云南省2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期2月開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷【含答案解析】

高二數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一?二冊(cè)，選擇性必修第一冊(cè)，選擇性必修第二冊(cè)第四章.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式得到，利用交集概念求出答案.【詳解】，故.故選：C2.在數(shù)列中，若，則（）A. B.1 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】求出為一個(gè)周期為2的周期數(shù)列，故.【詳解】，，，……，故為一個(gè)周期為2的周期數(shù)列，故.故選：D3.已知，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)即可判斷；【詳解】，，因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞減；所以，所以，故選：A4.若球被一個(gè)平面所截，所得截面的面積為，且球心到該截面的距離為2，則球的表面積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出截面圓的半徑，再利用勾股定理求得球的半徑，再根據(jù)球的表面積公式即可得出答案.【詳解】因?yàn)榍虻囊唤孛娴拿娣e為，所以截面圓的半徑為，又因?yàn)榍蛐牡皆摻孛婢嚯x為2，所以球的半徑為，所以球的表面積為.故選：C.5.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由奇偶性得到，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合單調(diào)性，求出，同理得到當(dāng)時(shí)，，故，【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，故，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，又，當(dāng)時(shí)，，故，綜上，的解集為.故選：D6.函數(shù)在上的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)得到，整體法得到，結(jié)合圖象求出函數(shù)值域.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，故，故的值域?yàn)?故選：A7.過(guò)點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)分別為，則（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】求出和的長(zhǎng)以及夾角即可求解數(shù)量積.【詳解】由題可知，，，則，故故選：B.8.已知數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，成等差數(shù)列，則（）A.10 B.11 C.12 D.13【答案】B【解析】【分析】由累加法可求得，進(jìn)而利用裂項(xiàng)相消法可求的前項(xiàng)和，進(jìn)而結(jié)合已知可得，求解即可.【詳解】因?yàn)?，且，所以?dāng)時(shí)，．因也滿足，所以．因?yàn)椋裕舫傻炔顢?shù)列，則，即，得．故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，，則（）A. B.與夾角的余弦值為C.在上的投影向量為 D.點(diǎn)到直線BC的距離為【答案】ABD【解析】【分析】依次計(jì)算、即可判斷AB；由投影向量定義求出投影向量即可判斷C；依次求出直線BC的方向向量和，接著計(jì)算即可判斷D.【詳解】因?yàn)?，，所以，故A正確；因?yàn)?，，所以，故B正確；因?yàn)?，，所以在上的投影向量為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以的一個(gè)單位方向向量為，因?yàn)椋渣c(diǎn)到直線BC的距離為，故D正確．故選：ABD.10.已知等比數(shù)列的公比不為1，設(shè)的前項(xiàng)和為，若，且成等差數(shù)列，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.數(shù)列為等比數(shù)列C. D.【答案】BCD【解析】【分析】A選項(xiàng)，設(shè)出公比，根據(jù)得到方程，求出，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，求出，故，B正確；C選項(xiàng)，，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，得到，CD正確.【詳解】A選項(xiàng)，設(shè)的公比為，，成等差數(shù)列，故，又，所以，即，所以，又，解得，所以，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，故，所以，又,所以數(shù)列為等比數(shù)列，B正確；CD選項(xiàng)，，故，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，故，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，故，所以，CD正確.故選：BCD11.已知是拋物線上不同的動(dòng)點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，直線為拋物線的準(zhǔn)線，線段的中點(diǎn)為，則（）A.當(dāng)時(shí)，的最大值為32B.當(dāng)時(shí)，的最小值為22C.當(dāng)時(shí)，直線的斜率為D.當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)到直線的距離的最小值為14【答案】ACD【解析】【分析】利用拋物線的定義，結(jié)合線段和差關(guān)系求出的最大值判斷A；利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化，結(jié)合幾何圖形求出最小值判斷B；利用點(diǎn)差法求出直線的斜率判斷C；設(shè)出直線的方程并與拋物線聯(lián)立，求出最小值即可判斷D.【詳解】設(shè)．因?yàn)椋援?dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值32，故A正確；因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線內(nèi)側(cè)，準(zhǔn)線為，過(guò)作于，由拋物線的定義可得，所以，的最小值為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以，故B錯(cuò)誤；由，得，所以，故C正確；當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)到直線的距離，設(shè)直線的方程為，，由，消去得，，所以，則，所以當(dāng)時(shí)，，所以，故D正確．故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.用這三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)（每個(gè)數(shù)字只能用一次），則這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)的概率為_(kāi)_________.【答案】##【解析】【分析】將所有情況列出即可求解.【詳解】0不能在首位，則三個(gè)數(shù)可組成的三位數(shù)總數(shù)為：個(gè)(102,120,201,210)，其中是偶數(shù)的有：102,120,210共三個(gè)，所以三位數(shù)為偶數(shù)的概率為.故答案為：.13.已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)，且與的右支交于兩點(diǎn)，若，則的離心率為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，則，根據(jù)雙曲線定義得到，從而表達(dá)出各邊長(zhǎng)，在和，由余弦定理及得到方程，求出，得到離心率.【詳解】設(shè)，則，由雙曲線定義知，即，解得，故，，則，又，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，即，解得，故離心率為.故答案為：14.如圖，正八面體的每條棱長(zhǎng)均為與交于點(diǎn)為正八面體內(nèi)部或表面上的動(dòng)點(diǎn).若，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正八面體的性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解最值即可.【詳解】連接CE，由正八面體性質(zhì)得兩兩互相垂直，故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由正八面體的各棱長(zhǎng)均為，根據(jù)正八面體的對(duì)稱性，可得，則，又，所以，，設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，即，又，所以，故?dāng)，，即時(shí)，取到最小值為．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求解最值.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求；（2）若，求的面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）邊化角結(jié)合即可求解；（2）由余弦定理、基本不等式結(jié)合三角形面積公式即可求解；【小問(wèn)1詳解】由結(jié)合正弦定理邊化角可得：，即，又,所以，又，所以，所以；【小問(wèn)2詳解】由余弦定理，得，所以.由基本不等式知，于是.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，面積取得最大值.16.在直三棱柱中，是的中點(diǎn)，.（1）證明：平面.（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）作出輔助線，由中位線得到線線平行，進(jìn)而得到線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，利用面面角的法向量夾角公式求出答案【小問(wèn)1詳解】連接，與相交于點(diǎn)，連接，因?yàn)橹比庵?，，所以四邊形為正方形，故為的中點(diǎn)，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；【小?wèn)2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)作⊥軸于點(diǎn)，因，所以，又，故，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，則，故，設(shè)平面與平面夾角為，則，故平面與平面夾角余弦值.17.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（1）證明：為等差數(shù)列.（2）求的值和的通項(xiàng)公式.（3）若數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，證明：.【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析；（2），；（3）證明過(guò)程見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)時(shí)，得到，證明出為等差數(shù)列；（2）利用等差數(shù)列性質(zhì)及得到，結(jié)合求出，并得到通項(xiàng)公式；（3），利用錯(cuò)位相減法求和，得到.【小問(wèn)1詳解】①，當(dāng)時(shí)，②，式子①-②得，故，故，為正項(xiàng)數(shù)列，故，所以，即，為公差為2的等差數(shù)列；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，為公差為2的等差數(shù)列，，故，中，令得，即，將代入上式得，解得，的通項(xiàng)公式為；【小問(wèn)3詳解】，③，故④，式子③-④得，故.18.已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，且離心率為.（1）求C的方程.（2）過(guò)點(diǎn)作斜率不為0的直線與橢圓C交于S，T不同的兩點(diǎn)，再過(guò)點(diǎn)作直線ST的平行線與橢圓C交于G，H不同的兩點(diǎn).①證明：為定值.②求面積的取值范圍.【答案】（1）；（2）①證明見(jiàn)解析；②.【解析】【分析】（1）利用橢圓參數(shù)的關(guān)系即可求解橢圓方程；（2）①利用設(shè)的直線與橢圓聯(lián)立方程組，利用縱坐標(biāo)與斜率關(guān)系計(jì)算線段長(zhǎng)度，，即可得到線段之積與直線系數(shù)的關(guān)系，同理計(jì)算出，再作比值，即可得到定值；②利用弦長(zhǎng)公式和面積公式可計(jì)算出，再利用換元法,化歸到對(duì)鉤函數(shù)來(lái)求值域即可.【小問(wèn)1詳解】由已知得，因?yàn)?，又由，可解得，所以橢圓方程為：.【小問(wèn)2詳解】①設(shè)斜率不為0的直線的方程為，聯(lián)立直線和橢圓方程可得，化簡(jiǎn)得，由于橢圓與直線交于兩點(diǎn)，，因此，所以或，根據(jù)韋達(dá)定理可得，，又因?yàn)?，，因此，令的方程為，橢圓與直線交于兩點(diǎn)，聯(lián)立直線和橢圓方程，化簡(jiǎn)得，同理：，，，因此（為定值）．②由于，又由于，因此，化簡(jiǎn)可得，設(shè)，由于，因此，因此，又由于當(dāng)時(shí)，，因此，因此，所以面積的取值范圍為．19.在數(shù)列中，若存在項(xiàng)之和等于中的某一項(xiàng)，則稱是“和數(shù)列”.（1）若，判斷是否為“3和數(shù)列”，是否為“4和數(shù)列”，并說(shuō)明理由.（2）在正項(xiàng)數(shù)列中，，且.證明：①可能等比數(shù)列；②若為等比數(shù)列，則不是“和數(shù)列”.【答案】（1）是“3和數(shù)列”，不是“4和數(shù)列”，理由見(jiàn)解析（2）①證明過(guò)程見(jiàn)解析；②證明過(guò)程見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）舉出實(shí)例得到是“3和數(shù)列”中每一項(xiàng)均為奇數(shù)，故中的任意4項(xiàng)之和肯定為偶數(shù)，故不是“4和數(shù)列”；（2）①若為等比數(shù)列，求出公比，驗(yàn)證滿足；②由①可知，假設(shè)是“和數(shù)列”，則存在，使得，不妨令，分和兩種情況，推出矛盾，證明出不是“和數(shù)列”.【小問(wèn)1詳解】是“3和數(shù)列”，不是“4和數(shù)列”，理由如下：因?yàn)?，所以，又，所以是?和數(shù)列”，由通項(xiàng)公式可知，中每一項(xiàng)均為奇數(shù)，故中的任意4項(xiàng)之和肯定為偶數(shù)，與中的任何一項(xiàng)均不相等，故不是“4和數(shù)列”；【小問(wèn)2詳解】證明：①，且，故，若為等比數(shù)列，則的公比，則，，，故可能是以2為公比的等比數(shù)列；②由①可知，假設(shè)是“和數(shù)列”，則存在，使得，不妨令，若，則，且，則，因?yàn)?，所以為正偶?shù)，則為大于1的正奇數(shù)，所以，這與矛盾，從而假設(shè)不成立，所以不是“和數(shù)列”，若，則，則，由得，顯