《高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))》課件-第9章

第9章多元函數(shù)積分學(xué)9.1二重積分的概念與性質(zhì)

9.2二重積分的計(jì)算

9.3二重積分的應(yīng)用舉例

9.1二重積分的概念與性質(zhì)

9.1.1二重積分的概念

1.引例

曲頂柱體的體積.

曲頂柱體(如圖9-1所示)是指在空間直角坐標(biāo)系中，以xOy平面上的有界閉區(qū)域D為底面，以區(qū)域D的邊界曲線為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的柱面為側(cè)面，以二元函數(shù)z=f(x，y)所表示的曲面為頂?shù)牧Ⅲw.當(dāng)f(x，y)≥0時(shí)，求該曲頂柱體的體積V.圖9-1我們知道，對(duì)于一個(gè)平頂柱體，其體積等于底面積與高的乘積.而曲頂柱體的頂f(x，y)是x、y的函數(shù)，即高度不是常數(shù)，所以不能用計(jì)算平頂柱體體積的公式來(lái)計(jì)算.不妨設(shè)f(x，y)是連續(xù)函數(shù)，則在D中的一個(gè)小的區(qū)域內(nèi)，f(x，y)的變化不大，于是可仿照定積分中求曲邊梯形面積的辦法，先求出曲頂柱體體積的近似值，再用求極限的方式得到曲頂柱體的體積.具體步驟如下：

(1)分割.把區(qū)域D任意分割為n個(gè)小區(qū)域Dsi(i=1，2，…,n)，且Dsi(i=1，2，…，n)也表示該小區(qū)域的面積.每個(gè)小區(qū)域?qū)?yīng)著一個(gè)小的曲頂柱體.它們的體積分別記為Dvi(i=1，2，…，n).小區(qū)域Dsi上任意兩點(diǎn)間距離的最大值，稱為該小區(qū)域的直徑，記為di(i=1，2，…，n).

(2)近似.在Dsi(i=1，2，…，n)上任取一點(diǎn)(xi，hi)，顯然，f(xi，hi)Dsi表示以Dsi為底，f(xi，hi)為高的平頂柱體的體積.當(dāng)Dsi的直徑不大時(shí)，f(x，y)在Dsi上的變化也很小，因此f(xi，hi)Dsi是以Dsi為底，z=f(x，y)為頂?shù)男∏斨w體積的近似值.

即

Dvi≈f(xi，hi)Dsi

(i=1，2，…，n)

(3)求和.把這些小曲頂柱體體積的近似值f(xi，hi)Dsi

加起來(lái)就得到所求的曲頂柱體體積的近似值，即

(4)取極限.令 .顯然，如果這些小區(qū)域的最大直徑l趨于零，即區(qū)域D分割的越細(xì)密，則極限 就給出了體積V的精確值，即與上述求曲頂柱體體積的方法相類似，還有很多實(shí)際問(wèn)題，如非均勻平面薄片的質(zhì)量等都可歸結(jié)為上述類型的和式的極限.我們拋開(kāi)這些問(wèn)題的實(shí)際意義，抓住它們共同的數(shù)學(xué)特征，加以抽象，概括后就得到二重積分的定義.

2.二重積分的概念

定義9-1設(shè)函數(shù)z=f(x，y)是平面有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù).將區(qū)域D任意分成n個(gè)小區(qū)域Dsi(i=1，2，…，n)，其中,Dsi表示第i個(gè)小區(qū)域，也表示它的面積.在Dsi上任取一點(diǎn)(xi，hi)作和

記l

，若無(wú)論區(qū)域D如何劃分，也無(wú)論點(diǎn)(xi，hi)如何選取，當(dāng)l→0時(shí)，和式 總有確定的極限，則稱此極限為函數(shù)f(x，y)在區(qū)域D上的二重積分，記為 ，即

其中，f(x，y)稱為被積函數(shù)，f(x，y)ds稱為被積表達(dá)式，ds稱為面積元素，x、y稱為積分變量，D稱為積分區(qū)域，

稱為積分和式.

3.二重積分的幾何意義

由二重積分的定義，在引例中的曲頂柱體的體積V就是曲頂f(x，y)在底面D上的二重積分 .顯然，當(dāng)f(x，y)≥0時(shí)，二重積分 正是引例所示的曲頂柱體的體積；當(dāng)f(x，y)<0時(shí)，二重積分 等于相應(yīng)之曲頂柱體的體積的負(fù)值；若f(x，y)在區(qū)域D上有正有負(fù)，那么 就是xOy平面上方的曲頂柱體的體積之和減去xOy平面下方的曲頂柱體的體積之和，即二重積分

等于這些曲頂柱體體積的代數(shù)和.這就是二重積分的幾何意義.

9.1.2二重積分的性質(zhì)

二重積分與定積分有著類似的性質(zhì)，列舉如下：

設(shè)函數(shù)f(x，y)、g(x，y)在閉區(qū)域D上的二重積分存在，則

性質(zhì)9-1被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到二重積分號(hào)的外面，即

性質(zhì)9-2函數(shù)和(或差)的二重積分等于各個(gè)函數(shù)的二重積分的和(或差)，即

性質(zhì)9-3如果閉區(qū)域D被有限條曲線分為有限個(gè)部分閉區(qū)域，則在D上的二重積分等于在各個(gè)部分閉區(qū)域上的二重積分的和.例如把D分為兩個(gè)閉區(qū)域D1與D2，則有

這個(gè)性質(zhì)表明二重積分對(duì)于積分區(qū)域具有可加性.

性質(zhì)9-4如果在區(qū)域D上f(x，y)≡1，且s為區(qū)域D的面積，則

這表明，高為1的平頂柱體的體積在數(shù)值上等于其底面積.

性質(zhì)9-5若在區(qū)域D上恒有f(x，y)≤g(x，y)，則

性質(zhì)9-6設(shè)函數(shù)f(x，y)在區(qū)域D上有最大值為M，最小值為m，s是區(qū)域D的面積，則

證因?yàn)镸和m分別是函數(shù)f(x，y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值，所以

m≤f(x，y)≤M

由性質(zhì)9-5得

即再由性質(zhì)9-4得

此條性質(zhì)為二重積分的估值不等式.

性質(zhì)9-7(二重積分的中值定理)設(shè)函數(shù)f(x，y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，s是區(qū)域D的面積，則在D上至少有一點(diǎn)(x，h),使得

證因函數(shù)f(x，y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，故在D上取得最大值M和最小值m，顯然s≠0，把性質(zhì)9-6中的不等式各除以s，有

即 是介于函數(shù)f(x，y)的最大值M和最小值m

之間的一個(gè)值.根據(jù)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的介值定理，在D上至少存在一點(diǎn)(x，h)，使得

上式兩端乘以s，即得性質(zhì)9-7.

例9-1估計(jì) 的值的范圍，其

中，D：－1≤x≤3，0≤y≤2.

解因?yàn)椋?≤x≤3，0≤y≤2，所以1≤x+y+2≤7，又因?yàn)镈的面積s為8，由性質(zhì)9-6得 9.2二重積分的計(jì)算

9.2.1利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分

1.轉(zhuǎn)化面積元素

由二重積分的定義可知，若f(x，y)在區(qū)域D上的二重積分存在，則和式的極限(即二重積分的值)與區(qū)域D的分法無(wú)關(guān).因此，在直角坐標(biāo)系中可以用平行于x軸和y軸的直線把區(qū)域D分成若干小區(qū)域(如圖9-2所示)，由圖可知所得小區(qū)域中除了一些不規(guī)則的區(qū)域之外，其余均為矩形，設(shè)矩形小區(qū)域Dsi的邊長(zhǎng)為Dxi和Dyi，則Dsi=DxiDyi.所以在直角坐標(biāo)系中，常把面積元素ds記為dxdy，于是二重積分可表示為圖9-2

2.化二重積分為二次積分

根據(jù)二重積分的幾何意義，我們用前面學(xué)過(guò)的平行截面面積為已知的立體體積來(lái)計(jì)算以z=f(x，y)為曲頂、閉區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積，從而導(dǎo)出化二重積分為二次積分的公式.

(1)X—型區(qū)域的二重積分計(jì)算方法.

如果積分區(qū)域D為：D={(x，y)｜a≤x≤b，j1(x)≤y≤j2(x)}，則稱D為X—型區(qū)域，如圖9-3所示.其中，j1(x)、j2(x)在［a，b］上連續(xù).圖9-3設(shè)f(x，y)≥0且在閉區(qū)域D上連續(xù)，根據(jù)二重積分的幾何意義， 的值等于以z=f(x，y)為曲頂、閉區(qū)域D為底的曲頂柱體(如圖9-4所示)的體積，另一方面，這個(gè)體積也可以用平行截面法來(lái)計(jì)算.

先計(jì)算截面的面積，為此，在區(qū)間［a，b］上任取一點(diǎn)x0，做平行于yOz平面的平面x=x0，這個(gè)平面截曲頂柱體所得截面是一個(gè)以區(qū)間［j1(x0)，j2(x0)］為底，曲線z=f(x0,y)為曲邊的曲邊梯形(圖9-4所示的陰影部分)，所以這個(gè)截面面積為圖9-4一般地，若改x0為x，即過(guò)區(qū)間［a，b］上任一點(diǎn)x且平行于yOz平面的平面截曲頂柱體所得截面的面積為

于是，應(yīng)用計(jì)算平行截面面積為已知的立體體積的方法，得曲頂柱體(如圖9-4所示)的體積為

這個(gè)體積也就是所求的二重積分的積分值，從而有等式上式右端的積分就稱為先對(duì)y、后對(duì)x的二次積分.也就是說(shuō),先把x看成常數(shù)，把二元函數(shù)z=f(x，y)只作為y的一元函數(shù)，對(duì)y計(jì)算從φ1(x)到φ2(x)的定積分；然后再把計(jì)算結(jié)果對(duì)x計(jì)算從a到b的定積分.因此，把這個(gè)先對(duì)y、后對(duì)x的二次積分也常記為

這就是化二重積分為先對(duì)y、后對(duì)x的二次積分的公式.

在上述討論中，我們假定f(x，y)≥0，可以證明，公式的成立并不受此限制.

(2)Y—型區(qū)域的二重積分計(jì)算方法.

如果積分區(qū)域D為：D={(x，y)｜c(diǎn)≤y≤d，y1(y)≤x≤y2(y)}，則稱D為Y—型區(qū)域，如圖9-5所示.其中，y1(y)、y2(y)在［c，d］上連續(xù).圖9-5

注意

Y—型區(qū)域的特點(diǎn)為：穿過(guò)D內(nèi)部且平行于x軸的直線與D的邊界相交不多于兩點(diǎn).

按照X—型區(qū)域的計(jì)算方法，可得公式

這是一個(gè)先對(duì)x后對(duì)y的二次積分.

注意

(1)若積分區(qū)域D既是X—型區(qū)域又是Y—型區(qū)域.顯然，

(2)若積分區(qū)域D既非X—型區(qū)域又非Y—型區(qū)域(如圖9-6所示).此時(shí)，需用平行于x軸或y軸的直線將區(qū)域D劃分成X—型或Y—型區(qū)域.圖9-6中，將D分割成了D1、D2、D3三個(gè)X—型小區(qū)域.由二重積分的性質(zhì)9-3得圖9-6

例9-2計(jì)算 ，其中D是由直線x=

－1、x=1、y=0、y=1所圍成的區(qū)域.

解先畫出區(qū)域D的圖形如圖9-7所示，可見(jiàn)積分區(qū)域D是矩形區(qū)域，既是X—型區(qū)域又是Y—型區(qū)域.若按X—型區(qū)域積分，則將二重積分化為先對(duì)y、后對(duì)x的二次積分圖9-7若按Y—型區(qū)域積分，則二重積分化為先對(duì)x、后對(duì)y的二次積分

積分的結(jié)果是相同的，難易程度也一樣.

例9-3計(jì)算二重積分 ，D是由直線y=x、y=1、x=0所圍成的區(qū)域.

解先畫出區(qū)域D的圖形如圖9-8所示，此區(qū)域既是X—型區(qū)域又是Y—型區(qū)域.若按X—型區(qū)域積分，則將二重積分化為先對(duì)y、后對(duì)x的二次積分

由于 的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，故上述積分難以求出.圖9-8現(xiàn)改變積分次序，按Y—型區(qū)域積分，則將二重積化為先對(duì)x、后對(duì)y的二次積分

例9-4改變 的積分次序.

解現(xiàn)將積分區(qū)域D用不等式表示出來(lái)，因?yàn)镈=D1+D2,其中然后畫出積分區(qū)域D的圖形(如圖9-9所示)，改變?yōu)橄葘?duì)y積分、后對(duì)x積分，此時(shí)

D={(x，y)｜0≤x≤1，x≤y≤2－x2}

因此圖9-99.2.2利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分

一般地，對(duì)于圓形、扇形、環(huán)形等區(qū)域上的二重積分，如果還利用直角坐標(biāo)計(jì)算往往是非常困難的，而在極坐標(biāo)系下計(jì)算則比較簡(jiǎn)單.下面就介紹這種計(jì)算方法.

要用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 ，就需要將積分區(qū)域D和被積函數(shù)f(x，y)化為極坐標(biāo)的形式，并求出極坐標(biāo)系下的面積元素dσ.

極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為

其中，r是極徑；θ是極角.

1.轉(zhuǎn)化面積元素

在極坐標(biāo)系下，我們用兩組曲線r=常數(shù)及θ=常數(shù)，即一組同心圓和一組過(guò)原點(diǎn)的射線，將區(qū)域D任意分成n個(gè)小區(qū)域(如圖9-10所示).第i個(gè)小區(qū)域Dsi是由r=ri，r=ri+Dr及q=qi，q=qi+Dq所圍成的.由扇形面積公式可得

因此面積微元ds=rdrdq稱為極坐標(biāo)系中的面積微元.圖9-10于是得到極坐標(biāo)系下二重積分的表達(dá)式為

上式表明，把二重積分中的變量從直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)，只要把f(x，y)中的x換成rcosq，y換成rsinq，并把直角坐標(biāo)系中的面積元素dxdy換成極坐標(biāo)中的面積元素rdrdq.

極坐標(biāo)系下的二重積分化為二次積分，一般總是先對(duì)r積分再對(duì)q積分，因此主要是確定r、q的積分上下限，一般分下列三種情形：

(1)極點(diǎn)O在區(qū)域D之外.積分區(qū)域D是由極點(diǎn)出發(fā)的兩條射線q=a，q=b和兩條連續(xù)曲線r=r1(q)、r=r2(q)圍成的，如圖9-11所示，即

D={(r，q)｜r1(q)≤r≤r2(q)，a≤q≤b}

所以極坐標(biāo)系下的二重積分化為

(2)極點(diǎn)O在區(qū)域D的邊界上.

積分區(qū)域D是由極點(diǎn)出發(fā)的兩條射線q=a、q=b和連續(xù)曲線r=r(q)圍成的，如圖9-12所示，即

D={(r，q)｜0≤r≤r(q)，a≤q≤b}圖9-11圖9-12所以極坐標(biāo)系下的二重積分化為

(3)極點(diǎn)O在區(qū)域D的內(nèi)部.

積分區(qū)域D是由連續(xù)曲線r=r(q)圍成的，如圖9-13所示，即

D={(r，q)｜0≤r≤r(q)，0≤q≤2p}

所以極坐標(biāo)系下的二重積分化為圖9-13

例9-5計(jì)算 ，其中，D是由圓周x2+y2=1與x2+y2=4p2所圍成的平面區(qū)域.

解此積分區(qū)域?qū)儆诃h(huán)形區(qū)域，所以選用極坐標(biāo)計(jì)算.

令x=rcosq，y=rsinq，則D可表為：D={(r，q)｜1≤r≤2p，0≤q≤2p}，從而

例9-6計(jì)算 ，D是圓心在原點(diǎn)，半徑為R的圓域.

解這屬于極點(diǎn)O在區(qū)域D的內(nèi)部的情況，在極坐標(biāo)系下

9.3二重積分的應(yīng)用舉例

9.3.1求體積

根據(jù)二重積分的幾何意義，當(dāng)f(x，y)≥0時(shí)，

表示以f(x，y)為曲頂，以f(x，y)在xOy坐標(biāo)平面的投影區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積.因此，利用二重積分可以計(jì)算空間曲面所圍立體的體積.

例9-7求拋物面x2+y2=6－z及平面z=0所圍成的幾何體的體積.

解圖9-14所示是一個(gè)幾何體，此幾何體可看成是以xOy面內(nèi)的閉區(qū)域D：x2+y2≤6為底，以曲面z=6－x2－y2為頂?shù)那斨w.

故體積 .

因?yàn)榉e分區(qū)域?yàn)閳A形區(qū)域，所以選用極坐標(biāo)計(jì)算，令x=rcosq，y=rsinq，則積分區(qū)域D為圖9-14

例9-8求由旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2與平面z=h所圍成的立體的體積.

解如圖9-15所示.所求立體的體積是以D為底、高為h的圓柱體體積，與以旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2為頂，以D為底的曲頂柱體的體積之差.

圓柱體體積v1=ph2.以z=x2+y2為曲頂?shù)那斨w體積為

于是，所求立體的體積為圖9-159.3.2求平面薄片的質(zhì)量

由二重積分的物理意義可知，若平面薄片D的面密度為m=m(x，y)，則其質(zhì)量微元為

dm=m(x，y)ds

因而平面薄片的質(zhì)量為

例9-9設(shè)平面薄片所占區(qū)域D為x2+y2≤1，且y≥0，在點(diǎn)(x，y)處的面密度m(x，y)=x+y，求此薄片的質(zhì)量.

解平面薄片的質(zhì)量公式為因?yàn)榉e分區(qū)域?yàn)閳A形區(qū)域，所以選用極坐標(biāo)計(jì)算，令x=rcosq，y=rsinq，則積分區(qū)域D為{(r，q)｜0≤r≤1，0≤q≤p},故9.3.3求平面薄片的重心

由物理學(xué)知識(shí)可知：若質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)m1、m2、…、mn組成(其中，mi也表示第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量)，并設(shè)mi的坐標(biāo)為(xi，yi)(i=1，2，…，n).設(shè)它的重心為 ，則有將平面薄片D先任意分成n個(gè)小塊Dsi(i=1，2，…，n)，在Dsi上任取一點(diǎn)(xi，yi)，認(rèn)為在Dsi上密度分布是均勻的，其密度為m=m(xi，yi)，則Dsi的質(zhì)量近似等于m(xi，yi)Dsi，所以此平面薄片的質(zhì)量微元為