數(shù)學(xué)：第一章《統(tǒng)計案例》教案(新人教A版選修1-2)

PAGE統(tǒng)計案例復(fù)習(xí)教案一、本章知識脈絡(luò)：統(tǒng)計案例統(tǒng)計案例回歸分析樣本點的中心隨機(jī)誤差殘差分析建立回歸模型的基本步驟回歸分析列聯(lián)表K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)判斷結(jié)論成立可能性的步驟二、本章要點追蹤：1.樣本點的中心（eq\O(x,\s\up8(－))，eq\O(y,\s\up8(－))）其中eq\O(x,\s\up8(－))＝eq\f(1,n)eq\s\di(n,∑,i＝1)xi，eq\O(y,\s\up8(－))＝eq\s\di(n,∑,i＝1)yi.2.線性回歸模型的完美表達(dá)式eq\b\lc\{(\a\vs2(y＝bx＋a＋e,E（e）＝0，D（e）＝σ2))3.類比樣本方差估計總體方差的思想，可以用eq\O(σ2,\s\up8(∧))＝eq\f(1,n－2)eq\s\di(n,∑,i＝1)eq\O(e2,\s\up8(∧))i＝eq\f(1,n－2)Q（eq\O(a,\s\up8(∧))，eq\O(b,\s\up8(∧))）（n＞2）作為σ2的估計量其中eq\O(a,\s\up8(∧))＝eq\O(y,\s\up8(－))－eq\O(b,\s\up8(∧))eq\O(x,\s\up8(－))eq\O(b,\s\up8(∧))＝eq\f(eq\s\di(n,∑,i＝1)（xi－eq\O(x,\s\up8(－))）（yi－eq\O(y,\s\up8(－))）,eq\s\di(n,∑,i＝1)（xi－eq\O(x,\s\up8(－))）2)4.我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計算公式是：R2＝1－eq\f(eq\s\di(n,∑,i＝1)（yi－eq\O(yi,\s\up8(∧))）2,eq\s\di(n,∑,i＝1)（yi－eq\O(yi,\s\up8(－))）2)R2取值越大，意味著殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果越好.5.建立回歸模型的基本步驟：（1）確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預(yù)報變量；（2）畫出確定好的解釋變量和預(yù)報變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系（如是否存在線性關(guān)系等）；（3）由經(jīng)驗確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程y＝bx＋x）；（4）按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）；（5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（個別數(shù)據(jù)對應(yīng)殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等等），若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。6.作K2來確定結(jié)論“X與Y有關(guān)系”的可信程度.三、幾個典型例題：例1某地區(qū)10名健康兒童頭發(fā)和全血中的硒含量（1000ppm）如下，血硒74668869917366965873發(fā)硒13101311169714510（1）畫出散點圖；（2）求回歸方程；（3）如果某名健康兒童的血硒含量為94（1000ppm）預(yù)測他的發(fā)硒含量.解（1）散點圖如下圖所示：（2）利用計算器或計算機(jī)，求得回歸方程：eq\O(y,\s\up8(∧))＝0.2358x－6.9803（3）當(dāng)x＝94時，eq\O(y,\s\up8(∧))≈15.2因此，當(dāng)兒童的血硒含量為94（1000ppm）時，該兒童的發(fā)硒含量約為15.2（1000ppm）.某地大氣中氰化物測定結(jié)果如下：污染源距離50100150200250300400500氰化物濃度0.6870.3980.2000.1210.090.050.020.01（1）試建立氰化物濃度與距離之間的回歸方程.（2）求相關(guān)指數(shù).（3）作出殘差圖，并求殘差平方和解析（1）選取污染源距離為變量x，氰化物濃度為自因變量y作散點圖.從表中所給的數(shù)據(jù)可以看出，氰化物濃度與距離有負(fù)的相關(guān)關(guān)系，用非線性回歸方程來擬合，建立y關(guān)于x的指數(shù)回歸方程.eq\O(y,\s\up8(∧))＝0.9293e－0.0094x（2）相關(guān)指數(shù)K2＝1－eq\f(eq\s\di(n,∑,i＝1)（yi－eq\O(yi,\s\up8(∧))）2,eq\s\di(n,∑,i＝1)（yi－eq\O(y,\s\up8(∧))）2)＝0.9915（3）編號12345678污染源距離50100150200250300400500氰化物濃度0.6870.3980.20.1210.090.050.020.01殘差0.10618570.035－0.027－0.0210.0014－0.005－0.0020.0015殘差平方和eq\s\di(n,∑,i＝1)（yi－eq\O(yi,\s\up8(∧))）2＝0.0118例3某大型企業(yè)人力資源部為了研究企業(yè)員工工作積極性和對待企業(yè)改革態(tài)度的關(guān)系，隨機(jī)制取了189名員工進(jìn)行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如下表所示：積極支持企業(yè)改革不太造成企業(yè)改革合計工作積極544094工作一般326395合計86103189對于人力資源部的研究項目，根據(jù)上述數(shù)據(jù)能得出什么結(jié)論？解：根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到K2＝eq\f(189×（54×63－40×32）2,94×95×86×103)＝10.76.因為10.76＞6.635，所以有99%的把握說：員工“工作積極”與“積極支持企業(yè)改革”是有關(guān)的，可以認(rèn)為企業(yè)的全體員工對待企業(yè)改革的態(tài)度與其工作積極性是有關(guān)的.例4有人統(tǒng)計了同一個省的6個城市某一年的人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（即人均GDP）和這一年各城市患白血病的兒童數(shù)量，如下表：人均GDP（萬元）1086431患白血病的兒童數(shù)351312207175132180（1）畫出散點圖；（2）求對的回歸直線方程；（3）如果這個省的某一城市同時期年人均GDP為12萬元，估計這個城市一年患白血病的兒童數(shù)目；分析：利用公式分別求出的值，即可確定回歸直線方程，然后再進(jìn)行預(yù)測.16題圖解：（1）作與對應(yīng)的散點圖，如右圖所示；16題圖（2）計算得，∴，，∴對的回歸直線方程是；（3）將代入得，估計這個城市一年患白血病的兒童數(shù)目約為381.評注：本題涉及的是一個和我們生活息息相關(guān)，也是一個愈來愈嚴(yán)峻的問題——環(huán)保問題.本題告訴了我們一個沉痛的事實：現(xiàn)如今，一個城市愈發(fā)達(dá)，這個城市患白血病的兒童愈多.原因在于，城市的經(jīng)濟(jì)發(fā)展大都以犧牲環(huán)境為代價的，經(jīng)濟(jì)發(fā)展造成了大面積的環(huán)境污染，空氣、水源中含有的大量的有害物質(zhì)是導(dǎo)致白血病患者增多的罪魁禍?zhǔn)?，所以，我們一定要增?qiáng)自我保護(hù)意識和環(huán)境保護(hù)意識.例5寒假中，某同學(xué)為組織一次愛心捐款，于2008年天數(shù)1234567人數(shù)711212466115325（1）作出散點圖，并猜測與之間的關(guān)系；（2）建立與的關(guān)系，預(yù)報回歸模型并計算殘差；（3）如果此人打算在2008年2月12日（即帖子傳播時間共10天）進(jìn)行募捐活動，根據(jù)上述回歸模型，估計可去多少人.分析：先通過散點圖，看二者是否具有線性相關(guān)關(guān)系，若不具有，可通過相關(guān)函數(shù)變換，轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)關(guān)系.解：（1）散點圖略.從散點圖可以看出與不具有線性相關(guān)關(guān)系，同時可發(fā)現(xiàn)樣本點分布在某一個指數(shù)函數(shù)曲線的周圍，其中是參數(shù)；（2）對兩邊取對數(shù)，把指數(shù)關(guān)系變成線性關(guān)系.令，則變換后的樣本點分布在直線的周圍，這樣就可以利用線性回歸模型來建立與之間的非線性回歸方程了，數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)化為：天數(shù)1234567人數(shù)1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784求得回歸直線方程為，∴.（3）截止到2008年2月12日，，此時（人）.∴估計可去1530人.評注：現(xiàn)如今是網(wǎng)絡(luò)時代，很多同學(xué)都會通過互聯(lián)網(wǎng)發(fā)帖子，所以此類問題為同學(xué)們司空見慣.但如何預(yù)測發(fā)帖后的效果，這卻是個新課題，通過本題你是否已明確.例6有人發(fā)現(xiàn)了一個有趣的現(xiàn)象，中國人的郵箱名稱里含有數(shù)字的比較多，而外國人郵箱名稱里含有數(shù)字的比較少.為了研究國籍和郵箱名稱里是否含有數(shù)字的關(guān)系，他收集了124個郵箱名稱，其中中國人的70個，外國人的54個，中國人的郵箱中有43個含數(shù)字，外國人的郵箱中有27個含數(shù)字.（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個2×2的列聯(lián)表；（2）他發(fā)現(xiàn)在這組數(shù)據(jù)中，外國人郵箱名稱里含數(shù)字的也不少，他不能斷定國籍和郵箱名稱里含有數(shù)字是否有關(guān)，你能幫他判斷一下嗎？分析：按題中數(shù)據(jù)建列聯(lián)表，然后根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)求出值，即可判定.解：（1）2×2的列聯(lián)表中國人外國人總計有數(shù)字432770無數(shù)字213354總計6460124（2）假設(shè)“國籍和郵箱名稱里是否含有數(shù)字無關(guān)”.由表中數(shù)據(jù)得，因為，所以有理由認(rèn)為假設(shè)“國籍和郵箱名稱里是否含有數(shù)字無關(guān)”是不合理的，即有的把握認(rèn)為“國籍和郵箱名稱里是否含有數(shù)字有關(guān)”.評注：獨立性檢驗類似于反證法，其一般步驟為：第一步：首先假設(shè)兩個分類變量幾乎沒有關(guān)系（幾乎獨立）；第二步：求隨機(jī)變量的值；第三步.判斷兩個分類變量有關(guān)的把握（即概率）有多大.例7針對時下的“韓劇熱”，某校團(tuán)委對“學(xué)生性別和是否喜歡韓劇是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中女生人數(shù)是男生人數(shù)的，男生喜歡韓劇的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡韓劇人數(shù)占女生人數(shù)的.（1）若有的把握認(rèn)為是否喜歡韓劇和性別有關(guān)，則男生至少有多少人；（2）若沒有充分的證據(jù)顯示是否喜歡韓劇和性別有關(guān)，則男生至多有多少人.分析：有的把握認(rèn)為回答結(jié)果對錯和性別有關(guān)，說明，沒有充分的證據(jù)顯示回答結(jié)果對錯和性別有關(guān)，說明.設(shè)出男生人數(shù)，并用它分別表示各類別人數(shù)，代入的計算公式，建立不等式求解即可.解：設(shè)男生人數(shù)為，依題意可得列聯(lián)表如下：喜歡韓劇不喜歡韓劇總計男生女生總計 （1）若有的把握認(rèn)為回答結(jié)果的對錯和性別有關(guān)，則，由，解得，∵為整數(shù)，∴若有的把握認(rèn)為回答結(jié)果的對錯和性別有