《高等應(yīng)用數(shù)學(xué)》課件-第3章

第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)微分中值定理第二節(jié)洛必達(dá)法則第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

第一節(jié)微分中值定理微分中值定理是一個(gè)統(tǒng)稱,它包含羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理.

1.羅爾定理及其應(yīng)用定義1導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)(或穩(wěn)定點(diǎn),臨界點(diǎn)).

定理1(羅爾定理)如果函數(shù)f(x)滿足:

(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);

(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);

(3)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等,即f(a)=f(b).

那么在(a,b)內(nèi)至少在一點(diǎn)ξ(a<ξ<b),使得函數(shù)f(x)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零,即f'(ξ)=0(見圖3.1).圖3.1羅爾定理圖

證由于f(x)在[a,b]上連續(xù),因此必有最大值M和最小值m,于是有兩種可能的情形:

(1)M=m,此時(shí)f(x)在[a,b]上必然取相同的數(shù)值M,即f(x)=M.由此得f'(x)=0.因此,任取ξ∈(a,b),有f'(ξ)=0

(2)M>m,由于f(a)=f(b),所以M和m至少與一個(gè)不等于f(x)在區(qū)間[a,b]端點(diǎn)處的函數(shù)值.不妨設(shè)M≠f(a)(若m≠f(a),可類似證明),則必定在(a,b)有一點(diǎn)ξ使f(ξ)=M.因此,任取x∈[a,b]有f(x)≤f(ξ),從而由費(fèi)馬引理有f'(ξ)=0.

定理2(費(fèi)馬引理)

y=f(x)在x0的領(lǐng)域內(nèi)有定義,且f(x)≤(或≥)f(x0),f'(x0)存在,則f'(x0)=0.

2.拉格朗日中值定理及其應(yīng)用

定義2在實(shí)際應(yīng)用中,由于羅爾定理的條件(3)有時(shí)不能滿足,使得其應(yīng)用受到一定限制.如果將條件(3)去掉,就是下面要介紹的拉格朗日中值定理.

定理3(拉格朗日中值定理)如果函數(shù)f(x)滿足:

(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);

(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).

那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ<b),使得等式

成立.圖3.2拉格朗日中值定理圖

拉格朗日中值定理的應(yīng)用拉格朗日中值定理可用于證明等式,也可用于證明不等式.

3.柯西中值定理

定理4(柯西中值定理)如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且F'(x)在(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)處均不為零,那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ<b),使等式

成立.

第二節(jié)洛必達(dá)法則

第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

一、函數(shù)單調(diào)性的判定

如果函數(shù)y=f(x)在[a,b]上單調(diào)增加(單調(diào)減少),那么它的圖形是一條沿x軸正向上升(下降)的曲線.這時(shí)曲線的各點(diǎn)處的切線斜率是非負(fù)的(是非正的),即y'=f'(x)≥0(y'=f'(x)≤0).由此可見,函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有著密切的關(guān)系.

二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)

1.凹凸性的概念

定義1設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù),如果對(duì)I上任意兩點(diǎn)x1,x2恒有

那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凹的(或凹弧),如圖3.3(a)所示;如果恒有

那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凸的(或凸弧),如圖3.3(b)所示.圖3.3函數(shù)凹凸性示意圖

2.曲線凹凸性的判定

定理2設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù),那么:

(1)若在(a,b)內(nèi)f″(x)>0,則f(x)在[a,b]上的圖形是凹的;

(2)若在(a,b)內(nèi)f″(x)<0,則f(x)在[a,b]上的圖形是凸的.

確定曲線y=f(x)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的步驟:

(1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域;

(2)求出在二階導(dǎo)數(shù)f″(x);

(3)求使二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和使二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn);

(4)判斷或列表判斷,確定出曲線凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).

注:根據(jù)具體情況(1)(3)步有時(shí)省略.

三、函數(shù)的極值與最值

1.函數(shù)的極值及其求法

定義2設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)有定義,如果對(duì)于去心鄰域U。(x0)內(nèi)的任一x,有f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0)),則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值(或極小值).

函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).

說明函數(shù)的極大值和極小值概念是局部性的.如果f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值,那只是就x0附近的一個(gè)局部范圍來說f(x0)是f(x)的一個(gè)最大值;如果就f(x)的整個(gè)定義域來說,f(x0)不一定是最大值.對(duì)于極小值情況類似.

由費(fèi)馬引理可得:

定理3(必要條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),且在x0處取得極值,那么函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)為零,即f'(x0)=0.

定理3可敘述為:可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)必定是函數(shù)的駐點(diǎn).但是反過來,函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn).

2.確定極值點(diǎn)和極值的步驟

(1)求出導(dǎo)數(shù)f'(x);

(2)求出f(x)的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);

(3)列表判斷(考察f'(x)的符號(hào)在每個(gè)駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的左右鄰近的情況,以便確定該點(diǎn)是否是極值點(diǎn),如果是極值點(diǎn),還要按定理4確定對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是極大值還是極小值);

(4)確定出函數(shù)的所有極值點(diǎn)和極值.

所以極大值f(-1)=10,極小值f(3)=-22.函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x+5的圖像如圖3.4所示.圖3.4函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x+5的圖像

定理5(第二種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f'(x0)=0,f″(x0)≠0,那么

(1)當(dāng)f″(x0)<0時(shí),函數(shù)f(x)在x0處取得極大值;

(2)當(dāng)f″(x0)>0時(shí),函數(shù)f(x)在x0處取得極小值.

四、最大值與最小值問題

1.極值與最值的關(guān)系

如圖3.6所示,函數(shù)有多個(gè)極大值和極小值.那么在[a,b]上,最大值是M1、M2、f(a)、f(b)中的最大者,同樣,最小值是m1、m2、f(a)、f(b)中的最小者.

2.求最大值和最小值的步驟

(1)求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);

(2)求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小,哪個(gè)大哪個(gè)就是最大值,哪個(gè)小哪個(gè)就是最小值.

注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,則這個(gè)極值就是最值(最大值或最小值).

3.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

例12工廠鐵路線上AB段的距離為100km.工廠C距A處為20km,AC垂直于AB.為了運(yùn)輸需要,要在AB線上選定一點(diǎn)D向工廠修筑一條公路,如圖3.7所示.已知鐵路每千米貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)與公路上每千米貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)之比為3∶5.為了使貨物從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省,問D點(diǎn)應(yīng)選在何處?圖3.7運(yùn)輸線路示意圖

例13一房東有50套公寓要出租.當(dāng)租金定為每月180元時(shí),公寓會(huì)全部租出去.當(dāng)租金每月增加10元時(shí),就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花費(fèi)20元的整修維護(hù)費(fèi).試問房租定為多少可獲得最大收入?

例14某公司估算生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本為C(x)=2560+2x+0.001x2(元),問產(chǎn)量為多少時(shí)平均成本最低,平均成本的最小值為多少?

4.邊際與彈性

邊際分析和彈性分析是經(jīng)濟(jì)數(shù)量分析的重要組成部分,是微分法的重要應(yīng)用.它密切了數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)問題的聯(lián)系.在分析經(jīng)濟(jì)量的關(guān)系時(shí),不僅要知道因變量依賴于自變量變化的函數(shù)關(guān)系,還要進(jìn)一步了解這個(gè)函數(shù)變化的速度,即函數(shù)的變化率,它的邊際函數(shù);不僅要了解某個(gè)函數(shù)的絕對(duì)變化率,還要進(jìn)一步了解它的相對(duì)變化率,即它的彈性函數(shù).經(jīng)過深層次的分析,就可以探求取得最佳經(jīng)濟(jì)效益的途徑

1)邊際分析

邊際作為一個(gè)數(shù)學(xué)概念,是指函數(shù)y=f(x)中變量x的某一值的“邊緣”上y的變化.它是瞬時(shí)變化率,也就是y對(duì)x的導(dǎo)數(shù).用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)為:設(shè)函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則稱導(dǎo)數(shù)f'(x)為f(x)在(a,b)內(nèi)的邊際函數(shù);在x0處的導(dǎo)數(shù)值f'(x0)稱為f(x)在x0處的邊際值.根據(jù)不同的經(jīng)濟(jì)函數(shù),邊際函數(shù)有不同的稱呼,如邊際成本、邊際收益、邊際利潤(rùn)、邊際需求、邊際產(chǎn)值、邊際消費(fèi)、邊際儲(chǔ)蓄等.本文主要分析前四個(gè)邊際函數(shù)的應(yīng)用.

(1)邊際成本.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,把產(chǎn)量增加一個(gè)單位時(shí)所增加的總成本或增加這一個(gè)單位產(chǎn)品的生產(chǎn)成本定義為邊際本,邊際成本就是總成本函數(shù)在所給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù),即C=C(x)的導(dǎo)數(shù),記作C'(x).

(2)邊際收益.是指銷售量增加一個(gè)單位時(shí)所增加的總收益或增加這一個(gè)單位的銷售產(chǎn)品的銷售收入,是總收入函數(shù)在給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù),即總收益函數(shù)R=R(x)的導(dǎo)數(shù)R'(x).

(3)邊際利潤(rùn).對(duì)于利潤(rùn)函數(shù)L=L(x)的導(dǎo)數(shù)L'(x),稱產(chǎn)量為x單位時(shí)的邊際利潤(rùn).

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