考研數(shù)學(xué)二（線性方程組）模擬試卷1（共282題）

考研數(shù)學(xué)二（線性方程組）模擬試卷1

（共9套）

（共282題）

考研數(shù)學(xué)二（線性方程組）模擬試卷第

1套

一、選擇題（本題共/。題，每題1.0分，共/o分。）

1、某五元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣經(jīng)初等變換，化為

1-123-4

10015-2.

L0°°2°.則自由變量可取為⑴X4,X5.⑵X3,X5.⑶X],

X5.（4）X2?X3.那么正確的共有（）

A、1個(gè).

B、2個(gè).

C、3個(gè).

D、4個(gè).

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識點(diǎn)解析：因?yàn)橄禂?shù)矩陣的秩r（A）=3,有n—r（A）=5—3=2,故應(yīng)當(dāng)有2個(gè)自由

1-121

I001,

變量.由于去掉X4,X5兩列之后，所剩三階矩陣為100°」因?yàn)槠渲扰cr（A）

不相等，故X4,X5不是自由變量.同理，X3,X5不能是自由變量.而XI，X2與

-12313-4

015與05-2

X2,X3均可以是自由變量，因?yàn)樾辛惺?02020

都不為0.所

以應(yīng)選B.

2、已知ai,a2,a3；2匕方程組Ax二b的三個(gè)不同的解，那么卜列向里ai一

于(?F)

a2，ai+a2—2a3,,aj—3a2+2a3中能導(dǎo)出方程組Ax=O解的向量共有

()

個(gè)

A、4?

個(gè)

B、3?

個(gè)

、?

C2個(gè)

D、1?

標(biāo)準(zhǔn)答案：A

知識點(diǎn)解析：由Aai=b(i=l,2,3)有A(ai—。2尸Aai—Act2=b—b=0,A(ai+a2—

2a3)=Aai+Aa2—2Aa3=b+b_2b=0?

A[--(?2-a.)]=9%-"9=0,

13」3SJJA(ai—3aa+2a3)=Aai一

2_z_a)

3Aa2+2Aa3=b—3b+2b=0,那么，ai—az，aj+a2—2a3，321,ai—*

3a2+2a3均是齊次方程組Ax=0的解.所以應(yīng)選A.

3、已知ai=(l,1,—1)La2=(l，2,0)丁是齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，那么

下列向量中Ax=0的解向量是()

A、(1,一1,3尸.

B、(2,1,一3)二

C、(2,2,一5)二

D、(2,—2,6)二

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識點(diǎn)解析：如果A選項(xiàng)是Ax=0的解，則D選項(xiàng)必是Ax=0的解.因此選項(xiàng)A、

D均不是Ax=0的解.由于ai，a2是Ax=0的基礎(chǔ)解系，那么ara2可表示Ax=0

的任何一個(gè)解1亦即方程組xiai，+xia2=n必有解，因?yàn)?/p>

11:221n1：221n1：22_

12：12-*0H-1o—oH-10

L-10：-3-5」L0H-1-3」Loo：o-3」可見第二個(gè)方程

組無解，即(2,2,一5)T不能由⑴,a2線性表示.所以應(yīng)選B.

4、設(shè)n元齊次線性方程組Ax=0的系數(shù)矩陣A的秩為r,則Ax=0有非零解的充分

必要條件是()

A、r=n.

B、r>N.

C、r<n.

D、r>n.

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識點(diǎn)解析：將矩陣A按列分塊,A=(ai,a2……癡)，則Ax=O的向量形式為

x)a?+X2?2+...+xnan=O,而Ax=O有非零解Oai,a2.......3】線性相關(guān)

or(5，a2,…,a.)<nw(A)<n,所以應(yīng)選c.

5、已知4階方陣A=(ai,012,(x3,04),山,012,(x3,04均為四維列向量,其中內(nèi)陋線性無

關(guān)，若ai+2a2—ay邛,a1+012+(13+04=(3,2ai+3a2+a3+2cu=p,kj,k2為任意常數(shù),

那么Ax=p的通解為()

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

4=(a,,a2,a},a4)

■1

知識點(diǎn)解析:由ai+2a2——(13=。矢口L?！?/p>

Yl=(l,2,-1,0)T是Ax邛的解.同理丫2=(1，L1,1)、73=(2,3,1,2)T也

均是Ax邛的解，那么口=71一丫2二(。，1，一2,一1)T,r|2=Y3-Y2=(1，2,0,

1)T是導(dǎo)出組Ax=0的解，并且它們線性無關(guān).于是Ax=0至少有兩個(gè)線性無關(guān)的解

向量，有n—r(A巨2,即r(A￡2,又因?yàn)閏qg線性無關(guān)，有

r(A)=r(a1,02,03,04)>2.所以必有r(A)=2,從而n—r(A)=2,因此中，臉就是Ax=0

的基礎(chǔ)解系，根據(jù)解的結(jié)構(gòu)，所以應(yīng)選B.

6、已知削，的是非齊次線性方程組Ax二b的兩個(gè)不同的解，如，(12是對應(yīng)的齊次

線性方程Ax=0的基礎(chǔ)解系，匕，k2為任意常數(shù)，則方程組人、二15的通解是()

ii<rt?&（%+/）+-

A、2

必+

5k2（a,-a2）?⑸；6匚

B、2

）k,a,?A：（〃“：）?叁-J；

D、人必…⑶用）+^4^.

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

,（叼旦）=/（%-9）

知識點(diǎn)解析：對于A、C選項(xiàng)，因?yàn)?萬（。3=0所以選項(xiàng)人、

C中不含有非齊次線性方程組Ax二b的特解，故均不正確,對于選項(xiàng)D,雖然（仇一

次）是齊次線性方程組Ax=O的解，但它與⑴不一定線性無關(guān)，故D也不正確，所

以應(yīng)選B.事實(shí)上，對于選項(xiàng)B,由于ai，（ai—a2）與3，a2等價(jià)（顯然它們能夠

互相線性表示），故ai，（囚一a〉也是齊次線性方程組的一組基礎(chǔ)解系，而由

會他+颯）

|距+，2

=~2（b^b）=b可知，2是齊次線性方程組Ax=b的一個(gè)特解，

由非齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu)定理知，B選項(xiàng)正確.

黃?2y+1=I,

2x?3》?I=3

7、三元一次方程組x-y-L=。329,所代表的三個(gè)平面的位置關(guān)系為（）

B、

C、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識點(diǎn)解析：設(shè)方程組的系數(shù)矩陣為A,對增廣矩陣A作初等行變換，有

而r(A)=3,方程組尢解，即三個(gè)平面沒有公共交點(diǎn).又因平面的法向量，m=(l,

2,1),n2=(2,3,1),n3=(l,—1,一2)互不平行.所以三個(gè)平面兩兩相交，圍

成一個(gè)三棱柱.所以應(yīng)選C.

8、設(shè)A是mxn矩陣，Ax=。是非齊次線性方程組Ax=b所對應(yīng)的齊次線性方程

組，則下列結(jié)論正確的是()

A、若Ax=0僅有零解，則Ax二b有唯一解.

B、若Ax=O有非零解，則Ax=b有無窮多個(gè)解.

C、若Ax=b有無窮多個(gè)解，則Ax=O僅有零解.

D、若Ax=b有無窮多個(gè)解，則Ax=O有非零解.

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

知識點(diǎn)解析：因?yàn)椴徽擙R次線性方程組Ax=O的解的情況如何，即r(A戶n或!XA)V

n,以此均不能推得r(A)=r(A；b)所以選項(xiàng)A、B均不正確.而由Ax=b有無窮多個(gè)

解可知，r(A)=r(A；b)<n.根據(jù)齊次線性方程組有非零解的充分必要條件可知，

此時(shí)Ax=O必有非零解.所以應(yīng)選D.

「0

0

2

9、要使一」都是線性方程組Ax=O的解.，只要系數(shù)矩陣A為()

A、[—2111.

20

B、0I

[-102

C、101-1

0I-I

4-2-2

D、-0?>

標(biāo)準(zhǔn)答案：A

知識點(diǎn)解析：由題意，白、及與A的行向量是止交的，對于選項(xiàng)A,因(一2,1,

1)41=0,(—2,1,1)自2=0，而逐一驗(yàn)證可得，其他三個(gè)選項(xiàng)均不滿足正交條

件.所以應(yīng)選A.

10、設(shè)A為n階矩陣，A1"是A的轉(zhuǎn)置矩陣，對于線性方程組⑴Ax=0和

(H)ATAX=0,必有()

A、⑴的解是(口)的解，(II)的解也是⑴的解.

B、⑴的解是(口)的解，(5的解不是⑴的解.

C、(口)的解是⑴的解，⑴的解不是(口)的解.

D、(11)的解不是(1)的解.，(【)的解也不是(11)的解.

標(biāo)準(zhǔn)答案：A

知識點(diǎn)解析:如果a是⑴的解，有Aa=0,ATAa=AT(Aa)=AT0=0,即a是(D)

的解.故⑴的解必是(口)的解.反之，若a是(II)的解，有ATAa=0,用/左乘可

得/(A】Aa)=(aAr)(Aa)=(Aa)T(Aa)=al()=O,若設(shè)Aa=(bi，b?，…，bn)?那么

T222

(Aa)(Aa)=bj+b2+...+bn=0^bj=0(i=1,2,…，n)即Aa=0.亦即a是⑴的解.因

此(n)的解也必是⑴的解.圻以應(yīng)選A.

二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)

11、設(shè)A為3x3矩陣，且方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系含有詼個(gè)解向量，則

r(A)=.

標(biāo)準(zhǔn)答案：1

知識點(diǎn)解析：由線性方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)與系數(shù)矩陣的秩的和等于

未知數(shù)的個(gè)數(shù)，且本題系數(shù)矩陣為3x3階，因此r(A)=n—r=3—2=1.

12、設(shè)A是一個(gè)五階矩陣，A*是A的伴隨矩陣，若中1］是齊次線性方程組Ax=0

的兩個(gè)線性無關(guān)的解，則r(A*)二.

標(biāo)準(zhǔn)答案：0

知識點(diǎn)解析：m，m是齊次線性方程組AX=O的兩個(gè)線性無關(guān)的解.因此由方程組

的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)與系數(shù)矩陣秩的關(guān)系，Wn-r(A)>2,即r(A)$3.又

因?yàn)锳是5階矩陣，而r(A)W3,因此IAI的4階子式一定全部為0,因此代數(shù)余

子式Aij,恒為零，即A*=O,所以r(A*)=0.

.3x)?&x2一盯=0.

4X2-x,=0,

13、方程組L必.5=0有非零解，則1<=.

標(biāo)準(zhǔn)答案：一1

知識點(diǎn)解析：一個(gè)齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是方程組的系數(shù)矩陣對

3左-1

4-1

04-1=3=12(4+1)=0

4k

應(yīng)的行列式等于零，即04k因此得k=—l.

11r

A-20I.

14、設(shè)L-1I?！?，A*是A的伴隨矩陣，則A*x=0的通解是.

標(biāo)準(zhǔn)答案：ki(l,2,一0,1)T

知識點(diǎn)解析：A是一個(gè)3階矩陣，由已知得|A|=0,且r(A尸2,因此r(A*尸1,

那么可知n—r(A*)=3—1=2,因此A*x=0有兩個(gè)基礎(chǔ)解系，其通解形式為

k]r)]+k2r|2.又因?yàn)锳*A=IAIE=0,因此矩陣A的列向量是A*x=0的解，故通解

TT

是k|(l,2,-l)+k2(b0,1).

?2x|+AX2一3=瓦.

AX|-Xj?ij?b2,，

15、已知方程組+5盯-5)=8總有解，則人應(yīng)滿足的條件是

4

A#1且入#"7"

標(biāo)準(zhǔn)答案：$

知識點(diǎn)解析：對于任意的b|,b2,b3,方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣A

的秩為3,即IAI#),由

2A-12A-1

IAI=A-I1A-11=(5A+4)(人-1)#0,

45-55A+400

4

可知入/1且入X-彳.

3X(-*2-6x}xa?2,

16、已知方程組t?llx,=a+3有無窮多解，那么a=

標(biāo)準(zhǔn)答案：3

知識點(diǎn)解析：線性方程組Ax二b聲解的充分必要條件是:"4)而有無窮多

解的充分必要條件是「(A)=「(')＜匕對增廣矩陣作初等行變換，有

22

3-1-6a+20-412-2a

-1411a+3-93

1212

0303

2-2a-006-2a-

-0由于r(A)=2,則可以推出

6—2a=0,因此方程組有無窮多解的充分必要條件是a=3.

?i--<?巧=3,

2?|-3?j=1,

17、已知川，C12是方程組-2斫+5?10。=4的兩個(gè)不同的解向量，則

a=.

標(biāo)準(zhǔn)答案：一2

知識點(diǎn)解析：因?yàn)閍i，(X2是方程組的兩個(gè)不同的解，因此該方程組有無窮多解,

即系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相等，且均小于3,對增廣矩陣作初等行變換有

-1-a11-3

0-3002-5

.—2a10\4.JI。a-210—2a：10Lo0(2a—7)(a4-2)：—5(a?2)-

因此a=-2時(shí)，系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相等且均為2.故a=-2.

18、四元方程組Ax=b的三個(gè)解是ai,a2,a3，其中ai=(l,1,1,1)1，。2+&3=(2,

3,4,5了，如果r(A)=3,則方程組通解是.

標(biāo)準(zhǔn)答案：(1,1,1,l)T+k(0,1,2,3)T

知識點(diǎn)解析：根據(jù)?2+a3)—2a]=(€(2—川)+(012-川)=(2,3,4,5)T—2(1,1,

1,l)T=(0,1,2,3兒因此可知(0,I,2,39是Ax=0的解.又因?yàn)閞(A)=3,n

—r(A)=l,所以Ax=b的通解為(1,1,1,l)T+k(0,1,2,3)T.

19、設(shè)ai攻6,一1,1)1與a2=(—7,4,2)T是線性方程組為+5〃+4=8

的兩個(gè)解，那么此方程組的通解是__________.

標(biāo)準(zhǔn)答案：(6,-1,I)T+k(13,-5,一l)T(k為任意常數(shù))

知識點(diǎn)解析：一方面因?yàn)樗?，s是非齊次線性方程組Ax=b的兩個(gè)不同的解，因此

一定有r(A)=r(A)<3.另一方面由于在系數(shù)矩陣A中存在2階子式

13

-1>0.

25因此一定有r(A巨2,因此必有r(A)=r(A)=2.則n一r(A)=3-

2=1,因此，導(dǎo)出組Ax=0的基礎(chǔ)解系由一個(gè)解向量所構(gòu)成，根據(jù)解的性質(zhì)可知四

T

—a2=(6,-1,1)-(―7,4,2)T=(13,-5,-1)T,是導(dǎo)出組Ax=0的非零

解，即基礎(chǔ)解系，那么由非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)可知(6,-1,l)T+k(13,一

5,-1)丁代為任意常數(shù))是方程組的通解.

三、解答題(本題共萬題，每題1.0分，共萬分。)

設(shè)A二E一凄T,其中E是n階單位矩陣，q是n維非零列向量，三是《的轉(zhuǎn)置.證

明：

20、A?=A的充分條件是《?=1；

標(biāo)準(zhǔn)答案：A?=(E—殳D(E—匡—2法T+4自丁&紇T九一(2一&")壇丁因此

A2=A—E—(2—九一］低TR因?yàn)閷?dǎo)o,所以比丁翔，因此

A?二A的充分條件為彳%=1.

知識點(diǎn)解析：暫無解析

21、當(dāng)時(shí)，A是不可逆矩陣.

標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)時(shí)，由A=E一比丁可得一壇一片0,因?yàn)?0,因

此Ax=O有非零解，BPIAI=0,所以A不可逆.

知識點(diǎn)解析：暫無解析

A

22、設(shè)已知方程組Ax=b有無窮多解，求

a的值并求其通解.

標(biāo)準(zhǔn)答案：由題干可知，線性方程組Ax二b有無窮多解R")(八對線性

方程組Ax=b的增廣矩陣作初等行變換，

!21I2TI2I：I

A=23a*230-—0I-a；-1

0-1L02-3I--00(<J-3)(a*l);a-3-

當(dāng)a=3時(shí).有r(A)=r(4)=2<3.

那么

7

-3

0

故方程邠4r=。的通M為(3.?1.0尸**(-7.3.1)\

知識點(diǎn)解析：暫無解析

23、設(shè)aim……as為線性方程組Ax=O的一個(gè)基礎(chǔ)解系，p產(chǎn)tg+t2a2，

02=Uai+t2a3，…，Bs=tia1+t2ai，其中11，12為實(shí)常數(shù).試問U，12滿足什么條件

時(shí)，P1P2……又也為Ax=O的一個(gè)基礎(chǔ)解系.

標(biāo)準(zhǔn)答案:因?yàn)槌?i=1,2,s)是ai,a2.......as的線性組合，且ai,ct2........as是

Ax=O的解，所以根據(jù)齊次線性方程組解的性質(zhì)知限日，2,s)均為Ax=O的

解.由ai,a2.......as是Ax=O的基礎(chǔ)解系,知s=n—r(A).以下分析。魚...氏線性

無關(guān)的條件：設(shè)kiBi+k2B2+…+ksBs=O,即

(tiki+t2ks)a\+(t2ki+tik2)a2+(t2k2+Uk3)a3+…+(t2ks"+t|ks)as=O,由于cq,(?2.......四線

性無關(guān)，因此有

。即?，內(nèi)=。，

=0,

+，禹=0,(?)

114,-0.

又因系數(shù)行列式

<.00…0G

t2t|0???00

0t,-00=?；?(-

????

????

000???41(

當(dāng)tj+(—l)s+lf2s和時(shí),方程組(*)只有零解k產(chǎn)k2i.=ks=0.因此當(dāng)S為偶數(shù),

tl#tt2,或當(dāng)S為奇數(shù)，t|聲一t2時(shí)，PlP2.......Ps線性無關(guān).

知識點(diǎn)解析：暫無解析

24、已知平面上三條不同直線的方程分別為1］：ax+26y+3c=0,h：

bx+2cy+3a=0,I3：cx+2ay+3b=0,試證這三條直線交于?■點(diǎn)的充分必要條件為

a+b+c=0.

標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一：必要性：設(shè)三條直線h，12,13交十一點(diǎn)，則其線性方程組

3?2by=-3c,

bx+2cy=-3a,(I)

火.lex?2ay=-3b,

2ba2b-3c

有唯第，故系數(shù)矩防人1c與增廣矩陣AbA■兒的次均為2,手足|4|-0.

2a-■c2a-36

a26-3c

因?yàn)锳|=b2c-3a=6(a?分?c)(a:?b?r*-ab-ac?be)

Ie2a-3b

=3(a?6+c)[(a-6)"+(b-e)，+(c-a)，].

但根據(jù)題設(shè)可知(a-6)'+(6-c)‘?(c-a)'#0.故a+c=0.

充分性：

由a=0.羯從必要性的證明中可知"Zl=0.故，(彳)<3.由尸

;■2(ac-62)?■2[(a??；4)+■!■&[■0,

故「(/)=2.于是.

r(A)=r(A)=2.

因此方程組(I)行蟀一解.即三A：線八*，、交于一點(diǎn)-

知識點(diǎn)解析：暫無解析

Xi-8巧+10xj+2X4=0,

(1)2xj+4X2+5xj-x4=0,

3xt+8X2+6X3-2X4=0；

r2x,-3X2-2xy+x4=0,

(2)3h+5X2+4X3-2X4=0,

25、求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系:Rxi+7x,+6r3-3X4=0；

(3)nxi+(n-l)X2+...+2xn-i+xn=0.

2]r040

1-810

一

/=2451s0I-f-J

標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)方程組的系數(shù)矩陣386-210000J所以

r(A)=2,因此基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)為4—2=2,又原方程組等價(jià)于

X4=5,得x尸一4,X2=2；取X3=0,得X|=0,

O-

I

0

[4‘(2)方程組系數(shù)矩陣

X2=l.因此基礎(chǔ)解系為

,2-3-2

A=354.147,

8761919

ooo」得「(人)=2,基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)為

4—2=2.又原方程組等價(jià)于19’19’取*3=],X4=2得X[=0,X2=0：取

7

0

X3=o>X4=19,得X|=l,X2=7.因此基礎(chǔ)解系為19(3)i己A=(n,n

一1,…，1),可見r(A)=L從而有n—1個(gè)線性無關(guān)的解構(gòu)成此方程的基礎(chǔ)解

系，原方程組為Xs=-nxi—(n―1)x2—…一2xn“.取X]=l,X2=X3=...=xx.i=0,

--

得Xn=-n；取X2=l,x?=X3=X4=...=xx.i=0,xn=(n1)=—n+1：........MXxn.

1=1,Xi=X2=...=Xn-2=0>得Xn=-2.所以基礎(chǔ)解系為

10-0'

0I-0

出,6???￡G-：：：?

00-I

L-n-n?I-2」

知識點(diǎn)解析：暫無解析

26、求一個(gè)齊次線性方程組，使它的基礎(chǔ)解系為&=(0,1,2,3)^^=(3,2,

1,0)T.

標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)所求齊次方程為Ax=0,0，〃是4維列向量，基礎(chǔ)解系含有2個(gè)向

量，因此r(A)=4—2=2,即方程的個(gè)數(shù)大于等于2.記B=(&,&2)，即有AB=0,且

r(A)=2即BTAT=0Kr(AT)=2.所以A1"的列向量就是BTx=O的一個(gè)基礎(chǔ)解

3?23

8,=(&e=L-61h0-I-2

得基地解系7

二；：；卜

對應(yīng)其次線性方程終為

X]-2x,?x,?0.

(x

系.I2x-3x,?t=0.

知識點(diǎn)解析：暫無解析

i：'，n：|1，'

[x

設(shè)四元齊次線性方程組一/二0；2-x3+x4=0,求:

27、方程組I與n的基礎(chǔ)解系；

標(biāo)準(zhǔn)答窠：求方程組I的基礎(chǔ)解系：系數(shù)矩陣為

[II00卜[]001]

10I0-l010-lJ

分別取[[=[J和IT，箕基礎(chǔ)解系可取為

求方程II的基礎(chǔ)第系：

系數(shù)樂陣為

P-110|sp00I]

loI-Il01-IlJ

分別取「[=和[;)],其基礎(chǔ)解系可取為

0

￡=：e=

0

知識點(diǎn)解析：暫無解析

28、i與n的公共解.

標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)X=(X],X2,X3,X4)T為I與II的公共解，用兩種方法求X的一般表達(dá)

式：方法一：x是I與II的公共解，因此X是方程組HI的解，方程組DI為I與n聯(lián)

立的方程組，即

X,+Xj=0,

Xj-x4=0,

x2-x,?x4=0.

方法二:以1的通解x=(c,.-cj，代人n得

Cj=-2c(.

這表明I的餅中所有形如(q,-C,t-2q?-C)T的解也是11的*.從而是I與II的公共解.因

此I與口的公共解為

,AeR

2

知識點(diǎn)解析:暫無解析

■1-1-inr-r

A=-11i-

設(shè)0-4-2?-一2?

29、求滿足A及=&,A2片自的所有向量々，&3；

標(biāo)準(zhǔn)答案：對增廣矩陣(A：0)作初等行變換，則

0-4-2匚2」Lo00：0」得Ax=0的基礎(chǔ)解系(1,一1,

2)1和Ax=。的特解(0,0,19.故々二(0,0,l)T+k(l,-1,2/或々=(k,

2201

4'=—2—20

2k,2k+l)T,其中k為任意常數(shù).由于440J，對增廣矩陣（A?；&）作

I

2200:

2

-2-20

000：0，

4400」得A2x=0的基礎(chǔ)解

初等行變換，有00oi

系（一1,1.0）T,（0,0,1）T.又A2X=.有特解（-亍°'°）.故

麻=（一。,0,0『?”-1,1.0）1+，40.0,1）丫或￡,二（?}―，出山）‘，計(jì)43…

'21'2，其中U，12為任思

常數(shù).

知識點(diǎn)解析：暫無解析

30、對⑴中任意向量回和自3,證明自，々，3線性無關(guān)?

\_

-Ik-y-1|o°-T

=

I卻卻卻I=]-i（1I-A

-22A+Il2-22A+Ih

2

標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閘-2

所以，國，

42?之線性無關(guān).

知識點(diǎn)解析：暫無解析

A1I]Ca-

4=0A-10/:1

設(shè)L14」L」已知線性方程組Ax=b,存在兩個(gè)不同的解.

31、求人，a：

標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知可得，線性方程組Ax=b有兩個(gè)不同的解，則

'⑷="4）＜兒.故IAI=0,即

A1I|

0A-I08(A-1)=(A>l)(A-I)2=0

可得A=I或A=-I.

當(dāng)入=I時(shí).有"人）=!.r（4）=2,此時(shí)線性方程組無解.

當(dāng)人=?1時(shí).

1：a*irii-：

A?0\I-0-20

-1H-I1。ooa2-

若a=-2.則r（A）=r（A）=2,方程組Ax=b有無窮多解.

故入=-1,a--2.

知識點(diǎn)解析：暫無解析

32、求方程組人*$的通解.

標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)X=-1,a=—2時(shí),

3_

0I

A_±

2

00i0J

所以方程組?5的通解為（；，-y.0）?&（1.0,1）'.其中￡是任意常收

知識點(diǎn)解析：暫無解析

33、已知齊次線性方程組

>x)+2X2+3x3=0,

X,+bx2+cx3=0,

(I)lx,+3X+5x=0,和（U）

232x,+b2x+(c+1)x=0.

l23

X|+x2+ax3=0.

同解，求a,

b,c的值.

標(biāo)準(zhǔn)答案：由于方程組（口）中“方程個(gè)數(shù)V未知數(shù)個(gè)數(shù)”，所以方程組（口）必有非零

解.那么方程組⑴必有非零解.⑴的系數(shù)矩陣行列式為0,即

I23

235s2-a=0.得a?2.

對方程組⑴的系數(shù)矩陣作初等行變換，有

I23123101

2350-1-I011

2-?0-I-I?000則方程組⑴的通解是k（一1,一1,1）丁.由已

知，則(一1,一1,1)T也是方程組(口)的解，則有

-1-6?c=0.

I-2**c?I-0.

得6=1.c=2或6MO.c?I.

當(dāng)b=\,c=2時(shí).方程組(D)為廣+/+2x,=0,其通解是H-l,-I/)'.所以方程組

(I)與(H)同解.

當(dāng)6=0.c=I時(shí),方程組(U)為+"=°?由于?D)=］而”|)=2.故方程綃

i2X|?2x,=0.

(I)與(。)不同解,則6=0,c=I應(yīng)含去?

練上,當(dāng)a=2,6=l.c=2時(shí),方程組(I)與(II)同解.

知識點(diǎn)解析：暫無解析

34、已知A是mxn矩陣，其m個(gè)行向量是齊次線性方程組Cx=0的基礎(chǔ)解系，B

是m階可逆矩陣，證明：BA的行向量也是齊次方程組Cx=0的基礎(chǔ)解系.

標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知可得A的行向量是Cx=0的解，即CAT=O.則

CCBA^CA'B^OB^O.可見BA的行向量是方程組Cx=0的解.由于A的行向量

是基礎(chǔ)解系，所以A的行向量線性無關(guān)，于是m=r(A尸n—r(C).又因?yàn)锽是可逆

矩陣，r(BA)=r(A)=m=n-r(C),所以船的行向量線性無關(guān)，其向量個(gè)數(shù)正好是n—

r(C),因此是方程組Cx=0的基礎(chǔ)解系.

知識點(diǎn)解析：暫無解析

考研數(shù)學(xué)二(線性方程組)模擬試卷第

―?▲

一、選擇題(本題共10題，每題上0分，共70分。)

1、非齊次線性方程組Ax=b中，系數(shù)矩陣A和增廣矩陣的秩都等于4,A是4x6

矩陣，則()

A、無法確定方程組是否有解。

B、方程組有無窮多解。

C、方程組有唯一解。

D、方程組無解。

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識點(diǎn)解析：由于非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相同是方程組有解

的充要條件，且方程組的未知數(shù)個(gè)數(shù)是6,而系數(shù)矩陣的秩為4,因此方程組有無

窮多解，故選B。

:二卜的則線性方程組。

2、設(shè)A是n階矩陣，a是n維列向量，若

A、Ax=a必有無窮多解。

B、Ax=a必有唯一解。

Aax

0

0

C、ay僅有零解。

Aax

=0

D、a0必有非零解。

標(biāo)準(zhǔn)答案；D

知識點(diǎn)解析：齊次線性方程必有解(零解)，則選項(xiàng)C、D為互相對立的命題，且其

正確與否不受其他條件制約，故其中有且只有一個(gè)正確，因而排除A、B。又齊次

[A?！翰?

線性方程組0r0y有n+l個(gè)變量，而由題設(shè)條件知,

Aai\,.、

I=r(A)宓n<n+t1

ar0J/。所以該方程組必有非零解，故選D。

3、設(shè)A為mxn矩陣，齊次線性方程組Ax=O僅有零解的充要條件是()

A、A的列向量線性無關(guān)。

B、A的列向量線性相關(guān)。

C、A的行向量線性無關(guān)。

D、A的行向量線性相關(guān)。

標(biāo)準(zhǔn)答案：A

知識點(diǎn)解析：Ax=O僅有零解-r(A)=n-A的列向量線性無關(guān)。故選A。

4、設(shè)A是mxn矩陣，B是nxm矩陣，則線性方程組(AB)x=O()

A、當(dāng)n>m時(shí),僅有零解。

B、當(dāng)n>m時(shí),必有非零解。

C、當(dāng)m>n時(shí),僅有零解。

D、當(dāng)m>n時(shí),必有非零解。

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

知識點(diǎn)解析:因?yàn)锳B是m階矩陣,Jir(AB)<min{r(A),r(B)}<min{m,n),所以

當(dāng)m>n時(shí)，必有r(AB)Vm,根據(jù)齊次方程組存在非零解的充分必要條件可知，

選項(xiàng)D正確。

5、設(shè)A是mxn矩陣，Ax=O是非齊次線性方程組Ax=b所對應(yīng)的齊次線性方程

組，則下列結(jié)論正確的是()

A、若Ax=O僅有零解,則Ax=b有唯一解。

B、若Ax=O有非零解，則,1=1>有無窮多個(gè)解。

C、若人乂力有無窮多個(gè)解，則Ax=O僅有零解。

D、若Ax=b將無窮多個(gè)解，貝ijAx=O有非零解。

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

知識點(diǎn)解析：因?yàn)椴徽擙R次線性方程組Ax=O的解的情況如何，即r(A)=n或r(A)V

n,以此均不能推得r(A)=r(A；b),所以選項(xiàng)A、B均不正確。而由人*=1)有無窮多

個(gè)解可知，r(A)=r(A；b)Vn。根據(jù)齊次線性方程組有非零解的充分必要條件可

知，此時(shí)Ax=O必有非零解。所以應(yīng)選D。

6、非齊次線性方程組Ax=b中未知量的個(gè)數(shù)為n,方程個(gè)數(shù)為m,系數(shù)矩陣的秩

為r,則()

A、r=ni時(shí)，方程組Ax=b有解。

D>r=n時(shí),方程組Ax=b有唯一解。

C、m=n時(shí)，方程組Ax=b有唯一解。

D、rVn時(shí)，方程組有無窮多個(gè)解。

標(biāo)準(zhǔn)答案：A

知識點(diǎn)解析:對于選項(xiàng)A,r(A)=r=m。由于r(A；b)>m=r,且r(A：b)<min{m,

n+l}=min{r,n+l)=r,因此必有r(A；b)=r?從而r(A)=r(A；b),此時(shí)方程組有

解，所以應(yīng)選A。由B、C、D選項(xiàng)的條件均不能推得“兩秩”相等。

7、己知ai,a2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個(gè)不同的解，那么

113

a,-3a2,--(2a.+%),彳5+彳。中，仍是線性方程組Ax-b特解的共有

()

個(gè)

A、4o

個(gè)

B、3o

個(gè)

C、2o

個(gè)

D、1O

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

4(4。］-3a2)=4人必-3Aa2=b,

A

知識點(diǎn)解析:由于Aa尸b,Aa2=b,那么^°'，7%)=7杭‘了一瓦可

知刎-3a2,產(chǎn)+產(chǎn)均是Ax=b的解。而

4(%-%)…心如+司=部，可矢產(chǎn)-2%/(陰+%)不是A、二b的

解。故應(yīng)選C。

8、設(shè)aigg均為線性方程組Ax=b的解，下列向量中

-羽+3.-4%可以作為導(dǎo)出組A、、。的解向量有

()個(gè)。

A、4?

B、3。

C、2o

D、lo

標(biāo)準(zhǔn)答案：A

知識點(diǎn)解析：由于Acq=Aa2=Aa3=b,可知A(ai-012尸Aai—Aa2=b—b=0,A(ai—

2a2+a3尸Aa?-2Aa2+Aa3=b-2b+b=0

AR(6一％)]=4-(Aa]-Xa3)=~b)=0,

14J44A(ai+3a2-4a3)=Aa)+3Aa2—

4Aa3=b+3b-4b=0o這四個(gè)向量都是Ax=0的解，故選A。

9、已知四,a2,a3是非齊次線性方程組Ax二b的三個(gè)不同的解，那么向量

2

加萬(％?%)&-3%?兄中，是對應(yīng)齊次線性方程組A*、。

解向量的共有()

A、4o

B、3。

C、2o

D、lo

標(biāo)準(zhǔn)答案：A

知識點(diǎn)解析：由Aai=b(i=l,2,3)有A(oq—a2)=Aaj—Aa2=b一b=0,A(ai+a2—

2a3尸Aai+Aot2-2Aa3=b+b-2b=0,

A[^-{a2-aj]=/口--rAaj=。-yb=0,

I3J3333A(ai-3a2+2a3)=Aai—*

3Aa2+2Act3=b—3b+2b=0,即ai—(12，ai+az—2a3,3包2一a。，ai—3a2+2a3均

是齊次方程組Ax=0的解。所以應(yīng)選A。

a1r

4=1a11

10、設(shè)L1Q」方程組Ax=0有非零解。a是一個(gè)三維非零列向量，若Ax=0

的任一解向量都可由a線性表出，則a=()

A、lo

B、—,2o

C、1或一2。

D、一1。

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識點(diǎn)解析：由于Ax=0的任一解向量都可由a線性表出，所以a是Ax=0的基礎(chǔ)

解系，即Ax=0的基礎(chǔ)解系只含一個(gè)解向量，因此r(A)=2。由方程組Ax=0有非零

解可得，IAI=(a-?l)2(a+2)=0,即a=l或-2。當(dāng)a=l時(shí)，r(A)=l,舍去；當(dāng)a二

一2時(shí)，r(A)=20所以選B.

二、填空題（本題共10題，每題上。分，共10分。）

3xt+kx2-Xj=0,

4X-X,=0,

{2

4x,+kx、=0有非零解，則k=o

標(biāo)準(zhǔn)答案：一1

知識點(diǎn)解析：齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是方程組的系數(shù)矩陣對應(yīng)的

13-1

4-1

04-1=3i=\2（k+1）=0

4k

行列式等于零，即104Al因此得k=-l。

陽+lx2-Xj+3X4=I,

2X1+x+4?j+3%=5,

（2

工、匚網(wǎng)致壓力悻組K+2*L*,=-6.無解，則a=

標(biāo)準(zhǔn)答案：,1

知識點(diǎn)解析：對線性方程組的增廣矩陣作初等行變換得

12-1311T12-13I-

21435-01-21-1,

-6」Lo02(1+a)-(1+a)。?6」因?yàn)榫€性方程組無

-0a2-1

解，所以系數(shù)矩陣的秩小于增廣矩陣的秩，所以戶一1。

,2%,+AX2-z3=6,,

Ax1-x2+X)=b2t

13、已知方程組4X,+5/-50=8總有解，則九應(yīng)滿足的條件是

*1且人/

標(biāo)準(zhǔn)答案:

知識點(diǎn)解析：而于任意的b|,b2,b3,方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣A

的秩為3,即

2-1

\A!=(5A+4)(A-1)#0,

4