角平分線（第2課時）課件-北師大版數(shù)學八年級下冊

1.4角平分線（第2課時）1.會證明“三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等”；2.應(yīng)用三角形角平分線的性質(zhì)解決實際問題.1.角平分線的性質(zhì)定理和判定定理.2.角平分線的尺規(guī)作法.知識回顧性質(zhì)：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.判定：在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上2.角平分線的尺規(guī)作法.知識回顧情景問題要在一個三角形居住區(qū)內(nèi)修有一個學校P，請問學校P的位置應(yīng)建立在何處，才能使它到AB、BC、CA三邊的距離都相等？三角形三條角平分線平分線的性質(zhì)猜想：三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等.已知：如圖，在△ABC中，角平分線BM與角平分線CN相交于點P，過點P分別作AB，BC，AC，的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn).求證：∠A的平分線經(jīng)過點P，且PD＝PE＝PF.三角形三條角平分線平分線的性質(zhì)點撥：要證明三角形的三條角平分線相交于一點，只要證明其中兩條角平分線的交點一定在第三條角平分線上即可.三角形三條角平分線平分線的性質(zhì)證明：∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上，且PD丄AB，PE丄BC，∴PD＝PE(角平分線上的點到角兩邊距離相等).

同理，PE＝PF．∴PD＝PE＝PF.∴點P在∠A的平分線上(在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上)，

即∠A的平分線經(jīng)過點P.三角形三條角平分線平分線的性質(zhì)證明：∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上，且PD丄AB，PE丄BC，∴PD＝PE(角平分線上的點到角兩邊距離相等).

同理，PE＝PF．∴PD＝PE＝PF.∴點P在∠A的平分線上(在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上)，

即∠A的平分線經(jīng)過點P.定理：三角形的三條角平分線交于一點，并且這點到三邊的距離相等.應(yīng)用格式：∵點P為三條角平分線的交點，PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC∴PD=PE=PF.三角形三條角平分線平分線的性質(zhì)分別作出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三條角平分線，三條角平分線有什么特征？三角形三條角平分線平分線的性質(zhì)不論什么形狀的三角形，三個角的平分線的交點始終在三角形內(nèi).三角形角平分線的交點稱為三角形的內(nèi)心例

如圖，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E.（1）已知CD=4cm，求AC的長；（2）求證：AB=AC+CD.（1）解：∵AD是△ABC的角平分線，

DC⊥AC，DE⊥AB，

∴DE=CD=4cm

∵AC=BC∴∠B=∠BAC=45°

∴∠BDE=90°-45°=45°=∠B.∴BE=DE=4（等角對等邊）.

在等腰直角三角形BDE中，

由勾股定理得，AC=

證明：由（1）得，

Rt△ACD≌Rt△AED（HL）∴AC=AE∵BE=DE=CD.∴AB=AE+BE=AC+CD（2）求證：AB=AC+CD.1.到三角形三條邊距離相等的點是(

)A.三角形三條高的交點B.三角形三條內(nèi)角平分線的交點C.三角形三條中線的交點D.三角形三條邊的垂直平分線的交點B2.如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA的長分別為20，30，40，其三條角平分線交于點O，則S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝_______.2:3:43.如圖,O是△ABC內(nèi)一點,且點O到AB,BC,CA的距離OF=OD=OE,若∠BAC=70°,則∠BOC的度數(shù)為

.125°4.如圖,已知△ABC的周長為20,BO和CO分別平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于點D,且OD=3,則△ABC的面積為

.

305.三條公路兩兩相交于E，F(xiàn)，G三點，如圖所示，現(xiàn)計劃修建一個商品超市，要求這個超市到三條公路的距離相等．問：可供選擇的地方有多少處？你能在圖中找出來嗎？解：如圖所示：(1)作出△EFG兩內(nèi)角的平分線，其交點為O1(2)分別作出△EFG兩外角平分線，其交點分別為O2，O3，O4，∴滿足條件的修建點有四處，即O1，O2，O3，O46.已知:OP平分∠AOB,∠DCE的頂點在射線OP上,射線CD交射線OA于點F,射線CE交射線OB于點G.(1)如圖1,若CD⊥OA,CE⊥OB,請直接寫出線段CF與CG的數(shù)量關(guān)系:

.(2)如圖2,若∠AOB=120°,∠DCE=∠AOC,試判斷線段CF與CG的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.(3)若∠AOB=α,當∠DCE滿足什么條件時,在(2)中得到的結(jié)論仍然成立?請直接寫出∠DCE滿足的條件.(1)如圖1,若CD⊥OA,CE⊥OB,請直接寫出線段CF與CG的數(shù)量關(guān)系:

.解:CF=CG∵OC平分∠AOB,CF⊥OA,CG⊥OB,∴CF=CG.CF=CG解：CF=CG.理由如下:如圖,過點C作CM⊥OA于點M,作CN⊥OB于點N.∵OC平分∠AOB,CM⊥OA,CN⊥OB,∵∠AOB=120°,∴∠AOC=60°,∠MCN=60°,又∵∠DCE=∠AOC=60°,∴∠MCN=∠DCE,∴∠MCF=∠NCG.∵∠CMF=∠CNG=90°∴△MCF≌△NCG,∴CF=CG.(2)如圖2,若∠AOB=120°,∠D