遼寧省鞍山市普通高中2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題2

第1頁(yè)/共1頁(yè)鞍山市普通高中2024—2025學(xué)年度上學(xué)期高一質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知命題“，則為（）A. B.A.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定是全稱命題，直接寫(xiě)出命題的否定即可．【詳解】因?yàn)槊}為“，所以命題為“”故選：C.2.若為函數(shù)的零點(diǎn)，則所在區(qū)間為（）A. B.（1，2） C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理即可求解.【詳解】函數(shù)為0,+∞上的增函數(shù)，又，且，因?yàn)?，所以所在區(qū)間為.故選：B3.測(cè)甲，乙兩組各10名學(xué)生的身高（單位：），所得數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如下，則下列結(jié)論中正確的是（）A.兩組學(xué)生身高的極差相等B.甲組學(xué)生身高的平均值比乙組學(xué)生身高的平均值大C.甲組學(xué)生身高的中位數(shù)比乙組學(xué)生身高的中位數(shù)小D.甲組學(xué)生身高在以上的人數(shù)較多【答案】C【解析】【分析】分別根據(jù)極差,平均數(shù)和中位數(shù)的定義計(jì)算,結(jié)合選項(xiàng)得出答案.【詳解】選項(xiàng)A，甲組學(xué)生身高的極差為，乙組學(xué)生身高的極差為，則兩組學(xué)生身高的極差不相等，A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，甲組學(xué)生身高的平均值為，乙組學(xué)生身高的平均值為，則甲組學(xué)生身高的平均值比乙組學(xué)生身高的平均值小，B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，甲組學(xué)生身高的中位數(shù)為，乙組學(xué)生身高的中位數(shù)為，甲組學(xué)生身高的中位數(shù)比乙組學(xué)生身高的中位數(shù)小，C正確；選項(xiàng)D，甲組學(xué)生身高在以上的有人，乙組學(xué)生身高在以上的有人，則甲組學(xué)生身高在以上的人數(shù)較少，D錯(cuò)誤．故選：C．4.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來(lái)琢磨函數(shù)的圖象特征，如函數(shù)的圖象大致形狀是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除D，根據(jù)，，即可排除BC.【詳解】由于的定義域?yàn)?，且，故為奇函?shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，此時(shí)可排除，且當(dāng)，，此時(shí)可排除B,故選：A5.如圖，在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，設(shè)，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依題意可得，即可得到，再根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；【詳解】解：依題意在平行四邊形中，，又是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，所以，所以，所以，所以故選：A6.如圖是易書(shū)中的八卦圖（含乾?坤?巽?震?坎?離?艮?兌八卦），每一卦由三根線組成（表示一根陽(yáng)線，表示一根陰線），傳說(shuō)萊布尼茲據(jù)此發(fā)明了二進(jìn)制計(jì)數(shù)法.從八卦中任取兩卦，這兩卦中陽(yáng)線數(shù)量之和為4的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先得到根陽(yáng)線的有一卦，根陽(yáng)線的有三卦，根陽(yáng)線的有三卦，根陽(yáng)線的有一卦，再求出基本事件總數(shù)，與滿足條件的事件數(shù)，再利用古典概型的概率公式計(jì)算可得.【詳解】由圖可知有根陽(yáng)線的有一卦，根陽(yáng)線的有三卦，根陽(yáng)線的有三卦，根陽(yáng)線的有一卦，記根陽(yáng)線的分別為、、，根陽(yáng)線的分別為、、，根陽(yáng)線的為，從八卦中任取兩卦，一共有種，其中滿足陽(yáng)線之和為有，，，，，共種，故兩卦中陽(yáng)線之和為的概率.故選：B7.定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，判斷，在上單調(diào)遞增，且，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【詳解】由題意可得，，在上單調(diào)遞增，且，由，得，或，時(shí)，，或，又，即，或，故，解得，時(shí)，，或，又，即，故，解得，或，則不等式的解集為：，故選：D.8.已知，滿足，，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把已知等式取對(duì)數(shù)，得到兩個(gè)關(guān)系，抽象成一個(gè)方程的解，再根據(jù)方程的解的唯一性，得到，關(guān)系，進(jìn)而求出結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，即，，所以，均為方程的根，由于函?shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以方程的根唯一，所以.故選：B.二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的零點(diǎn)是B.若定義在上的函數(shù)滿足，則為增函數(shù)C.函數(shù)的定義域?yàn)?，則D.已知函數(shù)，則的值為3【答案】AC【解析】【分析】A選項(xiàng)，令方程等于0，即可求得零點(diǎn)；B選項(xiàng)，由函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷；C選項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)有意義的條件，分母不為0，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論；D選項(xiàng)，由分段函數(shù)的定義即可求解.【詳解】A選項(xiàng)，令，解得，所以函數(shù)的零點(diǎn)是，故A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，根據(jù)增函數(shù)的定義可知，若定義在[1，2]上的函數(shù)滿足，則不一定為增函數(shù)，例如函數(shù)，，滿足條件，但函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)不是增函數(shù)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，符合題意，當(dāng)時(shí)，，解得，綜上，，故C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，，因?yàn)?，所以，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AC.10.莊嚴(yán)美麗的國(guó)旗和國(guó)徽上的五角星，是革命和光明的象征．正五角星是一個(gè)非常有趣、優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系（在如圖所示的正五角星中，多邊形為正五邊形，）．則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用正五角星的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合向量的線性運(yùn)算，逐項(xiàng)計(jì)算判斷即可.【詳解】對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D正確.故選：AD11.有5個(gè)標(biāo)記數(shù)字1，2，3，4，5的小球，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是6”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是5”，則（）A.甲與乙互斥 B.丙與丁互斥C.甲與丙相互獨(dú)立 D.乙與丁相互獨(dú)立【答案】BC【解析】【分析】直接由互斥事件的概念判斷A、B選項(xiàng)；計(jì)算出甲、乙、丙、丁事件的概率，由獨(dú)立事件概率公式判斷C、D選項(xiàng)即可.【詳解】由題意可知：兩點(diǎn)數(shù)和為6的所有可能為，兩點(diǎn)數(shù)和為5的所有可能為，可得甲乙丙丁，對(duì)于A選項(xiàng)，甲與乙可以同時(shí)發(fā)生，例如，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，丙與丁不可能同時(shí)發(fā)生，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，（甲丙）（甲）（丙），可知甲與丙相互獨(dú)立，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，（乙?。ㄒ遥ǘ。?，可知乙與丁不相互獨(dú)立，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.12.已知函數(shù)，若，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.的取值范圍為B.的取值范圍為C.若方程有個(gè)不同的實(shí)根，則D.若方程有個(gè)不同的實(shí)根，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)解析式畫(huà)出函數(shù)大致圖象，令得，數(shù)形結(jié)合可得且，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)知識(shí)依次判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】根據(jù)解析式可得函數(shù)大致圖象如下，

令，則，所以且，故，A錯(cuò)；因?yàn)?，所以，B對(duì)；由，可得或，由圖知，對(duì)應(yīng)有2個(gè)不同解，故對(duì)應(yīng)必有3個(gè)不同解，所以，C對(duì)；對(duì)于D:，由圖，當(dāng)時(shí)原方程無(wú)解；當(dāng)a=-1時(shí)，，對(duì)應(yīng)唯一的x的值，此時(shí)原方程只有1個(gè)解，不符；當(dāng)時(shí)，或各有一個(gè)值，前者有3個(gè)、2個(gè)、1個(gè)x的值與之對(duì)應(yīng)，后者只有1個(gè)x的值與之對(duì)應(yīng)，此時(shí)原方程共有4個(gè)、3個(gè)、2個(gè)解，不符題意；令，得x=-1或或，當(dāng)時(shí)，或或各有一個(gè)值，若，無(wú)解；若，有2個(gè)x的值與之對(duì)應(yīng)；若，有1個(gè)x的值與之對(duì)應(yīng)，故原方程共有3個(gè)不同解，不符；當(dāng)時(shí)，或或，分別有1個(gè)解、2個(gè)解、1個(gè)解，原方程共有4個(gè)解，不符；當(dāng)時(shí)，或或各有1個(gè)值，若，有2個(gè)x的值與之對(duì)應(yīng)；若，有2個(gè)x的值與之對(duì)應(yīng)；若，有1個(gè)x的值與之對(duì)應(yīng)，故原方程共5個(gè)不同解，符合；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)解或有2個(gè)解，原方程共3個(gè)解，不符；當(dāng)時(shí)，，原方程只有1個(gè)解，不符；綜上，滿足題設(shè)，D對(duì).故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D項(xiàng)，注意從負(fù)到正依次討論的范圍，結(jié)合圖象確定對(duì)應(yīng)范圍，進(jìn)而判斷解的個(gè)數(shù).三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，且，則__________.【答案】【解析】【分析】由向量坐標(biāo)運(yùn)算法則求，結(jié)合向量平行的坐標(biāo)表示求，再求的坐標(biāo)，再由模的坐標(biāo)表示求結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以，所以，所?故答案為：.14.已知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】求函數(shù)的定義域，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的遞增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，令，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)為減函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)為減函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：.15.已知定義在上函數(shù)滿足，都有.據(jù)此可構(gòu)造函數(shù)__________，且知是__________.（填”奇“或”偶“）函數(shù)，在上為_(kāi)_________.（填”增“或”減”）函數(shù).【答案】①②.奇③.減【解析】【分析】不妨設(shè)，不等式可化為，觀察不等式兩側(cè)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)考慮構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性的定義及奇函數(shù)定義確定結(jié)論.【詳解】不妨設(shè)，不等式可化為，故，觀察不等式兩側(cè)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)考慮構(gòu)造函數(shù)，由已知，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)的定義域?yàn)椋x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以函數(shù)為奇函數(shù).故答案：；奇，減.16.在荷花池中，有一只蜻蜓在成品字形的三片荷葉上飛來(lái)飛去（每次飛時(shí)，均從一葉飛到另一葉），而且逆時(shí)針?lè)较蝻w的概率是順時(shí)針?lè)较蝻w的概率的3倍，如圖所示.假設(shè)現(xiàn)在蜻蜓在葉上，則跳三次之后停在葉上的概率是__________.【答案】##0.4375【解析】【分析】根據(jù)條件先求出逆時(shí)針和順時(shí)針跳的概率，然后根據(jù)跳3次回到A，則應(yīng)滿足3次逆時(shí)針或者3次順時(shí)針，根據(jù)概率公式即可得到結(jié)論．【詳解】由題意，知青蛙沿逆時(shí)針?lè)较蛱母怕适牵仨槙r(shí)針?lè)较蛱母怕适?青蛙跳三次要回到葉上只有兩條途徑：第一條，按，此時(shí)停在葉上的概率；第二條，按，此時(shí)停在A葉上的概率.所以跳三次之后停在葉上的概率.故答案為：四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.已知全集，集合，集合（1）若，求，；（2）若是的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）由條件可得，根據(jù)交集的定義，根據(jù)補(bǔ)集的定義求，（2）根據(jù)充分條件的定義條件可轉(zhuǎn)化為，列不等式求結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】若，則，因?yàn)樗曰?；【小?wèn)2詳解】若是的充分條件，則，則，解得，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為18.已知是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)，（1）求證：是偶函數(shù)；（2）求不等式的解集.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）利用偶函數(shù)的定義證明即可；（2）結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，然后根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)和單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為，平方后解一元二次不等式即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以為偶函數(shù)；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)镽上偶函數(shù)，所以只需判斷上單調(diào)性即可；易知，任取，，因?yàn)?，所以，得，即，所以在上是單調(diào)增函數(shù)由偶函數(shù)性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，因此可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；由是偶函數(shù)得知對(duì)函數(shù)來(lái)說(shuō)，距離其對(duì)稱軸軸越近，函數(shù)值越小，因此不等式等價(jià)于，即，也即，整理可得，解得或；所以不等式的解集為.19.如圖所示，已知點(diǎn)是的重心，過(guò)點(diǎn)作直線分別與邊交于兩點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），設(shè)，（1）求的值；（2）求的最小值，并求此時(shí)的值.【答案】（1）（2）時(shí)，的最小值.【解析】【分析】（1）結(jié)合向量的線性運(yùn)算，根據(jù)平面向量基本定理列式求解；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，利用基本不等式常數(shù)代換技巧求解最值即可.【小問(wèn)1詳解】如圖所示，延長(zhǎng)交于，已知點(diǎn)是的重心，故為中點(diǎn)，所以，所以，所以，①.因?yàn)槿c(diǎn)共線，設(shè)，即，②，由①②得，所以，即.【小問(wèn)2詳解】由題意可知，且.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，又因?yàn)椋詴r(shí)，的最小值.20.國(guó)務(wù)院于2023年開(kāi)展第五次全國(guó)經(jīng)濟(jì)普查，為更好地推動(dòng)第五次全國(guó)經(jīng)濟(jì)普查工作，某地充分利用信息網(wǎng)絡(luò)開(kāi)展普查宣傳，向基層普查人員，廣大普查對(duì)象及社會(huì)公眾宣傳經(jīng)濟(jì)普查知識(shí).為了解宣傳進(jìn)展情況，現(xiàn)從參與調(diào)查的人群中隨機(jī)選出200人，并將這200人按年齡（單位：歲）分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求值，并求這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)（精確到0.1）；（2）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人.抽取結(jié)果中來(lái)自第2組和第3組中的所有人的年齡的平均數(shù)和方差分別為37和27.已知第2組中參與調(diào)查的人的年齡的平均數(shù)和方差分別為30和6，據(jù)此估計(jì)第3組所有人的年齡的方差.【答案】（1），（2）6【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率之和為列方程求得，根據(jù)百分位數(shù)的求法求得這組數(shù)據(jù)的分位數(shù).（2）根據(jù)第2組和第3組所有人的年齡的方差列方程，化簡(jiǎn)求得第3組所有人的年齡的方差.【小問(wèn)1詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)可得，解得，設(shè)第40百分位數(shù)為，因?yàn)榍?組頻率前3組頻率，所以位于第三組：內(nèi)即.【小問(wèn)2詳解】由題意得，第2組和第3組的頻率分別為，故第2組和第3組所抽取的人數(shù)分別為設(shè)第2組的宣傳使者的年齡平均數(shù)分為，方差為，第2組人數(shù)3人，設(shè)第3組的宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為，第3組人數(shù)7人第2組和第3組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為，則，求得，即第3組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為40，.解得，即第3組所有宣傳使者的年齡方差為6.21.某社區(qū)舉辦“趣味智力挑戰(zhàn)賽”，旨在促進(jìn)社區(qū)鄰里關(guān)系，鼓勵(lì)居民參與公益活動(dòng)．本次挑戰(zhàn)賽第一輪為選手隨機(jī)匹配4道難度相當(dāng)?shù)娜の吨橇︻}，參賽選手需依次回答這4道題目，任何一道題答對(duì)就算通過(guò)本輪挑戰(zhàn)賽．若參賽選手前兩道題都沒(méi)有答對(duì)，而后續(xù)還需要答題，則每答1道題就需要后期參與一次社區(qū)組織的公益活動(dòng)，若4道題目都沒(méi)有答對(duì)，則被淘汰．根據(jù)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，年齡在20歲到30歲之間與年齡在30歲到40歲之間的參賽選手在第一輪挑戰(zhàn)賽中答對(duì)每道趣味智力題的概率分別為，．已知甲（25歲）、乙（35歲）兩人都參與了該“趣味智力挑戰(zhàn)賽”，他們每道題是否答對(duì)相互獨(dú)立．（1）甲熱愛(ài)公益活動(dòng)，若需要答題機(jī)會(huì)，他愿意參與社區(qū)組織的公益活動(dòng)，求甲通過(guò)第一輪挑戰(zhàn)賽的概率；（2）求甲、乙均不需要通過(guò)參與公益活動(dòng)獲得答題機(jī)會(huì)就通過(guò)了第一輪挑戰(zhàn)賽的概率；（3）求甲、乙均通過(guò)了第一輪挑戰(zhàn)賽且只有一人需要參與一次公益活動(dòng)概率．【答案】（1）（2）（3）．【解析】【分析】（1）計(jì)算甲第一輪挑戰(zhàn)賽被淘汰的概率，再根據(jù)對(duì)立事件的概率，即可求解；（2）分別計(jì)算甲、乙不需要參與公益活動(dòng)獲得答題機(jī)會(huì)就通過(guò)了第一輪挑戰(zhàn)賽，再根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式，即可求解；（3）分別計(jì)算甲、乙通過(guò)了第一輪挑戰(zhàn)賽且需要參與一次公益活動(dòng)的概率，由（2）的結(jié)論結(jié)合獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，即