2025屆四川省聯(lián)合性聯(lián)考二診模擬考試數(shù)學試題【含答案解析】

2025年四川省聯(lián)合性聯(lián)考二診模擬預測卷數(shù)學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.已知空間中向量=（0，1，0），向量的單位向量為（），則點B到直線AC的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由點B到直線AC的距離為：即可求解.【詳解】設向量的單位向量為，則，，點B到直線AC的距離為：，故選：B.2.雙曲線兩個焦點，焦距為8，M為曲線上一點，則（）A.1 B.1或9 C.9 D.3【答案】C【解析】【分析】由雙曲線的定義和性質(zhì)可得；【詳解】由題意可得，即，又，即，由雙曲線的定義可得，解得或9，又，所以.故選：C3.若函數(shù)，當時函數(shù)值，則的取值范圍是（）A.； B.；C.； D.．【答案】D【解析】【分析】分與去解不等式，求出的取值范圍.【詳解】當時，，解得：，與取交集，結(jié)果為；當時，，解得：，綜上：的取值范圍是.故選：D4.存在狄利克雷函數(shù)，若，，則的所有值之和為（）A.3 B.6 C.12 D.13【答案】D【解析】【分析】令，則為有理數(shù)，從而得到必須是整數(shù)，令，則，再結(jié)合的取值范圍，求出的值，即可得解.【詳解】令，則為有理數(shù)，又因為，，即，，要使為有理數(shù)，則必須是整數(shù)，令，則，因為，所以，則，解得，所以的可能取值有共個，所以的次數(shù)為，則的所有值之和為.故選：D5.已知圓錐的底面半徑為R，高為3R，在它的所有內(nèi)接圓柱中，全面積的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】設內(nèi)接圓柱的底面半徑為，母線長為，則，即，則該圓柱的全面積為，因為，所以當時，內(nèi)接圓柱的全面積的最大值為；故選B.6.若方程的四個根組成一個首項為的等差數(shù)列，則（）A.1 B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設方程的四個根為，利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】解：設方程的四個根為，則，，又因為方程的四個根組成一個首項為的等差數(shù)列，設，所以，設等差數(shù)列的公差為，則，解得，則等差數(shù)列為，所以，則，故選：C7.下列說法正確的個數(shù)為（）①180的正因數(shù)有16個②以正方體為頂點的三棱錐有70個③+9能被7整除④投一枚質(zhì)地均勻的硬幣十次，正面朝上頻率在的概率為A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】A【解析】【分析】根據(jù)180的因數(shù)計算判斷①，分不同的四點共面情況求解判斷②，根據(jù)二項式定理計算判斷③，應用重復拋擲10次正面朝上出現(xiàn)的頻率在得到，再結(jié)合二項分布即可求解④.【詳解】因為，所以180的正因數(shù)有，共18個，①不正確；以正方體為頂點的三棱錐，首先從8個頂點中選4個，共有種結(jié)果，在這些結(jié)果中，有四點共面的情況，6個表面有6個四點共面，6個對角面有6個四點共面，所以滿足條件的結(jié)果有個，故②不正確；不能被7整除，③不正確；拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣正面朝上的概率為，重復拋擲10次正面朝上出現(xiàn)的頻率在內(nèi)，即，所以，④正確．正確的個數(shù)是1個.故選：A.8.已知長方形的四個頂點.一質(zhì)點從的中點沿與夾角為的方向射到上的點后，依次反射到上的點（入射角等于反射角）.設的坐標為.若，則的取值范圍是（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】解：設P1B=x，∠P1P0B=θ，則CP1=1-x，∠P1P2C、∠P3P2D、∠AP4P3均為θ，∴tanθ=P1B/P0B=x．又tanθ=CP1/CP2=(1-x)/CP2=x，∴CP2=(1-x)/x=1/x-1．而tanθ=P3D/P2D=DP3/(3-1/x)=x，∴DP3=x（3-1/x）=3x-1．又tanθ=AP3/AP4=(2-3x)/AP4=x，∴AP4=2/x-3．依題設1＜AP4＜2，即1＜2/x-3＜2，∴4＜2/x＜5，1/4＞x/2＞1/5．∴1/2＞tanθ＞2/5二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.我們知道一元二次方程可以變形為，展開后對應項易得到韋達定理，那么類比推理過程，在一個一元三次方程，則下列關于此一元三次方程的根的式子正確的是（）A.++=2B.++=C.=D.++=7【答案】ACD【解析】【分析】用類比推理得到，然后比較系數(shù)即可判斷A、B、C；根據(jù)求解可判斷D【詳解】設方程的3個根是，則方程可變形為，展開可得比較可得，，故A對；，故B錯；，故C對；，故D對；故選：ACD10.如圖所示，在四個正方體中，是正方體的一條體對角線，點分別為其所在棱的中點，能得出平面的圖形為（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用線面垂直的判定定理證明AD滿足，結(jié)合空間向量在BC中證明直線l與平面內(nèi)的某條直線不垂直，即可得線面不可能垂直.【詳解】如圖所示，正方體.連接，分別為其所在棱的中點，.∵四邊形正方形，，平面，平面，，，，平面，平面，.，，同理，可證，，，平面，平面，平面，即l垂直平面，故A正確.在D中，由A中證明同理可證，，又，平面.故D正確.假設直線與平面垂直，則這條直線垂直于面內(nèi)任何一條直線對于B選項建立直角坐標系如圖：設棱長為2，，直線l所在體對角線兩個頂點坐標，所以其方向向量，，所以直線不可能垂直于平面.同理可在C中建立相同直角坐標系，，，所以直線不可能垂直于平面.故選：AD.【點睛】此題考查空間線面垂直的辨析，在四個圖形中分別判定是否滿足線面垂直，根據(jù)線面垂直的判定定理證明.11.函數(shù)，向右平移3個單位得到，下列說法正確的是（）A.的極小值點為B.當有兩解時，C.若，，則D.若，那么，且有且僅有一解【答案】BCD【解析】【分析】由求得，解不等式可得單調(diào)區(qū)間得極值點，即可判斷A；有兩解相當于的圖象與有兩個不同交點，由A作出的圖象，即可判斷B；根據(jù)由向右平移3個單位得到，結(jié)合的單調(diào)情況得在上的單調(diào)性，由此比較大小即可判斷C；將函數(shù)解析式代入，解方程即可判斷D.【詳解】對于A，，由得，由得；∴在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.故在處取極小值，則的極小值點為.故A不正確；對于B，由A知可知單調(diào)性，極小值為，又，故時，，當時，，；時，.時，，據(jù)此可作圖象如圖，則方程有兩解相當于圖象與有兩個不同交點，則由圖可得.故B正確；對于C，因為由向右平移3個單位得到，所以，由A知在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.故，即.故C正確；對于D，由，得，而，故，解得.故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.展開式中的系數(shù)是_____________【答案】【解析】【分析】先求出二項式的展開式的通項公式，令的指數(shù)等于，求出的值，即可求得展開式中的項的系數(shù).【詳解】的通項為，令，所以展開式中的系數(shù)，故答案為.【點睛】本題主要考查二項展開式定理的通項與系數(shù)，屬于簡單題.二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數(shù)）（2）考查各項系數(shù)和和各項的二項式系數(shù)和；（3）二項展開式定理的應用.13.已知雙曲線中心在原點且一個焦點為，直線與其相交于，兩點，中點橫坐標為，則此雙曲線的方程是______.【答案】【解析】【分析】設雙曲線的標準方程為，利用點差法可求得的值，再結(jié)合焦點的坐標可求得和的值，由此可得出雙曲線的標準方程.【詳解】設點、，由題意可得，，，直線的斜率為，則，兩式相減得，所以，由于雙曲線的一個焦點為，則，，，因此，該雙曲線的標準方程為.故答案為：.【點睛】本題考查雙曲線標準方程的求解，涉及點差法的應用，考查計算能力，屬于中等題.14.已知設P：函數(shù)在R上單調(diào)遞減.Q：不等式解集為R，如果P和Q有且僅有一個正確，則的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減可得根據(jù)不等式的解集為R,得到的最小值大于1.再根據(jù)P和Q有且僅有一個正確，求出的取值范圍.【詳解】解：函數(shù)在R上單調(diào)遞減不等式的解集為R在R上恒大于1.可知的最小值為所以即因為P和Q有且僅有一個正確，所以當P正確，Q錯誤，則所以當P錯誤，Q正確，則,則所以的取值范圍為故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記銳角的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求的值.（2）若，求邊上的高的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先應用切化弦，再應用正弦定理結(jié)合兩角和差公式得出，最后計算求值；（2）先根據(jù)三角形是銳角三角形得出，結(jié)合面積公式及三角函數(shù)的值域計算即可.【小問1詳解】因為，所以，所以，又因為，所以，應用正弦定理得，所以，因為，所以，所以，所以.【小問2詳解】因為是銳角的內(nèi)角，又因為，所以得出，所以，設邊上的高為，，.16.如圖，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，側(cè)棱，D、E分別是與的中點，點E在平面ABD上的射影是的重心.(Ⅰ)求與平面ABD所成角的余弦值(Ⅱ)求點到平面的距離【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）先利用線面角的定義找出線面角，再利用解直角三角形進行求解；（Ⅱ）先利用面面垂直的判定定理證明面面垂直，再利用面面垂直的性質(zhì)作出線面垂直，得到點到平面的距離.【詳解】（Ⅰ）連接，則是在的射影，即是與平面所成的角.設為中點，連接，∵分別是的中點，又平面，則為矩形，連接，是的重心，且，在直角三角形中，，，，，，；（Ⅱ），又，即平面平面，作，垂足為，所以平面，即是到平面的距離，在三角形中，，則到平面的距離為．17.小楊上的高中食堂有3種套餐，小王第一次選擇A，B，C三種套餐的概率相等，若某次選擇A之后，下一次仍會在三種套餐以相等概率繼續(xù)選擇，若某次選擇B套餐之后，下一次只會在B，C兩種套餐中以相等概率去選擇，在某次選擇C套餐之后，以后只會選擇C套餐，根據(jù)以上規(guī)則回答下列問題：（1）試寫出第n次選擇時，小王選A套餐的概率表達式，并求出第3次選擇B套餐的概率.（2）試寫出第n次選擇時，小王選B套餐的概率表達式，并求出選A套餐的均值.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）應用古典概型結(jié)合獨立事件的乘積公式計算求解；（2）先應用獨立事件乘法公式求概率，再應用錯位相減法計算即可.【小問1詳解】設事件，，為分別為第次選擇A，B，C套餐，，如圖得，.【小問2詳解】由（1）知：①則②②－①得到：，X1234．．．nP．．．③則④③－④得：，.18.已知常數(shù)在矩形ABCD中，AB=4，BC=4，O為AB的中點，點E、F、G分別在BC、CD、DA上移動，且，P為GE與OF的交點（如圖）.（1）試求P的一個坐標，并計算出P的軌跡方程.（2）是否存在兩個定點，使P到這兩點的距離的和為定值？若存在，求出這兩點的坐標及此定值；若不存在，請說明理由.【答案】（1），軌跡見解析（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題設條件，首先求出點坐標滿足的方程，（2）根據(jù)方程化簡再判斷是否存在的兩定點，使得點到兩點距離的和為定值.【小問1詳解】如圖建系，按題意有,,,設由此有,,直線的方程為：①直線的方程為：②取時，，計算得，所以，從①，②消去參數(shù)，得點的坐標滿足方程【小問2詳解】整理得:當時，點的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點.當時，點軌跡為橢圓的一部分，點到該橢圓焦點的距離的和為定長當時，點到橢圓兩個焦點，的距離之和為定值.當時，點到橢圓兩個焦點,的距離之和為定值.19.設數(shù)列是集合且中的數(shù)從小到大排列而成，即，，，，，…，現(xiàn)將各數(shù)按照上小下大、左小右大的原則排成如下三角形表：（1）寫出這個三角形的第四行和第五行的數(shù)；（2）求；（3）設是集合且中的數(shù)從小到大排列而成，已知，求的值.【答案】（1）第四行為，，，；第五行為，，，，；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)集合元素的屬性，結(jié)合指數(shù)的運算可得結(jié)果；（2）根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，判斷出，，從而可得結(jié)果；（3）根據(jù)元素特征可得當時，可得個數(shù)，利用分組求和法可求得以時所得數(shù)的個數(shù)為各項的數(shù)列的前項和，結(jié)合，，可確定當時，比，小的數(shù)的個數(shù)，由此可得.【詳解】（1）由題意知：第行時，，第四行為，，，