考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷2（共218題）

考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷2（共9

套）

（共218題）

考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第1套

一、選擇題（本題共7題，每題分，共7分。）

I、設(shè)?。?片山小62出，g（Z）=/+￡，當(dāng)尸0時(shí)，故）是g（x）的（）。

A、等價(jià)無(wú)窮小

B、同階但非等價(jià)無(wú)窮小

C、高階無(wú)窮小

D、低階無(wú)窮小

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

lim/<￡>=1

知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)橐弧Ｒ酝?,所以正確答案為B.

2、設(shè)f（%）滿(mǎn)足：1。x=0,（x）—￡產(chǎn)（x）=l-e2%且f（x）二階連續(xù)可導(dǎo)，則

（）.

A、尸0為政）的極小值點(diǎn)

B、%=0為f（x）的極大值點(diǎn)

C、％=0不是f（%）的極值點(diǎn)

D、（0,f（0））是y=f（x）的拐點(diǎn)

標(biāo)準(zhǔn)答案：A

lim這一

知識(shí)點(diǎn)解析：由…工=。得f（o）=o,r（o）=o.當(dāng)z#）時(shí)，由％r（x）—￡r~（x）

1一e±

=]一色2%得，r(x)=xf2(z?+~~,再由f（X）二階連續(xù)可導(dǎo)得/（。）=

lim=\'\xr\[xf，2(x)+

x-0x=2>0,故/=。為f（%）的極小值點(diǎn)，選

A.

—In［工|

3、設(shè)f(X)=?］一1L則f(X)有().

A、兩個(gè)可去間斷點(diǎn)

B、兩個(gè)無(wú)窮間斷點(diǎn)

C、一個(gè)可去間斷點(diǎn)，一個(gè)跳躍間斷點(diǎn)

D、一個(gè)可去間斷點(diǎn)，一個(gè)無(wú)窮間斷點(diǎn)

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識(shí)點(diǎn)解析：顯然％=0,%=1為f(x)的間斷

/(O-|-0)=lim/(J)=lim=0?

X

/(0-0)=lim/(J)=lim=0,

/?o?1-。-

點(diǎn).N由f(0+0)=f(0—0)=0,得X

=0為f(y)的可去間斷點(diǎn)；

/(I-0)=lim/(x)=lim皿口］=一1，

X—ri-r*1-x

/(14-0)=lim/(x>=lim=it

—J一1'x-1由f(l_0)Wf(l+O),得

片1為f(%)的跳躍間斷點(diǎn)，故選C-

4、設(shè)政，y)="'("'、)=則f(x，yj在(0,0)處().

A、不連續(xù)

B、連續(xù)但不可偏導(dǎo)

C、可偏導(dǎo)但不可微

D、可微分

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)口，y)#(0,0)時(shí)，0<I敢，y)I=IXI"+/<IXH由迫

lim

斂定理得二：1'口，y)=0=f(0,0),從而股，y)在(0,0)處連續(xù)，選項(xiàng)A不對(duì)；由

Ix…T?=0得f\(0,0)=0,由

lim31二心Si士

L。yi”y1=0得30,0)=0,B項(xiàng)不對(duì)；令「=

“十月因?yàn)?/p>

「/(1,?)—f(0,0)/\(0,0)z—，；y(0,0)?_I；xy

l。p一。z+y

L。不存在，所

以f(X，y)在(0,0)處不可微分，選項(xiàng)D不對(duì)，故選C.

5、考慮二元函數(shù)fa,y)在點(diǎn)(加，yo)處的下面四條性質(zhì)：①連續(xù)②可微

③以(70,yo)與Fy(xo,yo)存在④以a，y)與RCc，y)連續(xù)若用“P9Q”表示可由性

質(zhì)P推出性質(zhì)Q,則有().

A、②"③0①

B、④"②"①

C、②=>④=①

D、④=③=②

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識(shí)點(diǎn)解析:若f(%,y)一階連續(xù)可偏導(dǎo),則取，y)在(加yo)處可微,若出%,y)在

(xo?yo)處可微，則f(x，y)在(xo，yo)處連續(xù),故選B.

6、設(shè)y=y(x)是微分方程y"+(%—l)y'+￡y=e，滿(mǎn)足初始條件y(0)=0,yr(0)=l

lim-l

的解，則L。N'為().

A、0

B、1

C、2

D、3

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閥(0)=0,y<0)=l,所以由y"+(%—l)y'+￡y=叢得y"(0)=

v(x)—ZI-y(x)-1y(x)-y(o)()

hrm------；-----=lim4/o

2,從而L°XL。乙

=1,故選B.

7、設(shè)A,B為n階矩陣，則下列結(jié)論正確的是().

A、若A2?B2,則A?B

B、矩陣A的秩與A的非零特征值的個(gè)數(shù)相等

C、若A,B的特征值相同，則A?B

D、若A?B,且A可相似對(duì)角化，則B可相似對(duì)角化

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

知識(shí)點(diǎn)解析：由A?B得A,B的特征值相同，設(shè)為九1，12,…，貓，且存在可逆

矩陣Pi，使得P「AP|=B,即A=P|BPJ；因?yàn)锳可相似對(duì)角化，所以存在可

Ai[A,

Az入2

逆矩陣P2，使得P『AP2=〔"J,即A=P21"P一

AI'

八2

*

**

l于是有PIBP)=P21九片尸，或P2"P]BPjP2=

A,[A,

A?22

*

A-WP=PJP2，則P/BP=,即B可相似

對(duì)角化.故選D

二、填空題（本題共6題，每題7.0分，共6分。）

「AT+2N.It

lim-———r1rarctanx=——

8、設(shè)一人一2,則2=,b=

標(biāo)準(zhǔn)答案：a=I,b=-2

知識(shí)點(diǎn)解析：由

..or+2|1|.K"工=_三得紇==

hm-；—T-arctanj：=一行1

#?-8ar-Ix|Z6+126+1,BPa=b+3：

I.ar4-2|x|._A%士工得紇匕

limrH一j—arctanx=不2=_=-1

由，T8bx-\x\/b-l26-1,gya=_b

—1;解得a=l,b=—2.

產(chǎn)=tz-+3,

9、曲線(xiàn)'e'sint—y+1=°在t=。對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的法線(xiàn)方程為

24-1-A

標(biāo)準(zhǔn)答案：y=e"e

dy_dy/dr

知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)t=0時(shí)，X=3,y=L"/曲，而

—=2t—2?e*cost+ey學(xué)sin￡—學(xué)

dr&dt=o,將i=o代入得

"I=一2,字|業(yè)|=一啟

dfIidtIt-o=e.于是切線(xiàn)的斜率為drIi2,于是法線(xiàn)為y=]

22,.6

——x十1

=e（X-3）,即法線(xiàn)方程為y=ee.

fe-j

”=什皿確定，則會(huì)L=

10、設(shè)丫=丫（%）由）-1

2e?

標(biāo)準(zhǔn)答案：（e+1"

「'JL力”dt

知識(shí)點(diǎn)解析:由JHI取廣

eMdue_**du

0代入得J】=l-y?解得y=l.=%+l—y兩邊對(duì)x求導(dǎo)得

-J?蟲(chóng)!=1一立"I=1

Ardx,從而dr°14-e-1e+1.

3.叱=1一把

dzdz兩邊再對(duì)力求導(dǎo)得

_2v/力+e-J.道=一心也I0=絲—

Idx）十0dx2dot從而業(yè)？J（e+1）3.

/（川加+/(x,>)dty

II、

rifi+J

_dy

標(biāo)準(zhǔn)答案：Jof（x，y）d%

知識(shí)點(diǎn)解析：二重積分的積分區(qū)域?yàn)榭?｛（%,y）Il-y<x<H-y2,0<y<l）,則

JodjJ]/(N,y)dy+rzdri/(X)d>，=rid>ri+/

l4yrr^JoJ1-,/(z,y)clr.

Kmy（z）

12、微分方程y"—3y，+2y=2e，滿(mǎn)足，肝工=1的特解為.

標(biāo)準(zhǔn)答案：y=-3e*+3e2x-2%e，

知識(shí)點(diǎn)解析：特征方程為#-3入+2=0,特征值為九|=1,九2=2,y〃-3/+2y=

。的通解為y=C|C，+C2e2%.令原方程的特解為yo0c）=A%/,代入原方程為A=

-2,原方程的通解為y=Cle，+C2e2y—2%e”由或工=1得y（o）=o,y，（o）=1,

代入通解得Ci=-3,C2=3,特解為y=-3，+3e2，-2也.

13、已知三階方陣A,B滿(mǎn)足關(guān)系式E+B=AB,的三個(gè)特征值分別為3,—3,

0,則IB"+2EI=.

標(biāo)準(zhǔn)答案：一8

知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳的特征值為3,—3,0,所以A—E的特征值為2,—4,—

1,從而A-E可逆，由E+B=AB得（A-E）B=E,即B與A-E互為逆陣，則B

的特征值為彳'了，-1,B」的特征值為2,-4,-L從而B(niǎo)"+2E的特征值

為4,-2,1,于是IB"+2EI=-8.

三、解答題（本題共9題，每題7.。分，共9分。）

1鏟…，

14、設(shè)f（%）二階可導(dǎo)，且f（0）=0,令呢）='?！?°。（I）確定a的取值，

使得g（x）為連續(xù)函數(shù)；（n）求g，（x）并討論函數(shù)gk）的連續(xù)性.

Iimg（x）=limZ<x）=nmZ（x）-/（o）

標(biāo)準(zhǔn)答案：（I）一。I工?一。N=f（0）,當(dāng)a=f（0）時(shí)，

士（土）一八工）

g（x）在叉=0處連續(xù).（口）當(dāng)/0時(shí)，g'（%）=/,當(dāng)叉=0時(shí)，

/（0）=hm3*?二lim=Ilim△三）-/1。）=1八0）,

X-0Xx-*OXZX2

工八工七八七x#0,

X

于是gz（x）.

-yf（0）,X=0.

因?yàn)閘img'（z）==lim3■士43

jr-。XX

=limf8T（0）-lim這字（°?

LOXX

=.（0）-°⑹=。（0）=M（0），

r-MiX，

所以g'Cc）在％=o處連續(xù).

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

71

15、設(shè)牝，、a+b1心晶司gaVb-Y證明:存在我昨⑶

r(7)tan^-=r(f)

b),使得

標(biāo)準(zhǔn)答案：令g(%)=—cos/，gr(x)=sin/^o(a<x<b),由柯西中值定理，存在

f⑹一/(a)=二(獻(xiàn)

ne(a,b),使得(盤(pán)，6),使得cos—coMsi”；令心尸⑥悌h<%)=

cos%^0(a<x<b),由柯西中值定理，存在樂(lè)(a,b),使得

=/(e)

si【必一sinacoM

從而(cosa-cosb)嘿(sinb-siG

siniy

于是f5).COSfl-cos6%或3

sin"sinb—sinaCOS^siniy----,中=焉，

故/卬tan守=八◎鬻.

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

In(cos。-J?)

lim

X-0J/(r-t)dt

16、設(shè)f(%)連續(xù)且f(0)=0,f(0)=2,求極限

z

標(biāo)準(zhǔn)答案：由公敢-t)dt=To/f(%—t)d(%—1)=—Jx°f(u)du=Jof(u)du再由

f/(x—Odt

lim-------j-------=lim

XL。

t)dt?/2,

于是lim足(黑旺S二己2二Hmln(cosx—z")

iJ/(x-r)dr

lim鳴山三三3=Hmcos，1T-+/PWLA

r-0XIX

二lim/PK?半二1+lim-二11=lim呼二】+lim6—'T

LOX*-0X*-0Xx-M>X

1II__5/1—z*—1,

=~V+hm---------2-------=-1.

Lx—0x

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

其中D是由直線(xiàn)y=2,y=0,%=—2及曲線(xiàn)％=一

了所圍成的區(qū)域.

標(biāo)準(zhǔn)答案：令Di=｛（x，y）I-2<x<0,0<y<2｝,D2=｛（x，y）I一網(wǎng)7

<X<0,0<y<2},

則%2yZcLrdy=jj/ydzdy-jpr2y2也打.

也Di咒

Jj^yZclzdy=d0/sin26cos2Jdr=

（sir?0—sin"）此

所噌…尸*等圖-版

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

2______

18、過(guò)點(diǎn)P（0,一2）作拋物線(xiàn)y='z—2的切線(xiàn),該切線(xiàn)與拋物線(xiàn)及無(wú)軸圍成的

平面區(qū)域?yàn)镈,求該區(qū)域分別繞無(wú)軸和y軸旋轉(zhuǎn)而成的體積.

1Va-2+J

____X____4

標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)切點(diǎn)為（a,由2v/二彳a,解得a=3,則

■L=21

切線(xiàn)方程為y+彳--2（x-0）,即y=2（x-

V.=~（工一1）2dz—nJ（x—2）dz=/，

Vy=2Kfx?~（x-l）dx—2K[x?《工—2dr=陛.

?）J1ZJ25

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

19、求z=%2-2y2+2x+4在區(qū)域%2+4y2<4上的最小值和最大值.

z；=2N+2=0fx=-1

標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)J+4y2V4時(shí)，由iz；=_4y=0j=0,且以_|,0)=

fr=2cost

3；當(dāng)￡+4y2=4時(shí)，令I(lǐng)》=sinf(0<t<27r),則z=4cos2t—2sin2[+4cosl+4=

2

6cost+4cost+2=33,當(dāng)cos=-3時(shí)，zmjn=當(dāng)cost=l

4_

時(shí)，Zmax=12,故z=p-2y2+2x+4在￡+4y2"上的最小值為3,最大值為

12.

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

20、設(shè)曲線(xiàn)y=y（%）過(guò)（0,0）點(diǎn)，M是曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，MP是法線(xiàn)段，P點(diǎn)在X軸

上，已知MP的中點(diǎn)在拋物線(xiàn)2y2=9（上，求此曲線(xiàn)的方程.

1

標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)M（x，y）,則法線(xiàn)方程為Y-y=-J（X-z）.令丫=0得*=丫/+

%,于是P點(diǎn)坐標(biāo)為（yy'+x，0）.MP的中點(diǎn)坐標(biāo)為122\它位于給

d（y）

2

定的拋物線(xiàn)上，于是有方程y2=yy，+2x，即加-2y=-4Z＞所以丫2/』2夜

2x2z22z

+e-+C由y（0）=0得C=-1,所求曲線(xiàn)方程為y=l+2Z-e.

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

1b-2

aa4-1-5

21、設(shè)A是三階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩廬，存在可逆矩陣P=1211J,使得MAP=

1002

0205

00-1又a二-1，且A*a=卜ia.（I）求常數(shù)a,b的值及火（n）求IA*

+3EI

標(biāo)準(zhǔn)答案：（I）A的特征值為為=1,屹=2,入3=—1，令

-2

,。3=-5,

1顯然Aai=ai，Aa2=2a2，Aa3=-

（13，即（I],a2，（X3為分別屬于九I—1，九2—2,九3——1的特征向量，因?yàn)锳是實(shí)

a?a3=O’

對(duì)稱(chēng)矩陣，所以。=°，解得a=,b=-2.A*的特征值為

夕=-2,lAL=一1,中

福a2人=2,由a3=-a得a是矩陣A的屬于特征值入3=

一1的特征向量，從而a是A”的屬于特征值2的特征向量，即口=2.(U)A*+3E

的特征值為1,2,5,則IA'+3EI=10.

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

1

_a

713

_

痣6

±

73C

22、設(shè)A為三階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩隴，旦存在正交矩陣Q=

200

0-10

°°1,又令B=A?+2E,求矩陣B.

200

0-10

標(biāo)準(zhǔn)答案：由Q[AQ=l°°】J得A的特征值為儲(chǔ)=2,心=一1，足=1，且

(1)

Q=2對(duì)應(yīng)的特征向量為考白=U.由八丁=人得BT=(A?+2E)T=(A2)T+2E=

A2+2E=B,即B為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣.顯然B的特征值為貓=6,九2=M=3,且B相

1

1

應(yīng)于特征值入1=6的特征向量為&=I】I設(shè)B的相應(yīng)于入2=入3=3的特征向量為

為

工2

匕=14)，因?yàn)閷?shí)對(duì)稱(chēng)矩陣不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交，所以占，=0,即

十殍十X3=。，于是B的相應(yīng)于特彳止值入2=心=3的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為及=

1-1-1600

令P=110?由P~1BP=030得

101003,

-1-1600411

1，&=0B=P030尸=141.

01003,114

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

考研數(shù)學(xué)(數(shù)學(xué)二)模擬試卷第2套

一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)

/

1「設(shè)—limX/'(4)=,li^m-J/(a;)=-a',則()

A、f(x)在x=0處連續(xù)，但未必可導(dǎo)。

B、f(x)在x=0處極限存在，但未必連續(xù)。

C、f(x)在x=0處可導(dǎo)，且f(x)=a。

D、以上結(jié)論均不正確。

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

知識(shí)點(diǎn)解析：在求解本題時(shí)，考生需要將f(x)在x=0處的左、右導(dǎo)數(shù)f」(0),f+，(0)

f\x)f'(x)

和r(x)在.x=o處的..左、右極,限,「limo,,lim區(qū)分開(kāi)來(lái)。由

lim/*(%)==a,只能得出"J''a,'但不能保證f(x)在X=O處可

導(dǎo)、連續(xù)、極限存在。故本題選D。

2設(shè)z”,加"2#(廠(chǎng)1)皿in需LJ()

A、1

B、2

C、3

D、4

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

導(dǎo)得

求偏

于y

y)關(guān)

f(x,

數(shù)z=

：函

法一

析：方

點(diǎn)解

知更識(shí)

打

更

式得

)代入上

(0，1

將點(diǎn)

打

擊=2。

>

(0,1

是

y,于

y)=2

=f(0,

,得z

,y)

z=f(x

函數(shù)

0代入

將x=

二：

方法

一

打

=2。

Bo

題選

故本

為()

線(xiàn)條數(shù)

的漸近

線(xiàn)>

3、曲

0

A、

B、1

C、2

D、3

：D

答案

標(biāo)準(zhǔn)

=8

l+f

lime力

。因

近線(xiàn)

直漸

條垂

的1

曲線(xiàn)

x=0是

所以

*

LO

因?yàn)?/p>

析：

點(diǎn)解

知識(shí)

,

/=8

X/l+

lime

線(xiàn)為

斜漸近

曲線(xiàn)的

。設(shè)

近線(xiàn)

平漸

在水

不存

曲線(xiàn)

所以

為