(完整)3.1.3導數(shù)的幾何意義

3.1.3導數(shù)的幾何意義2/27/2025先來復習導數(shù)的概念

定義：2/27/2025練習：2/27/2025

瞬時速度就是位移函數(shù)s(t)對時間t的導數(shù).是函數(shù)f(x)在以x0與x0+Δx為端點的區(qū)間[x0,x0+Δx](或[x0+Δx,x0])上的平均變化率,而導數(shù)則是函數(shù)f(x)在點x0

處的變化率,它反映了函數(shù)隨自變量變化而變化的快慢程度．如果函數(shù)y=f(x)在點x=x0存在導數(shù),就說函數(shù)y=f(x)在點x0處可導,如果極限不存在,就說函數(shù)f(x)在點x0處不可導.2/27/2025由導數(shù)的意義可知,求函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)的基本方法是:注意:這里的增量不是一般意義上的增量,它可正也可負.

自變量的增量Δx的形式是多樣的,但不論Δx選擇哪種形式,Δy也必須選擇與之相對應的形式.2/27/2025下面來看導數(shù)的幾何意義:

βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy

如圖,曲線C是函數(shù)y=f(x)的圖象,P(x0,y0)是曲線C上的任意一點,Q(x0+Δx,y0+Δy)為P鄰近一點,PQ為C的割線,PM//x軸,QM//y軸,β為PQ的傾斜角.斜率!2/27/2025PQoxyy=f(x)割線切線T請看當點Q沿著曲線逐漸向點P接近時,割線PQ繞著點P逐漸轉動的情況.2/27/2025我們發(fā)現(xiàn),當點Q沿著曲線無限接近點P即Δx→0時,割線PQ有一個極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點P處的切線.設切線的傾斜角為α,那么當Δx→0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜率.即:

這個概念:①提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法;②切線斜率的本質——函數(shù)在x=x0處的導數(shù).2/27/2025例1:求曲線y=f(x)=x2+1在點P(1,2)處的切線方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此,切線方程為y-2=2(x-1),即y=2x.2/27/2025求切線方程的一般步驟：2/27/20252/27/20252/27/2025小結：導數(shù)的幾何意義求切線方程的一般步驟2/27/2025練習:如圖已知曲線,求:(1)點P處的切線的斜率;(2)點P處的切線方程.

yx-2-112-2-11234OP即點P處的切線的斜率等于4.

(2)在點P處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.2/27/2025在不致發(fā)生混淆時，導函數(shù)也簡稱導數(shù)．什么是導函數(shù)?由函數(shù)f(x)在x=x0處求導數(shù)的過程可以看到,當時,f’(x0)是一個確定的數(shù).那么,當x變化時,便是x的一個函數(shù),我們叫它為f(x)的導函數(shù).即:2/27/2025如何求函數(shù)y=f(x)的導數(shù)?2/27/2025看一個例子:2/27/2025下面把前面知識小結:a.導數(shù)是從眾多實際問題中抽象出來的具有相同的數(shù)學表達式的一個重要概念，要從它的幾何意義和物理意義了解認識這一概念的實質，學會用事物在全過程中的發(fā)展變化規(guī)律來確定它在某一時刻的狀態(tài)。b.要切實掌握求導數(shù)的三個步驟：（1）求函數(shù)的增量；（2）求平均變化率；（3）取極限，得導數(shù)。2/27/2025（3）函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)就是導函數(shù)在x=x0處的函數(shù)值，即。這也是求函數(shù)在點x0處的導數(shù)的方法之一。小結:（2）函數(shù)的導數(shù)，是指某一區(qū)間內任意點x而言的,

就是函數(shù)f(x)的導函數(shù)。（1）函數(shù)在一點處的導數(shù)，就是在該點的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個常數(shù)，不是變數(shù)。c.弄清“函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)”、“導函數(shù)”、“導數(shù)”之間的區(qū)別與聯(lián)系。2/27/2025（1）求出函數(shù)在點x0處的變化率，得到曲線在點(x0,f(x0)