shù)1+2i

復(fù)數(shù)3對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)點(diǎn)A（1，2）點(diǎn)B（3，0）點(diǎn)C（0，-1）復(fù)數(shù)-i虛軸上的點(diǎn)表示的都是存虛數(shù)嗎？提示：虛軸上的點(diǎn)，不都表示純虛數(shù).如原點(diǎn)O各象限的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，實(shí)部、虛部都不為0.虛軸的單位長(zhǎng)度不是i,而是1.復(fù)數(shù)的幾何意義（一）嘗試與發(fā)現(xiàn)

設(shè)3+i與3-i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)于的點(diǎn)分別為A與B，則A，B兩點(diǎn)位置關(guān)系是怎么樣的？一般地，當(dāng)a,b?R時(shí)，復(fù)數(shù)a+bi與a-bi在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)有什么位置關(guān)系？復(fù)數(shù)z=a-bi點(diǎn)Z‘（a,-b）對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z=a+bi點(diǎn)Z（a,b）對(duì)應(yīng)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱共軛復(fù)數(shù)：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而虛部互為相反數(shù)，則這兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用表示.共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z=a+bi直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)Z(a,b)一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)平面向量=(a,b)一一對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的幾何意義（二）abZ(a,b)xyOz=a+bi|z

|=||1.2.兩個(gè)復(fù)數(shù)的?？梢员容^大小.

3.復(fù)數(shù)的模的幾何意義:復(fù)數(shù)z的模即為z對(duì)應(yīng)平面向量的模，也就是復(fù)數(shù)z=a+bi在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(a,b)到原點(diǎn)的距離。復(fù)數(shù)的模注意：向量的長(zhǎng)度稱為復(fù)數(shù)z=a+bi的模（或絕對(duì)值）,復(fù)數(shù)的模用表示.abZ(a,b)xyOz=a+bi例

復(fù)數(shù)z1=3+i復(fù)數(shù)z2=3-i復(fù)數(shù)z=a-bi復(fù)數(shù)z=a+bi兩個(gè)共扼復(fù)數(shù)的模相等.即練習(xí)：判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)于實(shí)數(shù)的點(diǎn)都在實(shí)軸上．

()(2)在復(fù)平面內(nèi)，虛軸上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)都是純虛數(shù)．

()(3)復(fù)數(shù)的模一定是正實(shí)數(shù)．

()[答案]

(1)√

(2)×

(3)×復(fù)數(shù)的模實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A到原點(diǎn)O的距離.實(shí)數(shù)絕對(duì)值的幾何意義:復(fù)數(shù)的模（或絕對(duì)值）其實(shí)是實(shí)數(shù)絕對(duì)值概念的推廣xOAaxOz=a+biy復(fù)數(shù)的模的幾何意義:復(fù)數(shù)z=a+bi在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(a,b)到原點(diǎn)的距離.Z(a,b)一維到二維的推廣例1

設(shè)復(fù)數(shù)z1=3+4i在夏平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z1，對(duì)應(yīng)的向量為復(fù)數(shù)z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z2、對(duì)應(yīng)的向量為

.已知Z1與Z2關(guān)于虛軸對(duì)稱，求z2，并判斷與的大小關(guān)系.解：由題意可知Z1(3，4),又因?yàn)閆1與Z2關(guān)于虛軸對(duì)稱，所以Z2(-3，4).從而有之Z2=-3+4i.能否再寫出一個(gè)復(fù)數(shù)z3,使得z對(duì)應(yīng)的向量與的模相等？在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i對(duì)應(yīng)點(diǎn)(1)在虛軸上；(2)在第二象限；(3)在直線y＝x上．分別求實(shí)數(shù)m的取值范圍．提升訓(xùn)練解：復(fù)數(shù)z的實(shí)部為m2－m－2，虛部為m2－3m＋2.(1)由題意得m2－m－2＝0.解得m＝2或m＝－1(3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2.∴m＝2.綜上所述，(1)當(dāng)m＝2或m＝－1時(shí)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上；(2)當(dāng)－1＜m＜1時(shí)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限；(3)當(dāng)m＝2時(shí)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線y＝x上.abZ(a,b)xyOz=a+bi例2

設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z.說明當(dāng)z分別滿足下列條件時(shí).點(diǎn)Z組成的集合是什么圖形.并作圖表示.(1)由

可知向量的長(zhǎng)度等于2,即點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離始終等于2,因此點(diǎn)Z組成的集合是圓心在原點(diǎn)、半徑為2的圓.如圖(1)所示.(2)不等式

等價(jià)于不等式組又因?yàn)闈M足

的點(diǎn)Z的集合，是圓心在原點(diǎn)、半徑為3的圓及其內(nèi)部.而滿足的點(diǎn)Z的集合，是圓心在原點(diǎn)、半徑為1的圓的外部.所以滿足條件的點(diǎn)Z組成的集合是一個(gè)圓環(huán)(包括外邊界但不包括內(nèi)邊界).如圖(2)所示設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)時(shí)應(yīng)的點(diǎn)為Z,說明當(dāng)z分別滿足下列條件時(shí).點(diǎn)Z組成的集合是什么圖形，并作圖表示.解：(1)以原點(diǎn)為圓心、半徑為1的圓；(4)以原點(diǎn)為圓心、半徑為1的圓和半徑為2的圓所夾的圓環(huán)(不包括內(nèi)外邊界).(3)以原點(diǎn)為圓心、半徑為1的圓的外部(包括邊界)；(2)以原點(diǎn)為圓心、半徑為1的圓的內(nèi)部(不包括邊界)；參考圖示如下:課堂小結(jié)(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，b)；1．復(fù)數(shù)的幾何意義(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的對(duì)應(yīng)向量OZ是以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的，否則就談不上一一對(duì)應(yīng)，因?yàn)閺?fù)平面上與O