考研數(shù)學(xué)三向量

考研數(shù)學(xué)三向量

1.【單項選擇題】已知n維向量aa2,…，a,線性無關(guān)，那么可能線性相

關(guān)的B2…，Bs是

A.把a(bǔ)i(i=l,2,…，s)中第1個分量與第n個分量互換為B「

B.把a(bǔ)“i=l,2,s)中第1個分量改為相反數(shù)是

C.把a(bǔ)Ki=l,2,…，s)中第1個分量改為。得到火.

D.把a(bǔ)“i=l,2,…，s)的第1個與第2個分量之間添加分量。為3.

正確答案：C

參考解析：利用經(jīng)過初等變換矩陣的秩不變，以及r(A)=A列秩=A行秩的三秩相

等定理.易見(A),(B)就是對矩陣

(供,a，a)~*(A/)

分別作了一次行變換,由于8.a.'".a線性無關(guān),知秩r(aa.…a)=s,從而秩r(W.

“?，艮)=5,所以他),也)必?zé)o關(guān).

因為低維向坦無關(guān),那么延伸至高維向量必?zé)o關(guān)，所以(D)必?zé)o關(guān).

只有(C)有可能線性相關(guān),例如珀=(121),曲=(342)無關(guān)，但J=(021)業(yè)=

(0.4,2)線性相關(guān).

2.【單項選擇題】設(shè)ai,a2,a3,a,是三維非零向量，則下列命題中正確的

是

若

A.aa2線性相關(guān)，a3,%線性相關(guān)，則a1+a3，a?+a］必線性相關(guān).

3若

ai,a2,a3線性無關(guān)，則a>a”，a+a,a3+a”必線性無關(guān).

C若24

a4不能由ai,a,a3線性表示，則a1，a,a：；必線性相關(guān).

若22

D.

a4能由ai,a2,a3線性表示,則a”a2,a3必線性無關(guān).

正確答案：C

參考解析：因為al,a2,a3,a4是4個3維向量，所以知a1，a2,a3,

a4一定線性相關(guān).

若a線性無關(guān)，而a：.a.aa線性相關(guān),那么a,必可由aaa線性表示,現(xiàn)

(C)中a,不能由saa線性表示,那么a;.a.a肯定線性相關(guān)，故(C)一定成立.

而當(dāng)如可由如，曲,a線性表出時aa.a既可能線性相關(guān)，也可能線性無關(guān)，故⑴)不

正確.例如

a,=(1,0,0>,a?=(0,1.0)T.a；=(0,0?0)7,a,=(1,1,0)'

有④=%+色,但aaa線性相關(guān).

關(guān)于(A),若

T

a：=(l,0,0).a?=(200>/=(0.1,0)。良=(0,3,0―

T

則有?也線性相關(guān)相弧線性相關(guān)，但3=(hl,0),a2+乩=(2,3,0)1線性無關(guān),

故(A)不正確.

如a=—①，可知(B)不iF確.

T

3.【單項選擇題】已知向量組&尸(1,0,0,4),，a2=(1,2,0,0),a

3=(0,2,3,0)T,a4=(0,0,3,a)，的秩等于3,則a=

1

AR.2

C3

D.4

正確答案：D

參考解析：易見

110

022R0

003

即三維向址(1,0,0)\(1,2.0)1.(0,2,3/線性無關(guān)，那么/a,a必線性無關(guān).因此

r(a：.aa.?i)=、ffl9(X：a.a；1=0

1100

220100

0220

而=IX033+4(-1)記220=6a—24=0

0033

00a033

400a

知必有a=4.

4.【單項選擇題】

已知四維向量組團(tuán)，的,m,見線性無關(guān)，且向坦0=?+a,+a/a2a(?

P=a+a=圖+a,氏=2ai+a2+a?則r(fii,fi2?/J.仇,0)=

A.1.

B.2.

C.3.

D.4.

正確答案：C

參考解析：將表出關(guān)系合并成矩陣形式有

10002'

rrr.01011記「

J'P'P>P.=,aaj1II?=lai，a〉aa

J-1100

=AC

因四個四維向以線性無關(guān)，故a1,a?aaI盧0.A=_saaa］是可逆矩

陣，故有

r(C)=r(AC)=r(fl,p,fi.p)

'10002''10002-'10002'

010110101101011

c=f—?

101110011-10011-1

1-11000-110-20011-1.

■10002

01011

0011-1

00000

可知r（B巾業(yè)邛）=r（C）=3,故應(yīng)選（C）.

5.【單項選擇題】若a”a2,a3線性相關(guān)，a2a3,a4線性無關(guān)，則（).

A.a1可由a2,a3線性表示

B.a4可由ai,a2,a3線性表示

C.a4可由a1,a3線性表示

D.a4可由ai,a2線性表示

正確答案：A

參考解析：對于A：由a2,a3,a4線性無關(guān)，知a2,a3線性無關(guān)，而a1，a

2,a3線性相關(guān)，故J必能由a2,a3線性表示.

對于B：若口?？捎蒩”a2,a3線性表示，而a1又能由a2,a3線性表示。則

a4就能由a2,a3線性表示，這與aa3,ad線性無關(guān)矛盾，故a,不能由a