福建省龍巖市2024-2025學(xué)年高一上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

福建省龍巖市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共有8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B.C. D.2.對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b、c、d，下列命題中，真命題為（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則3.已知，則集合M的真子集的個(gè)數(shù)是（）A.7 B.8 C.15 D.164.已知集合，若，則由實(shí)數(shù)a的所有可能的取值組成的集合為（）A B.C. D.5.若實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為（）A B. C.10 D.146.不等式的解集為，則函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C D.7.關(guān)于x的不等式的解集為的一個(gè)必要不充分條件是（）A B.C. D.8.無字證明即無需語言的證明（proofwithoutwords），本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)語言，形式上是隱含數(shù)學(xué)命題或定理的證明的圖象或圖形，可能包含數(shù)學(xué)符號(hào)、記號(hào)、方程，但不附帶文字．如圖，C為線段AB上的點(diǎn)，且，，O為AB的中點(diǎn)，以AB為直徑做半圓．過點(diǎn)C作AB的垂線交半圓于D．連結(jié)OD，AD，BD．過點(diǎn)C作OD的垂線，垂足為E．則下面可由進(jìn)行無字證明的不等式為（）A. B.C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.圖中陰影部分用集合表示正確的是（）A. B.C. D.10.下列說法正確的有（）A.命題p：，則B.“粗繒大布裹生涯，腹有詩書氣自華．”其中“腹有詩書”是“氣自華”的充分條件C.“”是“且”的必要條件D.“x，y為無理數(shù)”是“為無理數(shù)”的既不充分也不必要條件11.已知，則下列結(jié)論正確的有（）A.ab的最大值 B.的最小值為1C.的最小值 D.的最小值第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知集合，且，則實(shí)數(shù)m的值為______．13.已知命題：“”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．14.關(guān)于不等式組的整數(shù)解的集合為，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合，集合．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．16.已知命題p：“”為假命題，設(shè)實(shí)數(shù)a的所有取值構(gòu)成的集合為．（1）求集合A；（2）設(shè)集合，若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．17.“金山銀山不如綠水青山．”實(shí)行垃圾分類、保護(hù)生態(tài)環(huán)境人人有責(zé)．某企業(yè)新建了一座垃圾回收利用工廠，于今年年初用萬元購進(jìn)一臺(tái)垃圾回收分類生產(chǎn)設(shè)備，并立即投入生產(chǎn)使用．該設(shè)備使用后，每年的總收入為50萬元．若該設(shè)備使用年，則其所需維修保養(yǎng)費(fèi)用年來的總和為萬元，設(shè)該設(shè)備產(chǎn)生的盈利總額（純利潤）為萬元．（1）寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式；并求該設(shè)備使用幾年后，其盈利總額開始達(dá)到萬元以上；（2）該設(shè)備使用幾年后，其年平均盈利額達(dá)到最大?最大值多少?（）18.設(shè)．（1）當(dāng)a=2時(shí)，解關(guān)于x的不等式；（2）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于x的不等式；（3）若關(guān)于x的不等式在時(shí)有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．19.若一個(gè)集合含有個(gè)元素，且這個(gè)元素之和等于這個(gè)元素之積，則稱該集合為元“復(fù)活集”.（1）直接寫出一個(gè)2元“復(fù)活集”（無需寫出求解過程）；（2）求證：對(duì)任意一個(gè)2元“復(fù)活集”，若其元素均為正數(shù)，則其元素之積一定大于4；（3）是否存在某個(gè)3元“復(fù)活集”，其元素均為正整數(shù)?若存在，求出所有符合條件的3元“復(fù)活集”；若不存在，說明理由.福建省龍巖市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共有8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)并集的知識(shí)求得正確答案.【詳解】依題意.故選：D2.對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b、c、d，下列命題中，真命題為（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【正確答案】C【分析】利用特殊值以及不等式的性質(zhì)確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，若，如，則，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，若，如，則，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，若，根據(jù)不等式的性質(zhì)可知，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，若，如，則，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C3.已知，則集合M的真子集的個(gè)數(shù)是（）A.7 B.8 C.15 D.16【正確答案】C【分析】先求得集合，然后求得集合的真子集.【詳解】依題意，，所以集合有個(gè)元素，真子集的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：C4.已知集合，若，則由實(shí)數(shù)a的所有可能的取值組成的集合為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】對(duì)進(jìn)行分類討論，根據(jù)來求得的所有可能的取值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，滿足.當(dāng)時(shí)，，要使，則需或，解得或，綜上所述，的所有可能的取值組成的集合為.故選：C5.若實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為（）A. B. C.10 D.14【正確答案】B【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)來求得的最小值.【詳解】設(shè)，則，解得，所以，由于，所以，所以，最小值為.故選：B6.不等式的解集為，則函數(shù)的圖象大致為（）A B.C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)不等式的解集得到，為的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得到，從而根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸，開口方向及與軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的正負(fù)得到答案.【詳解】由題意得，為的兩個(gè)根，故，即，開口向下，對(duì)稱軸為，與軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)為故選：B7.關(guān)于x的不等式的解集為的一個(gè)必要不充分條件是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】對(duì)進(jìn)行分類討論，根據(jù)不等式的解集為以及必要不充分條件等知識(shí)來確定正確答案.【詳解】對(duì)于不等式，當(dāng)時(shí)，恒成立，符合題意.當(dāng)時(shí)，不恒成立，不符合題意.當(dāng)時(shí)，要使不等式的解集為，則需，解得.綜上所述，的取值范圍是，所以一個(gè)必要不充分條件是.故選：D8.無字證明即無需語言的證明（proofwithoutwords），本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)語言，形式上是隱含數(shù)學(xué)命題或定理的證明的圖象或圖形，可能包含數(shù)學(xué)符號(hào)、記號(hào)、方程，但不附帶文字．如圖，C為線段AB上的點(diǎn)，且，，O為AB的中點(diǎn)，以AB為直徑做半圓．過點(diǎn)C作AB的垂線交半圓于D．連結(jié)OD，AD，BD．過點(diǎn)C作OD的垂線，垂足為E．則下面可由進(jìn)行無字證明的不等式為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】利用射影定理求得，結(jié)合整理得出正確答案.【詳解】由于是圓的直徑，所以，圓的半徑為，而，由射影定理得.在直角三角形中，，由射影定理得，由，所以.故選：A這道題的設(shè)計(jì)較為經(jīng)典，結(jié)合了幾何和代數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)考生的基礎(chǔ)知識(shí)要求較高,有助于考查學(xué)生的綜合能力.題目的解題過程按照邏輯順序展開，先利用射影定理，再結(jié)合圓和直角三角形的性質(zhì)，這樣的分析過程符合數(shù)學(xué)解題的思路.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.圖中陰影部分用集合表示正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】AB分析】根據(jù)交集、補(bǔ)集以及圖象等知識(shí)來確定正確答案.【詳解】根據(jù)圖象可知，陰影部分表示的集合是，所以AB選項(xiàng)正確、C選項(xiàng)錯(cuò)誤而，不符合題意，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB10.下列說法正確的有（）A.命題p：，則B.“粗繒大布裹生涯，腹有詩書氣自華．”其中“腹有詩書”是“氣自華”的充分條件C.“”是“且”的必要條件D.“x，y為無理數(shù)”是“為無理數(shù)”的既不充分也不必要條件【正確答案】BCD【分析】由全稱命題的否定可得A錯(cuò)誤；由詩句的意思和充分條件的性質(zhì)可得B正確；舉例可得CD正確；【詳解】對(duì)于A，命題p：，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，詩句大概意思是雖然衣服簡(jiǎn)陋，但學(xué)識(shí)淵博，氣質(zhì)自然會(huì)高雅，所以“腹有詩書”是“氣自華”的充分條件，故B正確；對(duì)于C，可以為，但“且”一定有，所以“”是“且”的必要條件，故C正確；對(duì)于D，x，y為無理數(shù)，如，此時(shí)為有理數(shù)，充分性不成立；若為無理數(shù)，如，此時(shí)為無理數(shù)，為有理數(shù)，必要性不成立，故D正確；故選：BCD.11.已知，則下列結(jié)論正確的有（）A.ab的最大值 B.的最小值為1C.的最小值 D.的最小值【正確答案】ACD【分析】根據(jù)基本不等式、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，由，得，則，所以，對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，設(shè)，則，解得，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以D選項(xiàng)正確.故選：ACD方法點(diǎn)睛：用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：“一正，二定，三相等”.（1）“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方，注意多次運(yùn)用不等式，等號(hào)成立條件是否一致.第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知集合，且，則實(shí)數(shù)m的值為______．【正確答案】【分析】根據(jù)已知條件列方程，結(jié)合集合的知識(shí)求得的值.【詳解】由于，所以，結(jié)合或（舍去）.故13.已知命題：“”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【正確答案】【分析】利用分離常數(shù)法，結(jié)合基本不等式來求得的取值范圍.【詳解】依題意，命題：“”為真命題，所以在區(qū)間1,+∞上恒成立.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以，所以的取值范圍是.故14.關(guān)于不等式組的整數(shù)解的集合為，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________.【正確答案】【分析】結(jié)合已知條件，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，并結(jié)合不等式組的整數(shù)解的集合即可求解.【詳解】由或，由可知，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椴坏仁浇M整數(shù)解的集合為，所以；當(dāng)時(shí)，的解為，則此時(shí)不等式組的整數(shù)解的集合為，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，的解為，則此時(shí)不等式組的整數(shù)解的集合為空集，不滿足題意，綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合，集合．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)交集的知識(shí)求得正確答案.（2）根據(jù)列不等式，由此求得的取值范圍.小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以.【小問2詳解】由于恒成立，所以集合不是空集，由得或，解得或，所以的取值范圍是.16.已知命題p：“”為假命題，設(shè)實(shí)數(shù)a的所有取值構(gòu)成的集合為．（1）求集合A；（2）設(shè)集合，若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)存在量詞命題的真假性列不等式來求得的取值范圍，從而求得集合.（2）根據(jù)充分不必要條件、對(duì)進(jìn)行分類討論來求得的取值范圍.【小問1詳解】依題意，命題p：“”為假命題，所以，解得，所以.【小問2詳解】由于是的充分不必要條件，所以，當(dāng)，即時(shí)，，滿足.當(dāng)，即時(shí)，要使，則需且兩個(gè)等號(hào)不能同時(shí)成立，解得，所以的取值范圍是.17.“金山銀山不如綠水青山．”實(shí)行垃圾分類、保護(hù)生態(tài)環(huán)境人人有責(zé)．某企業(yè)新建了一座垃圾回收利用工廠，于今年年初用萬元購進(jìn)一臺(tái)垃圾回收分類生產(chǎn)設(shè)備，并立即投入生產(chǎn)使用．該設(shè)備使用后，每年的總收入為50萬元．若該設(shè)備使用年，則其所需維修保養(yǎng)費(fèi)用年來的總和為萬元，設(shè)該設(shè)備產(chǎn)生的盈利總額（純利潤）為萬元．（1）寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式；并求該設(shè)備使用幾年后，其盈利總額開始達(dá)到萬元以上；（2）該設(shè)備使用幾年后，其年平均盈利額達(dá)到最大?最大值是多少?（）【正確答案】（1）y=?2x2+40x?98x>0，使用年后，盈利總額開始達(dá)到（2）使用年后，其年平均盈利額達(dá)到最大，最大值為萬元.【分析】（1）先求得與之間的函數(shù)關(guān)系式，由此列不等式來求得正確答案.（2）先求得平均盈利額的表達(dá)式，然后利用基本不等式來求得最大值以及此時(shí)對(duì)應(yīng)的的值.【小問1詳解】依題意，y=50x?2由，得，即，解得，所以使用年后，盈利總額開始達(dá)到萬元以上.【小問2詳解】平均盈利額，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以使用年后，其年平均盈利額達(dá)到最大，最大值為萬元.18.設(shè)．（1）當(dāng)a=2時(shí)，解關(guān)于x的不等式；（2）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于x的不等式；（3）若關(guān)于x的不等式在時(shí)有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【正確答案】（1）（2）答案見解析（3）【分析】（1）通過解一元二次不等式來求得正確答案.（2）對(duì)進(jìn)行分類討論，結(jié)合一元二次不等式的解法來求得正確答案.（3）利用分離參數(shù)法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、最值等知識(shí)來求得的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)a=2時(shí)，由，得，解得，所以不等式的解集為.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，由整理得，即，令，解得或，令，解得，當(dāng)，即時(shí)，原不等式的解集為或x>?1a；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為或.【小問3詳解】依題意，關(guān)于x的不等式在時(shí)有解，即在時(shí)有解，由于，所以區(qū)間上能成立，由于在區(qū)間上單調(diào)遞增，最小值為，所以，所以的取值范圍是.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解含參數(shù)的不等式恒成立、能成立問題，可以考慮利用分離參數(shù)法來進(jìn)行求解，分離參數(shù)后，可以利用函數(shù)的最值來求得參數(shù)的取值范圍，在求解的過程中，要注意恒成立問題和能成立問題的區(qū)別.19.若一個(gè)集合含有個(gè)元素，且這個(gè)元素之和等于這個(gè)元素之積，則稱該集合為元“復(fù)活集”.（1）直接寫出一個(gè)2元“復(fù)活集”（無需寫出求解過程）；（2）求證：對(duì)任意一個(gè)2元“復(fù)活集”，若其元素均為正數(shù)，則其元素之積一定大于4；（3）是否存在某個(gè)3元“復(fù)活集”，其元素均為正整數(shù)?若存在，求出所有