2023屆高考數學一輪復習-第4講-復-數

第4講復數考向預測核心素養(yǎng)主要考查復數的基本概念(復數的實部、虛部、共軛復數、復數的模等)，復數相等的充要條件，復數的代數形式的四則運算，重點考查復數的除法運算．題型以選擇題為主，低檔難度．數學抽象、數學運算[學生用書P142]一、知識梳理1．復數的有關概念(1)復數的定義形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中實部是a，虛部是b．(2)復數的分類eq\a\vs4\al(復數z＝a＋bi，（a，b∈R）)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(實數（b＝0），,虛數（b≠0）\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(純虛數（a＝0且b≠0），,非純虛數（a≠0且b≠0）.))))(3)復數相等a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共軛復數a＋bi與c＋di共軛?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)復數的模向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復數z＝a＋bi的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，a，b∈R)．2．復數的幾何意義(1)復數z＝a＋bieq\o(,\s\up6(一一對應))復平面內的點Z(a，b)(a，b∈R)．(2)復數z＝a＋bi(a，b∈R)eq\o(,\s\up6(一一對應))平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).3．復數的運算(1)復數的加、減、乘、除運算法則設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)復數加法的運算律復數的加法滿足交換律、結合律，即對任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．常用結論1．(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．3．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．4．|z|2＝|eq\o(z,\s\up6(－))|2＝z·eq\o(z,\s\up6(－)).二、教材衍化1．(人A必修第二冊P69例1改編)若復數z＝eq\f(m2＋m－6,m)＋(m2－2m)i為純虛數，則實數m的值為()A．m＝2 B.m＝－3C．m＝2或m＝－3 D.m＝1或m＝－3解析：選B.因為復數z＝eq\f(m2＋m－6,m)＋(m2－2m)i為純虛數，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≠0，,\f(m2＋m－6,m)＝0，解得m＝－3.,m2－2m≠0，))2．(人A必修第二冊P72例3改編)復數z＝a＋bi(a，b∈R)在復平面內對應的點為Z(a，b)，若|z|≤1，則滿足條件的點Z的集合是()A．直線 B.線段C．圓 D.單位圓以及圓內的部分解析：選D.因為|z|≤1，所以a2＋b2≤1，所以點Z的集合是以原點為圓心，1為半徑的圓及其內部．3．(人A必修第二冊P80習題7.2T2改編)在復平面內，向量eq\o(AB,\s\up6(→))對應的復數是2＋i，向量eq\o(CB,\s\up6(→))對應的復數是－1－3i，則向量eq\o(CA,\s\up6(→))對應的復數是()A．1－2i B.－1＋2iC．3＋4i D.－3－4i解析：選D.eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.一、思考辨析判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)方程x2＋x＋1＝0沒有解．()(2)復數z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為bi.()(3)復數中有相等復數的概念，因此復數可以比較大?。?)(4)復數的模實質上就是復平面內復數對應的點到原點的距離，也就是復數對應的向量的模．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√二、易錯糾偏1．(復數幾何意義不清致誤)設i是虛數單位，若z＝cosθ＋isinθ，且其對應的點位于復平面內的第二象限，則θ位于()A．第一象限 B.第二象限C．第三象限 D.第四象限解析：選B.因為z＝cosθ＋isinθ對應的點的坐標為(cosθ，sinθ)，且點(cosθ，sinθ)位于第二象限，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosθ<0，,sinθ>0，))所以θ為第二象限角，故選B.2．(共軛復數概念搞混致誤)已知a＋bi(a，b∈R)是eq\f(1－i,1＋i)的共軛復數，則a＋b＝()A．－1 B.－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D.1解析：選D.由eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(（1－i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝－i，從而知a＋bi＝i，由復數相等得a＝0，b＝1，從而a＋b＝1.3．(純虛數概念理解不準確易錯)i為虛數單位，若復數(1＋mi)(i＋2)是純虛數，則實數m＝________．解析：因為(1＋mi)(i＋2)＝2－m＋(1＋2m)i是純虛數，所以2－m＝0，且1＋2m≠0，解得m＝2.答案：2[學生用書P144])考點一復數的有關概念(自主練透)復習指導：理解復數的基本概念以及復數相等的充要條件．1．(2020·高考全國卷Ⅲ)復數eq\f(1,1－3i)的虛部是()A．－eq\f(3,10) B.－eq\f(1,10)C.eq\f(1,10) D.eq\f(3,10)解析：選D.eq\f(1,1－3i)＝eq\f(1＋3i,（1＋3i）（1－3i）)＝eq\f(1＋3i,10)＝eq\f(1,10)＋eq\f(3,10)i，所以虛部為eq\f(3,10).2．(2022·鄭州市第一次質量預測)若復數eq\f(1＋2ai,2－i)(a∈R)的實部和虛部相等，則實數a的值為()A．1 B.－1C.eq\f(1,6) D.－eq\f(1,6)解析：選C.因為eq\f(1＋2ai,2－i)＝eq\f(（1＋2ai）（2＋i）,（2－i）（2＋i）)＝eq\f(2－2a,5)＋eq\f(1＋4a,5)i，所以由題意，得eq\f(2－2a,5)＝eq\f(1＋4a,5)，解得a＝eq\f(1,6)，故選C.3．(2022·山西八校第一次聯考)已知a，b∈R，i為虛數單位，若3－4i3＝eq\f(2－bi,a＋i)，則a＋b＝()A．－9 B.5C.13 D.9解析：選A.由3－4i3＝eq\f(2－bi,a＋i)得，3＋4i＝eq\f(2－bi,a＋i)，即(a＋i)(3＋4i)＝2－bi，(3a－4)＋(4a＋3)i＝2－bi，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a－4＝2，,4a＋3＝－b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－11，))故a＋b＝－9.4．(2020·高考江蘇卷)已知i是虛數單位，則復數z＝(1＋i)(2－i)的實部是__________．解析：復數z＝(1＋i)(2－i)＝3＋i，實部是3.答案：3解決復數概念問題的方法及注意事項(1)復數的分類及對應點的位置問題都可以轉化為復數的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數化為代數形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．(2)解題時一定要先看復數是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部．考點二復數的幾何意義(綜合研析)復習指導：了解復數的代數表示法及其幾何意義．(1)(2021·新高考卷Ⅱ)復數eq\f(2－i,1－3i)在復平面內對應的點所在的象限為()A．第一象限 B.第二象限C．第三象限 D.第四象限(2)(一題多解)(2020·高考全國卷Ⅱ)設復數z1，z2滿足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝eq\r(3)＋i，則|z1－z2|＝____________．【解析】(1)eq\f(2－i,1－3i)＝eq\f(（2－i）（1＋3i）,10)＝eq\f(5＋5i,10)＝eq\f(1＋i,2)，所以該復數對應的點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，該點在第一象限．(2)方法一：設z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，則由|z1|＝|z2|＝2，得xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)＝4.因為z1＋z2＝x1＋x2＋(y1＋y2)i＝eq\r(3)＋i，所以|z1＋z2|2＝(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)＋2x1x2＋2y1y2＝8＋2x1x2＋2y1y2＝(eq\r(3))2＋12＝4，所以2x1x2＋2y1y2＝－4，所以|z1－z2|＝|x1－x2＋(y1－y2)i|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)－2x1x2－2y1y2)＝eq\r(8＋4)＝2eq\r(3).方法二：設z1＝a＋bi(a，b∈R)，則z2＝eq\r(3)－a＋(1－b)i，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|z1|2＝a2＋b2＝4，,|z2|2＝（\r(3)－a）2＋（1－b）2＝4，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝4，,\r(3)a＋b＝2，))所以|z1－z2|2＝(2a－eq\r(3))2＋(2b－1)2＝4(a2＋b2)－4(eq\r(3)a＋b)＋4＝4×4－4×2＋4＝12，所以|z1－z2|＝2eq\r(3).【答案】(1)A(2)2eq\r(3)復數的幾何意義及應用(1)復數z、復平面上的點Z及向量eq\o(OZ,\s\up6(→))相互聯系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?eq\o(OZ,\s\up6(→)).(2)由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數、向量與解析幾何聯系在一起，解題時可運用數形結合的方法，使問題的解決更加直觀．|跟蹤訓練|1.如圖，若向量eq\o(OZ,\s\up6(→))對應的復數為z，則z＋eq\f(4,z)表示的復數為()A．1＋3iB．－3－iC．3－iD．3＋i解析：選D.由題圖可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋eq\f(4,z)＝1－i＋eq\f(4,1－i)＝1－i＋eq\f(4（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝1－i＋eq\f(4＋4i,2)＝1－i＋2＋2i＝3＋i.2．設復數z滿足|z－i|＝1，z在復平面內對應的點為(x，y)，則()A．(x＋1)2＋y2＝1 B.(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D.x2＋(y＋1)2＝1解析：選C.因為z在復平面內對應的點為(x，y)，所以z＝x＋yi(x，y∈R)．因為|z－i|＝1，所以|x＋(y－1)i|＝1，所以x2＋(y－1)2＝1.考點三復數代數形式的運算(自主練透)復習指導：能進行復數代數形式的四則運算，了解復數代數形式的加、減運算的幾何意義．1．(2021·高考全國卷乙)設iz＝4＋3i，則z＝()A．－3－4i B.－3＋4iC．3－4i D.3＋4i解析：選C.因為iz＝4＋3i，所以z＝eq\f(4＋3i,i)＝eq\f(（4＋3i）（－i）,i（－i）)＝eq\f(－4i－3i2,－i2)＝3－4i.2．(2022·新疆烏魯木齊一模)已知復數z＝1＋i(i是虛數單位)，則eq\f(z2＋2,z－1)＝()A．2＋2i B.2－2iC．2i D.－2i解析：選B.因為z＝1＋i，所以eq\f(z2＋2,z－1)＝eq\f(（1＋i）2＋2,1＋i－1)＝eq\f(2＋2i,i)＝eq\f(（2＋2i）（－i）,－i2)＝2－2i.3．(2021·高考全國卷甲)已知(1－i)2z＝3＋2i，則z＝()A．－1－eq\f(3,2)i B.－1＋eq\f(3,2)iC．－eq\f(3,2)＋i D.－eq\f(3,2)－i解析：選B.z＝eq\f(3＋2i,（1－i）2)＝eq\f(3＋2i,－2i)＝eq\f(3i－2,2)＝－1＋eq\f(3,2)i.4.eq\f(1－i2021,1＋i)＝________．解析：eq\f(1－i2021,1＋i)＝eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(（1－i）2,（1－i）（1＋i）)＝eq\f(－2i,2)＝－i.答案：－i復數代數形式運算問題的解題策略(1)復數的乘法：復數的乘法類似于多項式的乘法運算，可將含有虛數單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可．(2)復數的除法運算是分子、分母同乘以分母的共軛復數，即分母實數化．[學生用書P346(單獨成冊)][A基礎達標]1．(2020·高考全國卷Ⅰ)若z＝1＋2i＋i3，則|z|＝()A．0 B.1C.eq\r(2) D.2解析：選C.因為z＝1＋2i＋i3＝1＋2i－i＝1＋i，所以|z|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).2．(2021·高考浙江卷)已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i為虛數單位)，則a＝()A．－1 B.1C.－3 D.3解析：選C.方法一：因為(1＋ai)i＝－a＋i＝3＋i，所以－a＝3，解得a＝－3.故選C.方法二：因為(1＋ai)i＝3＋i，所以1＋ai＝eq\f(3＋i,i)＝1－3i，所以a＝－3.故選C.3．設z＝－3＋2i，則在復平面內eq\x\to(z)對應的點位于()A．第一象限 B.第二象限C．第三象限 D.第四象限解析：選C.由題意，得eq\x\to(z)＝－3－2i，其在復平面內對應的點為(－3，－2)，位于第三象限，故選C.4．若復數z＝eq\f(a,1＋i)＋1為純虛數，則實數a＝()A．－2 B.－1C.1 D.2解析：選A.因為復數z＝eq\f(a,1＋i)＋1＝eq\f(a（1－i）,（1＋i）（1－i）)＋1＝eq\f(a,2)＋1－eq\f(a,2)i為純虛數，所以eq\f(a,2)＋1＝0且－eq\f(a,2)≠0，解得a＝－2.5．(2021·新高考卷Ⅰ)已知z＝2－i，則z(eq\o(z,\s\up6(－))＋i)＝()A．6－2i B.4－2iC．6＋2i D.4＋2i解析：選C.因為z＝2－i，所以z(eq\o(z,\s\up6(－))＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝6＋2i，故選C.6．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,i)))eq\s\up12(2)＝a＋bi(a，b∈R，i為虛數單位)，則a＋b＝()A．－7 B.7C.－4 D.4解析：選A.因為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,i)))eq\s\up12(2)＝1＋eq\f(4,i)＋eq\f(4,i2)＝－3－4i，所以－3－4i＝a＋bi，則a＝－3，b＝－4，所以a＋b＝－7，故選A.7．(2022·山東重點中學聯考)在復平面內，復數z對應的點與eq\f(2,1－i)對應的點關于實軸對稱，則z＝()A．1＋i B.－1－iC．－1＋i D.1－i解析：選D.eq\f(2,1－i)＝eq\f(2（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝1＋i，其在復平面內對應點為(1，1)，關于實軸對稱的點為(1，－1)，所以z＝1－i.故選D.8．(多選)下面是關于復數z＝eq\f(2,－1＋i)的四個命題，其中真命題為()A．|z|＝2 B.z2＝2iC．z的共軛復數為1＋i D.z的虛部為－1解析：選BD.因為z＝eq\f(2,－1＋i)＝eq\f(2（－1－i）,（－1＋i）（－1－i）)＝－1－i，所以|z|＝eq\r(2)，z2＝2i，z的共軛復數為－1＋i，z的虛部為－1，故選BD.9．(2021·春季高考上海卷)已知z＝1－3i，則|eq\o(z,\s\up6(－))－i|＝________．解析：因為z＝1－3i，所以eq\o(z,\s\up6(－))＝1＋3i，所以eq\o(z,\s\up6(－))－i＝1＋3i－i＝1＋2i，所以|eq\o(z,\s\up6(－))－i|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5).答案：eq\r(5)10．若eq\f(a＋bi,i)(a，b∈R)與(2－i)2互為共軛復數，則a＝________，b＝________．解析：因為eq\f(a＋bi,i)＝eq\f(（a＋bi）（－i）,－i2)＝b－ai(a，b∈R)，(2－i)2＝4－4i－1＝3－4i，由題意得b＝3，a＝－4.答案：－43[B綜合應用]11．(多選)(2022·武漢質檢)下列說法正確的是()A．若復數z1，z2的模相等，則z1，z2是共軛復數B．z1，z2都是復數，若z1＋z2是虛數，則z1不是z2的共軛復數C．復數z是實數的充要條件是z＝eq\o(z,\s\up6(－))(eq\o(z,\s\up6(－))是z的共軛復數)D．已知復數z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i(i是虛數單位)，它們對應的點分別為A，B，C，O為坐標原點，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，則x＋y＝1解析：選BC.對于A，z1和z2可能是相等的復數，故A錯誤；對于B，若z1和z2是共軛復數，則相加為實數，不會為虛數，故B正確；對于C，由a＋bi＝a－bi得b＝0，故C正確；對于D，由題可知，A(－1，2)，B(1，－1)，C(3，－2)，建立等式(3，－2)＝(－x＋y，2x－y)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝3，,2x－y＝－2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝4，))所以x＋y＝5，故D錯誤．故選BC.12．已知復數z1＝1－i，z2＝4＋6i(i為虛數單位)，則eq\f(z2,z1)＝________；若復數z＝1＋bi(b∈R)滿足z＋z1為實數，則|z|＝________．解析：因為z1＝1－i，z2＝4＋6i，所以eq\f(z2,z1)＝eq\f(4＋6i,1－i)＝eq\f(（4＋6i）（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝eq\f(－2＋10i,2)＝－1＋5i.因為z＝1＋bi(b∈R)，所以z＋z1＝2＋(b－1)i，又因為z＋z1為實數，所以b－1＝0，得b＝1.所以z＝1＋i，則|z|＝eq\r(2).答案：－1＋5ieq\r(2)13．(2022·金科大聯考高三質量檢測)已知復數z滿足z＋eq\f(1,z)∈[1，2]，則復數z的實部的最小值為________．解析：設z＝a＋bi(a，b∈R)，則z＋eq\f(1,z)＝a＋bi＋eq\f(1,a＋bi)＝a＋bi＋eq\f(a－bi,a2＋b2)＝a＋eq\f(a,a2＋b2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(b,a2＋b2)))i.由z＋eq\f(1,z)∈[1，2]，得b－eq\f(b,a2＋b2)＝0，則b＝0或a2＋b2＝1.當a2＋b2＝1時，a＋eq\f(a,a2＋b2)＝2a∈[1，2]，從而a∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))；當b＝0時，a＋eq\f(a,a2＋b2)＝a＋eq\f(1,a)∈[1，2]，從而a＝1.綜上，復數z的實部的最小值為eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)14．在數學中，記表達式ad－bc是由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,b,c,d)))所確定的二階行列式，若在復數域內，z1＝1＋i，z2＝eq\f(2＋i,1－i)，z3＝eq\o(z,\s\up6(－))2，則當eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(z1,z2,z3,z4)))＝eq\f(1,2)－i時，z4的虛部為________．解析：根據題意有eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(z1,z2,z3,z4)))＝z1z4－z2z3，因為z3＝eq\o(z,\s\up6(－))2，z2＝eq\f(2＋i,1－i)，所以z2z3＝z2eq