2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章立體幾何初步第1節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征三視圖和直觀圖教學(xué)案文北師大版

PAGE1-第8章立體幾何初步全國卷五年考情圖解高考命題規(guī)律把握1.考查形式本章內(nèi)容在高考中一般為2道小題和1道解答題，分值約占22分.2.考查內(nèi)容高考基礎(chǔ)小題主要考查幾何體的三視圖的識別，幾何體表面積、體積的求解及線面角問題，與球有關(guān)的切接問題，解答題主要考查平行與垂直的關(guān)系和表面積、體積及點(diǎn)到平面距離的求法.3.備考策略(1)嫻熟駕馭解決以下問題的方法和規(guī)律①應(yīng)用線面、面面平行、垂直的判定定理、性質(zhì)定理問題；②求幾何體表面積、體積的計算問題；③線面角、點(diǎn)到平面距離的求法問題；④球與幾何體的切接問題.(2)重視分類探討、轉(zhuǎn)化化歸思想的應(yīng)用.第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖和直觀圖[最新考綱]1.相識柱、錐、臺、球及其簡潔組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡潔物體的結(jié)構(gòu).2.能畫出簡潔空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖.3.會用平行投影方法畫出簡潔空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式．(對應(yīng)學(xué)生用書第121頁)1．旋轉(zhuǎn)體的形成幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸圓柱矩形任一邊所在的直線圓錐直角三角形任始終角邊所在的直線圓臺直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線球半圓直徑所在的直線2.多面體的結(jié)構(gòu)特征3．直觀圖(1)畫法：常用斜二測畫法．(2)規(guī)則：①在已知圖形中建立直角坐標(biāo)系xOy，畫直觀圖時，它們分別對應(yīng)x′軸和y′軸，兩軸交于點(diǎn)O′，使∠x′O′y′＝45°，它們確定的平面表示水平平面；②已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸和y′軸的線段；③已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變；平行于y軸的線段，長度為原來的eq\f(1,2).4．三視圖(1)三視圖的畫法規(guī)則：主、俯視圖長對正，主、左視圖高平齊；俯、左視圖寬相等，前后對應(yīng)．(2)畫簡潔組合體的三視圖應(yīng)留意的兩個問題：①首先，確定主視、俯視、左視的方向，同一物體放置的位置不同，所畫的三視圖可能不同．②其次，簡潔組合體是由哪幾個基本幾何體組成的，并留意它們的組成方式，特殊是它們的交線位置．eq\o([常用結(jié)論])1．特殊的四棱柱2．球的截面的性質(zhì)(1)球的任何截面是圓面；(2)球心和截面(不過球心)圓心的連線垂直于截面；(3)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r的關(guān)系為r＝eq\r(R2－d2).3．依據(jù)斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形面積的關(guān)系如下：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形，S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖．一、思索辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱． ()(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐． ()(3)夾在兩個平行的平面之間，其余的面都是梯形，這樣的幾何體肯定是棱臺． ()(4)菱形的直觀圖仍是菱形． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改編1．下列說法正確的是()A．相等的角在直觀圖中仍舊相等B．相等的線段在直觀圖中仍舊相等C．正方形的直觀圖是正方形D．若兩條線段平行，則在直觀圖中對應(yīng)的兩條線段仍舊平行D[依據(jù)斜二測畫法的規(guī)則知，A，B，C均不正確，故選D.]2．用一個平行于水平面的平面去截球，得到如圖所示的幾何體，則它的俯視圖是()ABCDB[俯視圖中明顯應(yīng)有一個被遮擋的圖，所以內(nèi)部為虛線，故選B.]3．若一個三棱柱的三視圖如圖所示，其俯視圖為正三角形，則這個三棱柱的高和底面邊長分別為()A．2,2eq\r(3) B．2eq\r(2)，2C．4,2 D．2,4D[由三視圖可知，正三棱柱的高為2，底面正三角形的高為2eq\r(3)，故底面邊長為4，故選D.]4．如圖所示，在三棱臺A′B′C′-ABC中，沿A′BC截去三棱錐A′-ABC，則剩余的部分是()A．三棱錐 B．四棱錐C．三棱柱 D．組合體B[如圖所示，在三棱臺A′B′C′-ABC中，沿A′BC截去三棱錐A′-ABC，剩余部分是四棱錐A′-BCC′B′.](對應(yīng)學(xué)生用書第122頁)⊙考點(diǎn)1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征空間幾何體概念辨析題的常用方法定義法緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的狀況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，依據(jù)定義進(jìn)行判定反例法通過反例對結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說明一個結(jié)論是錯誤的，只要舉出一個反例即可1.下列結(jié)論正確的是()A．側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐B．六條棱長均相等的四面體是正四面體C．有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱D．用一個平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫圓臺B[底面是等邊三角形，且各側(cè)面三角形全等，這樣的三棱錐才是正三棱錐，所以A錯；斜四棱柱也有可能兩個側(cè)面是矩形，所以C錯；截面平行于底面時，底面與截面之間的部分才叫圓臺，所以D錯．]2．下列命題正確的是()A．兩個面平行且相像，其余各面都是梯形的多面體是棱臺B．存在每個面都是直角三角形的四面體C．直角梯形以一條腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺D．用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形B[如圖1所示，可解除A，如圖2所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1-ABC.四個面都是直角三角形，故B正確．圖1圖2選項C中，應(yīng)以直角腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，故C錯．選項D中，只有截面與圓柱的母線平行或垂直，截得的截面才為矩形或圓，否則為橢圓或橢圓的一部分．故選B.]3．下列結(jié)論正確的是()A．各個面都是三角形的幾何體是三棱錐B．以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C．棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是六棱錐D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的隨意一點(diǎn)的連線都是母線D[A錯誤．如圖1所示，由兩個結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是三角形，但它不是棱錐．圖1圖2B錯誤．如圖2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊所在直線，所得的幾何體都不是圓錐．C錯誤．由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長必定要大于底面邊長．D正確．]把一摞書擺成長方體形態(tài)，沿一個方向輕輕一推，成為一個平行六面體，此時平行六面體有兩個平行的面是矩形．⊙考點(diǎn)2空間幾何體的三視圖已知幾何體識別三視圖識別三視圖的步驟(1)弄清幾何體的結(jié)構(gòu)特征及詳細(xì)形態(tài)、明確幾何體的擺放位置；(2)依據(jù)三視圖的有關(guān)定義和規(guī)則先確定主視圖，再確定俯視圖，最終確定左視圖；(3)被遮住的輪廓線應(yīng)為虛線，若相鄰兩個物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線；對于簡潔的組合體，要留意它們的組合方式，特殊是它們的交線位置．(1)(2024·武漢模擬)如圖是一個正方體，A，B，C為三個頂點(diǎn)，D是棱的中點(diǎn)，則三棱錐A-BCD的主視圖、俯視圖是(注：選項中的上圖為主視圖，下圖為俯視圖)()ABCD(2)(2024·全國卷Ⅲ)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()(1)A(2)A[(1)主視圖和俯視圖中棱AD和BD均看不見，故為虛線，易知選A.(2)由題意可知，咬合時帶卯眼的木構(gòu)件如圖所示，其俯視圖為選項A中的圖形．]畫三視圖時，可先找出各個頂點(diǎn)在投影面上的投影，然后再確定連線在投影面上的實虛．已知三視圖推斷幾何體特征由三視圖確定幾何體的步驟(1)(2024·北京高考)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4(2)(2024·全國卷Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖所示．圓柱表面上的點(diǎn)M在主視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為()A．2eq\r(17) B．2eq\r(5)C．3 D．2(1)C(2)B[(1)在正方體中作出該幾何體的直觀圖，記為四棱錐P-ABCD，如圖，由圖可知在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為3，故選C.(2)先畫出圓柱的直觀圖，依據(jù)題圖的三視圖可知點(diǎn)M，N的位置如圖1所示．圖1圖2圓柱的側(cè)面綻開圖及M，N的位置(N為OP的四等分點(diǎn))如圖2所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑．ON＝eq\f(1,4)×16＝4，OM＝2，∴MN＝eq\r(OM2＋ON2)＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5).故選B.]有三條側(cè)棱相互垂直的三棱錐、四棱錐，都可把它們放置在長方體或正方體中來解決問題．[老師備選例題]已知某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的四個側(cè)面中最小的面積為________．eq\f(1,2)[由三視圖知，該幾何體是在長、寬、高分別為2,1,1的長方體中，截去一個三棱柱AA1D1-BB1C1和一個三棱錐C-BC1D后剩下的幾何體，即如圖所示的四棱錐D-ABC1D1，其中側(cè)面ADD1的面積最小，其值為eq\f(1,2).]由三視圖中的部分視圖確定剩余視圖由幾何體的部分視圖確定剩余視圖的方法解決此類問題，可先依據(jù)已知的一部分視圖，還原、推想直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分視圖的可能形式．當(dāng)然作為選擇題，也可將選項逐項代入檢驗．如圖是一個空間幾何體的主視圖和俯視圖，則它的左視圖為()ABCDA[由主視圖和俯視圖可知，該幾何體是由一個圓柱挖去一個圓錐構(gòu)成的，結(jié)合主視圖的寬及俯視圖的直徑可知左視圖應(yīng)為A，故選A.]依據(jù)主視圖和俯視圖的長、寬，可知道左視圖的長、寬．[老師備選例題]如圖，某幾何體的主視圖與左視圖都是邊長為1的正方形，且體積為eq\f(1,2)，則該幾何體的俯視圖可以是()C[由該幾何體的主視圖和左視圖可知該幾何體是柱體，且其高為1，由其體積是eq\f(1,2)，可知該幾何體的底面積是eq\f(1,2)，由選項圖知A的面積是1，B的面積是eq\f(π,4)，C的面積是eq\f(1,2)，D的面積是eq\f(π,4)，故選C.]1.如圖1所示，是一個棱長為2的正方體被削去一個角后所得到的幾何體，其中DD1＝1，AB＝BC＝AA1＝2，若此幾何體的俯視圖如圖2所示，則可以作為其主視圖的是()ABCDC[依據(jù)該幾何體的直觀圖和俯視圖知，其主視圖的長應(yīng)為底面正方形的對角線長，寬應(yīng)為正方體的棱長，故解除B、D；而在三視圖中看不見的棱用虛線表示，故解除A.故選C.]2．(2024·全國卷Ⅰ)某多面體的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形．該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為()A．10 B．12C．14 D．16B[視察三視圖可知該多面體是由直三棱柱和三棱錐組合而成的，且直三棱柱的底面是直角邊長為2的等腰直角三角形，側(cè)棱長為2.三棱錐的底面是直角邊長為2的等腰直角三角形，高為2，如圖所示．因此該多面體各個面中有2個梯形，且這兩個梯形全等，梯形的上底長為2，下底長為4，高為2，故這些梯形的面積之和為2×eq\f(1,2)×(2＋4)×2＝12.故選B.]⊙考點(diǎn)3空間幾何體的直觀圖1．用斜二測畫法畫直觀圖的技巧在原圖形中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中與x′軸或y′軸平行，原圖中不與坐標(biāo)軸平行的直線段可以先畫出線段的端點(diǎn)再連線．2．原圖形與直觀圖面積的關(guān)系依據(jù)斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形面積的關(guān)系：(1)S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形；(2)S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖．(1)[一題多解]已知等腰梯形ABCD，CD＝1，AD＝CB＝eq\r(2)，AB＝3，以AB所在直線為x軸，則由斜二測畫法畫出的直觀圖A′B′C′D′的面積為()A.eq\r(2) B.eq\f(\r(2),4)C.eq\f(\r(2),2) D．2eq\r(2)(2)如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，則原圖形是()A．正方形 B．矩形C．菱形 D．一般的平行四邊形(1)C(2)C[(1)法一(作圖求解)：如圖，取AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，y軸交DC于點(diǎn)E，O，E在斜二測畫法中的對應(yīng)點(diǎn)為O′，E′，過E′作E′F′⊥x′軸，垂足為F′，因為OE＝eq\r(\r(2)2－12)＝1，所以O(shè)′E′＝eq\f(1,2)，E′F′＝eq\f(\r(2),4).所以直觀圖A′B′C′D′的面積為S′＝eq\f(1,2)×(1＋3)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(2),2)，故選C.法二(公式法)：由題中數(shù)據(jù)得等腰梯形ABCD的面積S＝eq\f(1,2)×(1＋3)×1＝2.由S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形，得S直觀圖＝eq