《建筑力學(xué)》高版本-教學(xué)課件-建筑力學(xué)-第三章(最終)

建筑力學(xué)第3章

力系的合成與平衡3.1平面匯交力系的合成與平衡3.4物體系統(tǒng)的平衡3.2平面力偶系的合成與平衡3.3平面一般力系的合成與平衡3.5考慮摩擦?xí)r物體的平衡問(wèn)題3.6空間力系的合成與平衡簡(jiǎn)介學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握平面匯交力系合成與平衡的幾何法和解析法掌握平面力偶系的合成方法及其平衡方程的應(yīng)用掌握平面一般力系的合成方法，并掌握主矢、主矩及合力矩定理的概念掌握平面一般力系平衡的充要條件及各種平衡方程的應(yīng)用掌握物系平衡問(wèn)題的解法掌握靜滑動(dòng)摩擦定律、摩擦角、自鎖條件及考慮摩擦?xí)r物體平衡問(wèn)題的解法了解空間力系的合成方法、平衡條件；掌握各類空間力系的平衡方程的應(yīng)用為便于研究，將工程中的力系按其作用線所處位置可分為兩大類：一類是平面力系，即各力的作用線均位于同一平面內(nèi)的力系；一類是空間力系，即各力作用線不在同一平面內(nèi)的力系。平面匯交力系：各力作用線匯交于一點(diǎn)平面平行力系：各力的作用線都相互平行平面一般力系：各力作用線既不匯交也不平行平面力偶系：各力構(gòu)成多個(gè)力偶平面力系空間力系也可按平面力系的分類，細(xì)分為空間匯交力系、空間平行力系、空間一般力系和空間力偶系。在工程實(shí)際中，大多數(shù)力系都是空間力系，但由于空間力系中的各力處在空間的不同位置，對(duì)其進(jìn)行力學(xué)計(jì)算多有不便，因此，為了便于計(jì)算，通常對(duì)能夠簡(jiǎn)化的空間力系盡量簡(jiǎn)化為平面力系來(lái)計(jì)算。3.1平面匯交力系的合成與平衡3.1.1平面匯交力系合成與平衡的幾何法設(shè)在某剛體上作用有由力F1、F2

、F3、F4組成的平面匯交力系，各力的作用線匯交于A點(diǎn)，如圖3-1a所示，現(xiàn)求這個(gè)力系的合力FR。先將各力沿其作用線移至A點(diǎn)，然后根據(jù)力的平行四邊形法則，先求出力F1和F2的合力FR1，接著求出力FR1與F3的合力FR2，如此類推，最后得到作用線過(guò)力系匯交點(diǎn)A的合力FR，力FR就是該平面匯交力系的合力，如圖3-1b所示。圖3-11.平面匯交力系合成的幾何法這種作圖方法顯然比較麻煩，且圖形也不夠清晰，下面介紹另一種比較簡(jiǎn)便的方法，即力多邊形法。先在任意點(diǎn)a作矢量

平行且等于力F1，又從b

點(diǎn)作矢量

平行且等于力F2，則虛線

表示力F1和F2的合力FR1的大小和方向；再?gòu)腸點(diǎn)作矢量

平行且等于力F3，則虛線

表示力FR1和F3的合力FR2的大小和方向；最后從d點(diǎn)作矢量

平行且等于力F4，則

表示力FR2

與F4的合力FR的大小和方向。FR

就是這個(gè)匯交力系的合力，如圖3-1c所示。首先選取一定比例，將力的大小表示為適當(dāng)長(zhǎng)度的線段，然后應(yīng)用力的三角形法則將各力依次合成。具體作法如下:圖3-1實(shí)際作圖時(shí)，虛線

和

可不畫出，只須按一定的比例將各力矢量首尾相連，然后用帶箭頭的直線連接第一個(gè)力的起點(diǎn)和最后一個(gè)力的終點(diǎn)，方向從起點(diǎn)指向終點(diǎn)，這樣就能得到這個(gè)匯交力系的合力FR，如圖3-1d所示。由各分力矢與合力矢構(gòu)成的abcde多邊形稱為力多邊形，表示合力FR的

邊稱為力多邊形的逆封邊，這種求合力矢的幾何作圖法則稱為力多邊形法則。這種求合力的方法，稱為幾何法。圖3-1顯然，上述力多邊形法則可推廣到n個(gè)匯交力的情形，用矢量式表示為(3-1)平面匯交力系合成的結(jié)果是一個(gè)合力，合力的作用線通過(guò)力系的匯交點(diǎn)，合力矢等于原力系中所有各分力的矢量和。應(yīng)當(dāng)指出，在上述作圖過(guò)程中，若按力F1、F2、F3、F4的順序作力多邊形，得到圖3-1d所示；若按力F1、F3、F2、F4的順序作力多邊形，得到圖3-1e所示。由此可見(jiàn)，兩圖中的力多邊形的形狀雖然不同，但所得的合力矢FR卻是一樣的。這表明，矢量求和的結(jié)果與矢量排列的先后順序無(wú)關(guān)。圖3-1【例3-1】一拉環(huán)上套有三根共面的鋼繩，各鋼繩的拉力分別為

、、以及

，各拉力的方向如圖3-2a所示。試用幾何作圖法求三根鋼繩在拉環(huán)上作用的合力。解：拉力FT1、

FT2、FT3的作用線匯交于拉環(huán)的中心O，構(gòu)成了平面匯交力系。用力多邊形法則可求得它們的合力。圖3-2選定長(zhǎng)度1cm=30N。作矢量

，

，，連接a、d

兩點(diǎn)，矢量

即代表合力FR的大小和方向，如圖3-2b所示。合力FR通過(guò)原力系的匯交點(diǎn)O。在圖中量得合力的大小為：，合力的方位角為：。2.平面匯交力系平衡的幾何條件由平面匯交力系合成的幾何法可知，平面匯交力系只能合成為一個(gè)合力，即合力與原力系等效。若合力等于零，則表明剛體在力系作用下處于平衡狀態(tài)，即力系是一平衡力系；反之，若合力不為零，則剛體不能處于平衡狀態(tài)，即力系不是一平衡力系。(3-2)由此得出結(jié)論：平面匯交力系平衡的充要條件是合力等于零。用公式表示為從力多邊形來(lái)看，若合力等于零，就是力多邊形中最后一個(gè)分力矢終點(diǎn)與第一個(gè)分力矢始點(diǎn)重合，即由各分力矢首尾相連構(gòu)成的力多邊形自行封閉，如圖3-3b所示。圖3-3可根據(jù)己知力的大小和方向以及未知力的方向作一封閉的力多邊形，就可求得未知力的大小，但未知力的數(shù)目不能超過(guò)兩個(gè)。平面匯交力系平衡的必要和充分的幾何條件是：力多邊形自行封閉?！纠?-2】圖3-4a所示的梁AB在C點(diǎn)受力F作用，已知F=10kN，梁重不計(jì)，試求支座A、B的支座反力。因?yàn)榱菏苤鲃?dòng)力F和支座反力FA，F(xiàn)B作用處于平衡，由三力平衡匯交定理可知，力F與FA和FB的作用線必匯交于D點(diǎn)，所以梁受一平衡的平面匯交力系作用，畫出其受力圖如圖3-4b所示。圖3-4解：①取梁為研究對(duì)象，畫出它的受力圖。選取比例尺：1cm=2kN，先畫已知力

，過(guò)a、b兩點(diǎn)分別作直線平行于FA

和FB得交點(diǎn)c，并順著abc的方向標(biāo)出箭頭，使其首尾相連，作封閉的力三角形如圖3-4c所示。圖3-4用同樣的比例尺在圖3-4c中量得

，其作用線與水平成。

，其方向鉛直向上。②根據(jù)平面匯交力系平衡的幾何條件，作封閉的力三角形。③求支座反力的大小和方向。3.1.2平面匯交力系合成與平衡的解析法用幾何法求平面匯交力系合成與平衡的問(wèn)題，具有直觀簡(jiǎn)捷的優(yōu)點(diǎn)，但難以避免幾何作圖的誤差致使計(jì)算結(jié)果不夠精確。因此，工程中多用解析法來(lái)進(jìn)行力學(xué)計(jì)算。解析法就是以力在坐標(biāo)軸上的投影為基礎(chǔ)的一種計(jì)算方法。設(shè)一平面匯交力系F1、F2、F3和F4作用于剛體上，按平面匯交力系合成的幾何法，作出該力系的力多邊形abcde，封閉邊ae即為該力系的合力FR，如圖3-5所示。在此力多邊形所在平面內(nèi)取一坐標(biāo)系xOy，將所有的力矢向x

軸投影，即得1.合力投影定理圖3-5由圖3-5中的幾何關(guān)系可知即同理于是可得結(jié)論:平面匯交力系的合力在任一軸上的投影，等于力系中各分力在同軸上投影的代數(shù)和。這就是合力投影定理。(3-3)圖3-5將上述關(guān)系推廣到n個(gè)平面匯交力系的情形，得2.平面匯交力系合成的解析法當(dāng)平面匯交力系為已知時(shí)，如圖3-6所示，可在其平面內(nèi)選定一直角坐標(biāo)系xOy，先求出力系中各力在x軸和y軸上的投影，然后由合力的投影定理得平面匯交力系的合力FR在x軸和y軸上的投影分別為；。最后利用幾何關(guān)系，求得合力的大小和方位為(3-4)圖3-6圖3-7式中：α為合力FR與x軸所夾的銳角，合力的作用線通過(guò)力系的匯交點(diǎn)O，指向由

及

的正號(hào)確定，具體指向如圖3-7所示?！纠?-3】已知某平面匯交力系如圖3-8所示。其中，F(xiàn)l=20kN，F(xiàn)2=10kN，F(xiàn)3=18kN，F(xiàn)4=15kN，試求該力系的合力。解：①建立坐標(biāo)系xOy，計(jì)算合力在坐標(biāo)軸上的投影。圖3-8②求合力的大小和方向。因?yàn)镕Rx為正，而FRy為負(fù)，所以合力FR應(yīng)在第四象限，指向右下方，如圖3-8所示。圖3-83.平面匯交力系平衡的解析條件由于平面匯交力系平衡的充要條件是該力系的合力為零。現(xiàn)將此平衡條件用解析式表示為所以，平面匯交力系平衡的充要條件的解析條件可表述為：力系中各力在兩個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和均等于零。式(3-5)稱為平面匯交力系的平衡方程。式中，、都恒為正值，要使，則必須也只有(3-5)還須指出，利用上述平衡方程求解平面匯交力系的平衡問(wèn)題時(shí)，受力圖中的未知力的指向可以任意假設(shè)。若計(jì)算結(jié)果為正值，表示假設(shè)的指向就是實(shí)際的指向；若計(jì)算結(jié)果為負(fù)值，表示假設(shè)的指向與實(shí)際指向相反?！纠?-4】如圖3-9a所示，吊機(jī)起吊一重為10kN的構(gòu)件。設(shè)鋼絲繩與水平線夾角為α，當(dāng)構(gòu)件勻速上升時(shí)，試求鋼絲繩的拉力，并比較α

角分別為45o、60o、30o、15o時(shí)鋼絲繩的拉力情況。解：構(gòu)件勻速上升時(shí)處于平衡狀態(tài)，整個(gè)系統(tǒng)在重力G和吊鉤繩的拉力FT的作用下構(gòu)成平衡，因此G=FT=10kN。由圖可見(jiàn)，這是一個(gè)平衡的平面匯交力系。圖3-9①取吊鉤C

為研究對(duì)象，畫出受力圖，并按圖3-9b所示設(shè)置坐標(biāo)系。②列平衡方程，求鋼絲繩的拉力FT1和FT2

。③計(jì)算α角分別為45o、60o、30o、15o時(shí)鋼絲繩的拉力。聯(lián)立解得【例3-5】重G=20kN的物體被絞車勻速起吊，絞車的鋼絲繩繞過(guò)光滑的定滑輪A，滑輪由不計(jì)重量的AB桿和AC桿支撐，如圖3-10a所示。求桿AB

和桿AC所受的力。由于不計(jì)支撐桿自重，桿AB和桿AC

均為二力桿，現(xiàn)假設(shè)兩桿都受拉，重物G

通過(guò)鋼絲繩直接加在滑輪的一邊。當(dāng)重物勻速上升時(shí)，拉力FTl=G，而鋼絲繩繞滑輪的另一邊具有同樣大小的拉力，即FTl

=FT2，畫出受力圖和選取坐標(biāo)系如圖3-10c所示。圖3-10解:①取滑輪連同銷釘A為研究對(duì)象，畫受力圖。由由將

代入上面兩式，聯(lián)立解得由計(jì)算結(jié)果可知，力FAC

解得的結(jié)果為負(fù)值，表示該力的假設(shè)方向與實(shí)際方向相反，因此桿AC

是受壓桿。②列平衡方程，求桿AB

和桿AC

所受的力?！纠?-6】平面剛架在C

點(diǎn)受水平力F

作用，如圖3-11a所示。已知F=40kN，剛架自重不計(jì)，求支座A

、B

的支座反力。剛架受力F、FA和FB

的作用處于平衡，根據(jù)三力平衡匯交定理，這三個(gè)力的作用線必匯交于一點(diǎn)，選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系并畫出剛架的受力圖，其結(jié)果如圖3-11b所示(圖中FA

，F(xiàn)B

的指向是假設(shè)的)。圖3-11解：①取剛架為研究對(duì)象，畫受力圖。由求得力FA解得的結(jié)果為負(fù)值，表示該力的假設(shè)方向與實(shí)際方向相反。再由求得力FB解得的結(jié)果為正值，表示該力的假設(shè)方向與實(shí)際方向一致。②列平衡方程，求支座反力FA

和FB?！纠?-7】圖3-12a所示的鏈桿機(jī)構(gòu)由三根鏈桿鉸接組成，在鉸B處施加一豎向已知力FB，欲使機(jī)構(gòu)處于平衡狀態(tài)，需在鉸C處沿45o方向施加多大的力FC？因只需求反力FBC，所以可選取x軸與力FBA垂直，其受力圖如圖3-12b所示。由解得圖3-12解:①先取鉸B為研究對(duì)象，畫出受力圖。通過(guò)本例的求解過(guò)程可知，在求解平衡問(wèn)題時(shí)，恰當(dāng)?shù)剡x取研究對(duì)象，靈活地選取坐標(biāo)軸，以最簡(jiǎn)捷、合理的途徑去求解，盡量避免求解聯(lián)立方程，以提高計(jì)算效率，這是解題時(shí)很值得注意的問(wèn)題。圖中力FCB

的大小為已知，即

。為求力FC的大小，可選取x

軸與力FCD

垂直。由解得②再取鉸C

為研究對(duì)象，其受力圖如圖3-12c所示。圖3-123.2平面力偶系的合成與平衡3.2.1平面力偶系的合成平面力偶系對(duì)剛體的作用效應(yīng)是使剛體發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)。通過(guò)平面力偶系的合成，可以度量力偶系對(duì)剛體作用的總效應(yīng)。對(duì)此，可應(yīng)用力偶的等效性來(lái)研究這一問(wèn)題。設(shè)作用于剛體同一平面內(nèi)的三個(gè)力偶

、

、，它們的力偶臂分別為d1、d2

、d3，如圖3-13a所示。圖3-13用M1

、M2

，M3

分別代表這三個(gè)力偶的力偶矩，即根據(jù)力偶性質(zhì)的推論2，將這三個(gè)力偶中的力和力偶臂同時(shí)加以改變，并使它們的力偶臂都等于d，得到三個(gè)新力偶、、，如圖3-13b所示。它們的力偶矩應(yīng)分別與原力偶的力偶矩相等，即因而可得新力偶中各力的大小分別為圖3-13任取一線段AB=d

，又根據(jù)力偶性質(zhì)的推論1，把這三個(gè)新力偶分別轉(zhuǎn)移，使它們的力偶臂均與AB

重合，如圖3-13c所示。再分別將作用于A

、B

兩點(diǎn)的共線力系合成，得圖3-13顯然，力

與的大小相等，方向相反，作用線平行但不共線，即組成一力偶

，如圖3-13d所示。此力偶

稱為原三個(gè)力偶的合力偶。其合力偶矩為圖3-13若有n

個(gè)力偶，其力偶矩為

仍可用上述方法合成。即于是得出結(jié)論：平面力偶系合成的結(jié)果是一個(gè)合力偶，其合力偶矩等于原力偶系中各分力偶矩的代數(shù)和。(3-6)圖3-133.2.2平面力偶系的平衡條件平面力偶系可以合成為一個(gè)合力偶等效代替，若合力偶矩等于零，則原力偶系必定平衡，反之，若原力偶系平衡，則合力偶矩必定為零。由此可得，平面力偶系平衡的充要條件是：平面力偶系中所有各力偶矩的代數(shù)和等于零，即(3-7)式(3-7)稱為平面力偶系的平衡方程，應(yīng)用該方程只能求解平面力偶系中具有一個(gè)未知量的平衡問(wèn)題?！纠?-8】如圖3-14所示，在物體的某平面內(nèi)受到三力偶作用。已知F1

=200N，

F2=600N，M=100N?m，試求其合成結(jié)果。圖3-14即M

的轉(zhuǎn)向?yàn)槟鏁r(shí)針轉(zhuǎn)向，其作用平面與原力系共面。解:①計(jì)算各分力偶矩。②求得合力偶矩。由式(3-6)求得【例3-9】如圖3-15a所示的梁AB

受一力偶作用，其力偶矩

，B

端支承面與水平面之間的夾角

，若不計(jì)梁自重，試求A

、B

支座反力。解:①取梁AB為研究對(duì)象，畫出受力圖。圖3-15梁在力偶矩M

和A

、B

兩處的支座反力作用下處于平衡。因?yàn)榱ε贾荒芘c力偶平衡，所以.A、B

支座處的兩個(gè)支座反力必定組成一個(gè)力偶。由于B

支座是可動(dòng)鉸支座，其支座反力FB

必垂直于支承面，所以.A

支座的反力FA

一定與FB

等值、反向、平行，即FA

與FB

構(gòu)成一個(gè)力偶，其受力圖如圖3-15b所示。圖3-15②列力偶系的平衡方程，求支座反力。求得于是求得由支座反力均為正值，表明反力的實(shí)際指向與假設(shè)指向相同，如圖3-15b所示。3.3平面一般力系的合成與平衡平面一般力系是指各力的作用線位于同一平面內(nèi)但不全匯交于一點(diǎn)也不全相互平行的力系，又稱平面任意力系。例如，圖3-16所示的簡(jiǎn)支剛架受到荷載及支座反力的作用，這個(gè)力系就是平面一般力系。圖3-16又如，圖3-17所示的三角形屋架，它的厚度比其他兩個(gè)方向的尺寸小很多，如果忽略它與其他屋架之間的聯(lián)系，將它單獨(dú)分離出來(lái)，這種結(jié)構(gòu)稱為平面結(jié)構(gòu)，它承受屋面所受的豎向荷載F、風(fēng)荷載P以及兩端支座反力FAx、FAy、FB，這些力組成平面一般力系。圖3-17在工程實(shí)際中，有些結(jié)構(gòu)雖然本身不是平面結(jié)構(gòu)，且所受的力也不分布在同一平面內(nèi)，但如果結(jié)構(gòu)本身(包括支座)及其所受的荷載有一個(gè)共同的對(duì)稱面，那么，作用在結(jié)構(gòu)上的力系可簡(jiǎn)化為在對(duì)稱面內(nèi)的平面力系。例如，圖3-18a所示的重力壩，其壩縱向較長(zhǎng)，橫截面相同，且壩受力情況沿縱向不變，則壩的任一橫截面均可視為是對(duì)稱平面。因此，對(duì)其作受力分析時(shí)，通常沿縱向截取單位長(zhǎng)度的壩段來(lái)進(jìn)行受力分析，即將作用于該壩段上的空間力系簡(jiǎn)化為位于壩段中心平面內(nèi)的平面一般力系，如圖3-18b所示。圖3-183.3.1力的平移定理力的可傳性原理表明，力可以沿其作用線滑移到剛體上的任一點(diǎn)，而不改變力對(duì)剛體的作用效應(yīng)。但當(dāng)力平行于原來(lái)的作用線移動(dòng)到剛體上任一點(diǎn)時(shí)，力對(duì)剛體的作用效應(yīng)將會(huì)改變。對(duì)此問(wèn)題是不難理解的，例如，處于平衡狀態(tài)的秤桿，如果把秤錘稍作平移，秤桿就會(huì)翹起來(lái)或埋下去，即秤桿的平衡狀態(tài)發(fā)生改變。為了將力等效平移，需要什么樣的附加條件呢?設(shè)將作用于剛體上的A點(diǎn)力F等效平移到剛體上任意一點(diǎn)B，如圖3-19a所示。為此，在B點(diǎn)加上兩個(gè)等值、反向的平衡力

和

，并使它們的作用線與力F

平行，且令

，如圖3-19b所示。根據(jù)加減平衡力系公理，由力F

、

、

所組成的力系與原來(lái)的力F

等效。由于力

與F等值、反向、平行，它們組成一個(gè)力偶

。于是，作用在B點(diǎn)的力

和力偶

與原力F

等效，又由于

，這樣就把作用于A

點(diǎn)的力F

平移到了B點(diǎn)，但同時(shí)附加一個(gè)力偶，如圖3-19c所示。圖3-19由圖3-19可知，附加力偶的力偶矩為式中：d

力F

的作用線至B

點(diǎn)的垂直距離。由此可得結(jié)論：

作用于剛體上某點(diǎn)的力可以平移到此剛體上的任一點(diǎn)，但須附加一個(gè)力偶，附加力偶的力偶矩等于原力對(duì)平移點(diǎn)的力矩。這個(gè)結(jié)論稱為力的平移定理。圖3-19力的平移定理表明作用于剛體上的一個(gè)力可分解為作用在同一平面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶，如圖3-19a可分解為圖3-19c。當(dāng)然，也可以將同一平面內(nèi)一個(gè)力和一個(gè)力偶合成為作用在另一點(diǎn)上的力，如圖3-19c可合成為圖3-19a。圖3-19力的平移定理是力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化的一個(gè)重要依據(jù)，也是分析某些力學(xué)問(wèn)題一種方法。如圖3-20所示的廠房牛腿柱上作用由吊車梁傳來(lái)的壓力F，在對(duì)牛腿柱作受力分析時(shí)，通常將力F

平移到柱截面的形心點(diǎn)上，這樣柱的變形就明顯了，力

使柱產(chǎn)生軸向壓縮變形，而附加力偶矩的作用使柱產(chǎn)生彎曲變形，顯然，柱的較復(fù)雜變形可看成是簡(jiǎn)單的軸向壓縮變形和彎曲變形的組合。圖3-20嚴(yán)格地講，力的平移定理只適用于剛體，而不適用于變形體。也就是說(shuō)，在研究物體受力作用的外效應(yīng)時(shí)，上述平移是等效的；而在研究物體受力作用的內(nèi)效應(yīng)時(shí)，物體各部分區(qū)域的應(yīng)力和變形是不相同的。例如，將作用在牛腿柱上的力F

平移到柱截面的形心點(diǎn)時(shí)，在其移動(dòng)點(diǎn)附近小部分區(qū)域上的應(yīng)力與變形則有顯著影響，而對(duì)遠(yuǎn)離移動(dòng)點(diǎn)的大部分區(qū)域的影響甚微，可忽略不計(jì)。3.3.2平面一般力系的合成平面一般力系的合成問(wèn)題：若應(yīng)用兩共點(diǎn)力合成的平行四邊形法則進(jìn)行合成，但因這樣每次只能求出兩個(gè)力的合力，而且還需先將此二力沿各自的作用線平移到它們的交點(diǎn)上去，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，極不方便。若采用力多邊形法則進(jìn)行合成，則因力系中各力的作用線并非共點(diǎn)，即使力系存在合力，也不便確定合力作用點(diǎn)的位置。一種簡(jiǎn)捷有效的方法就是應(yīng)用力的平移定理，將力系中的各力向所在平面內(nèi)任一點(diǎn)進(jìn)行平移簡(jiǎn)化，下面介紹這一合成方法。1.平面一般力系向作用平面內(nèi)任一點(diǎn)簡(jiǎn)化設(shè)在某剛體上作用一平面一般力系

，如圖3-21a所示。在力系所在平面內(nèi)任選一點(diǎn)O作為簡(jiǎn)化中心，根據(jù)力的平移定理，將力系中各力平行移動(dòng)到O點(diǎn)，于是原力系便簡(jiǎn)化為作用于O點(diǎn)的平面匯交力系

和相應(yīng)附加的平面力偶系，如圖3-21b所示。圖3-21其中，；。作用在簡(jiǎn)化中心新的平面匯交力系可進(jìn)一步合成為一個(gè)合力，它等于的矢量和，即(3-8)圖3-21矢量稱為原力系的主矢。它等于原力系中各力的矢量和。其大小和方向可用解析法計(jì)算，通過(guò)O點(diǎn)作直角坐標(biāo)系xOy，由合力的投影定理得于是求得主矢的大小和方向?yàn)?3-9)圖3-21附加的平面力偶系可以合成為一個(gè)合力偶，合力偶矩為(3-10)稱為原力系的主矩。它等于原力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)之矩的代數(shù)和，如圖3-21c所示。圖3-21綜上所述，可得結(jié)論：平面一般力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡(jiǎn)化，可得一個(gè)力和一個(gè)力偶。這個(gè)力的作用線通過(guò)簡(jiǎn)化中心，稱為力系的主矢，它等于原力系中各力的矢量和；這個(gè)力偶作用于原力系的作用面內(nèi)，其力偶矩稱為原力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩，它等于原力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心之力矩的代數(shù)和。顯然，主矢量

與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)，而主矩

一般與簡(jiǎn)化中心的位置有關(guān)。這是因?yàn)槿绺淖兒?jiǎn)化中心的位置，則各附加力偶的力偶臂也將發(fā)生改變的緣故。因此，對(duì)于主矩必須標(biāo)明它所對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)化中心。2.簡(jiǎn)化結(jié)果分析平面一般力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡(jiǎn)化后，一般可得到一個(gè)力和一個(gè)力偶，但這不是最后的合成結(jié)果，因此有必要對(duì)力系的主矢和主矩這兩個(gè)量可能出現(xiàn)的幾種情況作進(jìn)一步分析。①若，說(shuō)明原力系與一個(gè)力偶等效，這個(gè)力偶就是原力系的合力偶。所以原力系簡(jiǎn)化的最后結(jié)果是一個(gè)合力偶，合力偶矩等于原力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。只有在這種情況下，主矩才與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)，無(wú)論向哪一點(diǎn)簡(jiǎn)化都是一個(gè)力偶矩保持不變的力偶，即原力系實(shí)為一平面力偶系。②若

，則說(shuō)明原力系只與一個(gè)力等效，主矢

就是原力系的合力，作用線通過(guò)簡(jiǎn)化中心，即原力系實(shí)為一平面匯交力系。③若

，如圖3-22a所示，這說(shuō)明此簡(jiǎn)化不是最后結(jié)果，根據(jù)力的平移定理的逆過(guò)程，還可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為一個(gè)作用于另一

點(diǎn)的合力。對(duì)此，將力偶矩為

的力偶用兩個(gè)反向平行力

，

表示，且使力的大小

，如圖3-22b所示。因?yàn)榱?/p>

與

相互平衡，故可取消，所以原力系最后合成為一個(gè)合力，此力即為原力系的合力，如圖3-22c所示。大小和方向與原力系的主矢相同，合力的作用線到簡(jiǎn)化中心的垂直距離為(3-11)圖3-22④若

，則原力系與零等效，即力系平衡。由以上分析，還可導(dǎo)出平面一般力系的合力矩定理。由圖3-22c可知，合力

對(duì)O

點(diǎn)的力矩為(3-12)圖3-22而則因?yàn)镺點(diǎn)是任選的，上式具有普遍意義。于是得到合力矩定理：平面一般力系的合力對(duì)其作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于力系中各力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和?！纠?-10】已知擋土墻受自重

，水壓力

，土壓力

作用，各力的方向及作用點(diǎn)位置如圖3-23a所示，試將這三個(gè)力向底面中心O簡(jiǎn)化，并求簡(jiǎn)化的最后結(jié)果。以底面中心O點(diǎn)為簡(jiǎn)化中心，并按圖3-23b所示設(shè)置坐標(biāo)系。解:①將各力向O點(diǎn)作平移簡(jiǎn)化。②計(jì)算主矢

和主矩

。圖3-23因?yàn)?/p>

和

均為負(fù)值，故的指向在第二象限，且與x軸的夾角為α

。計(jì)算結(jié)果為正值，表明主矩是逆時(shí)針轉(zhuǎn)向，首次簡(jiǎn)化結(jié)果如圖3-23c所示。圖3-23又由式(3-10)求得因?yàn)?，所以還可進(jìn)一步合成為一個(gè)合力，

的大小和方向與

相同，它的作用線與O

點(diǎn)的距離為又因，即合力應(yīng)在O點(diǎn)左側(cè)，如圖3-23d所示。圖3-23③求力系合力的作用點(diǎn)位置。3.3.3平面一般力系的平衡平面一般力系向作用面任一點(diǎn)簡(jiǎn)化后得到主矢

和主矩

，若主矢和主矩

都為零，則力系平衡。反之，若力系平衡，則力系向作用面任一點(diǎn)簡(jiǎn)化后主矢

和主矩

必定為零。于是得到平面一般力系平衡的必要和充分條件是：力系的主矢

和力系對(duì)任一點(diǎn)的主矩

都為零，即由此可得平面一般力系的平衡方程為(3-13)這樣，平面一般力系平衡的充要條件又可敘述為：力系中所有各力在其作用面內(nèi)正交坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別為零，力系中所有各力對(duì)該平面內(nèi)任一點(diǎn)之矩的代數(shù)和也為零。平面一般力系的平衡方程除了由簡(jiǎn)化結(jié)果直接得出上述基本式外，還有二力矩式和三力矩式。二力矩式平衡方程為式中：矩心A、B兩點(diǎn)的連線不能與x軸垂直(3-14)三力矩式平衡方程為式中：矩心A、B、C三點(diǎn)不共線(3-15)因?yàn)槠矫嬉话懔ο迪蚱矫鎯?nèi)任一點(diǎn)簡(jiǎn)化，一般可得到一個(gè)力和一個(gè)力偶。在式(3-14)中，若后兩式成立，則力系只可能簡(jiǎn)化為作用線通過(guò)A

點(diǎn)又通過(guò)B

點(diǎn)的一個(gè)合力(見(jiàn)圖3-24)，或者力系平衡。又若第一式也成立，且矩心A

、B

兩點(diǎn)的連線不與x軸垂直，則可由圖3-24看出，只能是合力

為零，否則它在x

軸上的投影就不為零而與第一式相矛盾。由此可見(jiàn)，式(3-14)成立充分表明力系是平衡的。反之，若力系是平衡的，則其主矢和對(duì)任一點(diǎn)的主矩均為零，故式(3-14)必然成立。所以，式(3-14)同樣代表平面一般力系平衡的充要條件，它也是平面一般力系的平衡方程。圖3-24二力矩式論證與上一樣，若

和

同時(shí)成立，則力系合成結(jié)果只可能是通過(guò)矩心A、B

兩點(diǎn)的一個(gè)合力(見(jiàn)圖3-25)，或者力系平衡。若

又成立，且C

點(diǎn)不在A、B兩點(diǎn)連線上，則力系不可就能合成為一個(gè)力，因?yàn)橐粋€(gè)力不可能同時(shí)通過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，所以力系必定平衡。若矩心A、B、C三點(diǎn)共線，力系可能合成為一個(gè)合力

同時(shí)通過(guò)共線的A、B、C

三點(diǎn)，此時(shí)

、

和

同時(shí)也成立，但力系不平衡。圖3-25三力矩式平面一般力系的平衡方程雖然有三種不同的形式，但不論采用哪種形式，都只能列寫出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程。因?yàn)橹挥萌齻€(gè)平衡方程就保證了力系的主矢和主矩都為零，任何第四個(gè)方程都是力系平衡的必然結(jié)果而不再代表力系平衡的必要條件，不是獨(dú)立的方程。因此，應(yīng)用平面一般力系的平衡方程只能求解三個(gè)未知量。3.3.4平面平行力系的平衡方程當(dāng)力系中各力的作用線在同一平面內(nèi)且相互平行時(shí)，這種力系稱為平面平行力系。平面平行力系可歸屬于平面一般力系的一種特殊情況，它的平衡方程可由平面一般力系的平衡方程導(dǎo)出。設(shè)圖3-26所示的一個(gè)平面平行力系，取y

軸與力系中各力的作用線平行，x

軸與力系中各力的作用線垂直。不論力系是否平衡，各力在x

軸上的投影恒等于零，即

。于是，方程

就可從平面一般力系的平衡方程中除去。因此，由式(3-13)就可導(dǎo)出平面平行力系的平衡方程為(3-16)圖3-26于是得平面平行力系平衡的充要條件是：力系中所有各力在y

軸上的投影代數(shù)和等于零，各力對(duì)作用面內(nèi)任一點(diǎn)的力矩的代數(shù)和等于零。式中：矩心A

、B

兩點(diǎn)的連線不與各力的作用線平行。(3-17)式(3-16)稱為平面平行力系的基本式。同理，由平面一般力系的平衡方程的二力矩式(3-13)也可導(dǎo)出平面平行力系的平衡方程的另一種形式為平面平行力系只有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，因此，只能求解兩個(gè)未知量的平衡問(wèn)題。3.3.5平衡方程的應(yīng)用實(shí)例應(yīng)用平面一般力系的平衡方程求解平衡問(wèn)題的步驟如下：(1)確定研究對(duì)象，畫受力圖根據(jù)題意分析已知量和未知量，選取適當(dāng)?shù)难芯繉?duì)象，在研究對(duì)象上畫出它受到的所有主動(dòng)力和約束反力。約束反力根據(jù)約束類型來(lái)畫。當(dāng)約束反力的方向不能確定時(shí)，一般可用兩個(gè)正交的分反力表示；當(dāng)約束反力的指向不能確定時(shí)，可先假設(shè)其指向，若計(jì)算結(jié)果為正，即表明假設(shè)指向與實(shí)際指向一致；若計(jì)算結(jié)果為負(fù)，即表明假設(shè)指向與實(shí)際指向相反。(2)列平衡方程，求解未知力選取哪種形式的平衡方程，完全取決于計(jì)算的方便與否。通常是力求在一個(gè)平衡方程中只包含一個(gè)未知量，避免求解聯(lián)立方程。為此，應(yīng)選取適當(dāng)?shù)钠胶夥匠绦问?、投影軸和矩心。通常將矩心選在兩個(gè)未知力的交點(diǎn)，坐標(biāo)軸則盡可能選取與未知力平行，這樣求解未知力較為簡(jiǎn)便。(3)校核列出非獨(dú)立的平衡方程，以校核所求未知力的正確與否?！纠?-11】如圖3-27a所示為一懸臂式起重機(jī)，圖中A

、B

、C

處都是鉸鏈連接。梁AB的自重

，作用在梁的中點(diǎn)，電動(dòng)葫蘆連同起吊重物共重

，桿BC

自重不計(jì)，求支座A

的支座反力和桿BC

所受的力。梁A

端為固定鉸支座，其支座反力用兩正交反力

、

表示；桿BC

為二力桿，它的約束反力沿BC

軸線，并假設(shè)為拉力。畫出受力圖并選取投影軸，如圖3-27b所示。圖3-27解：

①取梁AB

為研究對(duì)象，畫受力圖。先由又由再由求得求得求得②列平衡方程，求未知力。圖3-27③校核。由求得通過(guò)校核可知，計(jì)算結(jié)果無(wú)誤。圖3-27【例3-12】外伸梁受荷載如圖3-28a所示，已知均布荷載集度

，力偶矩

，集中力

，試求支座A

、B

的反力。畫其受力圖和選取坐標(biāo)軸，如圖3-28b所示。圖3-28解:①取梁AB

為研究對(duì)象，畫受力圖。②列平衡方程，求支座反力。由求得又由求得再由求得圖3-28③校核。由通過(guò)校核可知，計(jì)算結(jié)果無(wú)誤。圖3-28【例3-13】塔式起重機(jī)如圖3-29a所示，已知機(jī)身重

，設(shè)其作用線通過(guò)塔架中心，最大起吊重量

，起重懸臂長(zhǎng)12m，兩軌間距

，平衡錘重Q至機(jī)身中心線的距離

。為使起重機(jī)在空載和滿載時(shí)都不致傾倒，試確定平衡錘的重量。起重機(jī)的受力圖如圖3-29b所示。為確保起重機(jī)不傾倒，則必須使作用在起重上的主動(dòng)力G、W

、Q

和約束反力FNA，F(xiàn)NB所組成的平面平行力系在空載和滿載時(shí)都滿足平衡條件，因此平衡錘的重量應(yīng)有一定的范圍。圖3-29解：

取起重機(jī)為研究對(duì)象，畫出受力圖。當(dāng)滿載()時(shí)，若平衡錘重量太小，起重機(jī)可能繞B

點(diǎn)向右傾倒。開(kāi)始傾倒的瞬間，左輪與軌道脫離接觸，這種情形稱為臨界狀態(tài)。這時(shí)，，滿足臨界狀態(tài)時(shí)的平衡錘重量為所必須的最小平衡錘重量Qmin。由求得圖3-29①求滿載時(shí)的平衡錘重量。綜上所述，為保證起重機(jī)在空載和滿載時(shí)都不致傾倒，則平衡錘的重量Q

應(yīng)滿足下列不等式當(dāng)空載()時(shí)，若平衡錘太重，起重機(jī)會(huì)繞A

點(diǎn)向左傾倒，在臨界狀態(tài)下，

。滿足臨界狀態(tài)時(shí)的平衡錘重量將是所允許的最大平衡錘重量Qmax。由求得②求空載時(shí)的平衡錘重量。圖3-293.4物體系統(tǒng)的平衡在工程實(shí)際中，常遇到由若干個(gè)物體通過(guò)一定的約束方式組成的系統(tǒng)，這種系統(tǒng)稱為物體系統(tǒng)。例如，圖3-30a所示的組合梁就是由梁AC和梁CD

通過(guò)鉸C

連接，并支承在A

、B

、D

支座上而組成的一個(gè)物體系統(tǒng)。物體系統(tǒng)的平衡是指組成系統(tǒng)的每一物體及系統(tǒng)整體都處于平衡狀態(tài)。圖3-30例如，圖3-30b所示組合梁所受的荷載和A

、B

、D

支座的反力都是外力，而組合梁鉸C處的相互作用力，對(duì)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)則是內(nèi)力，而對(duì)梁AC

或梁CD

來(lái)說(shuō)，則是外力。圖3-30研究物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題，不僅要求出支座反力，而且還需計(jì)算出系統(tǒng)內(nèi)各物體之間的相互作用力。為此，我們把作用在物體系統(tǒng)上的力分為外力和內(nèi)力。其中，外力是指外界物體對(duì)所選研究對(duì)象的作用力；內(nèi)力是指研究對(duì)象內(nèi)部各物體之間相互作用的力。例如，要求圖3-30a所示的組合梁各支座的反力和鉸C的約束反力，可先取梁CD

為研究對(duì)象，將組合梁在鉸C處拆開(kāi)，畫出梁CD

的受力圖，如圖3-30c所示。所受各力組成平面一般力系，列出三個(gè)平衡方程，求得FD、FCy、FCx

三個(gè)未知力；再取梁AC

作為研究對(duì)象，畫出梁AC

的受力圖(見(jiàn)圖3-30d)，所受各力又組成平面一般力系，而且

、

與FCx、

FCy是作用與反作用關(guān)系已經(jīng)求得，這樣，余下的三個(gè)未知力FAx、FAy

、FB

可列出三個(gè)平衡方程求得。要計(jì)算物體系統(tǒng)間的相互作用力，就必須將物體系統(tǒng)拆開(kāi)，取其中的一部分為研究對(duì)象，這樣物體間的相互作用力暴露出來(lái)成為外力，于是便可應(yīng)用平衡方程一一求得。圖3-30一般來(lái)說(shuō)，物體系統(tǒng)由n

個(gè)物體組成，而每個(gè)物體又都是受平面一般力系作用，則共可列3n

個(gè)獨(dú)立的平衡方程，從而求得3n

個(gè)未知力。如果系統(tǒng)中的物體受的是平面匯交力系或平面平行力系作用，則獨(dú)立的平衡方程的個(gè)數(shù)將相應(yīng)減少，而所能求的未知量的個(gè)數(shù)也相應(yīng)減少?！纠?-14】組合梁由梁AB和梁BC用鉸B連接而成，支座與荷載情況如圖3-31a所示。已知F=20kN，q=5kN/m，a=45o。

求支座A

、C約束反力及鉸B

處相互作用力。解:①先取梁BC

為研究對(duì)象。畫出受力圖及坐標(biāo)，如圖2-31b所示。由求得又由求得再由求得圖2-31

②列平衡方程，求支座C

和鉸B

的約束反力。③再取梁AB為研究對(duì)象。畫出受力圖及坐標(biāo)，如圖2-31c所示。由求得又由求得再由求得圖2-31取整個(gè)組合梁為研究對(duì)象，畫出受力圖及坐標(biāo)，如圖2-31d所示。校核以上計(jì)算結(jié)果是否滿足物體系統(tǒng)平衡。圖2-31通過(guò)校核可知，計(jì)算結(jié)果無(wú)誤。④校核。【例3-15】圖3-32a所示為鋼筋混凝土三鉸剛架受荷載的情況，已知q=12kN/m，F(xiàn)=24kN，求支座A

、B

和鉸C

的約束反力。解:①取整個(gè)三鉸剛架為研究對(duì)象。畫出受力圖及坐標(biāo)，如圖3-32b所示。由求得又由求得再由求得圖3-32

②取左半剛架為研究對(duì)象。畫出受力圖及坐標(biāo)，如圖3-32c所示。由求得又由求得再由求得將的值代入(a)式，于是求得圖3-32③校核。取右半剛架為研究對(duì)象，畫出受力圖及坐標(biāo)，如圖3-32d所示。圖3-32可見(jiàn)計(jì)算無(wú)誤。3.5考慮摩擦?xí)r物體的平衡問(wèn)題在前面對(duì)物體進(jìn)行受力分析時(shí)，曾假定物體間的接觸面是絕對(duì)光滑的，作這樣的假定是為了簡(jiǎn)化計(jì)算，忽略物體接觸面間的摩擦不計(jì)。但實(shí)際上絕對(duì)光滑的接觸面是不存在的。在有些工程問(wèn)題中，物體接觸面間的摩擦對(duì)物體的平衡或運(yùn)動(dòng)則起著決定性作用，這時(shí)不僅不能忽略，而且還應(yīng)作為重要因素來(lái)考慮。根據(jù)接觸物體之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)的形式不同，摩擦可分為滑動(dòng)摩擦和滾動(dòng)摩擦兩種。本節(jié)只討論有滑動(dòng)摩擦?xí)r物體的平衡問(wèn)題。例如，水利工程中的重力壩、重力式擋土墻就是依靠摩擦力來(lái)維持抗滑穩(wěn)定的；基礎(chǔ)工程中的摩擦樁就是利用樁身表面和土體間的摩擦力來(lái)支承基礎(chǔ)上部的荷載；制動(dòng)器依靠摩擦力來(lái)制動(dòng)等。3.5.1滑動(dòng)摩擦力當(dāng)兩物體產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)(或有相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì))時(shí)，則在接觸間將產(chǎn)生阻礙物體滑動(dòng)的力，這種力稱為滑動(dòng)摩擦力，簡(jiǎn)稱摩擦力。摩擦力作用在物體的接觸面上，其方向與滑動(dòng)的方向(或相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)的方向)相反。按接觸面之間是否有相對(duì)運(yùn)動(dòng)存在，滑動(dòng)摩擦力可分為靜滑動(dòng)摩擦力和動(dòng)滑動(dòng)摩擦力兩類。1.靜滑動(dòng)摩擦力的計(jì)算為了了解滑動(dòng)摩擦力的一些性質(zhì)，我們先觀察一個(gè)摩擦實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)裝置如圖3-33a所示。重量為G

的物體A

放在水平面上，繩子的一端與物體相連，另一端繞過(guò)滑輪與一硅碼盤相連。若略去繩重和繩與滑輪間的摩擦阻力，則繩子對(duì)物體的拉力FT

的大小就等于盤子和硅碼的重量Q，即FT=Q

。當(dāng)拉力FT

不大時(shí)，物體A

處于靜而不滑，但有向右滑動(dòng)的趨勢(shì)。這一現(xiàn)象表明：物體接觸面間有摩擦力F

存在，F(xiàn)

稱為靜滑動(dòng)摩擦力。否則，物體A

在拉力T

的作用下將會(huì)向右運(yùn)動(dòng)，其受力圖如圖3-33b所示。圖3-33當(dāng)增加砝碼即拉力FT

隨之增大時(shí)，物體A

仍處于靜而不滑，這一現(xiàn)象表明：靜摩擦力F隨拉力FT

增大而增大。當(dāng)拉力FT

增大到某一定值時(shí)，物體A

要滑未滑的臨界平衡狀態(tài)。這一現(xiàn)象表明，靜滑動(dòng)摩擦力F

有一極限值，以Fm

表示。Fm

稱為最大靜滑動(dòng)摩擦力。由上述實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象可知，靜滑動(dòng)摩擦力的大小有一個(gè)范圍值，即大量的實(shí)驗(yàn)證明，最大靜滑動(dòng)摩擦力Fm

與兩物體間的法向反力成正比，其方向與相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)的方向相反，與兩接觸面的面積大小無(wú)關(guān)，而與兩接觸面的材料有關(guān)，即上述結(jié)論稱為靜滑動(dòng)摩擦定律。該定律由法國(guó)物理學(xué)家?guī)靵鎏岢觯视址Q為庫(kù)侖定律。(3-18)式中：f為比例常數(shù)，稱為靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)，簡(jiǎn)稱摩擦系數(shù)。這個(gè)系數(shù)的大小與相互接觸物體的材料、表面粗糙度、濕度、溫度等有關(guān)，其值由實(shí)驗(yàn)測(cè)定。工程中常用材料的f值可從工程手冊(cè)中查到。表3-1列出部分材料的f

值，供參考。(3-18)接觸材料f值接觸材料f值鋼與鋼0.1~0.2木材與木材0.4~0.6鋼與鑄鐵0.3土與混凝土0.3~0.4鑄鐵與皮革0.3~0.5混凝土與巖石0.6~0.8表3-1幾種材料的靜摩擦系數(shù)圖3-33a中，當(dāng)所加的力FT

超過(guò)最大靜滑動(dòng)摩擦力Fm

時(shí)，物體便產(chǎn)生滑動(dòng)，滑動(dòng)時(shí)沿接觸面所產(chǎn)生的摩擦力

，稱為動(dòng)滑動(dòng)摩擦力，簡(jiǎn)稱動(dòng)摩擦力。根據(jù)大量的實(shí)驗(yàn)可得出動(dòng)滑動(dòng)摩擦定律：動(dòng)摩擦力的大小與兩物體間的正壓力(或法向反力)成正比。即式中：

為動(dòng)滑動(dòng)摩擦系數(shù)，簡(jiǎn)稱動(dòng)摩擦系數(shù)。其值與接觸物體的材料及接觸面情況有關(guān)，在滑動(dòng)速度不大時(shí)，可認(rèn)為與速度無(wú)關(guān)。

略小于f，在工程計(jì)算中，通常近似地認(rèn)為二者

相同。2.動(dòng)滑動(dòng)摩擦力的計(jì)算圖3-33(3-19)3.5.2摩擦角和自鎖現(xiàn)象1.摩擦角如圖3-34a所示，當(dāng)物體A

具有相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，在考慮摩擦力的情況下，支承面對(duì)物體A

的約束反力有法向反力FN

和摩擦力F

，這兩個(gè)力的合力FRm

稱為全約束反力。全約束反力FRm與支承面公法線的夾角為φ

。顯然，φ

角隨摩擦力F

的變化而變化，當(dāng)靜滑動(dòng)摩擦力F

達(dá)到最大值Fm

時(shí)，即夾角φ也達(dá)到最大值φm

，稱為最大靜摩擦角，如圖3-34b所示。圖3-34因?yàn)槟Σ亮χ荒茉谝欢ǚ秶鷥?nèi)變化，所以φ

值的變化也有一定范圍，即(3-20)2.最大靜摩擦角與靜摩擦系數(shù)的關(guān)系由圖3-34b可知，最大靜摩擦角φm值與Fm

的值相對(duì)應(yīng)，因而也與靜摩擦系數(shù)f有關(guān)。它們之間的關(guān)系為式(3-21)建立了最大靜摩擦角與靜摩擦系數(shù)的關(guān)系，即最大靜摩擦角的正切等于靜摩擦系數(shù)。利用此關(guān)系，可由實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)出摩擦角φm之后，由式(3-21)計(jì)算出摩擦系數(shù)f

值。(3-21)圖3-34(1)摩擦錐的概念作用在物體上主動(dòng)力的合力FR

方向改變時(shí)，全約束反力FRm

的方位也隨之改變。在法線各側(cè)都可作出摩擦角，將全約束反力FRm

的作用線畫出一個(gè)以與主動(dòng)力合力FR的作用線交點(diǎn)A

為頂點(diǎn)的錐面，稱為摩擦錐。若物體與支承面沿任何方向的摩擦系數(shù)都相同，則此摩擦錐將是一個(gè)頂角為2φm的圓錐。如圖3-35a所示。3.自鎖圖3-35(2)自鎖現(xiàn)象及自鎖條件當(dāng)物體平衡時(shí)，靜摩擦力總是小于或等于最大摩擦力，因而全約束反力FRm

的作用線與法線間的夾角α也總是小于或等于摩擦角φm，即。全約束反力FRm的作用線只能在摩擦角(錐)之內(nèi)，不可能超出摩擦角(錐)以外，如圖3-35b所示。圖3-35由摩擦角的這個(gè)性質(zhì)可知：若作用在物體上全部主動(dòng)力的合力FR

的作用線位于摩擦角(錐)之內(nèi)，無(wú)論FR的數(shù)值多么大，因其在沿接觸面公切線方位的分力不會(huì)大于最大靜摩擦力，支承面就總可以產(chǎn)生一個(gè)全約束反力FRm

與力FR

構(gòu)成平衡而使物體保持靜止。這種只須主動(dòng)力的合力FR

的作用線在摩擦角(錐)的范圍內(nèi)，物體依靠摩擦總能靜止而與主動(dòng)力大小無(wú)關(guān)的現(xiàn)象稱為自鎖現(xiàn)象。反之，若主動(dòng)力合力FR

的作用線位于摩擦角(錐)之外，，如圖3-35c所示，則無(wú)論FR的數(shù)值多么小，全約束反力FRm都不可能與力FR

共線，從而物體不可能平衡，必將發(fā)生滑動(dòng)。顯然，當(dāng)

時(shí)，如圖3-35d所示，則物體處于臨界平衡狀態(tài)。通過(guò)以上分析，得到物體自鎖條件為圖3-35(3-22)自鎖現(xiàn)象在工程中有重要的應(yīng)用。例如，應(yīng)用自鎖原理設(shè)計(jì)某些機(jī)構(gòu)和夾具；用傳送帶輸送物料時(shí)借自鎖以阻止物料作相對(duì)于傳送帶的滑動(dòng)；反之，在工程中有時(shí)又需要避免自鎖現(xiàn)象的發(fā)生。例如，變速箱中的滑動(dòng)齒輪就絕對(duì)不允許自鎖，否則變速箱就不能起變速作用。二是只有當(dāng)物體處于平衡的臨界狀態(tài)時(shí)，摩擦力才達(dá)到最大值。所以，這類摩擦力的大小不是一個(gè)確定值，而是用不等式所表示的一個(gè)范圍。3.5.3考慮摩擦?xí)r物體的平衡問(wèn)題考慮摩擦?xí)r物體的平衡問(wèn)題與不計(jì)摩擦?xí)r物體的平衡問(wèn)題的相同之處在于：它們都是平衡問(wèn)題，因而作用于物體上的力系都滿足平衡條件。但不同之處有兩點(diǎn)：一是在考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題里，約束反力中含有摩擦力，其指向不能隨意假設(shè)，因此在畫摩擦力之前要正確確定物體相對(duì)滑對(duì)趨勢(shì)的方向?！纠?-16】將重為G

物體放在傾角

的斜面上，如圖3-36a所示。已知物體與斜面間的靜摩擦系數(shù)為f

，求維持物體在斜面上靜止時(shí)的水平推力F

的大小。解：因

，若力F

過(guò)小，則物體下滑；若力F

過(guò)大，又會(huì)使物體上滑；故力F

的數(shù)值必在某一范圍內(nèi)。圖3-36此時(shí)物體處于下滑的臨界狀態(tài)，畫其受力圖及坐標(biāo)系，如圖3-36b所示。由由將，代入上列平衡方程求得圖3-36①求剛好維持物體不至于下滑所需的最小力Fmin。此時(shí)物體處于上滑的臨界狀態(tài)，畫其受力圖及坐標(biāo)系，如圖3-36c所示。由由將，代入上列平衡方程求得可見(jiàn)，要使物體在斜面上保持靜止，則力F必須滿足下列不等式圖3-36②求維持物體不至于上滑所需的最大力Fmax?！纠?-17】圖3-37a所示為起重機(jī)的制動(dòng)裝置。已知鼓輪半徑為r，制動(dòng)輪半徑為R，制動(dòng)桿長(zhǎng)為l，制動(dòng)塊與制動(dòng)輪間的靜摩擦系數(shù)為f

，起重量為G

，其他尺寸如圖3-37a所示。如要制動(dòng)鼓輪，求在手柄上要施加的最小力Fmin

的大小。解：當(dāng)力F

作用于手柄時(shí)，制動(dòng)塊壓緊鼓輪，而鼓輪受主動(dòng)力G

的作用，在它與制動(dòng)塊的接觸處二者有相對(duì)滑動(dòng)的趨勢(shì)，因此在接觸處會(huì)產(chǎn)生摩擦力，鼓輪所以被制動(dòng)，就是依靠這個(gè)摩擦力的作用。當(dāng)鼓輪剛好被制動(dòng)時(shí)，即鼓輪處于平衡的臨界狀態(tài)時(shí)，所加的力F

為最小值Fmin，且靜摩擦力達(dá)到最大值Fm

。圖3-36①先取鼓輪為研究對(duì)象，畫其受力圖，如圖3-37b所示。②再取手柄為研究對(duì)象，畫其受力圖，如圖3-37c所示。由且有解得由將，代入上式，圖3-37求得3.6空間力系的合成與平衡簡(jiǎn)介3.6.1空間任意力系的合成空間任意力系的合成方法與平面任意力系的合成方法相同。設(shè)在物體上作用有F1，F(xiàn)2，…Fn等n個(gè)力組成的一空間任意力系，如圖3-38a所示?，F(xiàn)取O點(diǎn)為簡(jiǎn)化中心，將空間任意力系向O點(diǎn)進(jìn)行平移簡(jiǎn)化，簡(jiǎn)化后可得到一個(gè)空間匯交力系和一個(gè)附加的空間力偶系，并將各附加的力偶矩以矩矢量(加雙箭頭)表示，如圖3-38b所示。圖3-38將簡(jiǎn)化后的空間匯交力系合成一個(gè)合力，

即合力

稱為原力系的主矢，其值等于原力系中各力的矢量和，并作用于簡(jiǎn)化中心。再將附加的空間力偶系合成為一個(gè)力偶

，即該

稱為原力系的主矩矢，其值等于原力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)的矩的矢量和。(3-23)(3-24)圖3-38于是可得結(jié)論：空間任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化，一般可得一個(gè)力和一力偶。此力稱為原力系的主矢，其值等于原力系中各力的矢量和，并作用于簡(jiǎn)化中心；此力偶稱為原力系的主矩矢，其值等于原力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)的矩的矢量和，如圖3-38c所示。圖3-381.主矢

的計(jì)算空間任意力系的主矢的大小和方向可用解析式求得(3-25)(3-26)式中：α、β、γ

分別為主矢與x、y、z軸的正向夾角。2.主矩矢

的計(jì)算附加空間力偶系的主矩矢

的大小和方向也可用解析式求得(3-27)(3-28)式中：

、

、

分別為主矩矢與x、y、z軸的正向夾角。3.6.2空間一般力系的平衡與建立平面一般力系的平衡條件的方法相同，空間一般力系平衡的充要條件是：力系的主矢和主矩矢分別為零，即要使上面的兩式同時(shí)成立，則必須且只有(3-29)于是，空間一般力系平衡的充要條件又可敘述為：力系中各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和為零，以及力系中各力對(duì)三個(gè)坐標(biāo)軸的力矩的代數(shù)和為零。式(3-29)稱為空間一般力系的平衡方程。由此可見(jiàn)，空間一般力系共有六個(gè)彼此獨(dú)立的平衡方程，其中前三式為投影平衡方程，后三式為力矩平衡方程。利用該組平衡方程可求解空間一般力系有六個(gè)未知量的平衡問(wèn)題。3.6.3其他空間力系的平衡方程設(shè)圖3-39所示的物體受一空間匯交力系作用。若選取空間匯交力系的匯交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則不論力系是否平衡，因力系各力作用線都通過(guò)坐標(biāo)軸，所以各力三軸之矩恒為零，即于是可得空間匯交力系的平衡方程1.空間匯交力系的平衡方程(3-30)圖3-39設(shè)圖3-40所示的物體受一空間平行力系作用。令z

軸與力系各力作用線平行。則力系各力對(duì)z

軸之矩恒為零；又因力系各力作用線平行于z

軸，必垂直于x

軸和y

軸，則各力