湖南省邵陽市2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期一模試題

湖南省邵陽市2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期一模試題

本試卷共4頁，22個小題.滿分150分.考試用時120分鐘.

留意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡上“條形碼粘貼區(qū)”.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.

3.中選擇題必需用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，悴案必需寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如

需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案：不準(zhǔn)運(yùn)用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.

4.保持答題卡的整齊.考試結(jié)束后，只交答題卡，試題卷自行保存.

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的）

已知全集合則

1,M=R,A={#+2X-3<O},B={x\x=2k,ksZ}io

A.{0,2}B.{-2,0}C.{-2,0,2}D.{-2,-1,0）

【答案】B

【解析】

【分析】由己知可得出A={x|-3<x<l},依據(jù)交集運(yùn)算結(jié)合集合8的含義，即可得出答案.

【詳解】解/+2工一3<0可得，一3cxvl，所以A=3Vx<1},

B={x\x=2k,k^Z},8是偶數(shù)集，

所以A「B={-2,0}

故選：B.

2.已知復(fù)數(shù)z滿意（2z+3）i=3z,則1=（）

A69.69.069.八69.

A.-------1Bn.---+—1C.------1【）.—H---1

1313131313131313

【答案】A

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，求出復(fù)數(shù)2=。十萬的形式，再利用共扼復(fù)數(shù)一方求解.

【詳解】因?yàn)椋?z+3）i=3z,2zi+3i=3z,（3-2i）z=3i,

3i_3i（3+2i）6+9i_619.

3-2i=（3-2i）（3+2i）=13=-'13+-13,

故選：A.

3.一個圓錐的側(cè)面綻開圖恰好是一個半徑為1的半圓，則該圓維的表面積為（）

3兀兀71

A.—B.-C.D.叵

42424

【答案】A

【解析】

【分析】依據(jù)題意求得圓錐底面半徑和高，由此求得圓錐的表面積.

【詳解】依題意，設(shè)圓錐底面半徑為，高為〃，母線長為/=1,則/=/+外=[,

底面周長為27rr=gx（27Tx1）,則，,=g,所以分=3,

TT7T>7T

所以圓錐的表面積為S=S底+s他=兀，+兀”=—+一=一,

肱閔424

4.設(shè)向量4，人滿意。一人=4,ab=l，則〃二（）

A.2B.2>/3C.3D.2>/5

【答案】D

【解析】

【分析】由=a-b+4。包求解.

【詳解】因?yàn)椤?匕=a2-\-2ab-\-b~,a-b=c/-2ab+b2,

-a-b[,

以上兩式相減可得，4展力二a+b

-2-2-

所以〃=a-b+4。力=16+4=20,

即a+b=25/5,

故選:D.

5.某鉛筆工廠有甲、乙兩條生產(chǎn)線，甲生產(chǎn)線的產(chǎn)品次品率為10%,乙生產(chǎn)線的產(chǎn)品次品率為5%.現(xiàn)在某

客戶在該廠定制生產(chǎn)同一種鉛筆產(chǎn)品，由甲、乙兩條生產(chǎn)線同時生產(chǎn)，且甲生產(chǎn)線的產(chǎn)量是乙生產(chǎn)線產(chǎn)量

的1.5倍.現(xiàn)在從這種鉛筆產(chǎn)品中任取一件，則取到合格產(chǎn)品的概率為()

A.0.92B.0.08C.0.54D.0.38

【答案】A

【解析】

【分析】依據(jù)題意分類為分別抽到甲乙正品的概率，相加即可.

【詳解】從這種鉛筆中任取一件抽到甲的概率為0.6,抽到乙的概率是0.4,

抽到甲車間正品的概率《=0.6x0—0.1)=054,

抽到乙車間正品的概率鳥=0.4X(1—0.05)=0.38,

任取一件抽到正品的概率P=4+鳥=0.54+0.38=0.92.

故選：A

6.已知48,。分別是“8C的內(nèi)角，tanA=-,cosB=X^，則C的值是()

210

3兀兀27t5兀

A.—B.-C.—D.—

4436

【答案】A

【解析】

【分析】依據(jù)同角關(guān)系式及兩角和的正切公式可得4+8進(jìn)而即得.

【詳解】因?yàn)?氏。分別是“8C的內(nèi)角，cosB=3叵＞0,所以〃為銳角，

1()

所以sinB=@□,tanB=—.

103

11

1—1—

又匕必=5,所以tan(A+8)=—=l,

而A+3￡(0,7T),所以A+B=C=7r-(4+B)=-^.

故選:A.

7.設(shè)min｛a,耳=+a>,若函數(shù)/(x)=min卜1一乂一/+2〃吠-1｝有且只有三個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)制的

取值范圍為()

A.；,+8B.停+8)c.(1,4-00)D.修+8)

【答案】C

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù)晨同=。。一工與〃(耳二一/+2如:一1,先利用導(dǎo)數(shù)探討得g(x)的性質(zhì)，再利用二次

函數(shù)的性質(zhì)探討得的性質(zhì)，從而作出〃力的圖像，由此得到人(力2>0,分類探討〃?<一1與加>1

時f(x)的零點(diǎn)狀況，據(jù)此得解.

【詳解】令g(x)=e*T-x,則8'("=/一1,

令g'(x)>0,得工>1；令g'(x)<0,得x<l；

所以g(x)在(-CO,1)上單調(diào)遞減，在(1,y)上單調(diào)遞增，故g(x)而n=g(1)=0,

又因?yàn)閷τ陔S意M>0,在(一8』)總存在x=—M,使得g(—M)=e*T+M>M,

在(1,+8)上由于y=eJ的增長速率比丁=%的增長速率要快得多，所以總存在x=xO,使得

所以g(x)在(-CO』)與(L+CO)上都趨于無窮大；

令人(力=一犬2+2"底-1,則〃(工)開口向下，對稱軸為X=〃J

所以Mx)在(TQ〃7)上單調(diào)遞增，在(6，-2。)上單調(diào)遞增，故力(“心=〃(〃?)=毋—1,

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=min卜I一乂―一+2如一1｝有且只有三個零點(diǎn),

而g(x)已經(jīng)有唯一零點(diǎn)x=l,所以〃(X)必需有兩個零點(diǎn)，則〃(x)a>0,即〃/―j0,解得加V—1

或/〃>1?

當(dāng)團(tuán)<一1時，〃(1)=一12+2/72x1-1=—2+2"2<0,則/(1)=min{^(1),/?(!)}=/?(!)<0,

即f(x)在x=l處取不到零點(diǎn)，故/(X)至多只有兩個零點(diǎn)，不滿意題意，

當(dāng)加>1時，〃(1)二一尸+2〃2、1-1二-2+2〃?>0,則/(l)=min{g(l),〃(l)}=g(1)=0,所以/(x)

在x=l處取得零點(diǎn)，

結(jié)合圖像乂知g(x)與力⑴必有兩個交點(diǎn)，故在(-8,1)與(以48)必有兩個零點(diǎn)，

所以/(X)有且只有三個零點(diǎn)，滿意題意；

綜上：加>1，即加￡(1,+8).

故選:C.

8.截角四面體是種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕亟?，即截去四面體的四個頂點(diǎn)所產(chǎn)生的多面體.

如圖所示，將校長為3。的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面，得到全部棱長均為a的截角四面

體，則下列說法錯誤的是()

A.二面角A—3C—O的余弦值為一；

B.該截角四面體的體積為史2/

12

C.該截角四面體的外接球表面積為以〃/

2

D.該截角四面體的表面積為

【答案】I)

【解析】

【分析】依據(jù)二面角的定義，結(jié)合球的表面積公式、棱錐的表面積公式和體積公式逐一推斷即可.

【詳解】如下圖所示：設(shè).八夕。的中心為O'.△NPQ的中心為?！?

取%的中點(diǎn)為隊(duì)分別連接SW和。'卬，因?yàn)镾W_L6C,OWA.BC,

a，

所以NSWO'為S-BC-A的二面角，那二/2_[1I=TAW=「一團(tuán)考一

所以A0'=2A卬=，所以S0'=J。？一^-a=^~a，

33VI3J3

在直角三角形SOW中，CW=J(SW)2_(S*=&，所以cosNSWO'=零=；,

Y6DJ

所以二面角S-AC-A的余弦值為:，

3

所以二面角4一3。一。的余弦值為故A正確

因?yàn)槔忾L為〃的正四面體的高〃=亞4,

3

所以1/=；岑(3"萼(3)4g梟亭=警/

故R正確:

設(shè)外接球的球心為。，_ABC的中心為O',△NPQ的中心為。〃,

因?yàn)榻亟撬拿骟w上下底面距離為限.與二半〃，所以JR?—。,。?+JR2—O〃H2=半。，

所以火2一《=§/+R2—/_尬”.JR?—/,所以R2=U/,

3338

所以S=4兀我2=11兀a2,故C正確；

2

由正四面體S-NPQ中，題中截角四面體由4個邊長為a的正三角形，

4個邊長為a的正六邊形構(gòu)成，故S=4x走〃2+4x6x立〃2=76",故D錯誤.

44

故選:D.

s

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：依據(jù)球的性質(zhì)，結(jié)合棱錐的體積公式、表面積公式是解題的關(guān)鍵.

二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）

9.隨著時代與科技的發(fā)展，信號處理以各種方式被廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、聲學(xué)、密碼學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、量子力

學(xué)等各個領(lǐng)域.而信號處理背后的“功臣”就是正弦型函數(shù)，/（0=之向：2，「'I的圖象就可以近似的模

擬某種信號的波形，則下列說法正確的是（）

A.函數(shù)/（X）的圖象關(guān)于直線x對稱

B.函數(shù)””的圖象關(guān)于點(diǎn)（0,0）對稱

C.函數(shù)/（x）為周期函數(shù)，且最小正周期為兀

D.函數(shù)/"）的導(dǎo)函數(shù)廣（x）的最大值為4

【答案】ABD

【解析】

【分析】由題可知/"）=sinx+'用+吧8+義四，依據(jù)誘導(dǎo)公式可得/（1+兀）=/（一力=一/（同

37

可推斷AC,依據(jù)奇偶性的概念可推斷B,依據(jù)導(dǎo)數(shù)公式及三角函數(shù)的性質(zhì)可推斷D.

.sin|（2/-l）x].sin3xsin5xsin7x,、?,

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/（?=￡—/=sinx+——-+-^—+——,定義域?yàn)镽,

汽2L1357

、sin（3兀+3x）sin（5兀+5%）sin（7兀+

對于A,/（7c+x）=sin（7i+x）+—-------+———L+———

3

.sin3xsin5xsinlx./、sin（-3x）sin（-5x）

=-sinx----------=sin（一幻+——-----+——-----

37''35則尹9,

所以函數(shù)/（戈）的圖象關(guān)于直線對稱，故A正確;

對于B,

/(r)=sin(—x)十^^十十^^——sin]—2—2一回一一/(力，

357357

所以函數(shù)/(工)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對稱，故B正確；

對于C,由題知〃%+兀)=-/(力H5(力,故C錯誤；

對于D，由題可知/'(x)=cosx+cos3x+cos5x+cos7x?4,故D正確.

故選：ABD.

10.已知.f(x),g(x)都是定義在R上的函數(shù)，對隨意,%)'滿意/(x-)，)=/(x)g(y)-g(x)/(y),且

/(-2)=/(1)^0,則下列說法正確的有()

A.g(O)=l

B.函數(shù)/(2x-l)的圖象關(guān)于點(diǎn)(；,0)對稱

C.g⑴+g(-1)=1

R2023R

D若川)=?，則￡/(〃)=與

2n=l2

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用賦值法結(jié)合題目給定的條件可推斷ABC,而于D,通過視察選項(xiàng)可以推斷/(X)很可能為周期

函數(shù)，結(jié)合/(x)g(y),g(x)/(y)的特殊性以及一些已經(jīng)證明的結(jié)論,想到當(dāng)令y=-l和y=l時可構(gòu)

建出兩個式子，兩式相加即可得H"(x+l)+/(x-l)=-/(x),進(jìn)一步可得出了(x)是周期函數(shù)，從而可

2023

得出Z/(〃)的值.

/|=|

【詳解】對于A,令x=y=0,代入已知等式得/⑼=/(O)g(O)-g⑼/⑼=0,得〃0)=0，

再令y=0,x=l,代入已知等式得」(l)=/(l)g(O)-g(l)/(O),

可得/(i)[i_g(o)]=_g⑴/(0)=0,結(jié)合/(1)工0得l—g(0)=0,g(0)=l,故A正確；

對于B,再令工=0,代入已知等式得/(-y)=〃o)g(y)-g(o)〃y)，

將f(O)=Qg(O)=l代入卜式.得/(一力=一/(江???函數(shù)“力為奇函數(shù).

???函數(shù)/(2x1)美于點(diǎn)((,())對稱，故B正確;

對干C,再令代入已知等式，

得"2)=/⑴g(—l)—g⑴〃T)，???〃T)=-f⑴，?⑵=&)[g(-l)+g⑴],

又???/(2)=-〃—2)=-/(1)，51)="l)[g(-l)+g⑴]，

???/(l)￥(),???g(l)+g(-l)=-l,故C錯誤；

對于D,分別令)，=-1和y=l,代入已知等式，得以下兩個等式：

〃x+l)=〃x)g(T)-g(x)/(T)J(xT)=〃x)g⑴-g(%)/(l),

兩式相加易得/(x+l)+/(x—1)=—，所以有〃x+2)+〃x)=—〃x+l),

即：/(x)=—/(尤+1)—/(x+2).

有：_/(x)+/(x)=/(x+l)+/(x_1)_/(x+l)_/(x+2)=U,

即：/(x-l)=/(x+2),???/卜)為周期函數(shù)，且周期為3,

,；61)=等，???/(-2)=冬???/(2)=一/(一2)=一亭,〃3)=/(0)=0,

.\/(1)+/(2)+/(3)=0,

2023/o

???Z〃〃)="l)+"2)+/(3)++/(2023)=/(2023)=/(1)=^-.

,1=1z

故D正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對于含有”,丁，的抽象函數(shù)的一般解題思珞是：視察函數(shù)關(guān)系，發(fā)覺可利用的點(diǎn)，以

及利用證明白的條件或者選項(xiàng)；抽象函數(shù)一般通過賦值法來確定、推斷某些關(guān)系，特殊是有x,)'雙變量,

須要雙賦值，可以得到一個或多個關(guān)系式，進(jìn)而得到所需的關(guān)系.此過程中的難點(diǎn)是給予哪些合適的值，這

就須要視察題設(shè)條件以及選項(xiàng)來確定.

11.“蒙H圓”涉及幾何學(xué)中的一個聞名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上隨意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)，

必在一個與橢圓同心的圓上.稱此圓為該橢圓的，，蒙口圓”，該圓由法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙口

(1746—1818)最先發(fā)覺，已知長方形R的四條邊均與橢圓C:工+上=1相切，則下列說法正確的有()

63

B.橢圓。的蒙日圓方程為犬+丁=6

2

C.橢圓C的蒙日圓方程為d+）3=91）.長方形4的面積的最大值為18

【答案】ACD

【解析】

【分析】依據(jù)題意，依據(jù)橢圓離心率公式即可推斷A；聯(lián)立直線與桶圓方程結(jié)合韋達(dá)定理即可得到橢圓方程,

從而推斷BC；依據(jù)一角形面積公式即可推斷D.

橢圓。的離心率為e=—=J（、'=,

設(shè)兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)為戶（4,九）,

當(dāng)題設(shè)中的兩條相互垂直的切線中有斜率不存在或斜率為。時，可得點(diǎn)夕的坐標(biāo)是（土。/），或（±。,-力）.

當(dāng)題設(shè)中的兩條相互垂直的切線中的斜率均存在且均不為0時，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（七,%），（％=士。，

且％*±b）,

所以可設(shè)曲線。的過點(diǎn)P的切線方程是＞一%=4（不一七）（女工0）.

f9，

￡+21=1

222222

由，/川，+Z?）x-Iker[kxQ-yQ）X-\-a[kxQ-y0）-ab=0,

?一%=爪一/）

由其判別式的值為0，得（4-。2*-2工0點(diǎn)+￥一從=（）（片-42H（））,

因?yàn)槿送猓琸pB(kpA，女”為過戶點(diǎn)相互垂直的兩條宜線的斜率)是這個關(guān)于左的一元二次方程的兩個根,

所以火小天夕8二3一I，

MY

由此，得Z*即8=Tox；+y；=/+b2,

即C的蒙日圓方程為：/+)?=9；

因?yàn)槊扇請A為長方形的外接圓，設(shè)，?=|。4|=3,ZAOB=9,

則矩形面積公式S=4-r2-sin<9=18sin<9,明顯sin<9=l,

2

即矩形四條邊都相等，為正方形時，Snm=18.

故選:ACD.

12.已知函數(shù)/(x)=e'-x,g[x)=x-\nx,則下列說法正確的是()

A.g(e')在(U,+a)上是增函數(shù)

B.Vx>l,不等式/(or)2/(lnf)恒成立，則正實(shí)數(shù)。的最小值為：

C.若/(%)=/有兩個零點(diǎn)x，w，則％+工2>0

D.若/(與)=且(工2)=，(，>2),且毛>%>0,則一:一的最大值為一

“2—Xe

【答案】ABD

【解析】

【分析】A選項(xiàng)中，令/=e、>l，利用導(dǎo)數(shù)可求得g(。單調(diào)性，依據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的基本原則可知A正

確；B選項(xiàng)中，利用導(dǎo)數(shù)可求得f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，由此可將恒成立的不等式化為〃之2處，

X

令力b)=2皿(人>1),利用導(dǎo)數(shù)可求得〃(八)而，由々之“入)2可知B正確；c選項(xiàng)中，利用導(dǎo)數(shù)可求

得“X)的單調(diào)性，由此確定±<0<42，若石+工2>。，可等價轉(zhuǎn)化為/(5)>/(-%)，令

F(x)=/(x)-/(-x)(x<0),利用導(dǎo)數(shù)可求得F(x)單調(diào)性,從而得到F(x)<0,知/(%)</(-'),

可得C錯誤；D選項(xiàng)中，采納同構(gòu)法將已知等式化為/(5)=/(111/)=，(，>2),從而可確定馬>內(nèi)>1，

InzIn/..inr,、

結(jié)合單調(diào)性得到玉=1g2,由此化簡得到:一=丁，令>?)=比?>2)利用導(dǎo)數(shù)可求得

々一%，t

0。)最大值，知D正確.

【詳解】對于A,當(dāng)x>0時，e*>l，令f=e"則/>1，g?)=f-ln，,

???/(7)=1一；=?,.??當(dāng)”1時，g'(/)>0恒成立，.?.g(f)在(1,y)上單調(diào)遞增;

/=^在(0,+8)上單調(diào)遞增，

???依據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：且卜')在(0,+8)上為增函數(shù)，A正確：

對于B,當(dāng)x>l時，lnx2>]nl=0，又。為正實(shí)數(shù)，

???r(x)=e'-l,.?.當(dāng)x>0時，戶")>0恒成立，\/住)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

G1

則由/(at)之/(ini)得：CIX>inx2>即〃〉

令力(力=2吧(x>l),則%)=2(1

XX

.?.當(dāng)x￡(l,e)時，//(x)>0；當(dāng)X￡(e,+co)時，〃'(x)<0；

，2

在(l,e)上單調(diào)遞增，在(e,~KQ)上單調(diào)遞減，廠.力(X心=//(e)=-,

22

二.aN一，則正實(shí)數(shù)a的最小值為一，B正確；

ee

對干C,??"'(x)=e'-l,.??當(dāng)xvO時，/'(x)<0；當(dāng)x>0時，/^x)>0：

\/住)在(口,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增；.?./0)而「="0)=1,則/>|

不妨設(shè)X}<x2,則必有X)<0<A2,

若占+々>。，則%>一%>0，等價于/(%)>/(一七)，

又/(&)=/(%)，則等價于/(再)>/(一再)；

令F(X)=/(x)-/(-x)(x<0),則F(x)=ex+e-x-2,

Ar-xxx

Qx<0,/.0<e<be>1?.\e'+e>27e-e-=2?即9(x)>。，

.?.尸(6在(-8,0)上單調(diào)遞增，.一(“<網(wǎng)0)=0,up/(x)</(-%),

?.?/(百)</(一玉),可知％+9>。不成立'c錯誤；

v,ln

對干D,由/(N)=g(x2)=f('>2)，石">0得：e-X)=x2-Inx2=e-Inx2=r(r>2),即

/(xi)=/(,nx2)=z(z>2)>

由C知：/(M在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增；

/(l)=e-l<2,/.XI>1,則七>內(nèi)>1,〉0，

InrInrIntInt

"二”，即『”.『"RR'

令9?)二手(/>2),則“(1):1:,

...當(dāng)fw(2,e)時，當(dāng)fw(e,+oo)時，"(f)v0：

.”(/)在(2,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，.?4H=°(e)=L

e

Inr1

即------最大值為一，D正確.

%一Xe

故選:ABD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題C選項(xiàng)考查了導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問題；處理極值點(diǎn)偏移中的類似于內(nèi)+/

(/(%)=/(毛))的問題的基石步驟如下：

①求導(dǎo)確定/(X)的單調(diào)性，得到百,電的范圍：

②構(gòu)造函數(shù)/(x)=/(x)—〃a—x),求導(dǎo)后可得尸(X)恒正或恒負(fù)：

③得到“與)與一%)的大小關(guān)系后，將fM置換為/(2)；

④依據(jù)々與。一百所處的范圍，結(jié)合/'(力的單調(diào)性，可得到血與。一%的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.(x-2y)Xy-2z)5(z-2x)1的綻開式中不含z的各項(xiàng)系數(shù)之和.

【答案】128

【解析】

【分析】對每一個括號利用二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式進(jìn)行綻開，綻開后對每一項(xiàng)進(jìn)行合并，合并后使得z項(xiàng)累

次為0,確定項(xiàng)數(shù)后即可得到答案.

【詳解】(工一2?()，一22)5(2-2力7利用二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式進(jìn)行綻開，設(shè)(工一2獷項(xiàng)為太，()，一22)5

項(xiàng)為"，(Z-2x)7項(xiàng)為〃?.

綻開后得C：FY_2)，>？/5飛一z)"?/■?(-z.對每一項(xiàng)進(jìn)行合并得

(21￡7(-2『"+"產(chǎn)2"6〃+。7-"，，因?yàn)榫`開式中不含z,所以7-〃葉〃=0,又機(jī)得取值為

{0,123,4,5,6,7},〃得取值為{0,1,2,3,4,5},故得m=7,〃=0.

代人綻開式得C；C；C就一2)7“/-、5+Jc；(-2)*-1產(chǎn)：，又k得取值為{0,1,2,3},分別帶入后各

項(xiàng)系數(shù)之和為C；(-2)7+C；(-2)5+C；(-2)9+C；(—2-=(-2)7+3-(-2)8+3?(-2)9+(-2)'°=128.

故答案為：128

14.將函數(shù)/(x)=sin(3+0)0>0,|同的圖像向左平移。個單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象，如

圖所示，圖中陰影部分的面積為三，則。=___________.

0

【答案】￡

6

【解析】

【分析[依據(jù)三角函數(shù)圖象的對稱性，得到S=2SA8C/)=],求得夕=5,進(jìn)而求得卬=2,得到

〃x)=sin(2x+°),結(jié)合,*)=1,即可求得8的值.

【詳解】如圖所示，依據(jù)三角函數(shù)圖象的對稱性，可得陰影部分的面積等于矩形A8CO和EFG”的面積

之和，即S=SQABCD+S°EFGH=2S-ABCD,

因?yàn)楹瘮?shù)/a)=sin(s+°)的圖像向左平移。個單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象，

所以SADCD=Ox1=夕?

又因?yàn)閳D中陰影部分的面積為工，所以2。=勺，解得。=生，

224

rjp與

又由圖象可得。=一，可得4=-,所以丁=不，所以卬=」=2,

444T

所以/（R）=sin（2五+0）,

因?yàn)?（乙）=sin（2xM+e）=1,可得2+。=乙+2%],ZeZ,即。=乙+2女肛&￡2,

66326

因?yàn)镮研＜￡，所以夕=工.

2o

15.已知圓工2+尸+2工一4），-5=0與圓/+），2+2工一1=0相交于A,8兩點(diǎn)，則公共弦A5所在的直線

方程為，\AB\=.

【答案】①.y--l；②.2

【解析】

【分析】先求出公共弦方程，再利用幾何法求弦長.

【詳解】由圓/+產(chǎn)+2工一4），-5=0與圓/+）,2+2工一1=0,可得公共弦A3所在的直線方程為：

（￡+,2+2x-4y-5）-（V+），+2%-1）=0,即=

因?yàn)閳A『+y?+2x—1=0的圓心0（-1,0）,半徑為「=應(yīng),

所以圓心0（—1,0）到直線y=-1的距離為1,所以IA口=2萬T=2.

故答案為：J=-l；2.

16.在正方體A8CQ-中，點(diǎn)尸滿意4P=x4A+y4C+z4。；，且x+y+z=l,直線與平

面ACR所成角為若二面角P-AO-4的大小為。，則tan。的最大值是_____.

【答案】屈

【解析】

【分析】依據(jù)共面的充要條件及線面垂直的判定定理，利用線面垂直的性質(zhì)定理及線面角的定義，結(jié)合二

面角的平面角的定義及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】VBiP=xBiA+yBiC+zBiDl,且x+y+z=l,

???P在平面ACR上，

因?yàn)橛肎J_平面GROC,又c"u平面G。。。，

所以BCI工CR,又CR上CD,4GlCQ=G，CQu平面4GD4,qQu平面用6），

所以CQ_L平面與C|D4,eQu平面耳C|D4，所以

同理可得用力八AC,又ACnCj=C,ACu平面AC。，C〃u平面ACR,

所以4。_L平面AC",

設(shè)正方體的棱長為1,則可知4-ACD,為棱長為V2的正四面體，

所以。|為等邊三角形ACA的中心，

由題可得A0=爭加邛,得人。1=,4。=彳，所以ca=小2_號二子,

又???Bf與平面ACQ所成角為三，則梁*=tang=石，

3〃〃3

27

可求得。/=§,即2在以01為圓心，半徑，?二§的圓上，且圓在平面ACR內(nèi)，

由與。_L平面4CQ,又「MOu平面AqG。，

???平面44GD_L平而AC。.E兩個平面的交線為AO.把兩個平面抽象出來,如圖所示,

作PA/J_AO于M點(diǎn)，過點(diǎn)M作MV1AO交AO于、點(diǎn)，連接AM

???平面ABC。，平面ACQ,尸Mu平面ACR,平面AgG。。平面ACRAO,

???PM_L平面AB?。，AOu平面AUG。，

:,PMLAD，

乂MNJ.AD,MN與QM為平面PMN中兩相交直線,

故AD_L平面PMN,取匚平面必必/,，4力_1,取

???/尸77加為二面角尸—八。一線的平面角，即為角0,

設(shè)AM=x,當(dāng)M與點(diǎn)O1不重合時，在RIAPMQ中,

,2>/62

可求得PM二-X+-----X——，

39

若V與點(diǎn)。?重合時，即當(dāng)工=逅時，可求得PM=P?=g,也符合上式,

33

故7人號一1

MNAM

,:MNd,AD,ODA.AD,:,MN〃OD,，——=——

ODAO

也

.ODxAM~YX也

AO國3

~T

則y=_21_L—還]+2<2,當(dāng)_L=逆，即入=亞時等號成立，

9[x2JX29

tan6?=>/3?y[y<>/3x>/2=^?

故〔an夕的最大值是遙.

故答案為：限.

【點(diǎn)睛】解決此題的關(guān)鍵是依據(jù)已知條件作出圖形，再利用線面垂直的判定及性質(zhì)定理，然后依據(jù)線面角

及二面角的平面角的定義找出所求角，結(jié)合三角形相像及二次函數(shù)的性質(zhì)即可.

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.已知數(shù)列｛4｝滿意%=1,%=2,?！?2=4i+2x3”(〃eN),且a=+a〃+1￡N)

(1)求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

⑵若作=？:+?(“wN)求數(shù)列在〃｝的前〃項(xiàng)和.

【答案】(1)2=3",

⑵1-37,(2/7+1)

【解析】

【分析】(1)由題意得到內(nèi)向-4=2x3〃，利用累加法求出｛々｝的通項(xiàng)公式；(2)利用裂項(xiàng)相消法求和.

【小問1詳解】

因?yàn)閝=l,%=2,4+2=〃“+2X3"(〃￡N'),b"a…

可得乙=4+%=3,?！?2-?！?2x3",

又以+i-b〃=atl+｝+4+2-(4+4+J=4+2一%=2x3",

則當(dāng)〃22時，bn=〃i+(d-^)+(4一年)^----一〃_1)=3+2x3+2x3?-\-------F2X3"」

1-3

上式對n=1也成立，所以bH=3",nGN";

【小問2詳解】

由北二陪

一_4〃+4_1__________]

可得%—3"（2〃-1乂2〃+1）-3n-,（2/7-1）—3"（2.+1），

則數(shù)列｛qj的前〃項(xiàng)和為

111111

'',+,—'+??'+'',

3°xl3'x33'x332X53""（2〃-1）3w（2/?+l）

3"（2〃+l）.

18.如圖，2為..ABC內(nèi)的一點(diǎn)，々AP記為。，NABP記為0,且。，尸在，A5P中的對邊分別記為

加，〃，（2/?/+/?）sinp=5/3,2cos0,口匹嗚.

⑵若AB=26,BP=2,PC=G，記NAPC=J,求線段"的長和.ABC面積的最大值.

【答案】（1）y:

（2）答案見解析.

【解析】

【分析】（1）由已知可推出sinauXacos71

^--sin//，整理得到sina=sin--P.依據(jù)a，/的范圍

213/

可得a+/?=g,進(jìn)而即可得出/APB：

=x/3+3sinf

（2）由己知可得AP=2，進(jìn)而依據(jù)S△八8c=S△APB+S△八pc+S&BPC即可得出S.八8c

依據(jù)0＜。＜兀，即可得出三角形面積的最大值.

【小問1詳解】

已知（2〃z+〃）sin/?=VS/zcos/?.由n二弦定理可得

(2sina+sin/7)sin/=\/5sin/cos/7,由sin尸wO,

所以2sina+sin4=x/Jcos/7,即sincr=-^cosp-gsin4,

所以sina=sin(1_"J.

因?yàn)镼,BS°'L

jrjrQjr

所以0=5一萬，則「+〃=§,所以NAPB=7i-(a+￡)=一.

【小問2詳解】

在△"8中，由余弦定理得知：

AB2=AP2+BP2-2AP-BPCOSNAPB，

即12=4p2+4+2AP，因?yàn)锳P>0，所以A尸=2?

2兀4兀

因?yàn)閆APB+NBPC+ZAPC=2兀，所以N3PC=2兀-----0=——0.

=-xAPxBPxsinZAPB+—xAPxCPxsinZAPC+—xBPxCPxsinZBPC

222

=—x2x2xsin—+—x2x^3xsin^+—x2x5/3xsinf-

2322I3)

=V3+>/3sin6^+sinl--0=>/3+>/3lsin+sincos6^-cossin

=V3+V3sin。----cos^+—sin6^=>/5+G—sin6^----cos6^

=V3+3sin9一工,0<^<7t.

<6，

ri“兀八兀5兀

因?yàn)?，—?lt;?！?lt;—,

666

TT?127r

所以，當(dāng)。一二二一，即。=——時，JWC面積有最大值石+3.

623

19.如圖所示，在多面體ABCD即中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC,AB1BC,側(cè)面ABE尸為

菱形，平面4跳戶_1_平面ABCQ,"為棱跖的中點(diǎn).

F

(1)若OE上有一點(diǎn)N滿意MN//平面ABC。，確定點(diǎn)"的位置并證明；

(2)若A8=8C='A。，Z￡fiA=60°,求平面MAO與平面目加所成二面角的正弦值.

2

【答案】(1)點(diǎn)"為成中點(diǎn)，證明見解析；

19

【解析】

【分析】(1)由題意必為棱烈的中點(diǎn)，可揣測取DE的中點(diǎn)A；證明MN〃3O,即可判定線面平行；

(2)取力”的中點(diǎn)。，可證得QE_LA8,依據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得OEL平面48co.取CQ中點(diǎn)為〃，

可證AB±OH,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)4)=4,得出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面MAD

和平面￡尸。的法向量，進(jìn)而依據(jù)向量即可得出結(jié)果.

【小問1詳解】

點(diǎn)、:V為優(yōu)中點(diǎn)、,證明如下：

如圖,連接BD,MN,

因?yàn)镸N分別為龐；龍的中點(diǎn)，

所以叱V為4EBD的中位線，所以MN〃BD,

又MN(Z平面ABCD,BDu平面ABCD,所以MN〃平面ABCO.

所以N為的中點(diǎn)時滿意條件.

【小問2詳解】

取仍的中點(diǎn)。，連接在；因?yàn)閭?cè)面A3EF為菱形，且NEBA=60。，

所以在_EBO中，EO2=BO2+EB2-2BO-EBCOS60°，解得E0=用0，

所以0￡：2+。32=BE?,即。E_L48.

又因?yàn)槠矫?班尸_L平面ABC。，ABEFnABCD=AB,O￡u平面ABE/L

所以O(shè)E_L平面43co.

取CO中點(diǎn)為“，連結(jié)O”,則?！ㄊ翘菪蜛BC。的中位線，所以。H〃3C.

因?yàn)锳8/3C,所以A3J_OH.

分別以。〃，如，施所在直線為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-入了z,

設(shè),4。=4,則A3=8C=；AQ=2,OE=8Esin600=6，

故E（0,0,碼,4（0,1,0）,力（4,1,0）,尸（0,2同,B（0,-l,0）,

則M（0,總亭，3。,|，等,加二心孝

,EF=（O,2,O）,ED=（4,1,-73）.

設(shè)平面MAD的一個法向量為6二（芭,x,4）.

36八

77??MA-0丁’—[0%=0

則有“,即《化簡得〈

m-MD=043G八4=島1

4玉+尹一虧4=0

令y=1,則〃?=（0,1,6）是平面的一個法向量.

設(shè)平面EFD的一個法向最為，=（々,%，22），

n-EF=02y2=0%二0

則,,叫L，化簡得

nED=04x,+y,—y/3z2=04%2=

令馬=46,則馬=3,則〃=（3,0,46）是平面￡/論的一人法向量.

故：平面M4O與平面七廠。所成二面角

20.新冠疫情暴發(fā)以來，各級人民政府實(shí)行有效防控措施，時常采納10人一組做核酸檢測（俗稱混檢）,

某地在核酸檢測中發(fā)覺某一組中有1人核酸檢測呈陽性，為了能找出這1例陽性感染者，且確認(rèn)感染何種

病毒，須要通過做血清檢測，血清檢測結(jié)果呈陽性的即為感染人員，呈陰性的表示沒被感染.擬采納兩種方

案檢測：

方案甲：將這10人逐個做血清檢測，直到能確定感染人員為止.

方案乙：將這10人的血清隨機(jī)等分成兩組，隨機(jī)將其中?組的血清混在?起檢測，若結(jié)果為陽性，則表示

感染人員在該組中，然后再對該組中每份血清逐個檢測，直到能確定感染人員為止；若結(jié)果呈陰性，則對

另一組中每份血清逐個檢測，直到能確定感染人員為止.把采納方案甲，直到能確定感染人員為止，檢測的

次數(shù)記為尤

（1）求才的數(shù)學(xué)期望E（X）；

（2）假如每次檢測的費(fèi)用相同，以檢測費(fèi)用的期望作為決策依據(jù)，應(yīng)選擇方案甲與方案乙哪一種？

27

【答案】（1）E（X）=—

（2）選擇方案乙

【分析】（1）結(jié)合排列數(shù)的計(jì)算、古典概型概率計(jì)算公式、期望的計(jì)算求得石（X）.

（2）方案乙檢測的次數(shù)記為y,依據(jù)方案乙的檢測方法計(jì)算出石（y）,由此作出推斷.

【小問1詳解】

X可取1,2,…，8,9,

A*T1

則P(X=Z)=―=——，k=l,2,-??,8,

AfoI。

A81

1127

所以E(X)=y^x(l+2++8)4--x9=y.

【小問2詳解】

把采納方案乙，直到能確定感染人員為止，檢測的次數(shù)記為匕

則V可取2,3,4,5.

P八(Y?=2c)、=—1x—1+—1x—1=-1,

25255

…1411411

P(K=3)=—x—x—+—x—x—=—,

2542545

…八143114311

P(K=4)=—x